Deterministisches Chaos

Albert-Ludwigs-Universität Freiburg
Fakultät für Physik
Fortgeschrittenenpraktikum I
FP I
Deterministisches Chaos
Inhalt
Seite
A. Versuchsanleitung:
1. Vorwort zum Versuch...................................................................................
2. Ziel des Versuchs........................................................................................
3. Aufgabenstellung........................................................................................
4. Aufgaben zur Vorbereitung.........................................................................
5. Versuchsdurchführung................................................................................
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B. Technische Hinweise:
1. Versuchaufbauten (Bild).............................................................................
3. Geräteliste für den Versuch (siehe Ordner am Versuch)
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C. Literatur:
1. Wissenschaftliche Arbeiten ........................................................................
2. Weiterführende Literatur.............................................................................
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A. Versuchsanleitung
1. Vorwort zum Versuch
Im Jahr 1889 wurde zum 60. Geburtstags von Oskar 11, König von Norwegen und
Schweden, ein mathematischer Wettbewerb veranstaltet, in dem zu beweisen war,
dass das Sonnensystem ein stabiles System darstellt, d.h. dass die Planeten sich
stets um die Sonne, und die Monde immer um ihre Planeten drehen. Der Preis ging
an Henri Poincaré. Er bewies, dass das Sonnensystem nicht stabil ist und dass es
keine allgemeine analytische Lösung des Drei-Körper-Problems (Sonne, Erde,
Mond) gibt. Er zeigt mit einer neuartigen Methode (geometrische Modelle,
Phasenraum), dass es Anfangsbedingungen gibt, bei der sich die zukünftige
Entwicklung des System nicht genau vorhersagen lässt. "Eine kleine Ursache, die
uns entgehen mag, bewirkt einen beachtlichen Effekt, den wir nicht ignorieren
können und wir sagen dann, dass dieser Effekt auf Zufall beruht." (Poincaré,
"Wissenschaft und Methode", 1903). Dies ist ein typischen Merkmal für chaotische
Systeme, kleine Änderungen in den Anfangsbedingungen führen zu einer
vollkommen unterschiedlichen zeidichen Entwicklung.
2. Ziel des Versuchs
Der Versuch dient dazu einen ersten Einblick in die Welt des deterministischen
Chaos zu schaffen. An einem nicht-linearen Schwingkreis wird der Weg ins Chaos
und chaotisches Verhalten untersucht und universelle Prinzipien, wie die
Beschreibung chaotischer Systeme durch einfache Abbildungsvorschriften,
veranschaulicht.
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3. Aufgabenstellung
3.1 Messung am linearen Schwingkreis
Messen Sie die Amplitude des Spannungsabfalls am Kondensator in
Abhängigkeit von der Frequenz der treibenden Spannung. Bestimmen Sie durch
einen Fit an die Daten den Widerstand, die Induktivität und die Kapazität der
Schaltung und vergleichen Sie diese mit den auf den Bauteilen aufgedruckten
Werten. Diskutieren Sie das Ergebnis.
3.2 Messungen an verschiedenen nicht linearen Schwingkreisen
3.2.1 Messen Sie die Amplitude des Spannungsabfalls an der Diode in
Abhängigkeit von der Frequenz der treibenden Spannung. Achten sie
darauf, dass die Amplitude der treibenden Spannung klein ist, damit
keine Bifurkationen auftreten. Vergleichen Sie mit dem linearen
Schwingkreis.
3.2.2 Beobachten Sie den sogenannten "Weg ins Chaos" und erzeugen Sie
durch Variation der Amplitude der treibenden Spannung Bifurkationen
bzw. Periodenverdopplungen. Nutzen Sie dabei verschiedene
Darstellungsmöglichkeiten mit dem Oszilloskop, z.B. x-y-Darstellung, mit
der treibenden Spannung als x und dem Spannungsabfall an der Diode
als y. Bestimmen Sie die ersten Folgenglieder an und dn, die gegen die
Feigenbaumkonstanten a und Ö konvergieren.
3.2.3 Bestimmen Sie die erste Wiederkehrabbildung für mindestens zwei
System und vergleichen Sie mit der logistischen Abbildung. Welche
Gemeinsamkeiten, welche Unterschiede gibt es?
3.2.4 Stellen Sie auf dem Schirm des Oszilloskops ein Amplitudenbifurkationsdiagramm dar. Nehmen Sie diese mit der digitalen Kamera auf, die
beim Assistenten erhältlich ist und vergleichen Sie diese mit dem
Bifurkationsdiagramm der logistischen Abbildung.
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4. Aufgaben zur Vorbereitung
• Berechnen Sie die Fitfunktion für Aufgabenteil 1
• Was groß ist eine Abschwächung um 40dB?
• Machen Sie sich mit den Eigenschaften der logistischen Abbildung vertraut.
Insbesondere mit den Begriffen: Kontrollparameter, Bifurkation, Weg ins Chaos,
Chaos, Fenster im Chaos, Feigenbaumkonstanten.
• Stellen Sie die Differentialgleichung fur den nicht-linearen Schwingkreis auf.
• Was ist bei diesem Experiment der Kontrollparameter.
• Warum werden bei diesem Experiment die Bifurkationen auch Periodenverdopplung genannt?
• Wie sieht die erste Wiederkehrabbildung für einen linearen Serienschwingkreis
aus?
