Rationale Zahlen
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Rationale Zahlen Vergleichen und Ordnen rationaler Zahlen Von zwei rationalen Zahlen ist die die kleinere Zahl, die auf der Zahlengeraden weiter links liegt. 1. Setze das richtige Zeichen. a) -3 e) -2,8 4 b) -2 -3,8 f) 2 5 -3 c) -0,5 2 7 g) 2 3 -0,51 d) 2 5 2. Ordne die Zahlen der Größe nach. Beginne mit der kleinsten Zahl. a) -6; 5; -2; -4 b) -7; 13; -15, 2; 0; -3; 5; 1 c) 3,4; -2,7; 3,2; -1,5; -0,8 d) e) -0,04; -0,43; -3,3; -0,39; 4; -0,041 1 1 3 1 1 ; ; ; ; 4 2 2 2 4 1 5 h) -0,4 -0,2 - 1 2 Entgegengesetzte Zahl, absoluter Betrag Die entgegengesetzte Zahl ( Gegenzahl ) von a wird mit –a bezeichnet. Bsp. a = 3 -a = -3 Der absolute Betrag ( kurz: Betrag ) einer Zahl a ( schreibe │a│ ) ist der Abstand dieser Zahl zu Null. Gegenzahlen haben den gleichen Betrag. Bsp. │3│= 3 │-3│= 3 1. Ergänze folgende Tabelle. a 4 -a -6,5 -0,5 2 -5,1 │a│ 9 0 3,24 -10 2. Vergleiche. a) │3│ 3 b) │-4│ │-3│ c) │-2,5│ │1│ 3. Löse folgende Gleichungen nach den gegebenen Beispielen. Bsp. 1. │x│= 3 2. │x│+2 =8 x1 = 3 x2 = -3 x1 = 6 x2 = -6 1 2 a) │x│= 4 b) │x│= 6,5 c) │x│= e) │x│-2 = 5 f) 2 │x│= 10 g) │x│+ 4,6= 9,2 d) │x│= -2,5 h) │x│-5,5 = 4,5 4,2 Addition und Subtraktion rationaler Zahlen Addition von zwei rationalen Zahlen mit gleichen Vorzeichen 1. Das Ergebnis bekommt das gemeinsame Vorzeichen. unterschiedlichen Vorzeichen 1. Das Ergebnis bekommt das Vorzeichen des Summanden mit dem größeren Betrag. 2. Die Beträge der Summanden werden addiert. 2. Vom größeren Betrag wird der kleinere Betrag subtrahiert. Bsp. 2 + 4 = 6 2 + ( -4 ) = -2 -2 + ( -4 ) = -6 -5 + 8 = 3 Bei der Subtraktion rationaler Zahlen wird die entgegengesetzte Zahl des Subtrahenden zum Minuenden addiert. Bsp. a) -2 – 4 = -2 + ( -4 ) = -6 b) 4 – ( -8 ) = 4 + 8 = 12 1. Addiere. 2. Subtrahiere. a) 12 + 15 12 – 15 b -8 + ( -7 ) -8 – ( -7 ) c) -13 + 24 -13 – 24 d) - 82 + 82 - 82 – 82 e) 0,5 + ( - 0,2 ) - 0,5 – ( - 0,2 ) f) – 2,5 + ( - 3,5 ) - 2,5 – ( -3,5 ) 3. Addiere bzw. Subtrahiere. a) 15 + ( -27 ) b) – 3 – ( -16 ) c) -2,4 – 6,2 d) 2,8 + 3,5 e) -102 – 98 f) g) -0,25 + 0.42 h) - 3,7- 4,7 i) 15 + 25 – 45 j) -12 – 15 -13 k) -23 + 50 – 14 + 12 l) 105 – 95 -20 -17 1 1 2 3 4. Ergänze folgende Tabellen. a) + 2,2 0,5 -1,7 -0,6 3,8 1,3 -2 -0,3 b) Beachte: Subtrahiere die Zahlenreihe senkrecht von der Zahlenreihe waagerecht! _ 3,6 -0,8 -2,3 1,7 -1,1 0,3 Weitere Aufgaben findest du unter www.realmath.de oder unter Unkelbach Selbstlernmaterial im Internet. -2,8 1,9 Multiplikation und Division rationaler Zahlen Man multipliziert bzw. dividiert zwei rationale Zahlen mit gleichen Vorzeichen 1. Das Ergebnis ist immer positiv. mit unterschiedlichen Vorzeichen 1. Das Ergebnis ist immer negativ. 