2. Zufallsvariable und Verteilungsfunktion )4 )4
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Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Übung/Tutorate ● Statistik II: Schließende Statistik ● SS 2007 2. Zufallsvariable und Verteilungsfunktion Aufgabe 2.1 Wahrscheinlichkeitsfunktion und Verteilungsfunktion Die Zufallsvariable X sei das Ergebnis eines Würfels a. Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsfunktion? b. Bestimmen sie : P(2 < X ≤ 4 ) c. Bestimmen sie : P(2 ≤ X ≤ 4) d. Bestimmen sie : P(1,7 < X < 3,8) Aufgabe 2.2 Dichtefunktion Prüfen sie, ob es sich bei den folgenden Funktionen um Dichtefunktionen handelt und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für: a. b. c. 2 x , 0 < x < 1 f (x ) = 0 , sonst 0,02 x − 0,04 , 2 < x < 12 f (x ) = 0 , sonst 1 x exp− , 0 < x < ∞ f (x ) = 4 4 0 , sonst P(0,25 < x < 0,9 ) P(5 < x < 11) P( x > 4 ) Aufgabe 2.3 Verteilungsfunktion Bestimmen Sie zu folgenden Dichtefunktionen die jeweilige Verteilungsfunktion und bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten für: a. b. 0,2 , 2 < x < 7 f (x ) = 0 , sonst 2e −2 x , x > 0 f (x ) = 0 , sonst P(3 < x < 5) 0 , x < 0 c. was ist die Dichtefunktion von: F (x ) = x 4 , 0 ≤ x ≤ 1 1 , 1 ≤ x Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Übung/Tutorate ● Statistik II: Schließende Statistik ● SS 2007 Aufgabe 2.4 Erwartungswert Ein Investor simuliert für seine Investition mehrere Gewinnsituationen und erhält für das laufende Jahr folgende Schätzungen: Rendite: Ri 0,06 0,07 f (Ri ) 0,55 0,13 Berechnen sie die erwartete Rendite für das laufende Jahr 0,01 -0,02 0,21 0,11 Aufgabe 2.5 Erwartungswert Berechnen sie den Erwartungswert für folgenden Dichtefunktionen: a. b. 0,125x − 0,25 , 2 < x < 6 f (x ) = 0 , sonst 3(1 − x )2 , 0 < x < 1 f (x ) = 0 , sonst Aufgabe 2.6 Varianz und Standardabweichung Berechnen sie Varianz und Standardabweichung für die Aufgaben 2.4 und 2.5. Aufgabe 2.7 Funktionen von Zufallsvariablen Ein Unternehmen sieht sich auf dem Absatzmarkt Nachfrageschwankungen gegenüber: Mangels Informationen nimmt das Unternehmen eine Gleichverteilung an: 1 , 0 < x < 8 . Die Kostenfunktion des Unternehmens ist: K = 2 X + 5 f (x ) = 8 0 , sonst Berechnen sie den Erwartungswert und die Varianz der Kosten. Aufgabe 2.8 Standardisieren Zeigen sie, dass der Erwartungswert einer standardisierten Zufallsvariable = 0 und die Varianz = 1 ist. Aufgabe 2.9 Ungleichung von Tschebyscheff Eine Fabrik produziert Metallwerkzeuge, die nur 1 mm von ihrem Sollmaß (=Mittelwert) von 90mm abweichen dürfen. Ansonsten werden sie unbrauchbar. Die Produktion unterliegt jedoch Schwankungen und die Standardabweichung σ beträgt 0,2 mm. Wie gross ist der Anteil unbrauchbarer Werkzeuge höchstens? Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Übung/Tutorate ● Statistik II: Schließende Statistik ● SS 2007 Aufgabe 2.10 Ungleichung von Tschebyscheff Eine Fabrik füllt Farbe in 10 Liter Eimern ab. Die tatsächliche Füllmenge schwankt um den Mittelwert von 10 Litern mit einer Standardabweichung σ von 0,3 Litern. Eimer, deren Füllmenge zwischen 9,5 Litern und 10,5 Litern liegt können verkauft werden. a. