Chaos
und
Fraktale
M. Bostelmann
Michael Bostelmann
Michael Bostelmann
Unser Protagonist : Flohrian
Michael Bostelmann
Flohrian ist verliebt
Michael Bostelmann
Sie liebt mich ..., sie liebt mich nicht...
Lieber nicht!
Michael Bostelmann
Lieber was mit Springen ...
Michael Bostelmann
Flohrian zeichnet eine Strecke von A nach B.
Dann stellt er sich in der Mitte auf.
Er wirft eine Münze und springt nach folgender Regel:
Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A
Zahl : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis B
Michael Bostelmann
Erster Wurf
Zahl
Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A
Zahl : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis B
Michael Bostelmann
Zweiter Wurf
Zahl
Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A
Zahl : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis B
Michael Bostelmann
Dritter Wurf
Kopf
Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A
Zahl : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis B
Michael Bostelmann
Flohrian nimmt sich vor, solange zu springen, bis er einen Punkt
erreicht, auf dem er schon einmal war.
Liegt dieser Punkt in der linken Hälfte der Strecke AB, dann wird
seine Liebe erwidert.
Liegt er in der rechten Hälfte, dann liebt sie ihn nicht.
Im Falle der Mitte zählt der vorherige Punkt.
Michael Bostelmann
Aufgabe 1
Die Strecke AB wird durch das Intervall [0;1] repräsentiert.
Stelle eine Definitionsgleichung für die Folge (xn) der Sprünge auf mit x0 = 0,5.
Hinweis:
Der Übergang von xn auf xn+1 hängt natürlich vom Ergebnis des Münzwurfs ab.
Xn+1 =
Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A
Zahl : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis B
Michael Bostelmann
Aufgabe 2
Schreibe ein Programm flohrian(n) für den TI-92, das für n Sprünge die
Markierungen setzt.
flohrian(n)
Prgm
Local k,p,x
ClrDraw
PtText "x",-.02,.54
PtText "x",.98,.54
PtText "A",-.07,.6
PtText "B",1.03,.6
.5  x
For k,1,n
rand(2)  p
If p>1 Then
x/3  x
Else
2/3+x/3  x
EndIf
PtOn x,.5
EndFor
EndPrgm
Michael Bostelmann
MUSTER!?!
Da steckt doch
Mathematik
dahinter!
Eine einfache
Regel muss her!
Lieber rechnen
als springen!
Michael Bostelmann
Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A
Zahl : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis B
Kopf : x1 = 0,16666...
x0 = 0,5
Zahl : x1 = 0,83333...
Das gibt ja ganz eklige Perioden!!!
Wegen dieser ständigen Division durch 3.
...mmmhhh...
Michael Bostelmann
Kopf : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis A
Zahl : 2/3 der Strecke von der aktuellen Position bis B
Im Dreiersystem sollte das
viel einfacher sein!
Michael Bostelmann
!!!Ach du Sch reck !!!
Aufgabe 3
Was hat Flohrian so
erschreckt?
Michael Bostelmann
Offenbar hat er keine Chance einen Punkt zum zweiten Mal zu
erreichen, denn im n-ten Sprung erreicht er eine Zahl, deren
Periode in der (n+1)-ten Stelle nach dem Komma beginnt, die
also verschieden von allen vorhergehenden Zahlen ist.
“Ich hätte vielleicht doch nicht in der Mitte beginnen sollen.”,
denkt er.
Michael Bostelmann
Aufgabe 4
Bei welchen Startwerten hat Flohrian eine Chance, einen
Punkt zum zweiten Mal zu erreichen?
Abbrechende Tertialbrüche kommen offenbar nicht in Frage,
weil sich die letzte, von Null verschiedene Stelle bei jedem
Sprung um eine Position nach rechts verschiebt.
Rein periodische Zahlen mit den Ziffern 0 und 2 bieten eine
Chance, wenn sich durch entsprechende Sprünge eine neue
Periode einschiebt.
Beispiel:
Michael Bostelmann
Eine maximal löchrige Menge
Offenbar spielt hier eine Teilmenge des Intervalls [0; 1] eine Rolle, deren
Elemente in der Tertialbruchdarstellung nur Nullen und Zweien aufweisen.
Diese Teilmenge S wollen wir nun auf zwei verschiedene Arten schrittweise
konstruieren.
Mengentheoretisch
Grafisch
S0 = [0; 1]
S1 = S0 \ {(0,z1z2z3...)3 / z1=1}
S2 = S1 \ {(0,z1z2z3...)3 / z2=1}
S3 = S2 \ {(0,z1z2z3...)3 / z3=1}
Offenbar gilt
lim S = S. Diese Menge ist nichts anderes als der
n n
Cantor-Staub, ein bekanntes Fraktal.
Michael Bostelmann
Nichts als Staub
Die Cantor-Menge hat die Eigenschaft, dass sie völlig zerstäubt ist, d.h. keine
zwei verschiedenen Elemente hängen zusammen. Oder anders ausgedrückt,
zwischen zwei verschiedenen Elementen aus S finden wir immer ein Element
nicht aus S. Dies lässt sich leicht zeigen.
