Skript Vorlesung zu Physik III - Integrierter Kurs

Skript
Vorlesung zu Physik III - Integrierter Kurs
Fachbereich Physik an der Universität Konstanz
gelesen von Prof. Dr. Georg Maret und Prof. Dr. Matthias Fuchs
bearbeitet von Maximilian Thaller
Stand: 15. November 2010
Dieses Skript ist eine Mitschrift der Vorlesung Physik III: Integrierter Kurs an der Universität Konstanz (Wintersemester
2010/2011) gelesen von Prof. G. Maret (Experimentalphysik) und Prof. M. Fuchs (theoretische Physik).
Integrierter Kurs Physik III
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
I
Optik
3
1 Wiederholung der Elektrodynamik
1.1 Die Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Homogene Maxwell-Gleichungen . . . . . . . .
1.1.2 Inhomogene Maxwell-Gleichungen . . . . . . .
1.2 Vakuum-Polarisierbarkeit und Vakuum-Permeabilität .
1.3 Superposition und Komplexifizierung . . . . . . . . . .
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3
3
3
5
7
7
2 Elektromagnetische Wellengleichung
2.1 Lichtgeschwindigkeit c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Exkurs zur skalaren Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Transversalität elektromagnetischer Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Energiedichte elektromagnetischer Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Energiedichte und Energiestromdichte ebener elektromagnetischer Wellen
2.6 Polarisation ebener elektromagnetischer Wellen . . . . . . . . . . . . . . .
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8
9
9
12
14
15
17
3 Charakteristische Eigenschaften von elektromagnetischer Strahlung
3.1 Der oszillierende Dipol als Quelle elektromagnetischer Strahlung . . . . . . . . . . . .
3.2 Licht besteht aus Photonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
18
19
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4 Brechungsindex und Dispersion
19
4.1 Maxwell-Gleichungen und elektromagnetische Wellengleichung in dielektrischer Materie 19
4.2 Makroskopische Definition des Brechungsindex n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3 Lorentz-Modell zur Dispersion n(λ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.4 Absorbtion und Imaginärteil von n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.5 Brechungsindex für Matrie, n > 1 (nicht n ≈ 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.5.1 Isolatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.5.2 Metalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5 Lichtausbreitung in optisch anisotropen Medien
5.1 Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Brechungsindexellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
26
27
6 Reflexion und Brechung elektromagnetischer Wellen
6.1 Wiederholung: Feldverhalten an Grenzflächen . . . . .
6.2 Energiefluss durch eine Grenzfläche . . . . . . . . . . .
~=E
~ ×H
~ . . .
6.2.1 Verhalten des Poyntingvektors S
6.2.2 Zeitlich gemittelter Energiefluss . . . . . . . . .
6.3 Brechungs- und Reflexionsgesetze . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Kinematische Einschränkungen . . . . . . . . .
28
29
30
30
31
31
32
1
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Integrierter Kurs Physik III
6.3.2
6.3.3
Inhaltsverzeichnis
Reflexions- und Transmissionkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grenzwinkel αT der Totalreflexion am optisch dünnen (d.h. n2 < n, n < 1)
Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
33
37
Integrierter Kurs Physik III
1
Wiederholung der Elektrodynamik
Teil I
Optik
Dieses Kapitel befasst sich mit Licht als elektromagnetischer Welle. Hierbei werden die MaxwellGleichungen angewendet. Die Erzeugung und Vernichtung (Absorption) des Lichtes wird kaum diskutiert werden, da hierfür Kenntnisse aus dem Bereich der Quantenmechanik nötig sind. Außerdem wird
keine Diskussion physiologischer Aspekte, wie beispielsweise des Auges oder des Gehirns stattfinden.
Als Literaturhinweis zum theoretischen Anteil dieses Kapitels sei das Buch „Arnold Sommerfeld,
Vorlesungen über theoretische Physik“, Band IV: Optik, welches im Verlag Harri Deutsch erschienen
ist, empfohlen.
1
Wiederholung der Elektrodynamik
1.1
Die Maxwell-Gleichungen
Die Maxwell-Gleichungen sind partielle Differentialgleichungen für Vektorfelder. Sie beschreiben alle
elektromagnetischen Phänomene, einschließlich der Optik. In diesem Zusammenhang sind die folgen~ r, t) ist das magnetische Feld, H(~
~ r, t) ist die magnetische Erregung,
den Vektorfelder relevant. B(~
~
~
E(~r, t)bezeichnet das elektrische Feld und D(~r, t) ist das elektrische Erregungs- oder Verschiebungsfeld.
Der Nabla-Operator fasst die partiellen Ableitungen der einzelnen Komponenten zusammen:

