Übungsblatt 9 zur Vorlesung

Übungsblatt 9 zur Vorlesung “Wahrscheinlichkeitstheorie”
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Übungsblatt 9 zur Vorlesung “Wahrscheinlichkeitstheorie”
Olivier Warin
2. Mai 2014
Aufgabe 47 (P [A] = 0, 1 und Unabhängigkeit)
Es seien A, B zwei Ereignisse.
Behauptung: Falls P [A] ∈ {0, 1}, dann ist A und B unabhängig.
Beweis: Falls P [A] = 1 folgt mit Aufgabe 20
P [A ∩ B] = P [B] = P [A]P [B].
Falls P [A] = 0 folgt
P [A ∩ B] = 0 = P [A]P [B],
da A ∩ B ⊂ A.
Es gilt also auf jeden Fall P [A ∩ B] = P [A]P [B], also sind nach Satz 3.7 A und B unabhängig. Des
weiteren folgt aus P [A]P [A] = P [A ∩ A] = P [A] sofort, dass P [A] ∈ {0, 1}.
Aufgabe 48 (Abbildung unabhängiger Zufallsgrössen)
Es seien X, Y zwei unabhängige Zufallsgrössen und g1 , g2 borelsch.
Behauptung: Die Zufallsgrössen g1 ◦ X und g2 ◦ Y sind ebenfalls unabhängig voneinander.
Beweis: Seien B1 , B2 zwei Borel-Mengen. Da g1−1 (B1 ) und g2−1 (B2 ) ebenfalls Borel-Mengen sind und da
X q Y folgt
P [g1 ◦ X ∈ B1 , g2 ◦ Y ∈ B2 ] = P [X ∈ g1−1 (B1 ), Y ∈ g2−1 (B2 )] = P [X ∈ g1−1 (B1 )]P [Y ∈ g2−1 (B2 )]
= P [g1 ◦ X ∈ B1 ]P [g2 ◦ Y ∈ B2 ].
Also sind g1 ◦ X und g2 ◦ Y nach Definition 3.1 unabhängig.
Analog folgt die Behauptung für mehr als 2 Zufallsgrössen.
Aufgabe 49 (Unabhängigkeit von Ai und Aci )
Es seien A1 , . . . , An Ereignisse.
Behauptung: Die Ereignisse A1 , . . . , An sind unabhängig genau wenn Ac1 , . . . Acn unabhängig sind.
Beweis: Da (Aci )c = Ai reicht es eine Richtung zu zeigen. Nehmen wir also an, dass A1 , . . . , An unabhängig
sind.
Definiere g : R → R durch g(t) = 1 − t. Nun gilt für i = 1, . . . , n
1Aci = 1 − 1Ai = g ◦ 1Ai .
Da g klar (z.b. nach Aufgabe 42) borelsch ist, folgt mit Aufgabe 48, dass 1Ac1 , . . . , 1Acn unabhängig sind.
Wir schliessen: Ac1 , . . . , Acn sind unabhängig.
S
Aufgabe 50 (P [ i Ai ]und Unabhängigkeit)
Seien A1 , . . . , An unabhängige Ereignisse.
Frühjahrsemester 2012
Olivier Warin
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Behauptung: Es gilt
n
Y
S
P [ ni=1 Ai ] = 1 −
(1 − P [Ai ]).
i=1
Beweis: Da A1 , . . . , An unabhängig sind, sind nach Aufgabe 49 auch Ac1 , . . . , Acn unabhängig. Also können
wir mit Satz 3.7 schliessen
n
P[
n
Y
Y
Tn
c
P [Aci ] = 1 −
(1 − P [Ai ]).
i=1 Ai ] = 1 − P [ i=1 Ai ] = 1 −
Sn
i=1
i=1
Aufgabe 51 (Borel-Cantelli I und II)
Es sei (Ω, A, P ) ein Wahrscheinlichkeitsraum.
• Definiere An = ∅ für alle natürliche Zahlen n. Nun gilt klar
∞
X
P [An ] =
n=1
∞
X
0 = 0 < ∞
n=1
und es gilt auch, wie von Satz 1.11 (Borel-Cantelli I) vorausgesagt,
P [lim sup An ] = P [∅] = 0.
n
• Definiere An = Ω für alle natürlichen Zahlen n. Da für alle n gilt P [An ] = 1 sind A1 , A2 , . . . nach
Aufgabe 47 unabhängig. Weiter gilt
∞
X
P [An ] =
n=1
∞
X
1 = ∞
n=1
und es gilt auch, wie von Satz 3.8 (Borel-Cantelli II) vorausgesagt,
P [lim sup An ] = P [Ω] = 1.
n
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