15.12.2010

Was bisher geschah
I
Klassische Aussagenlogik:
I
I
I
I
I
I
Modellierung in Aussagenlogik:
Schaltungslogik, kombinatorische Suchprobleme,
Wissensrepräsentation . . .
Syntax
Semantik
semantische Äquivalenz und Folgern
syntaktisches Ableiten (Resolution)
beschränkte Ausdrucksfähigkeit
111
Modellierung in Prädikatenlogik
Grundannahme:
Die zu modellierende Welt besteht aus Individuen, die
Eigenschaften haben und zueinander in Beziehungen
(Relationen, Funktionen) stehen.
Prädikatenlogik zur Formalisierung von Aussagen über
Eigenschaften oder Beziehungen von Individuen aus
algebraischen Strukturen
112
Prädikatenlogische Aussagen – Beispiele
I
A ist genau dann Nachfahre von B, wenn B A’s Vater oder A’s
Mutter ist oder ein Elternteil von A Nachfahre von B ist.
Nachfahren derselben Person sind verwandt.
Personen sind Geschwister, wenn sie dieselbe Mutter oder
denselben Vater haben.
Individuenbereich: Menge von Personen
Beziehungen: Nachfahre, verwandt, Geschwister
Funktionen: Mutter, Vater
I
Primzahlen sind genau diejenigen natürlichen Zahlen, die genau
zwei verschiedene Teiler haben.
Gerade Zahlen sind genau diejenigen natürlichen Zahlen, die
durch zwei teilbar sind.
Es existiert eine gerade Primzahl.
Nachfolger ungerader Primzahlen sind nicht prim.
Das Quadrat jeder geraden Zahl ist gerade.
Individuenbereich: Menge aller natürlichen Zahlen
Eigenschaft: prim, gerade
Beziehung: teilbar
Funktion: Nachfolger
N
113
Algebraische Strukturen – Beispiele
Menge mit Beziehungen (Relationen) zwischen und Funktionen
auf den Elementen Beispiele:
I
Menge aller Menschen
Relationen: älter-als (zweistellig),
einstellige Relationen (Eigenschaften): blond
Funktion (einstellig): Mutter
I
Menge aller natürlichen Zahlen
Relationen: ≥ (zweistellig), | (teilt, zweistellig)
einstellige Relationen (Eigenschaften): prim, gerade
Funktion: Nachfolger (einstellig), + (zweistellig)
I
Menge 2 aller Punkte der Ebene
Relationen: kleinerer-Abstand-von-0 (zweistellig),
bilden-gleichseitiges-Dreieck (dreistellig)
Funktionen: verschieben (einstellig), Mittelpunkt (zweistellig)
I
Menge A∗ aller endlichen Wörter (Vektoren) über A
Relation: Präfix (Anfangswort, zweistellig))
Funktionen: Spiegelung (einstellig), Verkettung (zweistellig)
N
R
114
Algebraische Strukturen – mehr Beispiele
Algebraische Strukturen kennen wir schon,
z.B. aus Mathematik:
N
I Halbordnung, z.B. (Z, ≤),(N, |), (2X , ⊆)
Z
I
Äquivalenzrelation, z.B. ( , =), (AL(P), ≡), ( , ≡n )
I
Vektorraum
Informationssicherheit:
N
I
Halbgruppen, z.B. (2 , ·),
I
Monoide, z.B. ( , ·, 1), (2X , ∪, ∅),
N
I Gruppen, z.B. (Z, +, 0), (Zn , +, 0), (Zn , ·, 1) für Primzahl n
I Ringe, z.B. (Z, +, ·, 0, 1), (Zn , +, ·, 0, 1) für Primzahl n
I Körper, z.B. (Q, +, ·, 0, 1), (Zn , +, ·, 0, 1) für Primzahl n
Kombinationen
z.B. Gruppe mit Halbordnung ( , +, 0, ≤)
Z
115
Wichtige Klasse von Strukturen: Graphen
(aus der Mathematik-Vorlesung)
Graph G = (V , E) mit
I
Menge V von Knoten (Ecken, engl. vertex)
I
zweistellige Relation E ⊆ V 2 ,
Elemente (u, v ) ∈ E heißen Kanten (engl. edge)
gerichteter Graph Repräsentation einer zweistelligen Relation
E auf der Menge V
ungerichteter Graph Repräsentation einer zweistelligen
irreflexiven symmetrischen Relation E auf der
Menge V
Kanten sind Zweiermengen {u, v } ⊆ V
116
Prominente Klassen ungerichteter Graphen