 ∂  
∂x
∂x
∂ 
=  ∂y  .
∇ =  ∂y
∂
∂z
∂z
Man kann sagen, dass der Nabla-Operator ein Vektor der partiellen Ableitungen ist.
1.1.1
Homogene Maxwell-Gleichungen
Die homogenen Maxwell-Gleichungen beschreiben Bedingungen, die elektromagnetische Felder erfüllen
müssen.
~ r, t) ist divergenzfrei.
1. Das Magnetfeld B(~
Dies wird in differentieller Form durch
~ r, t) = ∇ · B(~
~ r, t) = ∂Bx + ∂By + ∂Bz = 0
divB(~
∂x
∂y
∂z
ausgedrückt. Die integrale Form der Gleichung ist
Z
I
~ r, t) =
~ r, t)
0 =
d3 r∇B(~
d~o · B(~
V
∂V
I
ˆ · B(~
~ r, t),
=
do ~n
∂V
3
(1)
(2)
Integrierter Kurs Physik III
1
Wiederholung der Elektrodynamik
wenn man den magnetischen Fluss durch ein beliebiges Volumen V mit geschlossener Oberfläche
∂V und Normaleneinheitsvektor ~o zur Oberfläche (cf. Abb. 1) betrachtet. Hierbei wurde der
Gauß’sche Satz verwendet.
Betrachtet man den magnetischen Fluss durch eine Fläche A (cf. Abb 2), so gilt
Z
Z
Z
~
~
d~o · B(~r, t) =
d~r ~n · B(~r, t) = dydy Bz (~r, t)
(3)
A
A
Die erste Maxwell-Gleichung besagt also, dass der magnetische Fluss durch eine geschlossene
Abbildung 2: Beliebige Fläche A in der x-yEbene, durch die ein magnetischer Fluss betrachtet wird.
Abbildung 1: Beliebiges Volumen V , durch welches ein magnetischer Fluss betrachtet wird.
~
Oberfläche ∂V eines beliebigen Volumens V verschwindet, das B-Feld
ist also quellenfrei.
2. Das Faraday’sche Induktionsgesetz
~
Für die differentielle Form überlegt man sich, dass ein zeitlich veränderliches B-Feld
ein elektri~
sches E-Feld
erzeugt. Es gilt also
~˙ r, t) = − ∂ B(~
~ r, t) = ∇ × E(~
~ r, t) = −B(~
~ r, t).
rotE(~
∂t
(4)
~ durch
Für die integrale Form betrachtet man einen zeitlich veränderlichen magnetischen Fluss B
eine feste Fläche A mit geschlossenem Rand ∂A und Normaleneinheitsvektor ~o. Es gilt
Z
Z
Z
d
da A fest
~˙ r, t)
~ r, t) (4)
d~o · B(~
=
d~o · B(~
= −
d~o ∇ × E
dt A
A
A
I
Stokes’scher Satz
~ r, t).
=
−
d~s · E(~
(5)
∂A
Man erhält das Linienintegral über den geschlossenen Rand ∂A.
3. Elektromagnetische Potentiale
~ und
Die homogenen Maxwell-Gleichungen (1) und (4) sind erfüllt, wenn das elektrische Feld E
4
Integrierter Kurs Physik III
1
Wiederholung der Elektrodynamik
~ durch eine konstante Fläche A mit geschlossenem
Abbildung 3: Ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld B
Rand ∂A.
~ aus einem skalaren (elektrischen) Potential ϕ(~r, t) und einem (magnetidas magnetische Felt B
~ r, t) bestimmt sind über
schen) Vektorpotential A(~
~˙
= −∇ϕ − A
~
= ∇ × A.
~
E
~
B
(6)
(7)
Beweis:
~ = ∇·(∇× A)
~ = 0, sowie dass ∇× E
~ +B
~˙ =
Man kann sich komponentenweise überlegen, dass ∇· B
~˙ + ∂t (∇ × A)
~ = 0, da schon ∇ × (−∇ϕ) = 0.
∇ × (−∇ϕ − A)
1.1.2
Inhomogene Maxwell-Gleichungen
~ und D
~
Die inhomogenen Maxwell-Gleichungen beschreiben, wie elektromagnetische Erregungen H
aus „externen“ (oder „freien“ oder „experimentell kontrollierbaren“) Ladungsdichten %ext (~r, t) und
Stromdichten ~j ext (~r, t) erzeugt werden.
1. Elektrische Ladungen
~ wird durch externe elektrische Ladungen erzeugt. In difDie elektrische Verschiebungsdichte D
ferentieller Form ausgedrückt bedeutet dies
~ r, t) = %ext (~r, t).
∇ · D(~
In integraler Form haben wir
Z
d3 r %ext
=
V
Gauß’scher Satz
=
Z
~
Qext (t) =
d3 r ∇ · D
V
I
~ r, t).
d~o · D(~
∂V
5
(8)
(9)
Integrierter Kurs Physik III
1
Wiederholung der Elektrodynamik
Abbildung 4: Festes Volumen V , welches elektrische Ladungen beinhalten soll.
Dabei betrachten wir ein Volumen V , welches die externe Ladung Qext beinhaltet. Die Ladungen
im Volumen V erzeugen einen elektrischen Fluss durch die geschlossene Oberfläche ∂V von V .
Ladungen sind also Quellen des elektrischen Feldes.
2. Maxwell’sches Verschiebungsgesetz
~ wird durch externe Stromdichten und Maxwell’schen VerschieDie magnetische Erregung H
~
bungsstrom D erzeugt. In differentieller Form heißt das
~˙ r, t).
~ r, t) = ~j ext (~r, t) + D(~
∇ × H(~
In der integralen Form haben wir
Z
Z
~˙ =
~
d~o · (~j ext + D)
d~o ∇ × H
A
A
Stockes’scher Satz
(10)
I
=
~
d~s · H.
(11)
∂A
Hierbei kann man beispielsweise einen Kondensator der Fläche A betrachten, innerhalb dessen
~ herrscht. Dieser Kondensator ist in einen Leiter mit der
das elektrische Verschiebungsfeld D
ext
~ erzeugt, integriert. Maxwell forderte die
~
Stromdichte j , welche die magnetische Erregung H
~
~˙
Stetigkeit des H-Feldes
und folgerte daraus die Existenz des Verschiebungsstroms D.
Bemerkung:
• Die Maxwell-Gleichungen sind acht gekoppelte lineare partielle Differentialgleichungen für zwölf
Feldkomponenten (Ex , Ey , ...) bei gegebenen Ladungs- und Stromdichten %ext und ~j ext . Die
Maxwell-Gleichungen sind also nicht geschlossen, legen die Felder also nicht eindeutig fest.
~ und %, ~j wird später noch behandelt werden.
• Der Zusammenhang zwischen ϕ, A
6
Integrierter Kurs Physik III
1
Wiederholung der Elektrodynamik
Abbildung 5: In einen Leiter integrierter Kondensator, bei welchem die magnetische Erregnung untersucht
wird.
1.2
Vakuum-Polarisierbarkeit und Vakuum-Permeabilität
Werden Ladungen oder Ströme im Vakuum betrachtet, so gilt
~ = ε0 · E
~
D
und
~ = 1 · B,
~
H
µ0
