Beschränkte, selbstadjungierte Operatoren

Beschränkte, selbstadjungierte Operatoren
SÄTZE VON WEYL UND VON NEUMANN
Gudmund Pammer
15. April 2015
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2 Das wesentliche Spektrum
2.1 Definition (Wesentliches Spektrum) . . . . . . . . . . . .
2.2 Definition (Fredholm-Operator) . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Satz (Wesentliches Spektrum und Fredholm-Operatoren)
2.5 Definition (Singuläre Folge) . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Satz (Weyl Kriterium) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
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1
1
2
2
3
3
3 Störungssätze
3.1 Satz (Kompakte Resolvente) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Satz (Satz von Weyl) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Satz (Satz von von Neumann) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5
5
6
4 Literaturverzeichnis
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11
1 Einleitung
In dieser Seminararbeit befasse ich mich mit dem Spektrum und Störungen selbstadjungierter
Operatoren, insbesondere mit dem Weyl-Kriterium, dem Satz von Weyl und einer Umkehrung dieser Aussage, dem Satz von von Neumann. Die Notationsweise ist angelehnt an das
Funktionalanalysis 1-Skript von Woracek, Kaltenbäck und Blümlinger [2]. Als Motivation zur
Störungstheorie selbstadjungierter Operatoren dient der Schrödinger Operator:
A : L2 (R3 ) → L2 (R3 ) : Af = −∆f + q · f,
wobei q := q1 + q2 mit q1 ∈ L2 (R3 ) und q2 ∈ L∞ (R3 ).
Durch Fouriertransformation F erhält man:
F (−∆)(f ) = |k|2 fˆ =: M ◦ F .
Man kann zeigen, dass der Operator M auf entsprechendem Definitionsbereich selbstadjungiert
ist und gilt:
σ(M ) = σess (M ) = [0, ∞).
Weiters ist die Fouriertransformation ein unitärer Operator, also folgt:
[0, ∞) = σess (M ) = σess (F −1 ◦ M ◦ F ).
Ausgehend von diesen Ergebnissen kann man Rückschlüsse auf das Spektrum des Schrödinger
Operators ziehen, welcher auch ein selbstadjungierter Operator ist.
2 Das wesentliche Spektrum
Sei im folgenden H ein Hilbertraum und A ein selbstadjungierter Operator in B(H).
Definition 2.1 (Wesentliches Spektrum). Wir bezeichnen mit σd (A) das Punktspektrum und
mit σess (A) das wesentliche Spektrum von A.
σd (A) := {λ ∈ σ(A) : dim ker(A) < ∞ und λ isoliert in σ(A)}
(1)
σess (A) := σ(A)\σd (A)
(2)
1
Bemerkung. Diese Definitionen können analog auch für unbeschränkte, selbstadjungierte Operatoren übernommen werden. In der Vorlesung von M. Langer: Spektraltheorie für Differentialoperatoren [1] wurde der Begriff des wesentlichen Spektrums über Fredholm-Operatoren eingeführt. Natürlich ist es eine interessante Tatsache, dass diese Definitionen für selbstadjungierte
Operatoren übereinstimmen.
Definition 2.2 (Fredholm-Operator). Ein oBdA. unbeschränkter Operator wird als abgeschlosn→∞
n→∞
sen bezeichnet, wenn für jede Folge (xn )n∈N , xn ∈ dom(A) mit xn −→ x und (Axn ) −→ y ∈
ran (A) folgt, dass y = Ax, welches in natürlicherweise für beschränkte Operatoren immer gilt.
Wir nennen einen abgeschlossenen Operator Fredholm-Operator, wenn dim ker(A) < ∞,
dim H/ran (A) < ∞ und ran (A) abgeschlossen in H ist.
Um eine andere Charakterisierung des wesentlichen Spektrums zu beweisen, führe ich die Menge
M bezüglich eines abgeschlossenen Operators A ein:
M := {λ ∈ C : (A − λ) ist kein Fredholm-Operator}
und greife auf Satz 2.28 aus [1] zurück, der folgend lautet:
Satz 2.3. Sei A ein abgeschlossener Operator auf einem Hilbertraum H und Ω eine offene,
zusammenhängende Teilmenge von C, sodass Ω ∩ M = ∅ und Ω ∩ ρ(A) 6= ∅. So beinhaltet
Ω ∩ σ(A) höchstens abzählbar-viele Eigenwerte endlicher Vielfachheit ohne Häufungspunkt in
Ω. Weiters ist M eine abgeschlossene Teilmenge des Spektrums.
