Technische Universit ¨at M ¨unchen Zentrum Mathematik

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Algorithmische Diskrete Mathematik
Prof. Dr. Raymond Hemmecke Steffen Borgwardt Silvia Lindner
Multiple-Choice-Blatt 1
Aufgabe 1.1
v3
v9
v4
v5
v8
v2
v7
v1
v6
Es bezeichne DFS(G, vi ) bzw. BFS(G, vi ) den Tiefensuche- (Depth-First-Search-) bzw. den
Breitensuche- (Breadth-First-Search-)Algorithmus, jeweils ausgehend vom Startknoten vi in der
Variante der Lösungsskizze zu Aufgabe 1.6. Seien vi1 , vi2 , ..., vin mit {vi1 , vi2 , ..., vin } = V die
Knoten in V in der Reihenfolge, in der sie in den Algorithmen betrachtet werden, also z.B.
v1 , v2 , ..., v9 . (Wir bezeichnen vi1 , vi2 , ..., vin in diesem Fall als Besuchsreihenfolge). Die Knoten
in der Adjazenzliste sind entsprechend ihrer Indices aufsteigend sortiert.
Kreuzen Sie die korrekten Aussagen an.
BFS(G, v7 ) besucht immer erst Knoten v5 , dann Knoten v4 .
2
DFS(G, v7 ) besucht immer erst Knoten v9 , dann Knoten v4 .
2
2 Eine mögliche Besuchsreihenfolge für BFS(G, v7 ) ist v7 , v6 , v5 , v1 , v9 , v8 , v2 , v3 , v4 .
Eine mögliche Besuchsreihenfolge für DFS(G, v5 ) ist v5 , v1 , v2 , v3 , v4 , v9 , v8 , v6 , v7 .
2
2 Eine mögliche Besuchsreihenfolge für DFS(G, v5 ) ist v5 , v1 , v2 , v3 , v4 , v6 , v8 , v9 , v7 .
Aufgabe 1.2
Sei G = (V, E) ein Graph.
Ein Baum hat immer Maximalgrad ∆ ≤ 3.
Hat G Maximalgrad ∆ ≤ 3, so hat jeder Baum T ⊂ E den Maximalgrad ∆ ≤ 3.
Hat G Maximalgrad ∆ ≤ 2, so hat jeder Baum T ⊂ E den Maximalgrad ∆ = 2.
wahr falsch
2
2
2
2
2
2
Aufgabe 1.3
Sei G = (V, E, `) ein gewichteter Graph und {s, t} ⊂ V . Kreuzen Sie die korrekten Aussagen an.
Treffen sich zwei kantendisjunkte kürzeste s, t-Wege in v ∈ V \ {s, t}, dann können die
2
jeweiligen s, v- bzw. v, t-Teilwege zu zwei weiteren kürzesten s, t-Wegen kombiniert werden.
2 Ist ` : E → N injektiv, dann kann es ein v wie in der vorigen Aussage nicht geben.
Aufgabe 1.4
Sei G = (V, A, `) ein gewichteter Digraph mit ` : E → N ∪ {0} und sei s = v1 , v2 , ..., vn die
Besuchsreihenfolge des Dijkstra-Algorithmus.
Ist `(e) ≥ 0, für alle e ∈ A, dann gilt am Ende des Algorithmus dist (v1 ) ≤ · · · ≤
dist (vn ).
Ist man beim Aufruf des Algorithmus nur am Abstand von s zu einem festen
Knoten t interessiert, so kann man abbrechen, sobald dist (t) < ∞.
Ist man beim Aufruf des Algorithmus nur am Abstand von s zu einem festen
Knoten t interessiert, so kann man abbrechen, sobald t markiert wird.
Es sei im Folgenden ` : E → Z.
Der kürzeste s, t-Pfad in G mit teilweise negativen Kantengewichten `(e) kann
bestimmt werden, indem man zunächst das kleinste der negativen Gewichte −C
bestimmt und dann den Dijkstra-Algorithmus auf (V, E, ` + C + 1) anwendet.
wahr falsch
2
2
2
2
2
2
wahr falsch
2
2
Hat nur eine Kante in E negatives Gewicht, dann berechnet der Dijkstra-Algorithmus
2
korrekt einen kürzesten s, t-Weg.
2
Haben nur Kanten (s, vi ) ∈ E negatives Gewicht, dann kann mithilfe des DijkstraAlgorithmus korrekt ein kürzester s, t-Pfad berechnet werden.
2
2
Aufgabe 1.5
Sei G = (V, E, `) ein gewichteter Digraph mit ` : E → Z, V = [n], wobei für jede Kante
(u, v) ∈ E die Kante (v, u) existiert und stets `((u, v)) = `((v, u)) gilt. Der Floyd-WarshallAlgorithmus (inklusive der Erweiterung aus der Übung) berechnet korrekt...
2 kürzeste i, j-Kantenzüge für alle i, j ∈ [n].
2 kürzeste i, j-Kantenzüge für alle i, j ∈ [n], die nicht auf einem Kreis negativer Länge liegen.
2 längste i, j-Kantenzüge für alle i, j ∈ [n], wenn man alle Gewichte mit −1 multipliziert.
Aufgabe 1.6
Sei G = (V, E, `) ein gewichteter und zusammenhängender Graph.
Ist e eine Kante des Graphen G mit minimalem Gewicht, dann existiert ein minimaler Spannbaum von G, der e enthält.
Sei e eine Kante des Graphen G, so dass kein Kreis in G existiert, der e enthält.
Dann ist e eine Kante jedes minimalen Spannbaumes von G.
Ist ` : E → Z injektiv, dann gibt es genau einen minimalen Spannbaum.
Ist der minimale Spannbaum von G eindeutig, dann haben die |V | − 1 Kanten
geringsten Gewichts in G verschiedene Gewichte.
Ist `(v1 ) ≤ · · · ≤ `(vm ) und f : R → R monoton wachsend, dann ist ein bezüglich
` minimaler Spannbaum auch bezüglich f ◦ ` minimal.
wahr falsch
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Aufgabe 1.7
Sei G1 = (V, E1 ) ein ungerichteter Graph und M1 = (E1 , I1 ) das zugehörige graphische Matroid.
Weiterhin sei I1 ∆I2 := (I1 ∪ I2 ) \ (I2 ∩ I1 ).
Seien F, G zwei Wälder in G so dass ihre Vereinigung einen Kreis enthält, dann
enthält auch F ∆G einen Kreis
Sei ein weiterer ungerichteter Graph G2 = (V, E2 ) mit E1 ∩ E2 = ∅ gegeben und
das dazugehörige graphische Matroid M2 = (E2 , I2 ). Dann ist auch (E1 ∪ E2 , I)
mit I = {I1 ∪ I2 : I1 ∈ I1 , I2 ∈ I2 } ein Matroid.
Sei M̂1 := (E1 , Î1 ) ein weiteres Matroid auf der gleichen Grundmenge wie M1 .
Dann ist auch (E1 , I1 ∩ Î1 ) ein Matroid.
wahr falsch
2
2
2
2
2
2