wobei ε0 die Vakuum-Polarisierbarkeit und µ0 die Vakuum-Permeabilität ist.
1.3
Superposition und Komplexifizierung
Da die Maxwell-Gleichungen linear sind, ergeben sich nützliche Folgerungen zur Vereinfachung im
Vakuum.
~ (n) und B
~ (n) für n = 1, 2, ... Lösungen der Maxwell-Gleichungen zu %(n) und ~j(n) und sind
Seien E
cn ∈ C Zahlen, so lösen die Superpositionen
X
~ =
~ (n) ,
E
cn E
(12)
n
~
B
X
=
~ (n)
cn B
(13)
n
wieder die Maxwell-Gleichungen mit
%=
X
cn %(n) ,
(14)
n
~j =
X
cn~j(n) .
n
7
(15)
Integrierter Kurs Physik III
2
Elektromagnetische Wellengleichung
Beweis:
~
∇×B
∇×
=
X
~ (n) =
cn B
n
M.-G.
=
µ0
X
X
~ (n) )
cn (∇ × B
n
X
X ˙
~˙ (n) ) = µ0
~ (n)
cn (~j(n) + ε0 E
cn~j(n) + µ0 ε0
cn E
n
=
n
n
~
µ0~j + µ0 ε0 E
Die anderen Maxwell-Gleichungen kann man analog nachrechnen.
Bemerkung:
~ = P cn E
~ (n) heißt Superposition.
• E
n
• Das Superpositionsprinzip ist eine Folge aus der Linearität der Maxwell-Gleichungen.
~ (1) und E
~ (2) , sowie B
~ (1) und B
~ (2) Lösungen zu %(1) , %(2) und ~j(1) , ~j(2) . Dann folgt, dass
Seien E
~ =E
~ (1) + iE
~ (2) ,
E
~ =B
~ (1) + iB
~ (2)
B
(16)
(17)
(also c1 = 1 und c2 = i) Lösungen der Maxwell-Gleichungen zu % = %(1) + i%(2) und ~j = ~j(1) + i~j(2)
sind.
Beweis: s.o.
~ r, t) = E
~ 0 · cos(~k · ~r − ωt) an.
Man wendet diese Komplexifizierung bei reellen Felder der Gestalt E(~
Sie können auf diese Weise mit komplexen Feldern dargestellt werden. Es gilt
~ (c) (~r, t) = E
~ (c,0) ei(~k·~r−ωt) ∈ C (E
~ (c,0) ∈ C3 )
E
wobei
da ja allgemein eix + e−ix
~ (c) + E
~ ∗ ) = <{E
~ (c) (~r, t)},
~ r, t) = 1 (E
E(~
(c)
2
= 2 cos(x) gilt.
(18)
(19)
Bemerkung:
• Häufig wird es vergessen, <{...} zu schreiben. Nur die reellen Felder sind physikalisch relevant.
• Achtung: Bei nichtlinearen Ausdrücken verlangt diese komplexe Betrachtung, dass nur die explizit reellen (physikalischen) Felder eingesetzt werden.
2
Elektromagnetische Wellengleichung
Nach Maxwell und Faraday induzieren sich zeitabhängige elektrische und magnetische Felder gegenseitig.
8
Integrierter Kurs Physik III
2.1
2
Elektromagnetische Wellengleichung
Lichtgeschwindigkeit c
Im ladungsfreien und stromfreien Vakuum gilt das Faraday’sche Gesetz (4), und somit
⇔
~ + B)
~˙
∇ × (∇ × E
= 0
˙
2
~ + µ0
~
~ −∇ E
∇×H
= 0
∇ (∇ · E
| {z }
| {z }
~˙
~˙ ~
∇×H=−ε
0 E+j=0
=0, da %=0)
⇔
~ + ε0 µ0 E
~¨
−∇2 E
=
0.
(20)
Setzt man die Vakuumlichtgeschwindigkeit c, gegeben durch
c= √
1
m
≈ 3 · 108 ,
ε0 µ0
s
(21)
in die obige Gleichung (20) ein, so ergibt sich die homogene Wellengleichung des elektrischen Feldes
∆−
1
c2
∂
∂t
n ~ r, t) = 0.
E(~
(22)
Hierbei ist ∆ = ∇2 = ∂x2 + ∂y2 + ∂z2 der Laplace-Operator in kartesischen Koordinaten. Analog ergibt
sich aus der Maxwell-Gleichung (10)
(22)
⇔
~˙
~ − ε0 E)
= 0
∇ × (∇ × H
~
~ )/µ0 − ∆ B + ε0 B
~¨ = 0
∇( ∇
·B
}
| {z
µ0
(23)
~
=0, da B
quellenfrei
die homogene Wellengleichung des magnetischen Feldes
1 2 ~
∆ − 2 ∂t B(~r, t) = 0.
c
(24)
Bemerkung:
Es ist eine Errungenschaft der Maxwell-Gleichung, dass man die Vakuumlichtgeschwindigkeit c genau
berechnen kann und zu zeigen, dass Licht ein Welle ist.
2.2
Exkurs zur skalaren Wellengleichung
Die homogene Wellengleichung für ein Skalarfeld ψ(~r, t) lautet
1 2
∆ − 2 ∂t ψ(~r, t) = 0.
v
(25)
Diese Gleichung kann beispielsweise die Ausbreitung von Schall in Wasser beschreiben. Im folgenden
betrachten wir drei verschiedene Lösungen dieser Wellengleichung.
9
Integrierter Kurs Physik III
2
Elektromagnetische Wellengleichung
1. Ebene Wellen
Hierbei verwenden wir den Lösungsansatz
ψ(~r, t) = f+ (~k · ~r + ωt) + f− (~k · ~r − ωt)
mit konstantem Vektor ~k und konstantem ω. Diese Funktion löst die Gleichung (25) für beliebige
(zweimal stetig differenzierbare) Funktionen f± genau dann, wenn
ω = ω(~k) = v · |~k|
(26)
gilt.
Bemerkung:
• ϕ± = ~k · ~r ± ωt heißt Phase. Es gilt ψ(~r, t) = f+ (ϕ+ ) + f− (ϕ− ). Meistens ist aber nur ϕ−
interessant.
~
• k heißt Wellenvektor
• ω heißt (Kreis-) Frequenz.
• Die Beziehung (26) heißt Dispersionsrelation.
• ψ heißt ebene Welle, weil für festes t = t0 die Flächen, auf denen ψ(~r, t = t0 ) = const gilt
(„Wellenfronten“) Ebenen sind, welche durch die Ebenengleichung
~k · ~r = const ⇒ ϕ± (~r, t = t0 ) = konst.,
bestimmt wird. Daraus folgt direkt, dass die Wellenfronten senkrecht zu ~k stehen (cf. Abb
6).
Abbildung 6: ~k steht senkrecht auf den Wellenfronten
10
Integrierter Kurs Physik III
2
Elektromagnetische Wellengleichung
•
Abbildung 7: Mit der Phase ϕ+ liegt eine nach −~k laufende Erregung vor (links), mit der Phase ϕ− läuft
die Erregung nach +~k (rechts).
Aus den Bedingungen für Punkte gleicher Phase
ϕ± (~r + ∆~r, t + ∆t) =
⇔ ~k · ∆~r =
ϕ± (~r, t)
∓ω∆t,
wobei ~r = ~r0 + ~v · ∆t, folgt, dass sich die Wellenfronten mit konstanter „Phasengeschwindigkeit“ ±v, wobei
ω
ω ~k
(27)
~v = · = 2 ~k,
k k
k
bewegen.
• Bei dieser speziellen Lösung handelt es sich um die ebenen Wellen nach D’Alambert.
Beweis:
Es gilt
0
00
∇ · ∇f± (~k · ~r ± ωt) = ∇ · ~kf±
= k 2 f±
,
wobei f 00 (ϕ) =
∂
∂ϕ
2
f (ϕ). Außerdem gilt
0
00
∂t2 f± (~k · ~r ± ωt) = ∂t (±ω)f±
= ω 2 f±
.
Setzt man diese beiden Gleichungen in (25) ein, so ergibt sich


 2 ω2 
k −
 f (~k · ~r ± ωt) = 0.

