Skript Physik
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Physik Zusammenfassung der Kursinhalte School 4 Games Berlin, Wintersemester 2012 Unbeschleunigte Bewegung Für unbeschleunigte Bewegungen (d.h. Bewegungen, bei denen die Geschwindigkeit konstant ist) gilt folgender Zusammenhang: Mit v wird die Geschwindigkeit bezeichnet, gemessen in Meter pro Sekunde (m/s). Die zurückgelegte Strecke wird mit s bezeichnet, gemessen in Metern (m). Die dafür benötigte Zeit wird mit t bezeichnet, gemessen in Sekunden (s). Beispielaufgaben Ein Wagen fährt mit einer bestimmten, konstanten Geschwindigkeit. Welche Strecke legt er in t Sekunden zurück? Ein Wagen benötigt für eine bestimmte Strecke eine bestimmte Zeit. Welche Geschwindigkeit hat er? Beschleunigte Bewegung Für gleichförmig beschleunigte Bewegungen (d.h. Bewegungen, bei denen die Geschwindigkeit gleichmäßig zu- oder abnimmt) gilt folgender Zusammenhang zwischen der Beschleunigung, der betrachteten Zeit und der in dieser Zeit hinzugekommenen Geschwindigkeit: Der Buchstabe a bezeichnet dabei die Beschleunigung, gemessen in Meter pro Sekunde zum Quadrat ( ) Der Buchstabe diedie Differenz zwischengemessen der Geschwindigkeit und nach Der Buchstabev abezeichnet bezeichnethier dabei Beschleunigung, in Meter pro vor Sekunde zum der Quadrat ( ) Beschleunigung. Der Buchstabe v bezeichnet hier die Differenz zwischen der Geschwindigkeit vor und nach der Beschleunigung. Beispielaufgaben Ein Wagen beschleunigt von 0 auf 20 Meter pro Sekunde in 3 Sekunden. Wie ist seine Beschleunigung? Ein Wagen beschleunigt mit 3 Meter pro Sekunde zum Quadrat. Nach welcher Zeit hat er aus dem Stillstand 9 Meter pro Sekunde erreicht? Zwischen der Beschleunigung, der beobachteten Zeit und der in dieser Zeit zurückgelegten Strecke gilt folgender Zusammenhang: Dabei istist zuzu beachten, dass diese Formeln nur gelten, wenn amam Anfang oder Ende des betrachteten Dabei beachten, dass diese Formeln nur gelten, wenn Anfang oder Ende des betrachteten Zeitraums die Geschwindigkeit 0 ist, wenn also aus dem Stillstand beschleunigt oder in den Stillstand Zeitraums die Geschwindigkeit 0 ist, wenn also aus dem Stillstand beschleunigt oder in den abgebremst wird. Stillstand abgebremst wird. Beispielaufgaben Ein Wagen beschleunigt aus dem Stillstand. Nach 10 Sekunden hat er 20 Meter zurückgelegt. Wie ist seine Beschleunigung? Ein Wagen bremst bis zum Stillstand. Dafür benötigt er 3 Sekunden und legt dabei 5 Meter zurück. Wie war seine Beschleunigung? Ein Gegenstand fällt aus 10 Metern Höhe. Nach welcher Zeit erreicht er den Boden? Merke: Merke: Bei fallenden Gegenständen gilt die Erdbeschleunigung von 9.81 Metern pro Sekunde zum BeiQuadrat. fallenden Gegenständen gilt die Erdbeschleunigung von 9.81 Metern pro Sekunde zum Quadrat. Vereinfachend kann man mitmit 1010 Metern propro Sekunde zum Quadrat rechnen. Vereinfachend kann man Metern Sekunde zum Quadrat rechnen. DasDas Formelsymbol der Erdbeschleunigung ist g Formelsymbol der Erdbeschleunigung ist g Graphen zur beschleunigten Bewegung Wenn die Beschleunigung eines Körpers konstant ist, dann bedeutet das, dass er in einer bestimmten Zeit eine konstante Menge an Geschwindigkeit dazugewinnt. Das führt dazu, dass der Graph der Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit eine Gerade ist. Da die Geschwindigkeit angibt, wie viel Strecke in einer bestimmten Zeit zurückgelegt wird, führt die konstant zunehmende Geschwindigkeit dazu, dass der Graph der Strecke in Abhängigkeit von der Zeit immer steiler wird, denn mit zunehmender Geschwindigkeit wird immer mehr schneller weiterer Weg zurückgelegt. In einem Computerspiel würden die Graphen etwas anders aussehen, denn dort wird die Geschwindigkeit eines Körpers in der Regel nur zu bestimmten Zeitpunkten neu berechnet. Die Beschleunigung ist hier immer noch konstant, aber die Geschwindigkeit nimmt nicht mehr stetig zu sondern nur zu bestimmten Zeitpunkten (in jedem berechneten Frame). Dadurch, dass die Geschwindigkeit nicht mehr stetig zunimmt, ändert sich auch die Steigung der zurückgelegten Strecke nur zum Beginn eines Frames. Daher ist hier die Kurve der zurückgelegten Strecke in Abhängigkeit von der Zeit nicht mehr rund sondern aus kurzen geraden Stücken zusammengesetzt. Das führt dazu, dass