Seien p und q zwei verschiedene Elemente aus S und o.B.d.A p<q. Die erste
Nachkommastelle, an der sich p und q in der Tertialdarstellung unterscheiden,
sei an der n-ten Position. Dann hat p dort eine 0 und q eine 2. Sei r die Zahl,
die bis zur (n-1)-ten Nachkommastelle mit p und q übereinstimmt und dann an
der n-ten Stelle eine 1 hat, dann ist r nicht aus S und p<r<q.
Wie man leicht sieht, trifft Flohrian bei seinen Sprüngen mit dem Startwert 0,5
nie ein Element aus S, denn jede Position enthält immer die Periode mit 1, die
sich jedoch immer weiter nach hinten schiebt. Aber er kommt immer näher an S
heran.
In gewissem Sinne konvergiert die Menge seiner Markierungen gegen S.
Michael Bostelmann
Selbstähnlichkeit
Ein zentraler Begriff im Zusammenhang mit Fraktalen ist die Selbstähnlichkeit oder
auch Skaleninvarianz.
Der Cantor-Staub eignet sich gut, um diesen Begriff zu verdeutlichen.
Wir greifen hierzu auf den bekannten Ähnlichkeitsbegriff aus der Mittelstufengeometrie
zurück:
Zwei Figuren heißen ähnlich, wenn sie durch eine zentrische
Streckung in kongruente Figuren überführt werden können.
Nehmen wir zum Beispiel das linke Drittel von S, also S* = { (0,0z2z3...)3 / zi{0;2} }
und strecken es mit dem Faktor 3. Dann erhalten wir
3·S* = { 3·(0,0z2z3)3 / zi {0;2} } = { (0,z2z3...)3 / zi {0;2} } = S
Die Menge S ist zu einem echten Teil ihrer selbst ähnlich – eben selbstähnlich.
Michael Bostelmann
Eine neue Interpretation des
klassischen Dimensionsbegriffs
1. Dimension
Michael Bostelmann
2. Dimension
Michael Bostelmann
3. Dimension
Michael Bostelmann
Verallgemeinerter Dimensionsbegriff
Verkleinert man ein Objekt mit dem Faktor k und
passt das verkleinerte Objekt n-mal in das
ursprüngliche Objekt, so heißt die Zahl d mit
kd = n
die Dimension des Objekts.
Es ist also
d = logkn
Michael Bostelmann
Die Dimension des Cantor-Staubs
Bei der Selbstähnlichkeit haben wir gesehen, dass wir das erste Drittel S* des
Cantor-Staubs erhalten, wenn wir die Menge S im Maßstab 1:3 verkleinern.
S* passt zweimal in S, da das mittlere Drittel leer ist.
Für die Dimension d gilt dann:
3d = 2 oder d = log32 = 0,6309...
Die Dimension ist also nicht ganzzahlig, sondern gebrochen - eben fraktal.
Michael Bostelmann
Ein naher Verwandter des Cantor-Staubs
Vor einigen Jahren wurde im Bundeswettbewerb-Informatik
folgende Aufgabe gestellt (sinngemäß):
Ein Goldgräber erhält einen Claim, der die Form eines gleichseitigen Dreiecks
hat. Da er keine Ahnung hat, wo er mit dem Graben anfangen soll, sucht er sich
zunächst einen beliebigen Punkt aus. Um den nächsten Grabungsort zu finden,
wählt er einen der drei Eckpunkte beliebig aus und bestimmt den Mittelpunkt
zwischen diesem Eckpunkt und seiner momentanen Position. Dies wiederholt
er immer wieder.
Ein entsprechendes Programm sollte die Grabungsorte für n Grabungen
grafisch darstellen.
Aufgabe 5
Schreibe ein Programm für den TI-92, das für n
Grabungen die Grabungsorte markiert.
Michael Bostelmann
Das Goldgräber-Programm
gold(n)
Prgm
Local k,p,x,y
FnOff : PlotsOff : ClrDraw
setGraph("axes","off")
0!xmin : 100!xmax
0!ymin : 100!ymax
[[20][80][50]] !px
[[5][5][90]] !py
50!x:50!y
Line det(px[1]),det(py[1]),det(px[2]),det(py[2])
Line det(px[2]),det(py[2]),det(px[3]),det(py[3])
Line det(px[1]),det(py[1]),det(px[3]),det(py[3])
PtOn x,y
For k,1,n
rand(3) !p
(x+det(px[p]))/2!x
(y+det(py[p]))/2!y
PtOn x,y
EndFor
EndPrgm
Michael Bostelmann
Das Sierpinski-Dreieck
Berechne die fraktale Dimension des
Sierpinski-Dreiecks
Aufgabe 6
Verkleinert man das Sierpinski-Dreieck im Maßstab 1:2, so passt es 3-mal in
das ursprüngliche Dreieck. Es ist also
2d = 3
also
d = log23 = 1,5849...
Michael Bostelmann