2  ±
| {z v }
=0, cf. (26)
Bemerkung:
Die Dispersionrelation (hier ω = kv) muss erfüllt sein, damit die homogene (d.h. quellenfreie)
Wellengleichung nicht triviale (f± 6= 0) Lösungen besitzt.
2. Kugelwellen
Kugelwellen sind radialsymmetrische Wellen ψ(~r, t) mit
ψ(~r, t) = ψ(r = |~r|, t) =
11
1
(g+ (r + rt) + g− (r − rt)).
r
(28)
Integrierter Kurs Physik III
2
Elektromagnetische Wellengleichung
Der in (28) gegebene Funktionsterm löst die homogene Wellengleichung für skalare Felder (25).
Kugelwellen haben Wellenfronten, welche Kugeloberflächen (|~r| = const) darstellen. Ihre Amplitude variiert mit 1r . Die Richtigkeit der Lösung lässt sich durch Einsetzen beweisen.
Abbildung 8: Bei der Ausbreitung von Kugelwellen nimmt die Amplitude proportional zum Radius ab.
3. Ebene monochromatische Wellen
Hier wird nun ein sehr wichtiger Spezialfall der ebene Wellen besprochen, bei dem f± periodisch
ist. Das heißt
f± (ϕ± = ~k · ~r ± ωt) = A± cos(~k · ~r ± ωt + δ± ).
(29)
Für festes ~r0 ist f± periodisch mit der Zeit, also
f± (~r0 , t + mT ) = f (~r0 , t)
mit Periode T =
2π
ω
=
1
ν
und Frequenz ν =
ω
2π .
mit m = 0, ±1, ±2, ...
Für festes t0 ist f± periodisch im Raum:
f± (~r + ∆~r, t0 ) = f± (~r, t0 ),
ˆ mit ∆x = 2π m =
wenn ∆~r · ~k = 2πm, mit m = 0, ±1, ±2, .... Zur Vereinfachung setzt man ~k||~x
k
2π
λm. Die Welle breitet sich also in x-Richtung aus. Hierbei ist λ = k die Wellenlänge. Es folgt
2πv
v
=
ω
ν
v = λν und vT = λ.
λ=
⇔
2.3
Transversalität elektromagnetischer Wellen
Die elektromagnetischen Wellengleichungen (22) und (24) werden also durch ebene monochromatische
Wellen
~ r, t) =
E(~
~ r, t) =
B(~
~ 0 · ei(~k·~r−ωt) = E
~ 0 · eiϕ
E
~ 0 · ei(~k·~r−ωt) = B
~ 0 · eiϕ
B
(30)
(31)
~ 0, B
~ 0 ∈ C3 . (Eigentlich E(~
~ r, t) = <{E
~ 0 · ei(~k·~r−ωt) } etc., im folgenden wird <... aber immer
gelöst mit E
kommentarlos weggelassen werden.)
Nun bleibt noch zu klären, warum (30) und (31) die Maxwell-Gleichungen (1), (4), (8) und (10)
löst.
12
Integrierter Kurs Physik III
2
Elektromagnetische Wellengleichung
~ = 0 ⇒ i~k · E
~ 0 eiϕ = 0. Da eiϕ 6= 0, gilt
• (8): ε0 ∇E
~k · E
~ 0 = 0.
(32)
~ = 0 ⇒ i~k · B
~ 0 eiϕ = 0. Da eiϕ 6= 0, gilt
• (1): ∇B
~k · B
~ 0 = 0.
(33)
~˙ = −∇ × E
~ ⇒ (−iω B
~ 0 + i~k × E
~ 0 )eiϕ = 0. Da eiϕ 6= 0, gilt
• (4): B
~ 0.
~ 0 = 1 · ~k × E
B
ω
(34)
~ −E
~˙ = 0 ⇒ (ic2~k × B
~ 0 + iω E
~ 0 )eiϕ = 0. Da eiϕ 6= 0, gilt
• (10): c2 ∇ × B
2
~ 0 = − c ~k × B
~ 0.
E
ω
(35)
Aus (34) und (35) folgt
2
~ 0 = − c ~k × (~k × E
~ 0 ) (33)
E
=
ω2
ck
ω
2
~ 0.
E
Fazit:
Ebene, monochromatische Wellen lösen die Maxwell-Gleichungen im Vakuum, sowie die elektromagnetische Wellengleichung. Außerdem sind sie „transversale Wellen“. Wir haben gesehen, dass
~ =E
~ 0 · eiϕ
E
und
~ =B
~ 0 · eiϕ ,
B
sowie
ϕ
=
~k · ~r − ωt
ω
~k · E
~0
=
ck
~0 · B
~0
E
~ 0|
|B
=
(34)
=
=
(Dispersionsrelation)
~
~0
0=k·B
0
1 ~
|E0 |.
c
Außerdem ist zu bemerken, dass ~k in Ausbreitungsrichtung zeigt. Bei elektromagnetischen Wellen
steht das E-Feld immer senkrecht auf dem B-Feld und das E-Feld und das B-Feld schwingen in
Phase. Abbildung 9 veranschaulicht dies grafisch.
13
Integrierter Kurs Physik III
2
Elektromagnetische Wellengleichung
Abbildung 9: E-und B-Feld einer elektromagnetischen Welle.
2.4
Energiedichte elektromagnetischer Felder
Die Energiedichte des elektrischen und des magnetischen Feldes kann durch
we (~r, t)
=
wm (~r, t)
=
1 ~
~ r, t),
· E(~r, t) · D(~
2
1 ~
~ r, t)
· B(~r, t) · H(~
2
(36)
(37)
beschreiben. Es gilt
∂we
1 ∂ ~ ~
1 ~˙ ~
~˙
~ · D).
·D+E
=
(E · D) = (E
∂t
2 ∂t
2
~˙ · E.
~ Damit haben wir
~˙ · E
~ =D
~˙ 0 εE
~ = ε0 εE
~˙ · D
~ = Eε
~ = εε0 εE
~ folgt E
Aus D
∂we
~˙
~ · D,
=E
∂t
(38)
(39)
und ebenso
∂wm
~˙
~ · H.
=B
∂t
Nun benutzen wir die Maxwell-Gleichung (4)
~
rotE
~ · rotE
~
H
(40)
~˙
= −B
~
|·H
~ ·B
~˙ = − ∂wm ,
= −H
∂t
14
(41)
Integrierter Kurs Physik III
2
Elektromagnetische Wellengleichung
und die Maxwell-Gleichung (10)
~˙
= ~j + D
~
rotH
~
|·E
~ +E
~ ·D
~˙
= ~j · E
~ + ∂we .
= ~j · E
∂t
~ · rotH
~
E
(42)
Aus (41) und (42) ergibt sich
~ · rotH
~ −H
~ · rotE
~
E
Wir nennen we + wm = wem
~ × H)
~
−dic(E
~ + ∂ (we + wm ).
= ~j · E
∂t
die Gesamtenergiedichte. Es gilt
wem =
=
1 ~ ~
~ · H)
~ = ε0 (E 2 + c2 · B 2 )
(E · D + B
2
2
(43)
(44)
Definiton: Poyntingvektor
~ ist definiert als S
~=E
~ × H.
~
Der Poyntingvektor S
⇒
∂wem
~ = −~j · E
~
+ divS
∂t
(45)
~ ist der Vektor der Energiestromdichte. Zur Verdeutlichung sei die obige GleiDer Poyntingvektor S
chung in integraler Form dargestellt. Integration über ein Volumen V ergibt
Z
Z
Z
d
3
~
~ r, t)d3 r.
wem (~r, t)d r +
S(~r, t) · d~n = − ~j(~r, t) · E(~
(46)
dt V
∂V
V
2.5
Energiedichte und Energiestromdichte ebener elektromagnetischer Wellen
Die Lösungen der homogenen Wellengleichungen (22) und (24) sind die komplexen Felder
~ c (~r, t)
E
~ r −ωt)
~ 0 · ei(K·~
= E
~ 0 (cos(~k · ~r − ωt) + i · sin(~k · ~r − ωt))
= E
und
~ c (~r, t)
B
=
=
~ 0 · e(i(~k·~r−ωt)
B
1~ ~
~
k × E0 · ei(k·~r−ωt) .
ω
Mit
~ r, t)
E(~
=
=
1 ~
~ ∗)
(Ec + E
c
2
~ 0 · cos(~k · ~r − ωt)
E
~ c} =
<{E
15
Integrierter Kurs Physik III
2
Elektromagnetische Wellengleichung
haben wir auch
~ r, t) = 1 ~k × E(~
~ r, t)
B(~
(47)
ω
Hierbei gilt natürlich stets die Dispersionsrelation ω = c·|~k| = 2πν. Es ergibt sich für die Energiedichten
we (~r, t)
=
=
ε0 ~
~ r, t)
E(~r, t) · E(~
2
ε0
~ c } + |E
~ c |2 )
(<{E
2
und
wm (~r, t)
=
=
=
1 ~
~ r, t)
B(~r, t) · B(~
2µ0
1 1 ~ ~
~
(k × E) · (~k × E)
2µ0 ω 2
ε0
1 ~2
E = E 2 = we (~r, t).
2µ0 c2
2
Die elektrische und die magnetische Energiedichte sind stets gleich groß. Die totale Energiedichte wem
ist die Summe dieser beiden Energiedichten, also
wem = we + wm = ε0 E 2 .
(48)
Mittelt man die totale Energiedichte über die Zeit (geschrieben als hwem iZeit ), so erhält man
hwem iZeit
~
⇒ S
ε0 ~ 2
ε0 2
E = |E
0|
2 0
2
~ ×H
~ = 1E
~ ×B
~ = 1 1E
~ × (~k × E)
~
= E
µ0
µ0 ω
~k
1
=
E 2 · ~k = ε0 E 2 c
µ0 ω
|~k|
~k
= wem c .
|~k|
=
(49)
(50)
Der Poyntingvektor beschriebt also den Fluss der elektromagnetischen Energiedichte entlang des Vektors ~k. Im zeitlichen Mittel folgt aus (50)
~ Zeit =
hSi
ε0 2 ~k
E c .
2
|~k|
(51)
Am Ende dieses Abschnittes betrachten wir in Abbildung 10 einen abstrahlenden Dipol. Man sieht,
dass die meiste Energie senkrecht zur z-Achse abgesendet wird.
16
Integrierter Kurs Physik III
2
Elektromagnetische Wellengleichung
Abbildung 10: Leistungsabstrahlung eines oszillierenden Dipols.
2.6
Polarisation ebener elektromagnetischer Wellen
1. Lineare Plarisation:
~ 0 der Welle E
~ =E
~ 0 · ei(~k·~r−ωt) = E
~ 0 · ei(kz−ωt) zeigt immer in die gleiche Richtung
Der Vektor E
(mit positivem oder negativem Betrag), senkrecht zu ~eˆz (was hier auch die Ausbreitungsrichtung
ist. Daher gilt auch ~k · ~r = kz). Wir haben also
~ = E0x~eˆx + E
~ 0y ~eˆy .
E
Beide Komponenten Ex = E0x · ei(kz−ωt) und Ey = E0y · ei(kz−ωt) sind immer in Phase. Man
spricht dann von einer linear polarisierten Wellen. Die Abbildung 11 veranschaulicht dies.
Abbildung 11: Linear polarisierte elektromagnetische Welle.
2. Zirkuläre Polarisation:
Beträge von Ex und Ey sind gleich (E0x = E0y ) und beide Wellen sind um 90◦ phasenverschoben,
17
Integrierter Kurs Physik III
3
Charakteristische Eigenschaften von elektromagnetischer Strahlung
~ 0 dreht sich also.
d.h. Ex = E0x · ei(kz−ωt) ; Ey = E0y · ei(kz−ωt+π/2) . Der summierte Vektor E
Es gibt natürlich zwei Richtungen (rechtszirkular und linkszirkular). Dies wird in Abbildung 12
veranschaulicht (roter Pfeil).
Abbildung 12: Linkszirkular polarisierte elektromagnetische Welle.
3. Elliptische Polarisation:
Allgemeiner Fall, in dem die Beträge von Ex und Ey gleich sind (E0x = E0y ), beide Wellen aber
um eine beliebige Phase ϕ verschoben sind, d.h. Ex = E0x · ei(kz−ωt) ; Ey = E0y · ei(kz−ωt+ϕ) .
3
3.1
Charakteristische Eigenschaften von elektromagnetischer Strahlung
Der oszillierende Dipol als Quelle elektromagnetischer Strahlung
~ und des B-Feldes
~
Es werden aus dem Nahfeld Feldlinien des Eabgeschnürt, was zu Strahlung führt.
