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Lernzettel TED
1
1.1
Maxwellsche Gleichungen
Integralform
~ r, t) · d~s = −
E(~
∂A
"
~ r, t) · d~s =
H(~
"
~ r, t)
∂ B(~
~
· dA
∂t
Induktionsgesetz“
”
!
~ r, t)
∂ D(~
~ r, t) · dA
~
+ J(~
Durchflutungsgesetz“
”
∂t
A
(1)
(2)
A
∂A
∂V
~ r, t) · dA
~ =
D(~
ρ(~r, t)dV
Gaußscher Satz“
”
(3)
V
~ r, t) · dA
~ = 0
B(~
(4)
∂V
1.2
Differentielle Form
~ r, t)
∂ B(~
Induktionsgesetz“
”
∂t
~
~ r, t)
~ r, t) = ∂ D(~r, t) + J(~
Durchflutungsgesetz“
rotH(~
”
∂t
~ r, t) = ρ(~r, t)
divD(~
~ r, t) = 0
divB(~
~ r, t) = −
rotE(~
1.3
(5)
(6)
(7)
(8)
Materialgleichungen
~ r, t) = εE(~
~ r, t)
D(~
~ r, t) = µH(~
~ r, t)
B(~
~ r, t) = κE(~
~ r, t)
J(~
1
(9)
(10)
(11)
1.4
Vereinfachte Form für statische Felder
~ r) · d~s = 0
E(~
∂A
"
~ r) · d~s =
H(~
~ r ) · dA
~
J(~
Durchflutungsgesetz“
”
(12)
(13)
A
∂A
"
Induktionsgesetz“
”
~ r) · dA
~ =
D(~
ρ(~r)dV
Gaußscher Satz“
”
(14)
V
∂V
~ r) · dA
~ = 0
B(~
(15)
∂V
1.5
~ r) = 0
rotE(~
Induktionsgesetz“
”
~ r) = J(~
~ r)
rotH(~
Durchflutungsgesetz“
”
~ r) = ρ(~r)
divD(~
(18)
~ r) = 0
divB(~
(19)
(16)
(17)
Vereinfachte Form zeitharmonischer Anregung
~ r) · d~s = −
E(~
∂A
"
∂A
"
~ r) · d~s =
H(~
~ r) · dA
~
jω B(~
Induktionsgesetz“
”
(20)
A
~
~
~
jω D(~r) + J(~r) · dA
Durchflutungsgesetz“
”
(21)
A
~ r) · dA
~ = 0
D(~
Gaußscher Satz“
”
(22)
∂V
~ r) · dA
~ = 0
B(~
(23)
∂V
~ r) = −jω B(~
~ r)
rotE(~
Induktionsgesetz“
”
~ r) = jω D(~
~ r) + J(~
~ r)
rotH(~
Durchflutungsgesetz“
”
~ r) = 0
divD(~
(25)
~ r) = 0
divB(~
(27)
2
(24)
(26)
1.6
Vereinfachte Form für quasistationäre Felder
~ r) · d~s = −
E(~
~ r, t)
∂ B(~
~
·A
∂t
Induktionsgesetz“
”
(28)
A
∂A
~ r) = −
rotE(~
~ r, t)
∂ B(~
∂t
Induktionsgesetz“
”
(29)
Ansonsten wie statische Felder.
2
Vektorpotential-Ansatz für Magnetostatik
~ = rotA
~ ∗ . Mit rotH
~ = rot(B/µ)
~
Ansatz B
= J~ folgt:
1
~ ∗ = J~
rot rotA
µ
bei homogenem, isotropen und linearem Material folgt:
~ rp ) = 1
A(~
4π
~ r)
J(~
dV
|~rd |
mit ~rd = ~rp − ~r
V
~ = rotA
~ berechnen.
Damit läßt sich H
3
Vektorpotential-Ansatz für Rechteckhohlleiter
~ = rotA
~H
Ansatz über elektrisches Feld (magnetisches Feld analog): E
~ = rot rotA
~
rotE
H
~ H − ∆A
~H
= grad divA
~
= −jωµH
~ = jωε rotA
~H
rotH
~ = jωεA
~ H + gradΦH
⇒ H
~ H − ∆A
~ H = ω 2 µεA
~ H − jωµ gradΦH
grad divA
~ + k2A
~ = 0 mit Lorentzkonvention
∆A
mit k 2 = ω 2 µε (W ellenzahl)
Diese Gleichung wird mittels Produktansatz nach Bernoulli gelöst, in dem man davon ausgeht, daß eine Komponente des Vektorpotentials ausreicht, um alle Lösungen zu
erhalten. Dazu wählt man die Komponente in Ausbreitungsrichtung des Welle.
3
4
Stetigkeiten an Grenzflächen
• Die Tangentialkomponenten des elektrischen Feldes sind stetig: Et1 = Et2
• Die Normalkomponeten des eletrischen Feldes sind proportional zu den Permittivitäten: Dn1 − Dn2 = qF
• Die Tangentialkomponenten des magnetischen Feldes sind proportional zu den Permeabilitäten: Ht1 − Ht2 = JF
• Die Normalkomponeten des magnetischen Feldes sind stetig: Bn1 = Bn2
5
Sonstiges
~
S
divA
Az (x, y, z)
~
∆H
~ ×H
~
E
Poyntingscher Vektor
(30)
−jωεΦ
Lorentz-Konvention (für Pot.-Ansatz im Hohlleiter)(31)
f (x) g(y) h(z)
Produkansatz nach Bernoulli
(32)
~
= jκµω H
Helmholtz-Gleichung
(33)
=
=
=
Herleitung der Helmholtz-Gleichung (nur für quasistationäre Felder):
~
rotH
~
=⇒ rot rotH
~
mit rotE
~
rot rotH
=
=
=
=
~
κE
~
κ rotE
~ und
−jωµH
~
~ −∇2 H
grad divH
| {z }
=0
~ = jκµω H
~
∆H
6
Formelzeichen
~ r, t): elektrische Feldstärke
E(~
~ r, t): magnetische Feldstärke
H(~
~ r, t): dielektrische Verschiebungsdichte bzw. Erregung
D(~
~ r, t): magnetische Induktion bzw. Flußdichte
B(~
~ r, t): elektrische Stromdichte
J(~
ρ~(~r, t): elektrische Raumladungsdichte
4
f olgt :