Feynmanregeln - Institut für Kern

Prolog
Grundfrage der Quantenmechanik:
:
gewünscht zur Zeit t :
gegeben zur Zeit t0
ji (t0 )i
hf (t )ji (t0 )i
!Wahrscheinlichkeitsamplitude für Prozess
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
Prolog
Grundfrage der Quantenmechanik:
:
gewünscht zur Zeit t :
gegeben zur Zeit t0
ji (t0 )i
hf (t )ji (t0 )i
!Wahrscheinlichkeitsamplitude für Prozess
Möglichkeit:
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
Prolog
Grundfrage der Quantenmechanik:
:
gewünscht zur Zeit t :
gegeben zur Zeit t0
ji (t0 )i
hf (t )ji (t0 )i
!Wahrscheinlichkeitsamplitude für Prozess
Möglichkeit:
hf (t )ji (t0 )i =
X
hf (t )jai haji (t0 )i
a
! Summe von Produkten einfacherer Amplituden
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
Feynmanregeln
Hauptseminarvortrag mit zwei Zwecken
Dominik Stöckinger
Institut für Kern- und Teilchenphysik
19. April 2011
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
Zweck 1 (für Publikum): Verständnis von Feynmanregeln
Was? Woher? Wie?
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
Zweck 1 (für Publikum): Verständnis von Feynmanregeln
Was? Woher? Wie?
Zweck 2 (für Sprecher): Test einer Mischung Vorlesung/Seminar
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
Outline
1
Was sind Feynmanregeln?
2
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
3
Wie sehen Feynmanregeln genau aus?
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
Was sind Feynmanregeln?
Outline
1
Was sind Feynmanregeln?
2
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
3
Wie sehen Feynmanregeln genau aus?
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
Was sind Feynmanregeln?
Feynmandiagramme
~t
g
q
q
H
~
g
; ~
gq
! g~ q~
Drei Elemente:
Linien für ein-/auslaufende Teilchen
Linien für innere Teilchen
Vertizes (Punkte) für Wechselwirkungen
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
Was sind Feynmanregeln?
Feynmandiagramme
F: Was bedeuten die Feynmandiagramme?
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
Was sind Feynmanregeln?
Feynmandiagramme
F: Was bedeuten die Feynmandiagramme?
A: Wahrscheinlichkeitsamplitude!
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
Was sind Feynmanregeln?
Feynmandiagramme
F: Was bedeuten die Feynmandiagramme?
A: Wahrscheinlichkeitsamplitude!
Bedeutung
Wahrscheinlichkeitsamplitude
für gegebenen Prozess
= Summe aller Feynmandiagramme
Feynmanregeln: Welche Diagramme/Elemente, Rechenregeln
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
Was sind Feynmanregeln?
Prolog
Grundfrage der Quantenmechanik:
:
gewünscht zur Zeit t :
gegeben zur Zeit t0
ji (t0 )i
hf (t )ji (t0 )i
!Wahrscheinlichkeitsamplitude für Prozess
Möglichkeit:
hf (t )ji (t0 )i =
X
hf (t )jai haji (t0 )i
a
! Summe von Produkten einfacherer Amplituden
Dies liefert die Feynmandiagramme!
Allgemein: Viele Versionen von Feynmanregeln, viele
Herleitungen
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
Outline
1
Was sind Feynmanregeln?
2
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
3
Wie sehen Feynmanregeln genau aus?