Der Poyntingvektor zeigt in die Richtung dieser Abstrahlung und ist ein Maß für die Energiedichte.
Beim Übergang von Nahfeld ins Fernfeld findet eine Phasenverschiebung um 90◦ statt. Das abgestrahlte Feld kann man durch
r
2
~k · ~r − ωt)
P̈
t
−
sin(θ)
P
ω
sin(θ)
cos(
0
c
~ =
|E|
.
=
(52)
2
2
4πε0 c
r
4πε0 c r
|
{z
}
allg. Darst.
Das Dipolmoment ist dann gegeben durch
p(t) = P0 cos(ωt) = qd0 cos(ωt),
(53)
wobei q die Ladung ist und d0 der maximal Abstand der schwingenden Ladungen. Wir erhalten für
die winkelabhängige Energiedichte
q 2 d20 omega4 sin2 (θ)
r 2
S(t) =
sin
ω
t
−
.
(54)
16π 2 ε0 c3 r2
c
18
Integrierter Kurs Physik III
4
Brechungsindex und Dispersion
Hierbei kommt r im Nenner quadratisch vor, weil die gesamte abgestrahlte Energie konstant ist. Durch
jede Kugelschale, die man um den Dipol legt, dringt also gleich viel Feldenergie. Diese Kugelschalen
wachsen aber proportional zu r2 . Schließlich kann man noch die über die Zeit t und θ gemittelte
abgestrahlte Leistung
P02 ω 4
(55)
hPem it,θ =
12πε0 c3
angeben.
3.2
Licht besteht aus Photonen
Besonders im höherenergetischen Bereich ist es nötig bei der Betrachtung der Erzeugung und Detektion von Licht Photonen einzuführen. Ein Photon hat die Energie E = hν mit dem Planck’schen
h
.
Wirkungsquantum h = 6, 626 · 10−34 Js und dem Impuls p = h̄k = λh mit h̄ = 2π
4
4.1
Brechungsindex und Dispersion
Maxwell-Gleichungen und elektromagnetische Wellengleichung in dielektrischer Materie
Im Vakuum gelten bekanntlich die vier Maxwell-Gleichungen
~
rotE
~
rotB
~
divE
~
divB
= −
~
∂B
∂t
~
∂E
= µ0~j + ε0 µ0
∂t
%
=
0
=
0
mit c0 = √ε10 µ0 . In Materie muss ε und µ noch beachtet werden. Folglich gilt c =
gilt immer ε > 0, µ > 0.
4.2
√
1
εε0 µµ0
=
√c0 .
εµ
Es
Makroskopische Definition des Brechungsindex n
√
Der Brechungsindex n ist durch n = εµ oder alternativ auch (wie in vielen Büchern) durch n = cc0
definiert.
Dringt licht in verschiedene dielektrische Medien ein, so ändert sich seine Frequenz nicht, die
Wellenlänge aber schon, gemäß
λMedium =
λVakuum
;
n
kMedium = n · kVakuum .
Bei der Wellenbetrachtung des Lichtes ist c0 , c die Phasengeschwindigkeit c = k ω , c0 = k ω .
Mat.
Vak.
Anschaulich kann man sich den Vorgang, wenn eine elektromagnetische Welle in ein dielektrisches
19
Integrierter Kurs Physik III
4
Brechungsindex und Dispersion
Medium eindringt, ungefähr folgendermaßen vorstellen. Die Welle trifft auf die erste Atomschicht,
was dazu führt, dass sich kleine Dipole bilden. (Die Elektronenwolken werden etwas gegen den Kern
ausgelenkt.) Es werden eigene Schwingungen erzeugt, was dazu führt, dass diese neu entstandenen
Dipole eine Sekundärwelle abstrahlen. Diese Sekundärwelle überlagert sich mit der ursprünglichen
Welle. Auf diese Weise entsteht eine Phasenverschiebung.
Die elektrische Polarisation eines Mediums P~ kann beschrieben werden durch
~
P~ (t) = αE(t),
(56)
wobei α die Polarisierbarkeit (also eine Zahl) des Mediums ist. Die oben schon erwähnten Dipole (P~ )
erzeugen eine Sekundärwelle in gleicher Richtung wie die Primärwelle. Hierbei ist festzuhalten:
• Die Sekundärwelle (im Fernfeld) eilt der Primärwelle um 90◦ voraus, weil ∆ϕ = 90◦ bei einer
Dipolstrahlung, wie in Abschnitt 3.1 auf Seite 18 diskutiert.
• Die Sekundärwelle hat eine sehr kleine Amplitude Ek , weil α 1.
Bei der komplexen Betrachtung der E-Felder kann man dann die Primärwelle und die Sekundärwelle
einfach addieren. Es gilt also für die Gesamtwelle
X
~ res = E
~ prim +
~k.
E
E
(57)
k
Im Weiteren Gilt für die resultierende Welle
E0
E
E
= Eres · ei(ωt−kz)
∆t
z
= E · eiω(t− c0 −(n−1) c0 )
∆z
= E · eiϕ = E · eiω(n−1) c0
Bei der zweiten, der obigen Gleichungen kann man im Exponenten der e-Funktion noch gut den
Teil des ungestörten Feldes t − cz0 und den Einfluss des Mediums (n − 1) ∆z
c0 sehen. Für sehr kleine
Phasenverschiebungen ϕ 1 kann man die Näherung
e−iϕ = 1 − iϕ + ...
anwenden. Damit bekommen wir
“
”
iω t− cz
E(z) = E0 · e
|
{z
=Eprim
0
−iω(n − 1)
}
∆z
iω
E0 · e
c0
“
t− zz
0
”
.
(58)
Man sieht, dass in der Näherung vom Ursprünglichen Feld ein zweites (sekundäres) Feld abgezogen
wird. Diese Näherung lässt sich beispielsweise bei Gasen gut anwenden, weil der Brechungsindex dort
in der Regel sehr klein ist.
20
Integrierter Kurs Physik III
4.3
4
Brechungsindex und Dispersion
Lorentz-Modell zur Dispersion n(λ)
Dispersion bedeutet, dass der Brechungsindex n von der Wellenlänge λ des Lichtes abhängt. Im
Lorentz-Modell werden einzelne Atome als Oszillator betrachtet. Im einfallenden elektrischen Feld
werden die Atome zu Dipolen mit Dipolmoment p = −ex(t). Hierbei ist e natürlich die Elementarladung. (Um Verwirrungen zu vermeiden ist die Exponentialfnktion ex in diesem Abschnitt immer mit
exp() notiert.) Man erhält die Bewegungsgleichung
mẍ + bẋ + Dx = −eE0 exp(i(ωt − kz)).
Mit der Substitution γ =
b
m
(59)
erhält man
ẍ + γ ẋ + ω02 x = −
e
E0 exp(i(ωt − kz))
m
(60)
Wir erhalten die Differentialgleichung, die eine harmonische Oszillation unter äußerer Krafteinwirkung
beschreibt. Ein solches Modell kann angewendet werden, da bei genügend kleinen Auslenkungen quasi
alle Schwingungen näherungsweise harmonisch sind. Als Lösung für die Gleichung erhalten wir
x(t) = x0 exp(iωt)
am Ort z = 0 (Position des schwingenden Atoms) mit x0 = √
x(t) = − p
e Em0
(ω02
−
ω 2 )2
+
γ 2 ω2
exp(i(ωt + ϕ));
(61)
eE0 /m
,
ω02 −ω 2 )+iγω
also insgesamt
tγϕ = −
γω
.
ω02 − ω 2
(62)
Hierbei ist ϕ dann der Phasenunterschied zwischen E und P . Vergleiche hierzu auch Abschnitt 3.1.
Das Fernfeld des abstrahlenden Dipols p = −ex(t) im Abstand r ist
eω 2 x0
r
E0 = −
exp iω
.
(63)
2
4πε0 c0 r
c0
Nun wollen wir die soeben angestellten Betrachtungen
auf viele Dipole ausweiten. Deshalb untersuchen
R
wir jetzt alle Dipole in der Scheibe ∆z N dA. Vergleiche auch Abbildung 13. Für das Gesamtfeld
E(z) gilt (im Schritt von der ersten zur zweiten Zeile wird genutzt, dass %d% = rdr, siehe Abb. 13)
Z ∞ exp −iω r
2
c0
eω x0 exp(iωt)
E(z) = −
∆z
N
2π%d%
4πε0 c20
r
0
Z
∞
eω 2 x0 exp(iωt)
r
= −
∆z
N exp −iω
dr
2
2ε0 c0
c
0
r=z
∞
eω 2 x0 exp(iωt)
r
c0
= −
∆z
B
exp
−iω
2ε0 c20
iω
c0 z
iωex0 N ∆z
z
=
exp iω t −
.
2ε0 c0
c0
21
Integrierter Kurs Physik III
4
Brechungsindex und Dispersion
Abbildung 13: Schicht der Dicke ∆z des Mediums mit Dipolen.
0 /m
Jetzt wird noch x0 = − (ω2 eE
aus dem Lorentz-Modell eingesetzt. Beachte, dass jetzt r = z.
−ω 2 )+iγω
0
E(z) = −iω
∆z
r
N e2
E
exp
iω
t
−
.
0
c0 2ε0 m((ω02 − ω 2 ) + iγω)
c0
(64)
Wir setzten jetzt die Gleichungen (58) und (64) gleich. Damit erhalten wir
n=1+
N e2
= n(ω)
− ω 2 ) + iγω
(65)
2ε0 m((ω02
Hierbei ist m nach wie vor die Masse eines Elektrons. Das Lorentz-Modell geht von genau einer
Resonanzfrequenz aus. In Wirklichkeit haben Atome aber viele Resonanzfrequenzen. Hierin liegt eine
Schwäche des Modells.
4.4
Absorbtion und Imaginärteil von n
Gemäß der soeben gefunden Beziehung (65) gilt auch
n(ω) = 1 +
N e2 ((ω02 − ω 2 ) − iωγ)
= n0 − iκ = <(n) − i(−=(n))
2ε0 m((ω02 − ω 2 )2 + ω 2 γ 2 )
Daraus folgt
∆z
∆z
exp iω(n0 − 1)
exp(i(ωt − k0 z)) .
E(z) = E0 exp −ωκ
c0
c0
|
{z
}|
{z
}
Dämpfung
(66)
Welle
c0
Man kann die Absorbtionsläne ωκ
= k01κ sehen. Über diese Länge fällt die Welle auf das
(Hier ist e schon die Euler’sche Zahl).
Die Intensität einer Welle ist ja gegeben durch
I = c0 ε0 |E|2 .
22
1
e
fache ab
Integrierter Kurs Physik III
4
Brechungsindex und Dispersion
Mit dem Absorbtionskoeffizienten α gilt
I(z) = I0 exp(−αz).
Daraus folgt
α=
4π
κ = 2k0 κ.
λ0
(67)
Nun haben wir auch die Dispersionrelation
n0
=
κ =
4.5
N e2
ω02 − ω 2
2
2ε0 m (ω0 − ω 2 ) + γ 2 ω 2
2
Ne
jω
2ε0 m (ω02 − ω 2 ) + γ 2 ω 2
1+
(68)
(69)
Brechungsindex für Matrie, n > 1 (nicht n ≈ 1)
In deisem Abschnitt wollen wir also etwas dichtere Matrie betrachten. Wir beginnen mit der Materialgleichung
~ = ε0 εE
~ = ε0 E
~ + P~ .
D
(70)
Bisher haben wir die elektrische Polarisation P~ als sehr klein betrachtet. Das machen wir jetzt nicht
mehr. Wir setzen außerdem µ = 1, betrachten also ein nicht magnetisches Material. Wir setzen also
die Maxwell-Gleichungen
~
rotE
~
rotB
= −
~
∂B
∂t