Satz 2.4 (Wesentliches Spektrum und Fredholm-Operatoren). Sie A ein abgeschlossener Operator, so gilt σess (A) = M .
Beweis. Aus Satz 2.3 folgt, dass entweder M = R ist oder Ω := C\M eine offene, zusammenhängende Teilmenge von C, welche die Voraussetzungen aus Satz 2.3 erfüllt, ist. So existieren in Ω höchstens abzählbar-viele Eigenwerte endlicher Vielfachheit ohne Häufungspunkt in
Ω. Wir erhalten daher:
M ⊇ σess (A).
Sei λ ∈ M und λ ∈ σd (A), so folgt durch Proposition 6.5.2 aus [2], dass
ker(A − λ) = ran (A − λ)⊥ .
Daher folgt, dass dim ker(A − λ) und dim H/ran (A−λ) kleiner als unendlich sind und das Bild
von (A − λ) abgeschlossen ist. Weiters ist A − λ als Summe eines abgeschlossenen Operators und
eines beschränkten Operators wiederum abgeschlossen. Also ist (A − λ) ein Fredholm Operator,
dh. λ ∈
/ M . Dadurch erhalten wir die zweite Inklusion. Es folgt:
σess (A) = M.
2
Definition 2.5 (Singuläre Folge). Sei λ ∈ R. Wir nennen eine Folge (xn )n∈N , xn ∈ D(A)
singuläre Folge, wenn:
lim inf kxn k> 0;
n→∞
lim hxn , yi = 0, y ∈ H;
n→∞
lim k(A − λI)xn k = 0.
n→∞
(3)
Wenn zusätzlich gilt, dass die Folgenglieder paarweise orthonormal aufeinanderstehen, nennt
man die Folge orthonormale, singuläre Folge.
Um das wesentliche Spektrum näher zu verstehen, wollen wir ein einfaches Beispiel betrachten:
Beispiel 2.6. Wir betrachten den Multiplikationsoperator A mit einer beliebigen Nullfolge
2
(xn )∞
n=1 , xn ∈ R auf l (N). A ist offensichtlich beschränkt und selbstadjungiert, weiters ist
σ(A) = {xn : n ∈ N} ∪ {0}. Die erstere Menge ist das Punktspektrum, dh. isolierte Eigenwerte
mit endlicher Vielfachheit. Das wesentliche Spektrum des Operators ist {0}, weil der Punkt 0
kein isolierter Punkt ist und auch nicht in der Resolventenmenge liegt. Weiters sieht man ein,
dass die Folge (en )n∈N eine singuläre Folge bezüglich 0 bildet. Dies dient als Motivation für das
Weyl Kriterium.
Lemma 2.7. Sei A ein selbstadjungierter, beschränkter Operator und λ ∈ σ(A). Wir bezeichnen
mit EA das Spektralmaß von A, so gilt ∀ > 0:
EA ({t ∈ C : |λ − t| ≤ }) 6= 0
(4)
Beweis. Wir definieren αc := ({t ∈ C : |λ − t| ≤ c}). Angenommen (4) wäre falsch, dh. es
existiert ein c > 0, sodass EA (αc ) = 0 für λ aus dem Spektrum. Auf σ(A)\αc ist |t − λ| ≥ c und
daher invertierbar mit:
Z
Z
1
1
dEA (t) =
dEA (t) = (A − λ)−1
t−λ
t−λ
σ(A)\αc
Daraus folgt jedoch, dass (A − λ)−1 ∈ B(H) und damit, dass auch λ in der Resolventemenge,
was ein Widerspruch zur Annahme ist.
