5.4. Der Erwartungswert für reellwertige Zufallsvariable, deren

5.4. Der Erwartungswert für reellwertige Zufallsvariable, deren Verteilung eine Dichte (bzgl. des Lebesguemaßes) besitzt. Die Verteilung einer
(R, B(R))-wertigen Zufallsvariable X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P)
habe eine Dichte f bzgl. des Lebesguemaßes, d.h., 1
Z
dx f (x), A ∈ B(R).
PX [A] = P[X ∈ A] =
A
2
Es sei vorausgesetzt, daß X integrabel ist . Nun folgt
E[X] =
3
lim E[X(2n ) ]
n→∞
k
k
n
P
X
=
(2 )
n→∞
2n
2n
k=−∞
{z
}
|
= PX [k2−n , (k + 1)2−n
Z (k+1)2−n
∞
X
k
= lim
dx f (x)
n→∞
2n k2−n
k=−∞
Z ∞
1
5
dx n ⌊x2n ⌋f (x)
=
lim
n→∞ −∞
2
| {z }
ր x, falls n → ∞
Z ∞
=6
dx xf (x).
=
4
lim
∞
X
−∞
Bemerkung. Für eine Rd -wertige Zufallsvariable X mit Dichte f und eine meßbare
Funktion H : (Rd ,RB(Rd )) → (R, B(R)) ist die Zufallsvariable H(X) integrabel,
wenn E[|H(X)|] = Rd dx |H(x)|f (x) < ∞. In diesem Fall ist
Z
E[H(X)] =
dx H(x)f (x).
Rd
1Mit P wird die Verteilung von X bezeichnet. Diese Verteilung ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß
X
auf dem meßbaren Raum (R, B(R)), vgl. Abschnitt 2.1. Die Charakterisierung eines Wahrscheinlichkeitsmaßes mit Dichte findet sich in Abschnitt 1.9.
2Vgl. Abschnitt 5.3. Dort wird die Integrabilität einer beliebigen (R, B(R))-wertigen Zufallsvariable X auf die ihrer diskreten Approximationen X(n) , n ∈ N, zurückgeführt. Es sei daraufhingewiesen, daß die unten folgende
R Bemerkung impliziert, daß im vorliegenden Fall die Integrabilität
von X durch die Bedingung R dx |x|f (x) < ∞ gewährleistet wird.
3Vgl. Abschnitt 5.3. Dort wird die Folge X , k ∈ N, diskreter Approximationen für die
(k)
Zufallsvariable X beschrieben.
4
Hier wird die Definition des Erwartungswerts für diskrete Zufallsvariable benutzt, vgl. Abschnitt 5.1. Außerdem findet die Tatsache, daß X(2n ) die Werte k2−n , k ∈ Z, jeweils mit der
Wahrscheinlichkeit P[X ∈ [k2−n , (k + 1)2−n )] annimmt, Verwendung.
5
Beachte, daß k2−n = ⌊x2n ⌋/2n , falls x ∈ [k2−n , (k + 1)2−n ).
6
Nach dem Satz von der monotonen Konvergenz, vgl. Abschnitt 5.2.3. Beachte, daß dieser
Satz auch für allgemeine, reellwertige Zufallsvariablen gilt, vgl. Bemerkung (i) in Abschnitt 5.3.
Er wird hier angewandt auf die reellwertigen Zufallsvariablen Yn , n ∈ N, und Y auf (R, B(R), PX )
mit Yn (y) = ⌊y2n ⌋/2n , y ∈ R, n ∈ N, und Y (y) = y, y ∈ R.
1