(71)

~

~ ∂D 
= µ0 
j + ∂t 
|{z}
(72)
= %
(73)
=
(74)
neu
~
div D
|{z}
neu
~
divB
0
mit den gekennzeichneten neuen Termen voraus. Damit taucht P~ in der Wellengleichung auf.
4.5.1
Isolatoren
~ Aus
Bei Isolatoren gilt ~j = 0, % = 0, da σ = 0. (Zur Erinnerung: σ ist die Leitfähigkeit mit ~j = σ E.)
(70) und (72) folgt
~
~
~
~ = µ0 ∂ D = µ0 ε0 ∂ E + µ0 ∂ P
rotB
(75)
∂t
∂d
∂t
23
Integrierter Kurs Physik III
4
Brechungsindex und Dispersion
und wir erhalten jetzt die Wellengleichung
~ = µ0 ε0
∆E
~
~
∂2D
∂2E
+
µ
0
∂t2
∂t2
(76)
~ wobei α wieder die elektrische Polarisierbarkeit ist. Wir diskutieren die spezielle
mit P~ = N αE,
~ = (Ex , 0, 0) ist. Dann ist
Lösung dieser Gleichung, die eine ebene Welle mit ~k = (0, 0, kz ) und E
~
P = (Px , 0, 0), mit
Px = N αEx = N αE0 ei(ωt−kz) ,
wobei N die Anzahl der Dipole pro Volumen ist. Wir setzen E−x und Px in die Wellengleichung (76)
ein und erhalten
−k 2 Ex
=
k2
=
⇒
Mit n =
c0 k
ω
ω2 N α
ω2
Ex −
Ex
2
c0
ε0 c20
Nα
ω2
1
+
.
c20
ε0
−
erhalten wir
n2 = 1 +
Nα
.
ε0
(77)
Im Lorentz-Modell hatten wir gefunden
p=
e2 E
,
m(ω02 − ω 2 + iγω)
wobei sich p immer nur auf ein Atom bezieht, wegen p = αE. Es folgt
α=
⇒
e2
m(ω02 − ω 2 + iγω)
n2 = 1 +
ε0 m(ω02
e2 N
− ω 2 + iγω)
(78)
Für n → 1 geht dies in den Fall eines verdünnten Mediums über, der in Abschnitt 4.3 diskutiert
wurde.
4.5.2
Metalle
Bei Metallen gilt σ 6= 0, wegen der freien Elektronen. Jetzt ergibt sich aus (72) und dem Ohm’schen
~ als Wellengleichung
Gesetz ~j = σ E
~ =
∆E
~
1 ∂2E
+
c2 ∂t2
~
∂E
µ0 σ
| {z∂t}
Dämpfungsterm
24
.
(79)
Integrierter Kurs Physik III
4
Brechungsindex und Dispersion
An dieser Stelle wollen wir nicht diskutieren, welcher Teil der elektromagnetischen Welle tatsächlich
in das Metalle indringt (das machen wir später), sondern nur, wie die Welle im Medium gedämpft
wird. Wir betrachten also den Ansatz einer gedämpften Welle
~ t) = E0 e−α/2z ei(ωt−kz) .
E(z,
Hierbei ist α der Absorbtionskoeffizient. Es ist zu bemerken, dass die freien Elektronen im Metall
keine Rückstellkraft spüren, d.h. die Resonanzfrequenz ω0 = 0. Unter Betrachtung von (78) folgt
n2 = 1 −
N e2
.
ε0 m(ω 2 − iγω)
(80)
Die Dämpfung der Welle erfolgt weder der Stöße der Elektronenmit Gitterfehlstellen bzw. Gitterschwingungen (Drude-Modell). Die mittelere freie Weglänge werde hierbei mit l bezeichnet, die Geschwindigkeit der Elektronen sei ve und die Stoßzeit τ = vle = γ1 .
Im Drude-Modell (hier ohne tiedere Begründung) gilt
⇒
σ
=
n2 (σ)
=
N e2
N e2
τ=
m
mγ
σ/ε0
.
1+
iω(1 + iωτ )
(81)
Diese Geleichung wollen wir nun für zwei Fälle diskutieren.
1. Hohe Frequenzen ωτ 1. Dann gilt
n2 ≈ 1 −
mit der Plasmafrequenz ωp =
q
σ
ε0 τ
16
=
q
ωp2
σ/ε0
=
1
−
ω2 τ
ω2
N e2
ε0 m .
A ,
Bei Kupfer gilt beispielsweise σ = 6 · 104 Vm
τ = 2, 7 · 10−14 s und ωp = 1, 6 · 10 s. Die Plasmafrequenz ist die Frequenz, mit der das freie
Elektronengas gegen die Ionenrümpfe schwingt (siehe Festkörperphysik).
2. Niedrige Frequenz und große Dämpfung ωτ 1. Es gilt
r
σ
n ≈
(1 − i) = n0 − iκ
2ε0 ω
r
σ
mit κ =
.
2ε0 ω
q
2σω
Es gilt für den Absorbtionskoeffizienten α = 2k0 κ =
mit k0 = ωc00 . Die Welle wird auf
ε0 c20
q
ε0 c20
einer Strecke δ = α1 = 2σω
auf ihr 1/e-Faches abgeschwächt. Die Absorbtionslänge beträgt in
Metallen typischerweise einige 10 nm.
25
Integrierter Kurs Physik III
5
5 Lichtausbreitung in optisch anisotropen Medien
Lichtausbreitung in optisch anisotropen Medien
5.1
Überblick
Bisher wurde in der Diskussion der Vektorcharakter der elektromagnetischen Welle vernachlässigt, da n isotrop war. Im allge~ Vektors ab, es ist
meinen hängt aber n von der Richtung des Ealso n eine Funktion des Polarisationszustandes.
Im folgenden breite sich die Welle (abweichend von früheren
Diskussionen) in y-Richtung aus. Wie wir im Abschnitt 2.6 gesehen haben, lässt sich die Polarisation einer ebenen elektromagnetischen Welle wie in nebenstehender Abbildung darstellen. Hierbei
definiert α die Orientierung der Ellipse in der Polarisationsebene (x,z). Die Bauchigkeit der Ellipse
repräsentiert den Phasenwinkel ∆ϕ zwischen Ex und Ez . Es gilt also:
Ex = Ex0 ei(ky y−ωt) ,
(82)
i(ky y−ωt)
(83)
Ez = Ez0 e
.
Außerdem gilt
tan(2α) =
2Ez0 Ex0 cos(∆ϕ)
.
2 − E2
Ex0
z0
(84)
Die vier Parameter Ex0 , Ez0 , α und ∆ϕ beschreiben den Polarisationszustand vollständig.
Bemerkung:
Im isotropen Medium wird k → nk, es ändert sich nichts am Polarisationszustand beim Durchgang
durch das Medium. Es kann aber <(n) anisotrop sein, dann kann gelten
1. nx = ny 6= nz ⇒ uniaxiale Doppelbrechung
2. nx 6= ny 6= nz
⇒
3. nrechts 6= nlinks
⇒
biaxiale Doppelbrechung
zirkuläre Doppelbrechung, optische Aktivität.
Auch =(n) =
ˆ κ kann anisotrop sein, d.h. es kommt zu anisotroper
Absorption. Hierbei kann gelten:
1. κx = κy 6= κz
⇒
linearer Dichroismus
2. κx 6= κy 6= κz
⇒
biaxialer Dichroismus
3. κrechts = κlinks ⇒
zirkularer Dichroismus
Bemerkung:
In all diesen Fällen ändert sich der Polarisationszustand der elektromagnetischen Welle beim Durchgang (bis auf Spezialfälle!).
26
Integrierter Kurs Physik III
5 Lichtausbreitung in optisch anisotropen Medien
Abbildung 15: Bestandteile der em. Welle im isotropen Medium.
Abbildung 14: Bestandteile der em. Welle im Vakuum.
5.2
Abbildung 16: Bestandteile der em. Welle im optisch
anisotropen Medium ohne
Ladung.
Brechungsindexellipsoid
Zunächst überlegen wir uns, wie die elektromagnetische Welle aussieht. Wir starten mit unseren
Überlegungen bei den Maxwell-Gleichungen für elektromagnetische Wellen (im k-Raum).
~
∇·B
~
∇·D
~
i~k × H
~
i~k × E
~ =0⇒B
~ ⊥ ~k
i~k · B
~ =0⇒D
~ ⊥ ~k
= 0 ⇒ i~k · D
~
= −iω D
~
= iω B
=
0
⇒
(85)
(86)
(87)
(88)
Für µ = 1 folgt
~ =B
~
µ0 H
⇒
~ k B.
~
H
~k × (~k × E)
~
=
~
µ0 ω~k × H
Aus (88) folgt
(87)
=
~
−µ0 ω 2 D
(89)
Es gilt hierbei
~ = k 2 E cos(ϑ) = µ0 ω 2 D.
|~k × (~k × E)|
(90)
Im allgemeinen ist ϑ 6= 0, damit die obige Gleichheit erfüllt ist. Man hat die Phasengeschwindigkeit
2
~ kH
~ folgt die in Abbildung 16 eingezeichnete
v = ωk und somit v 2 = ωk2 = E µcos(ϑ)
. Mit vecB ⊥ ~k und B
0D
~ Somit ist der Poyntingvektor S
~=E
~ ×H
~ gegenüber ~k um den Winkel ϕ gekippt,
Orientierung von H.
also im allgemeinen nicht mehr parallel zur Ausbreitungsrichtung. Die Energie der Welle fließt also in
eine andere Richtung als ~k!
~ = ε0 εE
~ ist ε also jetzt ein Tensor ε = ε̂, (da D
~ nicht parallel zu E).
~ Wir
In der Beziehung D
27
Integrierter Kurs Physik III
6
Reflexion und Brechung elektromagnetischer Wellen
betrachten also jetzt den Dielektrischen Tensor

ε11
ε̂ =  ε21
ε31
welcher diagonalisiert werden kann zu


ε1 0 0
ε̂ =  0 ε2 0 
0 0 ε3

ε13
ε23  ,
ε33
ε12
ε22
ε32
(91)
ε−1
1
= 0
0

mit ε̂−1
0
ε−1
2
0
0
0
ε−1
3

(92)

Gilt ε1 6= ε2 6= ε3 , so ist er biaxial, und bei ε1 = ε2 6= ε3 bzw. ε1 6= ε2 = ε3 bzw. ε1 = ε3 6= ε2 uniaxial.
~ ·D
~ =
Aus der Forderung, dass die Energiedichte der Welle im Medium konstant sein soll, d.h. E
konst. ≡ 1 folgt durch Einsetzen
~ · ε̂−1 · D
~
D

oder
~ · ε−1/2 · 
D
0
⇒
ε−1
1
0
0
0
ε−1
2
0
Dx2 ε−1
0
+
ε1
0
0
~ · ε−1/2 = 1
·D
0
ε−1
3
Dy2 ε−1
0
ε2
= ε0