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
Fragestellung
einfaches System, harmonischer Oszillator: H0 , EZe jai
= H0 + V
F: Zeitentwicklung des vollen Systems Af i = hf (t )ji (t0 )i
kleine Störung: V , volles System: H
(andere Fragen:
Eigenwerte von H, andere Operatormatrixelemente ! heute nicht)
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
Zeitentwicklungsoperator
(
)
U t2 ; t1 definiert durch
j (t2 )i = U (t2; t1 )j (t1 )i
Schrödinger-Gleichung äq. zu
( ) = HU (t ; t1 );
i t U t ; t1
Dominik Stöckinger
(
U t1 ; t1
)=1
Feynmanregeln
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
Zeitentwicklungsoperator
(
)
U t2 ; t1 definiert durch
j (t2 )i = U (t2; t1 )j (t1 )i
Schrödinger-Gleichung äq. zu
( ) = HU (t ; t1 );
i t U t ; t1
(
U t1 ; t1
)=1
Damit bei uns:
j (t0 )i = ji i
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
Zeitentwicklungsoperator
(
)
U t2 ; t1 definiert durch
j (t2 )i = U (t2; t1 )j (t1 )i
Schrödinger-Gleichung äq. zu
( ) = HU (t ; t1 );
i t U t ; t1
(
U t1 ; t1
)=1
Damit bei uns:
j (t0 )i = ji i
j (t )i = U (t ; t0 )ji i
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
Zeitentwicklungsoperator
(
)
U t2 ; t1 definiert durch
j (t2 )i = U (t2; t1 )j (t1 )i
Schrödinger-Gleichung äq. zu
( ) = HU (t ; t1 );
i t U t ; t1
(
U t1 ; t1
)=1
Damit bei uns:
j (t0 )i = ji i
j (t )i = U (t ; t0 )ji i
Af i = hf jU (t ; t0 )ji i
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
U (t ; t0 ) =?: zeitabh. Störungstheorie
Ohne Störung (Schr.-Gl. mit H0 ):
( )=e
U0 t ; t0
Dominik Stöckinger
(
iHo t t0
)
Feynmanregeln
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
U (t ; t0 ) =?: zeitabh. Störungstheorie
Ohne Störung (Schr.-Gl. mit H0 ):
( )=e
U0 t ; t0
(
iHo t t0
)
Mit Störung ! def. Wechselwirkungsbild:
( ) := eiH t Ve iH t
UI (t ; t0 ) := eiH t U (t ; t0 )e
VI t
0
0
Dominik Stöckinger
0
iH0 t0
Feynmanregeln
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
U (t ; t0 ) =?: zeitabh. Störungstheorie
Ohne Störung (Schr.-Gl. mit H0 ):
( )=e
U0 t ; t0
(
iHo t t0
)
Mit Störung ! def. Wechselwirkungsbild:
( ) := eiH t Ve iH t
UI (t ; t0 ) := eiH t U (t ; t0 )e
VI t
0
0
0
iH0 t0
Dieses UI erfüllt eine neue Schr.-Gl.:
( ) = eiH t ( H0 + H )U (t ; t0 )e
= VI (t )UI (t ; t0 )
i t UI t ; t0
Dominik Stöckinger
0
iH0 t0
Feynmanregeln
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
U (t ; t0 ) =?: zeitabh. Störungstheorie
Ohne Störung (Schr.-Gl. mit H0 ):
( )=e
U0 t ; t0
(
iHo t t0
)
Mit Störung ! def. Wechselwirkungsbild:
( ) := eiH t Ve iH t
UI (t ; t0 ) := eiH t U (t ; t0 )e
VI t
0
0
0
iH0 t0
Dieses UI erfüllt eine neue Schr.-Gl.:
( ) = eiH t ( H0 + H )U (t ; t0 )e
= VI (t )UI (t ; t0 )
i t UI t ; t0
0
Daher lässt sich UI leicht gewinnen durch
( )=1
UI t ; t0
Dominik Stöckinger
Zt
i
t0
iH0 t0
Rt
t0 :
( ) (
dt1 VI t1 UI t1 ; t0
)
Feynmanregeln
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
U (t ; t0 ) =?: zeitabh. Störungstheorie
Integralgleichung
( )=1
UI t ; t0
Zt
i
t0
( ) (
dt1 VI t1 UI t1 ; t0
)
kann iterativ gelöst werden:
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
U (t ; t0 ) =?: zeitabh. Störungstheorie
Integralgleichung
( )=1
UI t ; t0
Zt
i
t0
( ) (
dt1 VI t1 UI t1 ; t0
)
kann iterativ gelöst werden:
(0) = 1
UI
Dominik Stöckinger
: : : einsetzen auf r.S.
Feynmanregeln
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
U (t ; t0 ) =?: zeitabh. Störungstheorie
Integralgleichung
( )=1
UI t ; t0
Zt
i
( ) (
dt1 VI t1 UI t1 ; t0
t0
)
kann iterativ gelöst werden:
(0) = 1
: : : einsetzen auf r.S.