der Graph anders aussieht, je nachdem wie viele Berechnungen pro Sekunde durchgeführt werden. Je kürzer der Abstand zwischen den Frames, desto geringer ist die Abweichung zum kurvenförmigen Verlauf, aber desto mehr Performance wird für die Berechnungen verbraucht. Masse und Kraft Die Masse ist eine physikalische Größe, die angibt, welche Kraft nötig ist, um einen Körper zu beschleunigen. Wenn ein Körper, der die Masse 1 Kilogramm hat, mit der Kraft 1 Newton angeschoben wird, wird er die Beschleunigung 1 Meter pro Sekunde zum Quadrat erhalten, d.h. er wird in jeder Sekunde um 1 Meter pro Sekunde schneller werden. Der DerBuchstabe BuchstabeF Fbezeichnet bezeichnetdie dieKraft, Kraft,gemessen gemessenininNewton Newton(N). (N). Der DerBuchstabe Buchstabemmbezeichnet bezeichnetdie dieMasse, Masse,gemessen gemessenininKilogramm Kilogramm(kg). (kg). Beispielaufgaben: Ein Körper (5kg) wird mit 10 Newton aus dem Stillstand beschleunigt. Welche Geschwindigkeit hat er nach 10 Sekunden? Energie Die Energie ist eine der zentralen physikalischen Größen. Sie beschreibt, ob ein Körper die Fähigkeit hat, Arbeit zu verrichten bzw. wie viel Arbeit an einem Körper verrichtet worden ist. Hebt man beispielsweise einen Körper hoch, so muss man dafür Arbeit verrichten. Das heißt, über eine bestimmte Strecke muss eine Kraft aufgewendet werden. Jetzt kann man beobachten, dass diese Arbeit nicht einfach verloren geht – wenn man den Körper loslässt, wird er wieder nach unten fallen, d.h. er wird sich immer schneller bewegen. Man hat also festgestellt, dass Energie weder verloren gehen noch erschaffen werden kann, sie kann nur von einer Form in eine andere verwandelt werden. Der fallende Körper wird deswegen immer schneller, weil er sich ja auch immer tiefer befindet. Je mehr „Hochhebeenergie“ (Lageenergie oder potentielle Energie genannt) verloren geht, desto mehr Bewegungsenergie (auch kinetische Energie genannt) erhält der Körper. Das umgekehrte passiert bei einem Körper, der hochgeworfen wird. Je höher seine Position ist, desto langsamer wird er. Dieerste ersteFormel Formel beschreibt oder kinetische Energie, die zweite und dritte Die beschreibtdie dieBewegungsBewegungsoder kinetische Energie, die zweite und die dritte Lageoder potentielle Energie. die Lage- oder potentielle Energie. Dieletzten letzten beiden beiden Formeln identisch, die die Formel mit Fmit undF sund ist nur Die Formelnsind sindimimGrunde Grunde identisch, Formel s istallgemeiner nur formuliert und kann auf jede Situation angewendet werden, in der ein Körper unter allgemeiner formuliert und kann auf jede Situation angewendet werden, in der ein Körper Kraftaufwendung bewegtbewegt wird (zum Beispiel einen rauen Untergrund gezogen). gezogen). unter Kraftaufwendung wird (zum über Beispiel über einen rauen Untergrund Der Buchstabe g steht für die Erdbeschleunigung von 9.81 Meter pro Sekunde zum Quadrat. In Rechenaufgaben kann vereinfachend mit 10 Metern pro Sekunde zum Quadrat gerechnet werden. Diese Werte gelten nur in Erdnähe, was wir aber für alle unsere Aufgaben annehmen. Merke: Merke: Es gilt der Energieerhaltungssatz: Es gilt der Energieerhaltungssatz: Die Summe der Energien in einem geschlossenen System ist konstant. Die Summe der Energien in einem geschlossenen System ist konstant. Beispielaufgaben Ein Gegenstand wird mit einer bestimmten Geschwindigkeit nach oben geschossen. Welche Höhe wird er erreichen? Wirksamer Anteil bei Vektoren Nicht immer kann eine Kraft einen Körper auch frei bewegen. Würde man beispielsweise einen Waggon auf Schienen anschieben, dann wäre das umso ineffektiver, je größer der Winkel zwischen den Schienen und der Schubrichtung wird. Würde man gegen die Seite des Waggons drücken, könnte man ihn höchstens umkippen, aber vorwärts bewegen würde er sich nicht. Am leichtesten lässt er sich anschieben, wenn man direkt von hinten in Richtung der Schienen schiebt. Wenn man aus einer dazwischenliegenden Richtung kommt, teilt sich die Kraft in einen Anteil, der den Wagen beschleunigt, und einen, mit dem man den Waggon umkippen könnte. Um zu ermitteln, welcher Anteil zur Beschleunigung wirksam werden kann, muss man eine Hilfslinie in der Richtung ziehen, in der die Bewegung stattfinden wird. Wenn man jetzt das Lot vom Kraftvektor auf die Hilfslinie