Satz 2.8 (Weyl Kriterium). Sei λ ∈ R, so sind folgende Aussagen äquivalent:
(i) λ ∈ σess (A);
(ii) Es existiert eine orthonormale, singuläre Folge von A bei λ;
(iii) Es existiert eine singuläre Folge von A bei λ;
(iv) dim textrmran(EA ((λ − , λ + ))) = ∞ für alle > 0.
Beweis. (i) ⇒ (ii): Sei λ ∈ σess (A). Wenn λ ein Eigenwert unendlicher Vielfachheit ist, so
wähle (xn )n∈N als beliebige orthonormale Folge im Kern von (A − λ). Es gilt kxn k = 1 und
(A − λ)xn = 0. Wegen der Bessel’schen Ungleichung folgt, dass lim hxn , yi = 0, y ∈ H, und
n→∞
es sich daher um eine orthonormale, singuläre Folge handelt.
3
Sei nun λ ein Häufungspunkt von σ(A), so existiert eine monotone, paarweise-verschiedene
Folge (λn )n∈N mit λn ∈ σ(A), sodass lim λn = λ. Wähle eine positive Nullfolge (n )n∈N und
n→∞
Fn := (λn − n , λn + n ), sodass Fn ∩ Fm = ∅ für m 6= n. Wegen Lemma 8 existieren normierte
xn ∈ ran (EA (Fn )) und auf Grund der paarweisen Disjunktheit der Fn folgt, dass hxn , xm i = 0.
Durch die Bessel’schen Ungleichung folgt wiederum, dass lim hxn , yi, y ∈ H.
n→∞
k(A − λ)xn k2 =
Z
Fn
(t − λ)2 dExn ,xn ≤
Z
Fn
(|λn − λ| + n )2 dExn ,xn
n→∞
≤ (|λn − λ| + n )2 · hEA (Fn )xn , xn i = (|λn − λ| + n )2 −→ 0
Also handelt es sich um eine singuläre Folge für A bei λ.
(ii) ⇒ (iii): Jede orthonormale, singuläre Folge ist natürlich eine singuläre Folge.
(iii) ⇒ (iv): Sei (xn )n∈N eine singuläre Folge für A bei λ.
Angenommen es existiert ein > 0, sodass die Dimension des Bildes von EA ((λ − , λ + ))
endlich ist, folgt, dass EA ((λ − , λ + )) kompakt ist. Weiters gilt:
Z
Z
2
2
2
kxn k =
dExn ,xn +
2 dExn ,xn
(λ−,λ+)
R\(λ−,λ+)
Z
Z
2
≤
dExn ,xn + (t − λ)2 dExn ,xn
(λ−,λ+)
2
≤ · kEA ((λ
R
+ , λ − ))xn k2 + k(A − λ)xn k2
Da der Operator EA ((λ − , λ + )) kompakt und (xn )n∈N eine singuläre Folge ist, und damit
schwach gegen 0 konvergiert, folgt, dass die Norm von x beliebig klein wird und damit der
Widerspruch zu lim inf kxn k > 0 .
n→∞
(iv) ⇒ (i): Angenommen λ ∈
/ σess (A).
Sei λ ∈ σd (A), so ist λ ein isolierter Eigenwert endlicher Vielfachheit. So folgt, dass ein > 0
existiert, sodass die Dimension des Bildes von EA ((λ − , λ + )) gleich der Dimension von
ker(A − λ) welche endlich ist, ist. Das steht jedoch im Widerspruch zu (iv).
Sei λ ∈ ρ(A). Da die Resolventenmenge eine offene Teilmenge der komplexen Zahlen ist, existiert
eine offene -Kugel um λ, welche ganz in der Resolventenmenge liegt. Daraus folgt jedoch, dass
das Spektralmaß von dieser -Kugel geschnitten mit dem Spektrum der Nulloperator ist, was
den Beweis vervollständigt.
3 Störungssätze
Unter Verwendung des Weyl Kriteriums können wir folgendes interessantes Resultat zeigen, mit
welchem wir den Satz von Weyl beweisen werden:
4
Satz 3.1 (Kompakte Resolvente). Seien A und B zwei beschränkte, selbstadjungierte Operatoren auf H. Weiters sei µ ∈ ρ(A) ∩ ρ(B) gegeben, sodass K := (B − µ)−1 − (A − µ)−1 ein
kompakter Operator auf H ist, dann gilt:
σess (A) = σess (B)
(5)
Beweis. Auf Grund der Symmetrie des Problems müssen wir nur eine Inklusion beweisen. Die
zweite folgt analog durch vertauschen der Rollen von A und B.