UI
(0;1) = 1
UI
Dominik Stöckinger
Zt
i
( )
dt1 VI t1 1
t0
Feynmanregeln
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
U (t ; t0 ) =?: zeitabh. Störungstheorie
Integralgleichung
( )=1
UI t ; t0
Zt
i
( ) (
dt1 VI t1 UI t1 ; t0
t0
)
kann iterativ gelöst werden:
(0) = 1
: : : einsetzen auf r.S.
UI
(0;1) = 1
UI
(0;1;2) = 1
U
I
Zt
i
Z
t0
t
( )
dt1 VI t1 1
( )
dt2 VI t2
i
t0
Zt
2
1
( )
dt1 VI t1
i
t0
:::
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
U (t ; t0 ) =?: zeitabh. Störungstheorie
Integralgleichung
Zt
( )=1
UI t ; t0
i
( ) (
dt1 VI t1 UI t1 ; t0
t0
)
kann iterativ gelöst werden:
Allgemeine Lösung:
Dyson-Reihe:
1
X
(n)
UI (t ; t0 ) =
UI (t ; t0 )
n=0
Zt
Zt
(n) (t ; t
UI
0
) = ( i )n
Dominik Stöckinger
2
dtn : : :
t0
t0
( )
( )
dt1 VI tn : : : VI t1
Feynmanregeln
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
U (t ; t0 ) =?: zeitabh. Störungstheorie
( ) = P1n=0 U (n) (t ; t0 )
Lösung für UI liefert Lösung für U t ; t0
U (n) t ; t0
( )=
Z
t tn ::: t1 t0
dtn : : : dt1
e
e
( ) (
iH0 (tn tn 1 )
(
iH0 t tn
:::
e
Dominik Stöckinger
(
iH0 t2 t1
)
(
)
iV )
iV
)
iV e
(
iH0 t1 t0
Feynmanregeln
)
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
U (t ; t0 ) =?: zeitabh. Störungstheorie
( ) = P1n=0 U (n) (t ; t0 )
Lösung für UI liefert Lösung für U t ; t0
U (n) t ; t0
( )=
t
tn
1
t1
..
.
Z
t tn ::: t1 t0
dtn : : : dt1
tn
e
t2
e
t0
e
Dominik Stöckinger
( ) (
iH0 (tn tn 1 )
(
iH0 t tn
:::
(
iH0 t2 t1
)
(
)
iV )
iV
)
iV e
(
iH0 t1 t0
Feynmanregeln
)
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
U (t ; t0 ) =?: zeitabh. Störungstheorie
( ) = P1n=0 U (n) (t ; t0 )
Lösung für UI liefert Lösung für U t ; t0
U (n) t ; t0
( )=
t
tn
1
t1
..
.
Z
t tn ::: t1 t0
dtn : : : dt1
tn
e
t2
e
t0
e
:::
n Wechselwirkungen, Zeiten t1
Dominik Stöckinger
( ) (
iH0 (tn tn 1 )
(
iH0 t tn
(
iH0 t2 t1
)
(
)
iV )
iV
)
iV e
(
iH0 t1 t0
: : : tn , geordnet
Feynmanregeln
)
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
U (t ; t0 ) =?: zeitabh. Störungstheorie
( ) = P1n=0 U (n) (t ; t0 )
Lösung für UI liefert Lösung für U t ; t0
U (n) t ; t0
( )=
t
tn
1
t1
..
.
Z
t tn ::: t1 t0
dtn : : : dt1
tn
e
t2
e
t0
e
:::
n Wechselwirkungen, Zeiten t1
an jeder Wechselwirkung:
Dominik Stöckinger
( ) (
iH0 (tn tn 1 )
(
iH0 t tn
(
iV
(
iH0 t2 t1
)
(
)
iV )
iV
)
iV e
(
iH0 t1 t0
: : : tn , geordnet
)
Feynmanregeln
)
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
U (t ; t0 ) =?: zeitabh. Störungstheorie
( ) = P1n=0 U (n) (t ; t0 )
Lösung für UI liefert Lösung für U t ; t0
U (n) t ; t0
( )=
t
tn
1
t1
..