fällt, dann erhält man zwischen dem Ausgangspunkt des Kraftvektors und dem Schnittpunkt des Lots den wirksamen Kraftanteil. Impuls Wenn zwei Körper gegeneinander stoßen, dann verändern sie ihre Richtung und Geschwindigkeit. Das passiert aber nicht zufällig sondern nach klaren Gesetzmäßigkeiten. Zum einen hat man festgestellt, dass auch hier der Energieerhaltungssatz gilt, die beiden Körper zusammen werden also nach dem Stoß nicht mehr Bewegungsenergie haben als vorher. Das alleine würde aber nicht reichen, um immer auf dieselbe Geschwindigkeit zu kommen. Man hat also beobachten können, dass es noch eine weitere Gesetzmäßigkeit gibt: Auch die Summe der Impulse der beiden Körper bleibt gleich. Der Impuls lässt sich mit dieser Formel berechnen: Dabei steht p für den Impuls, gemessen in Newtonsekunden (Ns). Dabei steht p für den Impuls, gemessen in Newtonsekunden (Ns). Ein leichter Körper mit hoher Geschwindigkeit hat also den gleichen Impuls wie ein schwerer Körper mit geringer Geschwindigkeit. Merke: Merke: Wenn zwei Körper aufeinandertreffen ändert sich ihre Richtung und Geschwindigkeit, die Summe der Wenn und zweider Körper aufeinandertreffen ändert ihreder Richtung und Geschwindigkeit, die Summe Impulse Energie bleibt aber konstant (Essich gelten Impulseerhaltungssatz und der der Impulse und der Energie bleibt aber konstant (Es gelten der Impulseerhaltungssatz und der Energieerhaltungssatz). Energieerhaltungssatz). Elastischer und unelastischer Stoß Wenn zwei Körper aufeinander treffen tauschen sie also Energie und Impuls aus. Im Moment des Kontakts werden sie wie eine Feder zusammengedrückt und stoßen sich dann wieder von einander ab. Mit welchen Geschwindigkeiten sie sich nach dem Stoß bewegen hängt also auch davon ab, wie die Materialen auf Verformung reagieren. Eine massive Stahlkugel wird sich beispielsweise fast komplett wieder in die Ursprungsform begeben, während ein Auto, was gegen eine Betonwand fährt, verformt bleiben wird und sich dann nach dem Unfall nicht mehr bewegt. Wenn die beteiligten Körper starr genug sind um sich wieder zurückzubiegen spricht man von einem elastischen Stoß. Wenn sie weich genug sind um die Verformungsenergie aufzunehmen und verformt zu bleiben, dann spricht man von einem unelastischen Stoß. Reale Stöße werden immer eine Mischung aus beiden Extremfällen sein. Beim komplett unelastischen Stoß werden die Körper nach dem Stoß aneinander hängen. Die Geschwindigkeit lässt sich also ausrechnen, indem man erst den Impuls bestimmt, also die Masse des anstoßenden Körpers mit seiner Geschwindigkeit multipliziert. Anschließend teilt man diesen Impuls durch die Gesamtmasse der beiden Körper, denn nach dem Stoß werden sie sich ja wie ein gemeinsamer Körper bewegen. Beim komplett elastischen Stoß zwischen zwei Kugeln gleicher Masse muss wieder zwischen zwei Fällen unterschieden werden. Der eine Fall tritt ein, wenn die Körper zentral mit ihren Masseschwerpunkten auf einander treffen (bei massiven Kugeln hieße das, sie treffen sich mittig). In diesem Fall wird der Impuls komplett von einem Körper auf den anderen übergeben. Die Geschwindigkeiten lassen sich also ähnlich berechnen wie beim unelastischen Stoß, nur dass hier der Impuls des anstoßenden Körpers mit dem Impuls des angestoßenen Körpers gleichgesetzt werden muss. Treffen zwei Kugeln dezentral auf einander, so werden sich nach dem Stoß beide Kugeln bewegen. Auch hier gelten aber der Energie- und der Impulserhaltungssatz, allerdings muss bei der Berechnung der Impulse ihre Richtung mit einbezogen werden, man muss also mit Vektoren rechnen. Im Moment der Kollision lässt sich leicht bestimmen, in welche Richtungen die Kugeln nachher rollen werden. Die angestoßene Kugel wird sich von der anstoßenden wegbewegen, also in der Richtung, die vom Mittelpunkt der stoßenden Kugel durch den Mittelpunkt der angestoßenen Kugel verläuft. Dabei wird der gesamte in dieser Richtung wirksame Anteil des Impulses abgegeben, so dass für die stoßende Kugel nur der senkrecht dazu stehende Anteil erhalten bleibt. Das bewirkt, dass die stoßende Kugel in einer Richtung rollen wird, die auf der Richtung der angestoßenen Kugel senkrecht steht. Die Längen der Vektoren sind in dieser Skizze nicht korrekt, hier werden nur die Richtungen verdeutlicht.