Sei λ ∈ σess (A), so folgt durch Weyl’s Kriterium, dass eine singuläre Folge (xn )n∈N für A bei λ
existiert. Wenn wir nun eine weitere Folge (yn )n∈N definieren, sodass diese eine singuläre Folge
für B bei λ ist, wäre λ ∈ σess (B) und wir hätten die Behauptung bewiesen. Wir definieren:
yn : = (B − µ)−1 (A − µ)xn , n ∈ N
yn − xn = (B − µ)−1 (A − µ)xn − xn
= ((B − µ)−1 − (A − µ)−1 )(A − µ)xn
= K(A − λ + λ − µ)xn
= K(A − λ)xn + (λ − µ)Kxn
Weil xn schwach gegen 0 konvergiert und K kompakt ist, folgt, dass Kxn gegen 0 konvergiert.
Weiters konvergiert auch (A−λ)xn gegen 0. Daraus können wir schließen, dass lim inf kyn k > 0
n→∞
und lim hyn , yi = 0, y ∈ H.
n→∞
(B − λ)yn =(B − µ)yn + (µ − λ)yn
=(A − µ)xn + (µ − λ)yn
=(A − λ)xn + (µ − λ)(yn − xn )
Da (yn − xn ) und (A − λ)xn gegen 0 konvergieren, folgt dass (yn )n∈N eine singuläre Folge von
B bei λ ist und damit die Behauptung.
Satz 3.2 (Satz von Weyl). Sei A ein beschränkter, selbstadjungierter Operator und K ein
kompakter, selbstadjungierter Operator auf H, so gilt
σess (A + K) = σess (A)
(6)
Beweis. Für beschränkte Operatoren wissen wir, dass das Spektrum beschränkt ist, daraus
folgt, dass ein µ ∈ ρ(A) ∩ ρ(A + K) existiert.
(A + K − µ)−1 − (A − µ)−1 =(A + K − µ)−1 − (A − µ)−1 (A + K − µ)(A + K − µ)−1
=(I − I − (A − µ)−1 )K(A + K − µ)−1
= − (A + K − µ)−1 K(A − µ)−1
Das Produkt von einem beschränkten und einem kompakten Operator ist wiederum kompakt,
daher kann Satz 3.1 angewandt werden und es folgt die Behauptung.
5
Bemerkung. Diesen Satz kann man mit Hilfe des Satzes von Kato-Rellich in jene Richtung
für unbeschränkte Operatoren ”verallgemeinern”, wenn man anstatt der Kompaktheit von K,
A-Kompaktheit und Symmetrie von K fordert.
Weiters kann man sich durch diese Resultate folgend weiter motivieren:
Sei A selbstadjungiert, K kompakt und selbstadjungiert, U ein beliebiger unitärer Operator
und B folgend definiert
B := U (A + K)U −1
Wegen unserer Charakterisierung des wesentlichen Spektrums, kann man sich leicht davon
überzeugen, dass dieses unter Anwendung unitärer Operatoren unverändert bleibt. Daher folgt
unter Verwendung von (6):
σess (A) = σess (A + K) = σess (U (A + K)U −1 ) = σess (B)
Das führt uns zu einem interessanten Resultat von von Neumann.
Satz 3.3 (Satz von von Neumann). Seien A und B beschränkte, selbstadjungierte Operatoren auf einem separablen Hilbertraum H mit gleichem wesentlichen Spektrum, so existiert ein
unitärer Operator U , sodass:
A = U (B + K)U −1 .
(7)
Bevor wir diesen Satz beweisen, benötigen wir noch folgende Hilfsresultate:
Lemma 3.4. Sei A ein beschränkter, selbstadjungierter Operator auf einem separablen Hilbertraum H und 0 6= g ∈ H beliebig. So existiert für beliebiges δ > 0 ein endlich-dimensionaler
Teilraum G von H und ein selbstadjungierter Operator endlichen Ranges K, sodass:
(i) g ∈ G, (ii) G reduziert A + K, (iii) kKk ≤ δ.
