Blatt 10

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TECHNISCHE UNIVERSITÄT CAROLO-WILHELMINA ZU BRAUNSCHWEIG
Institut für Theoretische Informatik
Prof. Dr. J. Adámek
Braunschweig, 01. Juni 2011
Einführung in die Logik
Aufgabenblatt Nr. 10
Website: www.tu-braunschweig.de/iti/teaching/ss2011/logik
Aufgabe 1 [14 Punkte]
Betrachten Sie die folgende Signatur für die Prädikatenlogik: g, f, c mit den Stelligkeiten 3, 1, 0 seien die
Funktionssymbole und R, S mit den Stelligkeiten 2, 2 die Relationssymbole.
Entscheiden Sie, welche der folgenden Ausdrücke korrekt gebildete prädikatenlogische Terme oder prädikatenlogische Formeln dieser Signatur sind (x, y, z seien Variablen). Falls ein Term vorliegt, zeichnen Sie
den Syntaxbaum; falls weder ein Term noch eine Formel vorliegt, begründen Sie dies.
(a) f (f (c))
(b) R(R(c, x), y)
(c) g(f (g(x, f (y), z)), z, f (c))
(d) R(x, y) ⇒ (∃z : S(z, y))
(e) ∀x : ∃y : (R(c, f (x)) ∧ ((∀z : S(c, c)) ∨ R(g(h(x), c), z)))
(f) c = S(c, x) ∨ ∃c : f (x) = c
(g) ∃x : ∀y : R(x, y) ⇒ S(y, g(c, c, x)) ∧ f (x) = g(x, z, f (y))
Aufgabe 2 [28 Punkte]
Schreiben Sie eine Formel in der Theorie der Graphen, die besagt, dass der gegebene Graph
(a) [5 Punkte] wenigstens 3 Knoten hat
(b) [5 Punkte] höchstens 3 Knoten hat
(c) [5 Punkte] wenigstens 2 Loops hat
(d) [5 Punkte] eine Clique ist, d.h. alle Paare von verschiedenen Knoten formen eine Kante und es
gibt keine Loops
(e) [8 Punkte] in jedem Knoten startet ein gerichteter Pfad der Länge 3
Aufgabe 3 [8 Punkte]
In der Sprache der Arithmetik schreiben Sie die Formel, die sagt, dass alle Zahlen mit geradem Quadrat
gerade sind.
Aufgabe 4 [10 Punkte]
Definieren Sie eine geeignete Signatur und schreiben Sie eine Formel, die das folgende besagt:
alle Männer, die hoch sind oder hohe Geschwister haben, haben entweder hohe Mutter oder Großmutter.