Physik 07 - Rotation

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Hochschule Düsseldorf
University of Applied Sciences
24. November 2016
HSD
Physik
Rotation
Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2016 / 2017
Hochschule Düsseldorf
University of Applied Sciences
24. November 2016
HSD
Schwerpunkt
Prof. Dr. Alexander Braun // Physik für KIT // WS 2016 / 2017
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HSD
24. November 2016
Schwerpunkt
• Bewegungen, Beschleunigungen
und Kräfte können so berechnet
werden, als würden Sie an einem
einzigen Punkt des Objektes
angreifen.
• Bei
einem Körper mit homogener
Dichte ist dies der geometrische
Mittelpunkt.
• Bei
• Für
Kugeln ist dies der Mittelpunkt.
Planeten kann man
näherungsweise den Mittelpunkt
nehmen.
X
1
~=
mi ~xi
S
M i
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24. November 2016
Schwerpunkt
M=
•
Ein Objekt der Masse M sei in viele
einzelne Massteile mi zerlegt.
•
Für jedes einzelne Masseteil gelten die
Newton‘schen Gesetze, insbesondere
das 2.:
•
Die gesamte Kraft auf das Objekt ist
die Summe aller Kräfte auf jedes
Einzelteil.
•
Summe und Differentiation dürfen
vertauscht werden.
•
Mit der Definition des Schwerpunkts
kann die resultierende Kraft auf den
Körper geschrieben werden als:
X
mi
mi
i
2
d
F~i = mi 2 ~xi
dt
2
X
X
d
F~i = F~ =
mi 2 ~xi
dt
i
i
!
2
X
d
F~ = 2
mi ~xi
dt
i
2
X
1
d
~=
~
S
mi ~xi ) F~ = M 2 S
M i
dt
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24. November 2016
Schwerpunkt
•
Natürlich wird die Summe
für differentiell kleine
Massestücke zum Integral.
•
Anschaulicher wird das mit
der Dichte. Dann ist jedes
Massestück ein Volumen mal
die Dichte am Ort.
X
1
~ = lim
S
mi ~xi
mi !0 M
i
Z
1
=
~x dm
M
Körper
Z
1
=
~x ⇢(~x) dV
M
Körper
dm = ⇢(~x) dV
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•
24. November 2016
Schwerpunkt
Für homogene Körper (bei
denen die Dichte überall
gleich ist) ist der
Schwerpunkt gleich dem
geometrischen Mittelpunkt!
1
~=
S
M
Z
~x ⇢(~x) dV
Körper
1
=
⇢0
M
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Z
Körper
~x dV
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24. November 2016
Schwerpunkt
•
Ein Objekt setzt sich aus vielen (Größenordnung 1023) Atomen
zusammen, die alle aneinander ziehen, drücken, schieben...
•
Innere Kräfte gleichen sich paarweise wegen actio = reactio aus.
•
Nur äußere Kräfte verändern den Bewegungszustand des
gesamten Objekts.
•
Die Kraft greift am Schwerpunkt an (s. Vorlesung 08 - Gravitation).
•
Die Flugbahn wird durch die Flugbahn des Schwerpunkts
beschrieben:
2
d
~
~
F = M 2S
dt
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Rotation
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24. November 2016
Starrer Körper
•
Ein starrer Körper verformt
sich nicht auch wenn eine
äußere Kraft an ihm angreift.
•
Alle Masseteile mi behalten
ihre relative Position ~xi
zueinander.
~xi
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mi
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Rotation
• Zusätzlich
zur Bahnbewegung kann
sich ein ausgedehnter Körper
drehen: Rotation.
• Auch
dieser Fall wird komplett nur
mit dem 2. Newton‘schen Gesetz
behandelt.
• Es
ergibt sich ein neuer Satz von
physikalischen Größen und
Formeln zur Drehbewegung.
• Diese
Größen und Formeln sind
völlig analog zu der BahnBewegung im Raum.
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Bewegung und Drehbewegung
Bewegung
Drehbewegung
Name
Symbol
Symbol
Name
Ort
~x
⇥
Winkel
Geschwindigkeit
~v
!
Winkelgeschwindigkeit
Beschleunigung
~a
↵
Winkelbeschleunigung
Kraft
F~
~
M
Drehmoment
Masse
m
I
Trägheitsmoment
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Drehbewegung
Winkel
⇥
Drehachse
Winkelgeschwindigkeit
d⇥
!=
dt
~r(t2 )
~r(t1 )
Winkelbeschleunigung
2
d!
d ⇥
↵=
=
dt
dt2
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Drehmoment
skalar
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•
24. November 2016
Drehmoment
Das Drehmoment ist für die
Drehbewegung das, was die
Kraft für die Bewegung ist.
•
Ein Drehmoment ist also eine
Kraft, die die
Winkelgeschwindigkeit
beschleunigen oder bremsen
kann.
•
Von der angesetzten Kraft
wirkt nur der Teil tangential zur
Kreisbahn.
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F~radial
F~tangential
F~
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•
•
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Energieerhaltung
Die Energieerhaltung gilt
natürlich auch für
Drehbewegungen.
Auch für das Drehmoment
soll Kraft x Weg gelten, nur
eben als Drehmoment x
Winkel.
W =
Z
F · dx
=F x
! M ·
=
⇥
= ?? · ⇥
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Drehmoment (skalar)
1
r = 2⇡r ·
·
2⇡
=r ⇥
r
⇥
⇥
⇥
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r
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Drehmoment (skalar)
1
r = 2⇡r ·
·
2⇡
=r ⇥
W =
Z
⇥
r
⇥
r
F · dx
=F x
=F ·r ⇥
!