2. Man multipliziert bzw. dividiert die Beträge der Zahlen. Bsp. 5 3 15 5 3 15 5 (3) 15 5 (3) 15 Für die Multiplikation ( Division ) von mehr als zwei rationalen Zahlen gilt: a) Das Ergebnis ist positiv bei einer geraden Anzahl von negativen rationalen Zahlen. b) Das Ergebnis ist negativ bei einer ungeraden Anzahl von negativen rationalen Zahlen. Bsp. 2 3 (4) 24 2 3 (4) (2) 48 1. Multipliziere bzw. dividiere zwei rationale Zahlen. a) 7 3 b) 7 3 c) 15 (3) d) 20: ( -4 ) e) -0,3 : 0,3 f) 0,3 (0,3) g) 26 (4) h) -155 : 5 i) 3 2 2 3 k) 0,5 :( 1 ) 2 2. Multipliziere. a) 3 2 5 (3) b) 1 2 (2) (3) 3 3 c) 10 (2) 5 (3) (2) j) 5 2 : 3 5 l) 0: 0,2 3. Ergänze folgende Tabellen. a) 2 -4 - 0,1 1 2 -10 5,3 -0,8 11,4 -0,1 -3,6 b) Achtung! Dividiere - senkrechte Spalte : waagerechte Zeile, also Bsp. 2,4 : (-1) : -1 4 2,4 -1 -4,2 0 1 2 Weitere Aufgaben findest du unter www.realmath.de oder unter Unkelbach Selbstlernmaterial im Internet. 1 2 -3 0,2 Sachaufgaben Schreibe jeweils eine Aufgabe auf und löse diese anschließend. 1. Subtrahiere vom Produkt der Zahlen 15 und -4 den Quotienten der Zahlen -20 und 5. 2. Frau Meier hat auf ihrem Konto 585€. Sie möchte eine Waschmaschine für 634€ kaufen Wie viel Geld fehlt ihr? 3. Herr Müller bekommt 1880€ Lohn auf sein Konto. Davon werden anschließend folgende Beträge abgebucht: 225€, 452€ und 612€. Wie hoch ist sein Kontostand nach den Abbuchungen? 4. 5 Schüler schätzen die Höhe eines Gebäudes: Paul : 15m; Karl: 24m, Antje: 25m , Lisa: 12m und Tom 20m. Die genaue Höhe des Gebäudes beträgt 17,45m. a) Gib die Abweichungen vom exakten Wert in einer Tabelle an. b) Berechne den Mittelwert der geschätzten Werte. c) Stelle die geschätzten Werte grafisch dar und zeichne den exakten und den Mittelwert mit ein 5. Herr Schulze bekommt 12 mal im Jahr seine Kontoauszüge. Diese hatten folgende Kontostände: 2823,56; 2963,79; 1445,12; 1418,74; 312,01; -2284,35; -1992,85; -2013,34; -874,11; -700,25; -245,11; 235,28. War Herr Müller im Durchschnitt im Jahr im Plus- oder Minusbereich? 6. Von der letzten Fahrt der 7a, die 28 Schüler in der Klasse hat, blieben 71,40€ übrig. Dieser Betrag soll den Schülern zu gleichen Teilen zurückgezahlt werden. Ein Teil des Geldes wurde schon ausgezahlt. Der Klassenlehrer hat jetzt noch 17,85€. Wie viele Schüler haben ihr Geld schon zurück bekommen? . Lösungen Vergleichen und Ordnen rationaler Zahlen 1. Setze das richtige Zeichen. a) -3 < 4 b) -2 > -3 e) -2,8 > -3,8 f) 2 2 > 5 7 c) -0,5 > -0,51 g) 2. a) -6 < -4 < -2 < 5 b) -15 < -7 < -3 < 0 < 1 < 2 < 5 < 13 c) -2,7 < -1,5 < -0,8 < 3,2 < 3,4 d) 3 1 1 1 1 < < < < 2 2 4 4 2 e) -3,3 < -0,43 < -0,041 < -0,04 < -0,039 < 4 2 3 < 2 5 d) 1 = -0,2 5 h) -0,4 > - 1 2 Entgegengesetzte Zahl, absoluter Betrag 1. Ergänze folgende Tabelle. a 4 -2 -6,5 9 ; -9 0 5,1 n.l -3,24 -4,2;4,2 -0,5 -a -4 2 6,5 -9; 9 0 -5,1 n.l 3,24 4,2;-4,2 0,5 │a│ 4 2 6,5 9 0 5,1 -10 3,24 4,2 0,5 2. Vergleiche. a) │3│ = 3 b) │-4│ > │-3│ c) │-2,5│ > │1│ 3. Löse folgende Gleichungen nach den gegebenen Beispielen. 