Beweis. Ich definiere γ0 :=
inf λ und γn := sup λ. Diese Zahlen existieren, da σ(A) ⊆ R
λ∈σ(A)
λ∈σ(A)
und σ(A) beschränkt ist. Weiters unterteile ich das Intervall [γ0 , γn ] in n-Teile mit n, einer
beliebigen natürlichen Zahl. Die so definierten Intervalle bezeichne ich mit ∆k := [γk−1 , γk ], 1 ≤
k ≤ n. Wir betrachten nun die Projektion von g durch E(∆k ) und definieren hk := E(∆k )g.
Im Falle, dass hk 6= 0, erhalten wird durch normieren dieser eine Orthonormalbasis gk des von
ihnen aufgespannten endlich-dimensionalen Unterraumes G 3 g mit Dimension kleiner bzw.
gleich n. Für k > n definieren wir gk als die Elemente einer Orthonormalbasis von G⊥ und
erhalten damit durch (gk )k∈N eine Orthonormalbasis vom gesamten Raum. Weiters sei P die
Orthogonalprojektion auf G.
R := −(I − P )AP
K := R + R∗ = −(I − P )AP − P A(I − P )
A + K = (I − P )A(I − P ) + P AP
6
Daher reduziert der Unterraum G den Operator A+K, wobei K ein Operator endlichen Ranges
ist.
Z
Z
2
2
k(A − γj )gj k = (t − γj ) dEgj ,gj ≤ (γj−1 − γj )2 dEgj ,gj
∆j
∆j
≤kgj k2 · (γj−1 − γj )2 =
(γn − γ0 )2
n2
Daraus folgt:
Agj =γj gj + fj mit kfj k ≤
γn − γ0
n
kRgj k =k(I − P )AP gj k = k(I − P )Agj k
=k(I − P )(γj gj + fj )k ≤ kI − P k · kfj k
γn − γ0
≤
n
Sei x beliebig und normiert in H, so gilt, weil das arithmetische Mittel kleiner als das quadratische Mittel ist:
* n
+2
∞ ∞ X
n
n
X
X
X
X
(γn − γ0 )2
kRxk2 =
ci gi , gj ≤
|ci | · | hRgi , gj i |2 =
kRgi k2 ≤
R
n
j=1
i=1
j=1 i=1
i=1
Da n beliebig war, kann ein K mit beliebig kleiner Norm gewählt werden:
kKk ≤
γn − γ0
√
.
n
Satz 3.5. Sei H ein separabler Hilbertraum und A ein beschränkter, selbstadjungierter Operator auf H, dann existiert ein kompakter, selbstadjungierter Operator K mit beliebig kleiner
Norm, sodass die Eigenwerte des Operators A + K ein vollständiges System in H bilden.
Beweis. Die Idee hinter diesem Beweis ist die Konstruktion eines Operators K in abzählbar
vielen Schritten. Da H separabel ist, können wir ein abzählbares, vollständiges Orthonormalsystem (en )n∈N voraussetzen. Beginnend mit f1 := e1 und δ := /2 erhalten wir durch Lemma
3.4, einen kompakten Operator K1 mit Norm kleiner als /2 und einem endlich-dimensionalen
Teilraum G1 , welcher
A + K1 reduziert.P
Wir setzen rekursiv fort:
Tn−1den⊥Operatorn−1
Sn−1
n−1
Wir setzen H̃ := i=1 Gi , δ := /2
und à := A + i=1
Ki . Sei en oBdA. nicht in i=1
Gi
enthalten, so definiere fn als die Projektion von en auf H̃. Lemma 3.4 liefert uns hierfür nun
einen endlich-dimensionalen Unterraum Gn von H̃, sodass fn ∈ Gn und dieser Ã+Kn reduziert.
Weiters können wir Kn auf ganz H mit null fortsetzen.