5. Versuchsdurchführung
5.1 Bauen Sie mit Hilfe des Steckbrettes einen linearen Serienschwingkreis wie
in Abbildung 1 auf. Greifen Sie die Spannung am Kondensator ab und machen
Sie diese am Oszilloskop sichtbar. Die Spannung wird zwischen Spule und
Kondensator abgegriffen und die Masse des Tastkopfs wird zwischen
Kondensator und Sinusgenerator angeschlossen. Legen Sie auf den zweiten
Kanal die treibende Spannung. Variieren Sie die Frequenz der treibenden
Spannung und Tragen Sie die Amplitude des Spannungsabfalls am
Kondensator gegen die Frequenz der treibenden Spannung auf. Sie können
das Oszilloskop mit einem PC auslesen und so Frequenz und Amplitude
genauer wie durch Ablesen am Oszilloskop schirm bestimmen. Achten Sie
darauf, dass sich das Oszilloskop im Speichermodus (Storage) befindet.
Mit Hilfe des auf dem PC installierten Programms "Origin" wird die von Ihnen zu
berechnende theoretische Kurve an die Daten gefittet.
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U0sinTt
Abb.1 Linearer Schwingkreis
5.2 Benutzen Sie für den Aufbau des nicht-linearen Schwingkreises das blaue
Spulensteckbrett. Speziell gewickelte Spulen mit einer geringen Kapazität sind
fest an das Steckbrett montiert und können über einen Drehknopf ausgewählt
werden. Am Ausgang des Frequenzgenerators befinden sich Druckknöpfe zur
Abschwächung des Ausgangssignals. Verwenden Sie die größtmögliche
Abschwächung, um sicherzustellen, dass während dieser Messreihe keine
Bifurkationen auftreten. Wiederholen Sie die Messung von Aufgabenteil 1.
U0sinTt
Abb. 2 nicht-linearer Schwingkreis
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Stellen Sie die Frequenz der treibenden Spannung auf die Resonanz des
Schwingkreises ein. Erhöhen Sie nun die Amplitude der treibenden Spannung und
protokollieren Sie Ihre Beobachtungen. Berechnen Sie daraus die ersten Glieder
der Folgen, die gegen die Feigenbaumkonstanten konvergieren. Nutzen Sie zum
bestimmen der Bifurkationspunkte die x-y Darstellung des Oszilloskops mit der
treibenden Spannung auf der einen und dem Spannungsabfall an der Diode auf der
anderen Achse. Wie kommt die charakteristische Form zustande?
Stellen Sie zur Bestimmung der ersten Wiederkehrabbildung das Oszilloskop auf
Zeitablenkung. Die Amplitude der treibenden Spannung wird so groß gewählt,
dass das System chaotisches Verhalten zeigt. Die erste Wiederkehrabbildung
wird folgendermaßen konstruiert: Die Spannungsamplitude Un des n-ten Peaks
wird mit der Auslese- / Auswertungssoftware auf dem PC bestimmt. Tragen Sie
anschließend Un+1 gegen Un in ein Diagramm auf. Nehmen Sie etwa 60 Punkte
auf.
Feigenbaum: Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations",
J. Stat. Phys. 19,25 (1978)
hat gezeigt, dass bei allen Abbildungen Xn+1 =f(xn), die nur ein einziges Maximum
besitzen, d ie sogenannte Feigenbaumroute ins Chaos auftritt. Die
Feigenbaumkonstanten " und * hängen nur von der Ordnung des Maximums ab.
Zur Aufnahme des Amplitudenbifurkationsdiagramms Modulieren Sie die Amplitude
der Ausgangsspannung des Sinusgenerators mit einer Dreieckspannung, deren
Frequenz klein gegen die Frequenz der Sinusspannung ist. Die Dreiecksspannung
kann am Ausgang “,AUX” des Sinusgenerators abgegriffen werden. Legen Sie die
Dreiecksspannung auf Kanal 1 des Oszilloskops. Triggern Sie auf den Sägezahn.
Legen Sie auf Kanal zwei den Spannungsabfall an der Diode und wechseln Sie in
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die x-y Darstellung. Sie können auf dem Schirm das Bifurkationsdiagramm des
Schwingkreises sehen. Achten Sie darauf, dass Sie den Analog-Modus des
Oszilloskops arbeiten und nicht im Speicherbetrieb (Storage). Fotografieren Sie mit
einer digitalen Kamera das Diagramm. Untersuchen Sie Hysterese Effekte, also ob
sich der Weg ins Chaos ändert, wenn Sie die Dreieckspannung für die
Amplitudenmodulation positiv oder negativ durchfahren. Verbiegen Sie auch die
Kabel, mit denen die Diode mit dem Steckbrett verbunden ist und protokollieren Sie
Ihre Beobachtungen.
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B. Technische Hinweise
1. Versuchsaufbau (Bild)
Abb. 1 Auswerteplatz
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Abb. 2 Versuchsaufbau
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C. Literatur
1. Staatsexamensarbeit
1. Reinhard Kastner: Demonstrationsversuch zum Deterministischen Chaos;
Zulassungsarbeit, April 1986
2. Wissenschaftliche Arbeiten
1. Robert van Buskirk, Caarson Jeffries: Observation of chaotic dynamics of coupled
nonlinear oscillators; Dep. of Phys, Univ.of California, Berkeley (26.Sept. 1984)
2. Werner Lauterborn, Werner Meyer.Ilse: Chaos; Physik in unserer Zeit, 17 /
Jahrg. 1986 / Nr.6
3. Mitchell J. Feigenbaum: Universal Behavior in Nonlinear Systems; Los Alamos
Science 1 4-27 (1980)
3. Weiterführende Literatur
1. Heinz Georg Schuster: Deterministisches Chaos: Eine Einführung; VCH
Verlagsgesellschaft Weinheim
2. Florian Scheck, Mechanik, Kapitel 6: Stabilität und Chaos; Springer Verlag
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