1 2 a) x1 = 4 x2 = -4 b) x1 = 6,5 x2 = -6,5 c) x1 = 1 2 d) n.l e) x1 = 7 x2 = -7 f) x1 = 5 g) x1 = 4,6 x2 = -4,6 h) n.l. x2 = -5 x2 = Addition und Subtraktion rationaler Zahlen 1. Addiere. 2. Subtrahiere. a) 12 + 15 = 27 12 – 15 = -3 b -8 + ( -7 ) = -15 -8 – ( -7 ) = -1 c) -13 + 24 = 11 -13 – 24 = -37 d) - 82 + 82 = 0 - 82 – 82 = -164 e) 0,5 + ( - 0,2 ) = 0,3 0,5 – ( - 0,2 )= 0,7 f) – 2,5 + ( - 3,5 ) = -6 - 2,5 – ( -3,5 ) = 1 3. Addiere bzw. Subtrahiere. a) 15 + ( -27 ) =-12 b) – 3 – ( -16 ) = 13 c) -2,4 – 6,2 = -8,6 d) 2,8 + 3,5 = 6,3 1 1 1 = 2 3 6 e) -102 – 98 = - 200 f) g) -0,25 + 0.42= 0,17 h) - 3,7- 4,7 = -8,4 i) 15 + 25 – 45 = -5 j) -12 – 15 -13 = -40 k) -23 + 50 – 14 + 12 = 25 l) 105 – 95 -20 -17 = -27 4. Ergänze folgende Tabellen. a) + 2,2 0,5 -1,7 -0,6 3,8 6 4,3 2,1 3,2 1,3 3,5 1,8 -0,4 0,7 -2 0,2 -1,5 -3,7 -2,6 -0,3 1,9 0,2 -2 -0,9 b) _ 3,6 -0,8 -2,8 1,9 -2,3 5,9 1,5 -0,5 4,2 1,7 1,9 -2,5 -4,5 0,2 -1,1 4,7 0,3 -1,7 3 0,3 3,3 -1,1 -3,1 1,6 Multiplikation und Division rationaler Zahlen 1. Multipliziere bzw. dividiere zwei rationale Zahlen. a) 7 3 = 21 b) 7 3 = -21 c) 15 (3) = 45 d) 20: ( -4 ) = -5 e) -0,3 : 0,3 = -1 f) 0,3 (0,3) = -0,09 g) 26 (4) = 104 h) -155 : 5 = -31 i) 3 2 = -1 2 3 k) 0,5 :( j) 1 ) = -1 2 5 2 25 : = 3 5 6 l) 0: 0,2 = 0 2. Multipliziere. a) 3 2 5 (3) = 90 b) 1 2 4 (2) (3) = 3 3 3 c) 10 (2) 5 (3) (2) = -600 3. Ergänze folgende Tabellen. a) 2 -4 -0,1 1 2 10,6 -21,2 - 0,53 2,65 -53 -1,6 3,2 0,08 -0,4 8 22,8 -45,6 - 1,14 5,7 -114 - 0,2 0,4 0,01 -0,05 1 -7,2 14,4 0,36 -1,8 36 -10 5,3 -0,8 11,4 -0,1 -3,6 b) : -1 4 1 2 3 0,2 0,8 12 2,4 -2,4 0,6 -4,8 -1 1 -0,25 2 1 3 -5 -4,2 4,2 - 1,05 8,4 - 1,4 -21 0 0 0 0 0 0 1 2 - 1 1 2 1 8 1 6 -2,5 Sachaufgaben Aufgabe 1 15 (4) (20) :5 = -60 – ( -4 ) = -56 Aufgabe 2 585€ - 634€ = -49€ Es fehlen 49€. Aufgabe 3 1880€ - 225€ - 452€ - 612€ = 591€ Der Kontostand beträgt 591€. Aufgabe 4 a) Name Paul Karl Antja Lisa Tom b) Abweichung in m -2,45 +6,55 +7,55 -5,45 +2,55 2,45 6,55 7,55 5,45 2,55 = 1,75 5 Die mittlere Abweichung beträgt 1,75m. Aufgabe 5 Die Addition aller positiver Zahlen ergibt 9198,50€. Die Summe aller negativen Zahlen ergibt -8110,01€. Damit war Herr Schulze im Durchschnitt im Plusbereich. Aufgabe 6 71,40€ : 28 = 2,55€ pro Schüler 17,85€ : 2,55€ = 7 28 -7 = 21 21 Schüler erhielten bereits Geld.