=M ⇥
Hebel mal Kraft
)M =r·F
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Drehmoment (skalar)
F
)M =r·F
Drehachse
r
⇥
Welche Richtung hat die Drehachse?
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Drehmoment
vektoriell
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Drehmoment (vektoriell)
y
~r =
F~ =
✓
✓
rx
ry
Fx
Fy
◆
F~
◆
~r
⇥
x
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~r =
F~ =
~r =
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Drehmoment (vektoriell)
✓
✓
✓
rx
ry
Fx
Fy
◆
F~
◆
rx
ry
◆
rx
~r ⇥
⇥
~r
⇥
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ry
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Drehmoment (vektoriell)
rx =
=
=
ry =
| ~r| · sin ⇥
| ~r| ·
ry ⇥
F~
ry
⇥·
|~r|
rx
| ~r| · cos ⇥
~r ⇥
= rx ⇥
✓
ry ⇥
~r =
rx ⇥
✓
◆
ry
=
·
rx
◆
⇥
⇥
⇥
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~r
ry
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Drehmoment (vektoriell)
Arbeit bei Drehung um die z-Achse
Bahnbewegung
~
Wz = F · ~r
✓
◆ ✓
◆
Fx
ry
=
·
·
Fy
rx
= ( Fx r y + F y r x ) ·
= Mz ·
⇥
F~
rx
⇥
⇥
~r
Drehbewegung
Drehmoment bei Drehung um die z-Achse
Mz = (rx Fy
ry Fx )
⇥ ~r
⇥
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⇥
ry
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Drehmoment (vektoriell)
0
1
0
Mx
ry Fz
~ = @ M y A = @ r z Fx
M
Mz
r x Fy
1
r z Fy
rx Fz A = ~r ⇥ F~
ry Fx
Kreuzprodukt
~
~
M = ~r ⇥ F
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Kreuzprodukt
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Vektormultiplikation
Typ
Name
Skalar mal
Vektor
Produkt mit
einem Skalar
Vektor mal
Vektor
Skalarprodukt
Vektor mal
Vektor
Kreuzprodukt
(inneres Produkt)
(äußeres Produkt)
(Vektorprodukt)
Schreibweise
0
Resultat
~a = c · ~a
Vektor
s = ~a · ~b
Skalar
~c = ~a ⇥ ~b
Vektor
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HSD
Kreuzprodukt
Komponenten
http://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt
~
~c = ~a ⇥ b
0
1
0
1
0
1
0
a y bz
bx
cx
ax
@ c y A = @ a y A ⇥ @ by A = @ a z b x
a x by
bz
cz
az
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1
a z by
a x bz A
a y bx
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Kreuzprodukt
Geometrische Bedeutung
•
Der resultierende Vektor steht
senkrecht auf der Ebene, die von
den beiden Produktvektoren
aufgespannt wird.
•
Die drei Vektoren folgen der
Rechte-Hand-Regel.
•
Die Länge des resultierenden
Vektors ist:
~
|~c| = |~a| · |b| · sin ⇥
http://de.wikipedia.org/wiki/Kreuzprodukt
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Kreuzprodukt
Rechenregeln
(~a + ~b) ⇥ ~c = ~a ⇥ ~c + ~b ⇥ ~c
Linear
Nullvektor
~a ⇥ ~a = 0
Antikommutativ
~a ⇥ ~b = ~b ⇥ ~a
Merken: beim Kreuzprodukt ist alles etwas anders
=> lieber nachschlagen!
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HSD
Drehmoment
mit Kreuzprodukt
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Drehmoment
Richtig vektoriell
F~
|F~ | · sin ⇥
~
~
M = ~r ⇥ F
~ | = |~r| · |F~ | · sin ⇥
|M
⇥
~r
~
M
Die Projektion von F in die tangentiale Richtung
ist bereits im Vektorprodukt enthalten!
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Trägheitsmoment
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24. November 2016
Bewegung und Drehbewegung
Bewegung
Drehbewegung
Name
Symbol
Symbol
Name
Ort
~x
⇥
Winkel
Geschwindigkeit
~v
!
Winkelgeschwindigkeit
Beschleunigung
~a
↵
Winkelbeschleunigung
Kraft
F~
~
M
Drehmoment
Masse
m
I
Trägheitsmoment
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Trägheitsmoment
•
Gesucht: das 2.
Newton‘sche Gesetz für
Drehbewegungen.
•
Ansatz: stelle a durch ↵ dar.
F =m·a
M =I ·↵
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Tangentialgeschwindigkeit
r=r ⇥
dr
d⇥
)
=r·
dt
dt
v =r·!
r
⇥
⇥
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r
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Tangentialbeschleunigung
r=r ⇥
v =r·!
dv
d!
a=
=r·
dt
dt
a=r·↵
r
⇥
⇥
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r
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•
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Trägheitsmoment
Das Drehmoment für jedes
Masseteil ist Hebel mal Kraft
Mi = ri · Fi = ri · mi ai
•
Die Beschleunigung ist Radius
mal Winkelbeschleunigung
•
Das Gesamtdrehmoment ist die
Summe über alle einzelnen
X
X
2
M=
Mi =
mi ri ↵
Drehmomente.
•
Daraus ergibt sich das
Trägheitsmoment:
)I=
X
i
2
mi ri
= mi ri2 ↵i
i
i
M =I ·↵
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