Pfade Pn = ({1, . . . , n}, {{i, i + 1} | i ∈ {1, . . . , n − 1}})
Kreise Cn = ({1, . . . , n}, {{i, i + 1} | i ∈
{1, . . . , n − 1}} ∪ {{n, 1}})
vollständige Graphen
Kn = ({1, . . . , n}, {{i, j} | i, j ∈ {1, . . . , n}, i 6= j})
isolierte Graphen In = ({1, . . . , n}, ∅)
(ohne Kanten)
117
Gefärbte Graphen
gegeben: Graph G = (V , E), Menge CV von Eckenfarben
Menge CE von Kantenfarben
Eckenfärbung f : V → CV
Kantenfärbung f : E → CE
später im Studium:
Färbungen mit bestimmten Eigenschaften,
z.B. Eckenfärbung f : V → CV des ungerichteten Graphen
G = (V , E), so dass für keine Kante {u, v } ∈ E gilt f (u) = f (v )
Beispiele (Tafel): P5 , C4 , C5 , K4 , K5
I
P5 , C4 mit Eckenfarben {r , b}
I
C5 mit Eckenfarben {r , g, b}
I
K4 , K5
118
Mehrsortige Strukturen
Modellierung von Strukturen mit verschiedenen Sorten
(Mengen) = {Si | i ∈ I} von Elementen
S
Beispiele:
I
Mengen: Menschen, Bücher
Relation: A ⊆ Menschen × Bücher
wobei (m, b) ∈ A gdw. m ist Autor von b
I
Mengen: Menschen, , Orte
Relation: B ⊆ Menschen × × Orte
wobei (m, j, o) ∈ B gdw. m wurde im Jahr j in o geboren
I
Vektorraum: Sorte Skalar, Sorte Vektor
mit Operationen, z.B.:
smult: Skalar × Vektor → Vektor
mit Relationen, z.B.:
gleichlang ⊆ Vektor × Vektor
N
N
119
Mehrsortige Strukturen in der Informatik
Programmierung:
Datentypen int, float, bool, string
mit Operationen, z.B.:
floor
duplicate
length
>
: float
: string × int
: string
: float × float
→ int
→ string
→ int
→ bool
Datenbanken:
Tabellen sind extensionale Darstellungen mehrsortiger
Relationen
120
Algebraische Strukturen desselben Types
A Menge {0, 1} mit
I Konstanten 0, 1
I Funktionen min, max (zweistellig)
I Eigenschaft gerade
I Relation ≤ (zweistellig)
B Menge aller Studenten im Raum mit
I Konstanten Anton, Berta
I Funktionen Älterer,
kleinere-Studentennummer(zweistellig)
I Eigenschaft blond
I Relation befreundet (zweistellig)
C Menge 2N mit
I Konstanten ∅,
I Funktionen ∩, ∪ (zweistellig)
I Eigenschaft endlich
I Relation ⊆ (zweistellig)
N
121
Signaturen
Gemeinsamkeiten der Strukturen A, B, C:
I
I
I
I
zwei Konstanten (nullstellige Funktionen)
zwei zweistellige Funktionen
eine Eigenschaft (einstellige Relation)
eine zweistellige Relation
Bezeichnung der Relationen und Funktionen durch Symbole
(mit zugeordneter Stelligkeit):
Signatur Σ = (ΣF , ΣR ) mit Mengen
ΣF = {(f , n) | n ∈ } von Funktionssymbolen (mit Stelligkeit)
ΣR = {(R, n) | n ∈ } von Relationssymbolen (mit Stelligkeit)
(nullstellige Funktionssymbole heißen Konstantensymbole)
Signatur definiert einen Typ von Strukturen
Strukturen mit derselben Signatur können sich unterscheiden in
N
N
I
I
Trägermenge
Bedeutung der Funktions- und Relationssymbole
122
Beispiele für Signaturen
I
Signatur für arithmetische Ausdrücke über natürlichen,
rationalen, reellen, . . . Zahlen
ΣF = {(+, 2), (−, 2), (·, 2), (/, 2)}∪ je ein nullstelliges
Symbol für jede Zahl aus der Trägermenge
ΣR = ∅
I
Signatur für Mengen mit einer zweistelligen Relation
(Äquivalenzrelation, Halbordnung, Graph)
ΣF = ∅, ΣR = {(R, 2)}
I
Signatur für aussagenlogische Formeln
ΣF = {(∨, 2), (∧, 2), (¬, 1), (f, 0), (t, 0)},
ΣR = {(=, 2), (≡, 2), (|=, 2), (erf, 1)}
I
Signatur für alle drei Strukturen A, B, C
ΣF = {(apfel, 0), (banane, 0), (kirsche, 2), (pflaume, 2)}
ΣR = {(gurke, 1), (tomate, 2)}
123