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit mindestens, dass ein Eimer in diesem Intervall liegt? b. In welchem, um den Mittelwert symmetrischen Intervall liegt die Zufallsvariable (Füllmenge) mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% mindestens ? Hausaufgabe 1 Lange Versuchsserien haben gezeigt, dass bei einer Firma, bei der vollautomatisch Bleche gebohrt werden, bei voller Kapazitätsauslastung kein Bohrer länger als sechs Tage hält. Ferner wurde der Prozentanteil der nicht mehr brauchbar gewordenen Bohrer über die sechs Tage hinweg ermittelt (Absterberaten): Tag 1 2 3 4 5 6 nicht mehr brauchbare Bohrer 20% 40% 70% 80% 90% 100% a. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Bohrer mehr als 4 Tage hält? b. Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür an, daß ein Bohrer am 1. bzw. 2., 3., 4., 5. oder 6. Tag ausfällt. c. Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung der Lebensdauer eines Bohrers, sowie das Schiefemaß der Verteilung. d. Wenn der Maschinenbestand der Firma bei vollem Einsatz mit 900 Bohrern arbeitet, wie viele Bohrer müssen dann im Durchschnitt täglich gewechselt werden? Hausaufgabe 2 Ein Glücksspiel ist wie folgt konzipiert: Man zahlt 2 EUR um einen Würfel zu werfen. Der Gewinn ist 1 mal die geworfene Augenzahl. Lohnt sich dieses Gewinnspiel auf 2 Dauer? Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Übung/Tutorate ● Statistik II: Schließende Statistik ● SS 2007 Hausaufgabe 3 Gegeben sei folgende Dichtefunktion: f (x ) = 2 x −3 , x ≥ 1. 0 , sonst a. Bestimmen sie den Erwartungswert X Med b. Bestimmen sie den Median, d.h. den Wert, bei dem ∫ 2 x −3 dx = 1 Hausaufgabe 4 Für welchen Wert von k ist die folgende Funktion eine Dichtefunktion? [ k 1 − ( x − 3) f (x ) = 0 , sonst 2 ] ,2< x<4 1 2 Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Übung/Tutorate ● Statistik II: Schließende Statistik ● SS 2007 Anwendungsbeispiel: Funktionen von Zufallsvariablen, Schiefe und Kurtosis Ein Investor überlegt sich, einen Teil seines Vermögens global in Aktien oder Anleihen zu investieren. Dazu betrachtet er die monatlichen Renditeeigenschaften des globalen JP Morgan Bond Indexes (JPM Global) und des globalen Aktienindexes von Morgan Stanley Capital International (MSCI World). a. bestimmen sie die durchschnittliche jährliche Rendite und Volatilität der beiden Investitionen und vergleichen sie die Attraktivität beider Anlagen. b. Welche Investition würden sie bevorzugen, wenn sie die Schiefe und Kurtosis als Entscheidungsmerkmal heranziehen? Kernel Density (Epanechnikov, h = 1.2127) 30 Series: DLJPM Sample 1986:01 2006:12 Observations 252 25 20 15 10 5 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis 0.631875 0.644456 5.569456 -4.391972 1.842799 0.193247 3.034777 Jarque-Bera Probability 1.581169 0.453580 .24 .20 .16 .12 .08 .04 .00 0 -4 -2 0 2 4 6 DLJPM -4 -2 0 2 4 6 Kernel Density (Epanechnikov, h = 2.2955) 40 Series: DLMSCI Sample 1986:01 2006:12 Observations 252 .14 .12 .10 30 20 10 Mean Median Maximum Minimum Std. Dev. Skewness Kurtosis 0.788590 1.375376 9.709250 -21.77838 4.108639 -1.308270 7.181457 Jarque-Bera Probability 255.4741 0.000000 .08 .06 .04 .02 .00 -20 0 -20 -15 -10 -5 0 5 10 -15 -10 -5 DLMSCI 0 5 10