K :=
∞
X
i=1
Ki ,
kKk ≤
∞
X
i=1
kKi k ≤
∞
X
/2i
= , K ist daher beschränkt und linear.
i=1
K ist als Grenzwert von selbstadjungierten Operatoren endlichen Ranges selbstadjungiert und
kompakt. Jeder Teilraum Gi reduziert per Konstruktion A+K. Wegen der endlichen Dimension
7
von Gi existiert, daher für diese jeweils eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren (,wenn man
0 als Eigenwert zulässt).
L∞
Jetzt stellt sich noch die Frage, ob die so definierte Basis von G := T
i=1 Gi vollständig in H
n−1 c
ist, dh. ob G⊥ trivial ist. Dazu wählen
wir
e
=
f
+
h
mit
h
⊥
n
n
n
n
i=1 Gi und fn ∈ Gn .
Tn
c
Daraus folgt, dass en orthogonal auf i=1 Gi steht und damit insbesondere, dass en orthogonal
auf G⊥ steht. Da (en )n∈N eine Orthonormalbasis des Hilbertraumes H war, folgt, dass G⊥ der
Nullraum ist und damit die Behauptung.
Beweis. Da das wesentliche Spektrum von A und B übereinstimmen, folgt, dass die Menge der
Häufungspunkte von σ(A) gleich jener von σ(B) ist. Der Beweis hierfür ist einfach: Angenommen
es gäbe oBdA. einen Häufungspunkt in σ(A)\σ(B), so muss es eine Folge (λn )n∈N ⊂ σp (A)
geben, die gegen ein λ konvergiert. Die Eigenvektoren bilden jedoch eine singuläre Folge von
A bei λ. Daraus folgt aber schon durch das Weyl Kriterium der Widerspruch, dass λ auch
Element von σess (B) sein muss. An Hand von Satz 3.4 bezeichnen wir mit (en )n∈N die Basis
aus Eigenvektoren zu den Eigenwerten (λn )n∈N von A + K1 und mit (fn )n∈N die Basis aus
Eigenvektoren zu den Eigenwerten (γn )n∈N von B+K2 , wobei K1 und K2 die selbstadjungierten,
kompakten Operatoren aus Satz 3.4 sind. Angenommen es würde eine Folge von Eigenwerten
geben, sodass lim λk − γpk = 0 für eine Permutation pk , der natürlichen Zahlen, so definiere:
k→∞
U fpk := ek ∀k ∈ N,
welcher offensichtlich unitär ist und weiters:
K3 fpk := (λk − γpk )fpk k ∈ N,
welcher selbstadjungiert und wegen der Eigenschaft der Permutation folglich auch kompakt ist.
(B + K2 + K3 )fpk = λk fpk = U −1 (A + K1 )U fpk ,
dh. die so definierten Operatoren besitzen die gewünschten Eigenschaften, wenn man sich ein
neuen kompakten Operator K definiert als:
K := K2 + K3 − U −1 K1 U
Nun stellt sich noch die Frage, ob eine solche Permutation überhaupt existiert. Diese Frage lässt
sich mit Ja beantworten, da die Menge der Häufungspunkte übereinstimmen.
Um den Beweis von Satz 3.3 zu vervollständigen, benötigen wir noch dieses technische Hilfslemma aus der Analysis zur Konstruktion der Permutation:
Lemma 3.6. Seien (λk )k∈N und (γk )k∈N beschränkte Folgen reeller Zahlen, sodass M die Menge
der Häufungspunkte beider Folgen zusammenfallen. So existiert eine Permutation (pk )k∈N der
natürlichen Zahlen mit:
lim (λk − γpk ) = 0
(8)
k→∞
Beweis. Seien x eine reelle Zahl und M Teilmenge von R, so definieren wir:
dist(x, M ) := inf |x − y|
y∈M
8
Weiters seien:
k := dist(λk , M ) + 1/k
νk := dist(γk , M ) + 1/k
Da M die Menge der Häufungspunkte beider Folgen ist, existiert ein k, sodass der Abstand von
den restlichen Folgengliedern zu M beliebig klein wird. Damit folgt auch:
lim k = lim νk = 0
k→∞
k→∞
Weiters folgt aus der Definition der Zahlen k und νk für eine beliebige natürliche Zahl k, dass
im Intervall (λk − k , λk + k ) ein Element der Menge M enthält und damit auch unendliche
viele Folgenglieder der Folge (γn )n∈N . Wir bezeichnen mit rk den kleinsten Index r für den γr
im Intervall (λk − k , λk + k ) liegt und das folgendes gilt:
r > rj für j = 1, . . . , k − 1; r > 2k
Analog wird sk in Bezug auf das Intervall (γk −νk , γk +νk ) definiert. Somit erhalten wir 2 Folgen
paarweise-verschiedener Indizes und es gilt:
lim (λk − γrk ) = lim (γk − λsk ) = 0.
