8 Wahrscheinlichkeits-Entropie, adiabatische Invariante

Universität Potsdam
WS 2006/2007
8
Institut für Physik
Thermodynamik / Statistische Physik
VL A. Pikovski, Ü F. Albrecht, K. Ahnert
Wahrscheinlichkeits-Entropie, adiabatische Invariante,
mikrokanonisches Ensemble
Aufgabe 8.1 (2 Punkte)
P
Man zeige, daß von allen Wahrscheinlichkeitsverteilungen
p
,
i
=
1,
...,
N
und
i
i pi = 1 mit
P
gegebenem Mittelwert der Variablen xi hxi = i xi pi = X, die Verteilung
pi =
1 −βxi
e
Z
Z(β)
die größte Entropie besitzt. Zeigen Sie, dass X = − d lndβ
gilt.
Hinweis: Benutzen Sie die Lagrangesche Multiplikatormethode.
Aufgabe 8.2 (3 Punkte)
Man betrachte das hamiltonsche System
p2
+ V (q), V (q) =
H(p, q) =
2m
∞ q<0
mgq q > 0
Finden Sie die Periode T und das Phasenraumvolumen Φ einer Trajektorie in Abhängigkeit
von der Energie. Prüfen Sie, daß ∂E
= T1 .
∂Φ
Der Parameter g wird langsam geändert. Finden Sie die adiabatische Invariante und die Abhängigkeit E(g).
Aufgabe 8.3 (8 Punkte)
Man betrachte folgendes Modell eines elastischen Stabs: Eine eindimensionale Kette aus N >>
1 identischen Molekülen, die sich in zwei Zuständen (α und β) befinden.
α
α
β
α
β β
α
f
a
l
Ein Molekül in dem Zustand α trägt einen Anteil a zur Kettenlänge bei; befindet es sich in
dem Zustand β, dann ist der Anteil 0. Die makroskopischen Parameter sind die Kettenlänge
l und die Kraft f . Berechnen Sie die Entropie im mikrokanonischen Ensemble. Finden Sie die
Temperatur und das chemische Potential. Bestimmen Sie die thermische Zustandsgleichung
l = l(f, T ) und zeigen Sie, daß für große Temperaturen das Hookesche Gesetz gilt.
Hinweis: Das Problem ist vollständig zum paramagnetischen Spin-Modell, das in Vorlesung
gelöst war, analog.
Aufgabe 8.4 (6 Punkte)
Betrachten Sie ein System von N klassischen unterscheidbaren harmonischen Oszillatoren
mit der Frequenz ω im mikrokanonischen Ensemble. Zeigen Sie, dass für die Entropie gilt
S = N k[1+ln(E/(N h̄ω))]. Berechnen Sie die thermodynamischen Eigenschaften (die kalorische
Zustandsgleichung, das chemische Potential, die Wärmekapazität).
Aufgabe 8.5 (* Punkte)
Die Verteilungsfunktion für ein mikrokanonisches Ensemble eines idealen Gases lautet
3N
X p2
1
i
W (qi , pi ) =
δ(E −
)
Ck
2m
1
Man berechne die Impulsverteilung W (p1 ) des Teilchens 1 (p1 ist eine Komponente des Imulses)
und zeige, daß sich für N >> 1 die Maxwell-Boltzmann-Verteilung ergibt.
Hinweis: Zur Integration im N - bzw N − 1-dimensionalen Raum benutzen Sie die Formel für
das Volumen der N -dimensionalen Kugel