.
Z
t tn ::: t1 t0
dtn : : : dt1
tn
e
t2
e
t0
e
:::
n Wechselwirkungen, Zeiten t1
an jeder Wechselwirkung:
( ) (
iH0 (tn tn 1 )
(
iH0 t tn
(
iV
(
iH0 t2 t1
(
)
iV e
(
iH0 t1 t0
: : : tn , geordnet
)
zwischen zwei Wechselwirkungen: e
Dominik Stöckinger
)
)
iV )
iV
(
iH0 tk tk
1
)
Feynmanregeln
)
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
Zurück zur Fragestellung
= +
System mit H H0 V
! Zeitentwicklungsoperator UI
! Störungstheorie
! Dysonreihe
! Feynmanregeln für U
Damit auch Feynmanregeln für
Af
i
= hf (t )ji (t0 )i =
X
hf jU (n) (t ; t0 )ji i
n
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
(n)
Feynmanregeln für Af
tn
1
(n)
(t ; t0 )ji i
Z
t
tn
i = hf jU
..
.
t2
t1
t tn ::: t1 t0
hf j e
e
( ) (
iH0 (tn tn 1 )
(
iH0 t tn
:::
e
dtn : : : dt1
(
iH0 t2 t1
)
(
)
iV )
iV
)
iV e
(
iH0 t1 t0
t0
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
) ji i
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
(n)
Feynmanregeln für Af
i = hf jU
tn
t tn ::: t1 t0
..
.
t2
t1
dtn : : : dt1
hf je iE (t t ) (
n
f
1
(t ; t0 )ji i
Z
t
tn
(n)
e
(
:::
e
1)(
iH0 tn tn
(
iH0 t2 t1
)
(
)
iV )
iV
)
iV e
(
iEi t1 t0
t0
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
) ji i
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
(n)
Feynmanregeln für Af
i = hf jU
tn
a1
t tn ::: t1 t0
..
.
e
t2
ja1i ha1j
t1
dtn : : : dt1
hf je iE (t t ) (
n
f
1
(t ; t0 )ji i
XZ
t
tn
(n)
(
:::
e
1)(
iH0 tn tn
(
iH0 t2 t1
)
(
)
iV )
iV
)
iV e
(
iEi t1 t0
t0
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
) ji i
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
(n)
Feynmanregeln für Af
i = hf jU
(n)
XZ
t
tn
a1
1
..
.
hf je iE (t t ) (
e
t2
ja1i ha1j
t1
dtn : : : dt1
t tn ::: t1 t0
(
iH0 tn tn
:::
e
)
iV )
n
f
tn
(t ; t0 )ji i
(
iEa1 t2 t1
iV
1) (
)
(
)
iV e
(
iEi t1 t0
t0
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
) ji i
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
(n)
Feynmanregeln für Af
X
t
tn
an
1
:::
i = hf jU
(n)
XZ
a1
1
..
.
t2
hf je iE (t t ) (
jan 1i han 1j
e
ja1i ha1j
e
t1
dtn : : : dt1
t tn ::: t1 t0
n
f
tn
(t ; t0 )ji i
(t
1 n
iEan
:::
(
iEa1 t2 t1
tn
)
iV
1)
(
(
)
iV
)
)
iV e
(
iEi t1 t0
t0
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
) ji i
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
(n)
Feynmanregeln für Af
X
t
tn
f
tn
an
1
1
..
.
an
:::
1
t2
a1
t1
i
i = hf jU
(n)
XZ
a1
dtn : : : dt1
t tn ::: t1 t0
e
iEf t tn
(
)
e
iEan
(t
1 n
:::
e
(
iEa1 t2 t1
(t ; t0 )ji i
( i hf jV jan 1i)
tn
)
1)
(
i han
1
jV jan 2i)
( i ha1jV ji i)e
t0
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
(
iEi t1 t0
)
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
(n)
Feynmanregeln für Af
t
(n)
A
f
i
=
tn
i = hf jU
(n)
f
tn
an
1
1
..