k→∞
k→∞
Da keine der beiden Folgen gezwungener Maßen alle natürlichen Zahlen enthalten muss, setzen
wir die Konstruktion fort, indem wir uns zwei neue Folgen definieren
u1 := 1, v1 := r1
(9)
v2k := min (N\{vj : j = 1, . . . , 2k − 1})
(10)
u2k := sv2k
(11)
u2k+1 := min (N\{uj : j = 1, . . . , 2k}
(12)
v2k+1 := ru2k+1
(13)
Zuerst überzeugen wir uns induktiv davon, dass jede der Folgen alle natürlichen Zahlen enthält.
2(k−1)
Seien in (uk )1
die natürlichen Zahlen von 1 bis k − 1 enthalten, so ist entweder k auch
enthalten, oder es gilt wegen (12), dass u2k−1 = k. In beiden Fällen sind die natürlichen Zahlen
von 1 bis k in (uk )2k
1 enthalten. Gleiches gilt auch für die Folge (vk )k∈N analog. Damit die so
definierten Folgen Permutationen der natürlichen Zahlen darstellen, darf jede natürliche Zahl
höchstens einmal vorkommen:
Gemäß der Konstruktion von (uk )k∈N ist u2k−1 6= u1 , . . . , u2k . Definitionsgemäß gilt u2k = sv2k ,
wobei sv2k 6= s1 , . . . , sv2k −1 gilt. Damit folgt:
v2 < v4 < · · · < v2(k−1) .
Wegen der Monotonie der Folge (sn )n∈N gilt damit auch:
sv2k 6= sv2 , sv4 , . . . , sv2(k−1) .
Daraus folgt:
u2k 6= u2 , u4 , . . . , u2(k−1) .
9
Weil v2k ≥ k ist und sk ≥ 2k ist, gilt daher:
u2k = sv2k ≥ sk ≥ 2k
u1 , u3 , . . . , u2k−1 ≤ 2k − 1
Es folgt u2k > u2k−1 und damit u2k 6= u1 , u3 , . . . , u2k−1 .
Für die Folge (vk )k∈N gilt wegen (13) und dem vorangehenden Beweisteil:
v2k−1 = ru2k−1 6= r1 , r2 , . . . , ru2k−3
v2k−1 6= v1 , v3 , . . . , v2k−3
Weiters:
v2k−1 = ru2k−1 ≥ rk > 2k
v2 , v4 , . . . , v2k ≤ 2k
Es folgt:
v2k 6= v1 , v2 , . . . , v2k−1
Somit erhalten wir durch diese Konstruktion zwei Permutationen der natürlichen Zahlen.
Zuletzt bleibt zu zeigen, dass lim (λuk − γvk ) = 0.
k→∞
Hierfür betrachten wir gerade, sowie ungerade Folgenglieder separat und erhalten die Behauptung.
|λu2k − γv2k | =|λsv2k − γv2k | → 0
|λu2k+1 − γv2k+1 | =|λu2k+1 − γru2k+1 | → 0
10
4 Literaturverzeichnis
[1]
M. Langer, Spektraltheorie für Differentialoperatoren, Vorlesung SS2014,
Technische Universität Wien
[2]
Woracek, Kaltenbäck, Blümlinger (2015), Funktionalanalysis 1, Vorlesungsskript,
Technische Universität Wien
[3]
K. Schmüdgen (2012), Unbounded self-adjoint operators on Hilbert space, Springer
[4]
N. I. Achiezer, I. M. Glazman (2011), Theorie der linearen Operatoren im Hilbert-Raum,
Akad.-Verl.
[5]
T. Kato (1995), Perturbation theory for linear operators, Springer
11