+
Dz2 ε−1
0
= 1.
ε3
(93)
Wir haben also eine Ellipsoidengleichung für D erhalten. Die Axenlängen dieses Ellipsoiden (cf. Abbil√
√
√
dung 17) sind ε1 ε0 , ε2 ε0 und ε3 ε0 , d.h. n1 , n2 und n3 . Der Brechungsindex eines biaxial optisch
anisotropen Mediums hat die Form eines Ellipsoiden mit den Hauptachsenwerten n1 , n2 und n3 . Nun
gilt
v2
⇒
⇒
n
n2y
n2x
n2
+
+ z
ε1
ε1
ε1
c2 wie oben E cos(ϑ)
ED cos(ϑ)
=
=
n2
µ0 D
µ0 D2
D
√
= c0 µ0 D =
sqrtε0
=
=
1=
~ D=1
~
E·
=
1
µ0 D2
n2y
n2x
n2
+
+ z .
n1
n2
n3
(94)
Wir sehen, dass auch der Brechungsindex ein Ellipsoid ist. Dieser Ellipsoid ist in Abbildung 18 veranschaulicht.
6
Reflexion und Brechung elektromagnetischer Wellen
In den bisherigen Abschnitten wurde das Verhalten von elektromagnetischen Wellen in unendlich ausgedehnten Medien diskutiert. Nun soll der Übergang elektromagnetischer Wellen zwischen Materialien
mit unterschiedlichen Material-Parametern betrachtet werden.
28
Integrierter Kurs Physik III
6
Reflexion und Brechung elektromagnetischer Wellen
Abbildung 17: Ellipsoid der elektrischen Verschiebungsdichte
Abbildung 18: a) Brechugsindexellipsoid, b) Schnitt durch den
Brechungsindexellipsoid
6.1
Wiederholung: Feldverhalten an Grenzflächen
Die Maxwell-Gleichungen gelten für Bereiche, in denen die Materialparameter ε, µ, σ etc. stetig sind.
Material 1 und 2 seien beschrieben durch unterschiedliche Materialgleichungen. Eine Grenzfläche wird
durch Grenzschicht mit Dicke dh, wo µ, σ, ... stetig sind, genähert.
Annahme: Für dh → 0 bleiben die Felder und ihre zeitliche Ableitung endlich.
• 1. Maxwell-Gleichung:
ˆ · (B
~ = ~0 ⇒ ~n
~ (2) − B
~ (1) ) = ~0
∇·B
(95)
~ (2) := B(z
~ & 0, x, y). Die Normalkomponente von B
~ ist immer stetig
Hierbei ist B
• 2. Maxwell-Gleichung:
ˆ × (E
~ +B
~˙ = ~0 ⇒ ~n
~ (2) − E
~ (1) ) = ~0
∇×E
(96)
~ sind immer stetig.
Die Tangentialkomponenten von E
• 3. Maxwell-Gleichung:
ˆ · (D
~ = %ext ⇒ ~n
~ (2) − D
~ (1) ) = %F
∇·D
(97)
~ ist stetig, oder falls dies keine Lösung der Materialgleichungen erlaubt,
Die Normalkomponente D
R
springt sie um eine Oberflächenladung %F = limdh→0 A1 dV d3 r%ext .
29
Integrierter Kurs Physik III
6
Reflexion und Brechung elektromagnetischer Wellen
• 4. Maxwell-Gleichung:
ˆ × (H
~ = jext
~˙ ⇒ ~n
~ (2) − H
~ (1) ) = ~jF
~ +D
∇×H
(98)
~ ist stetig, oder falls dies keine Lösung der Maxwell-Gleichungen
Die Tangentialkomponente von H
R
und Materialgleichungen erlaubt, springt sie um den Oberflächenstrom ~jF = limdh→0 L1 dA d~o·~j.
6.2
6.2.1
Energiefluss durch eine Grenzfläche
~=E
~ ×H
~
Verhalten des Poyntingvektors S
Abbildung 19: Energiefluss durch eine Grenzfläche.
Wir betrachten den in Abbildung 19 dargestellten Zylinder an der Grenzfläche. Es gilt im Zylinder
Energieerhaltung und somit
Z
I
~
~
d3 r(∂t u + ~jext · E)
=
−
d~o · S
d
V
∂ dV
|
{z
}
|
{z
}
Energieänderung
Energiefluss durch geschl. Oberfl.
Z
=
~−
d~o · S
−
Mantel
d→0
−→
Z
Z
ˆ) · S
~−
do(−~n
A1
ˆ · (S
~ (1) − S
~ (2) )
do ~n
A
Nun treffen wir die folgenden Annahmen.
R
dh→0
• u̇ ist endlich ⇒ dV d3 u̇ −→ 0.
30
Z
ˆ·S
~
do ~n
A2
(99)
Integrierter Kurs Physik III
~ ist endlich ⇒
• S
R
Mantel
6
Reflexion und Brechung elektromagnetischer Wellen
h→0
~ d−→
d~o · S
0.
• Für die Oberflächenstromdichte entlang der Oberfläche gilt
Z
Z
dh→0 ~ k
3 ~
~
d rjext · E −→ E
d~o · ~jext .
dV
A
Da A beliebig ist, folgt
ˆ (S
~ (2) − S
~ (1) ) = −~jF · E
~ k.
~n
~ ist stetig oder springt um Joule’sche Wärme des Oberflächenstroms
Dir Normalkomponente von S
~
mit jF .
6.2.2
Zeitlich gemittelter Energiefluss
~ B,
~ H
~ ∝ eiωt . Ist T =
Bei einer monochromatischen elektromagnetischen Welle gilt E,
der Schwingung, dann gilt
Z T
2
~ × <(H)
~
~
dt<(E)
hSi
=
=
T
0
Z T
~ H/µ
~
1
B=
0
~ +E
~ ∗ ) × (B
~ +B
~ ∗ ).
=
dt(E
4T µ0 0
2π
ω
die Periode
(100)
~ ×B
~ ∝ e2iωt , E
~∗ × B
~ ∗ ∝ e−2iωt und
Da E
Z T
dte±2iωt = e±iωt − 1 = 0
0
folgt
ε0 c2 ~ ∗ ~
<(E × B),
(101)
2
~ B
~ ∝ eiωt . Für transversale monochromatische Welle mit ~k · E
~ 0 = ~k · B
~0
~ 0 = 0 und B
~ 0 = 1 ~k × E
wenn E,
ω
folgt
!
2
~k
ε
c
0
2
~ =
~ <
hSi
|E|
.
(102)
2
ω
~ =
hSi
6.3
Brechungs- und Reflexionsgesetze
Wir betrachten eine ebene Grenzfläche zwischen zwei Medien 1 und 2, sowie eine einfallende elektromagnetische Welle, (welche im folgenden mit I für engl. „incoming“ indiziert werden wird). Es gehört
~ I und die Phase ϕI , zur reflektierten Welle E
~ R und die Phase ϕR und
also zur einfallenden Welle E
~
zur transmittierten Welle ET und ϕT . Die Indizes werden auch in Abbildung 20 eingeführt.
Das Material 1 (bei z < 0) sei o.B.d.A. ein ideales Dielektrikum. Die Felder in 1 und 2 müssen
die Maxwell-Gleichungen und die Materialgleichungen lösen, sowie die in Abschnitt 6.1 diskutierten
Stetigkeitsbedingungen erfüllen. Zur Vereinfachung betrachten wir eine ebene monochromatische Welle
mit ϕi = ωi t − ~ki · ~r, i ∈ {I, R, T }.
31
Integrierter Kurs Physik III
6
Reflexion und Brechung elektromagnetischer Wellen
Abbildung 20: Einfallende, reflektierte und transmittierte em. Welle.
6.3.1
Kinematische Einschränkungen
Wegen der Stetigkeitsbedingungen müssen die Phasen an der Grenzfläche, also bei z = 0 gleich sein.
(Es treten also etwaige Konstanten in den E-Vektoren auf.)
!
!
ωI t − ~kI · ~r
= ωR t − ~kR · ~r
= ωT t − ~kT · ~rT
(103)
z=0
z=0
Die Gleichung (103) wenn das Licht „die selbe Farbe hat“, also ωI = ωR = ωT gilt. Wir sehen also,
dass die Dispersionsrelationen ω = ω(k) in Material 1 und 2 zur Definition von Brechungsindizes ni (ω)
verwendet werden können:
ω
ki (ω) = ni (ω),
(104)
c
wobei für Medium 1 i ∈ {I, R} und für Medium 2 i = T .
(A) Reflexion
Die Gleichung (103) ist nur erfüllt für alle ~r|z=0 = (x, y, z = 0)T = ~rk , also
Abbildung 21: Einfallende und reflektierte em. Welle.
32
Integrierter Kurs Physik III
6
~kI · ~rk
I
k
kI
=
!
Reflexion und Brechung elektromagnetischer Wellen
kIx x + kIy y = ~kR · ~rk
k
= kR .
Die Tangentialkomponenten von ~kI ud ~kR müssen also gleich sein. Daraus kann man Aussagen
über den Einfallswinkel α der Welle und ihren Ausfallswinkel α0 treffen. Es gilt
ω
k
|~kI | = |~kI | · sin(α) = n · sin(α)
c
ω
k
0
~
~
|kR | = |kR | · sin(α ) = n · sin(α0 ),
c
und smit folgt sofort α = α0 , bei der Reflexion gilt also „Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel“.
(B) Brechung
k
k
k
Analog zum oberen Fall ist (103) nur erfüllt für alle ~r|z=0 , falls ~kI = ~kT mit Winkel |~kT | =
Abbildung 22: Einfallende und transmittierte em. Welle.
|~kT | sin(β). Wenn (zur Vereinfachung) das Medium 2 ein ideales Dielektrikum ist, d.h. |~kT | =
ω
c n2 , dann folgt das Brechungsgesetz nach Snellius
n1 sin(α)
⇔
sin(α)
=
n2 sin(β)
=
n2
n sin(β) (mit) n =
.
n1
(105)
Für n > 1 ist β < α, es findet also eine Brechung zum Lot hin statt, für n < 1 gilt β > α, die
Welle wird also vom Lot weg gebrochen.
6.3.2
Reflexions- und Transmissionkoeffizienten
In diesem Unterabschnitt wird es um die Frage gehen, wie viel von der einfallenden elektromagnetischen
Welle durch eine Grenzfläche hindurch geht und wie viel zurück kommt.
(A) Zunächst betrachten wir den Sachverhalt allgemein bei (zur Vereinfachung) senkrechtem Einfall
k
(⇒ α = 0) der Welle. Es folgt β = 0 und ~ki = 0.
33
Integrierter Kurs Physik III
6
Reflexion und Brechung elektromagnetischer Wellen
ˆ = ~eˆz . Die Dispersionsrelation liefert
Sei im folgenden ~n
ˆ = ω n1~n
ˆ = k1~n
ˆ
~kI = kI ~n
c
ˆ = − ω n1~n
ˆ = −k1~n
ˆ,
~kR = −kR~n
c
ˆ = ω n2 (ω)~n
ˆ = k2 (ω)~n
ˆ.
~kT = kT ~n
c
in Medium 1:
in Medium 2:
Wir verwenden den Ansatz transversaler ebener monochromatischer Wellen.
(1) z < 0:





iωt
~ t) = e 
E(z,






EIx
 EIy  eik1 z
0
|
{z
}
nach rechts laufende Welle
cf. d’Alambert in 2.2

+

ERx
 ERy  eik1 z
0
|
{z
}








(106)
nach links laufende Welle
Wir haben also ein Superposition von einer nach rechts laufenden und einer nach links
laufenden Welle. Dies erfüllt die Maxwell-Gleichungen im idealen Dielektrikum 1, wenn
~ = 1 ~k × E
~
B
ω





−EIy
ERy
n
1
~ t) =
⇒ B(z,
eiωt  EIx  e−ik1 z +  ERx  eik1 z  .
(107)
v
0
0
(2) z > 0:
Für die nach rechts laufende Welle läuft die Diskussion im Wesentlichen analog. Es gilt



ET x
~ t) = eiωt  ET y  e−ik2 z  .
(108)
E(z,
0
Wir haben also eine transversale Welle



−ET y
n
(ω)
1
2
~ t) = ~k2 × E
~ =
B(z,
eiωt  ET x  e−ik2 z  .
ω
c
0
(109)
Damit sind die Maxwell-Gleichungen im Medium 2 erfüllt.
Diese Ansätze sind so gewählt, dass die Stetigkeitsbedingungen bei z = 0 erfüllt werden können.
Dies führen wir uns nochmal kurz vor Augen.
ˆ·E
~ normal ist stetig, da ~n
~ i = 0 für i ∈ {I, R, T }.
• D
ˆ·B
~ normal ist stetig, da ~n
~ i = 0 für i ∈ {I, R, T }.
• B
34
Integrierter Kurs Physik III
6
Reflexion und Brechung elektromagnetischer Wellen
~ tangential ist stetig, da EIx/y + ERx/y = ET x/y .
• E
~ tangential ist stetig, da n1 (EI − ER ) = n2 ET .
• H
Man kann die Amplitudenfaktoren
R
=
T
=
ER
n1 − n2
1−n
=
=
EI
n1 + n2
1+n
ET
2n1
2
=
=
EI
n1 + n2
1+n
(110)
(111)
ableiten, (wobei wieder n = n2 /n1 ist). Hierbei ist R die Reflexionsamplitude (Achtung: man
verwendet auch häufig r!) und T die Transmissionsamplitude.
~ der einzelnen diskutierten
Nun betrachten wir noch den über die Zeit gemittelten Energiefluss hSi
Wellen. Es gilt
~I i =
hS
~R i =
hS
ε0 ωc ~ 2 ˆ
|EI | n1~n,
2
ε0 ωc ~ 2 2 ˆ
|EI | |R| n1~n,
−
2 | {z }
(112)
(113)
~ R |2
=|E
~T i =
hS
ε0 ωc ~ 2 2
ˆ.
|EI | |T | <(n2 ) ~n
{z
}
2 |
(114)
~ T |2 n2 )
=<(|E
Hieraus kann man den Reflexionskoeffizienten r und den Transmissionskoeffizienten t folgern.
r
:=
t :=
ˆi
~R · ~n
−hS
= |R|2
ˆ
~
hSI · ~ni
(115)
ˆi
~T · ~n
hS
n + n∗
= |T |2
ˆi
2
hSI · ~n
(116)
Anschaulich ist der Reflexionskoeffizient r der relative Anteil des Energieflusses, der reflektiert
wird und entsprechend ist t der relative Anteil des Energieflusses, der durch die Grenzfläche
geht. Da (ohne ~jF (cf. hierzu Abschnitt 6.1)) S stetig ist, gilt r + t = 1 .
(B) Anwendung: Sei Material 2 ein ideales Dielektrikum (d.h. n ∈ R). In der Abbildung 23 wird die
Refelxionsamplitude, und in Abbildung 24 die Transmissionsamplitude, sowie der Regfelxionskoeffizient und der Transmissionskoeffizient qualitativ veranschaulicht. Man sieht einen Phasensprung (R < 0) der reflektierten Welle bei n > 1. Zahlenbeispiel: Luft-Glas: n ≈ 1, 5, r = 4%. Es
liegt also eine geringe Reflexion vor.
Für die Anwendung benötigt man oft den umgekehrten Fall. (Vergleiche Abbildung 25). Bei
35
Integrierter Kurs Physik III
6
Reflexion und Brechung elektromagnetischer Wellen
Abbildung 24: Reflexionskoeffizient r und
Transmissionskoeffizient t aufgetragen über n.
Abbildung 23: Reflexionsamplitude R und
Transmissionsamplitude T aufgetragen über n.
Abbildung 25: Umgekehrt: Em. Welle vom dickeren ins dünnere Medium.
36
Integrierter Kurs Physik III
Abbildungsverzeichnis
vertauschter Rolle der Materialien folgt
R0
T0
6.3.3
⇒
r0
⇒
t0
n2 − n1
= −R
n1 + n2
2n2
n2
=
=
T
n1 + n2
n1
= |R0 |2 = r
2
n1
n2
=t
=
T
n2
n1
=
Grenzwinkel αT der Totalreflexion am optisch dünnen (d.h. n2 < n, n < 1) Material
k
k
Bei diesem Grenzwinkel αT müssen die Bedingungen ~kI = ~kT und ωI = ωT erfüllt sein, wobei
ˆ + ~k k . Der senkrechte Anteil der transmittierten Welle
~kI = ~k ⊥ + ~k k und ~kT = ~k ⊥ + ~k k = k ⊥~n
t
I
T
T
I
T
=
=
k
|~kT |2 − |~kT | = (~kT⊥ )2
ω 2
ω 2
ω 2
k
n22 − |kI |2 =
n22 −
n21 sin2 (α)
c
c
c
|~kI |2 (n2 − sin2 (α))
kann negativ werden, weil nach Annahme n < 1. Also gilt für α > αT (mit dem Grenzwinkel αT :
ˆ mit Eindringtiefe l ∈ R, so dass die Felder in Material 2
sin(αT ) = n = n2 /n1 < 1), dass ~kT⊥ = −i
n
l ~
exponentiell abfallen. Es gilt dann
⊥
z
E ∝ e−ikT z ∝ e− l .
Bemerkung:
• Die mathematische Lösung ∝ ez/l ist unphysikalisch, weil ja sonst das Feld im Medium exponentiell anwachsen würde.
• Alle Energie wird reflektiert r(α > αT ) = 1, t(α > αT ) = 0.
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
Beliebiges Volumen V , durch welches ein magnetischer Fluss betrachtet wird. . .
Beliebige Fläche A in der x-y-Ebene, durch die ein magnetischer Fluss betrachtet
~ durch Fläche A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Magnetfeld B
Festes Volumen V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
In einen Leiter integrierter Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
~k steht senkrecht auf den Wellenfronten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bewegung von Wellenfronten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
. . .
wird.
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
4
4
5
6
7
10
11
Integrierter Kurs Physik III
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Abbildungsverzeichnis
Kugelwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E-und B-Feld einer elektromagnetischen Welle. . . . . . . . . . . . . . . . .
Leistungsabstrahlung eines oszillierenden Dipols. . . . . . . . . . . . . . . .
Linear polarisierte elektromagnetische Welle. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Linkszirkular polarisierte elektromagnetische Welle. . . . . . . . . . . . . .
Schicht der Dicke ∆z des Mediums mit Dipolen. . . . . . . . . . . . . . . .
Bestandteile der em. Welle im Vakuum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bestandteile der em. Welle im isotropen Medium. . . . . . . . . . . . . . . .
Bestandteile der em. Welle im optisch anisotropen Medium ohne Ladung. .
Ellipsoid der elektrischen Verschiebungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . .
a) Brechugsindexellipsoid, b) Schnitt durch den Brechungsindexellipsoid . .
Energiefluss durch eine Grenzfläche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einfallende, reflektierte und transmittierte em. Welle. . . . . . . . . . . . .
Einfallende und reflektierte em. Welle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einfallende und transmittierte em. Welle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reflexionsamplitude R und Transmissionsamplitude T aufgetragen über n. .
Reflexionskoeffizient r und Transmissionskoeffizient t aufgetragen über n. .
Umgekehrt: Em. Welle vom dickeren ins dünnere Medium. . . . . . . . . .
38
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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