.
t2
a1
t1
i
t0
n Wechselwirkungsvertizes (Integrale
n
(t ; t0 )ji i
R
dtn : : : dt1 )
1 innere (“virtuelle”) Linien jai i (Summen
Regel für äussere Linie: e
Regel für innere Linie: e
Regel für Vertex:
(
) etc
ti )
P
a1 :::an
1
iEf t tn
(
iEai ti +1
( i hai jV jai 1i)
sehr anschaulich interpretierbar!
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
)
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
Beispiel
(1)
A
f
i =
t
f
i
t1
= R dt1e
(
iEf t t1
)
(
iEi t1 t0
)(
)
i hf jV ji i
t0
Integration liefert
sin
E t
E
2
Dominik Stöckinger
! Energieerhaltung für t ! 1
Feynmanregeln
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
Beispiel
(2)
Af
=
i
=
P R
a
f
t2
t
a
i
t1
t0
dt2 dt1 e
(
iEf t t2
)
(
iEa t2 t1
)
(
iEi t1 t0
)(
Trotz Energieerhaltung tragen Zustände mit Ea
Dominik Stöckinger
)( i hajV ji i)
i hf jV jai
Ei ;f bei!
Feynmanregeln
Wie sehen Feynmanregeln genau aus?
Outline
1
Was sind Feynmanregeln?
2
Woher kommen Feynmanregeln? (Beispiel)
3
Wie sehen Feynmanregeln genau aus?
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
Wie sehen Feynmanregeln genau aus?
Überblick
Feynmanregeln: anschauliche Regeln für Darstellung von
Wahrscheinlichkeitsamplituden durch Feynmandiagramme=Produkte
von Wahrscheinlichkeitsamplituden von Elementarprozessen
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
Wie sehen Feynmanregeln genau aus?
Überblick
Feynmanregeln: anschauliche Regeln für Darstellung von
Wahrscheinlichkeitsamplituden durch Feynmandiagramme=Produkte
von Wahrscheinlichkeitsamplituden von Elementarprozessen
Drei Typen von Feynmanregeln/Elementarprozessen:
äussere Linien Teilchen laufen ein/aus
innere Linien virtuelle Teilchen breiten sich aus
Vertizes Wechselwirkung
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
Wie sehen Feynmanregeln genau aus?
Überblick
Feynmanregeln: anschauliche Regeln für Darstellung von
Wahrscheinlichkeitsamplituden durch Feynmandiagramme=Produkte
von Wahrscheinlichkeitsamplituden von Elementarprozessen
Drei Typen von Feynmanregeln/Elementarprozessen:
äussere Linien Teilchen laufen ein/aus
innere Linien virtuelle Teilchen breiten sich aus
Vertizes Wechselwirkung
Bestimmt durch H0 (freie Teilchen) und V (Wechselwirkung)
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
Wie sehen Feynmanregeln genau aus?
Feynmanregeln einer Quantenfeldtheorie — QED
L = L0 + Lint
L0 = 14 F F
Lint = eQA (
1 A
2
)2 + (i m
)
( )
äussere Elektronlinie durch Impuls/Spin bestimmt
=u p ; innere Elektronlinie durch L0 bestimmt:
= p i
Vertex durch Koeffizient in Lint bestimmt:
= ieQ Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
m
Wie sehen Feynmanregeln genau aus?
Feynmanregeln einer Quantenfeldtheorie — 3
L = L0 + Lint
L0 = 12 [ Lint = g 3
℄
m2 äussere -Linie
=1
innere -Linie durch L0 bestimmt:
= p2
Vertex durch Koeffizient in Lint bestimmt:
= ig
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln
i
m2
Wie sehen Feynmanregeln genau aus?
Zusammenfassung
Wahrscheinlichkeitsamplituden durch Feynmandiagramme=Produkte
von Wahrscheinlichkeitsamplituden von Elementarprozessen
Drei Typen von Feynmanregeln/Elementarprozessen:
äussere Linien Teilchen laufen ein/aus
innere Linien virtuelle Teilchen breiten sich aus
Vertizes Wechselwirkung
( ) ( )i
Explizite Herleitung für Quantenmechanik für hf t ji t0
Analoge Herleitungen möglich für ähnliche Fragestellungen in der QFT
Dominik Stöckinger
Feynmanregeln