Festkörper, Flüssigkeiten, Gase

Festkörper, Flüssigkeiten, Gase
Unterschied
Festkörper
Fluid
schwer verformbar
große intermolek.
Kräfte
⇒
Form nahezu unverändert
unter Krafteinwirkung.
leichter verformbar
Flüssigkeit
Gas
große
Bewegungsfreiheit d.
Mol.
sehr große
Bewegungsfreiheit d.
Mol.
verformbar, nicht
kompr.
verformbar u.
komprimierbar
Verformung durch äußere Kraft
Stoff, der sich kontinuierlich verformt, wobei
die Schubkraft beliebig klein sein kann.
Festkörper : Stoff, der sich nicht kontinuierlich verformt
fließt nicht
Fluid :
⇒
Materialien, die weder reine Festkörper noch reine Fluide sind
⇒
Rheologie
Bewegung der Moleküle
JEDOCH :
Mechanik der Fluide
Interesse am durchschnittlichen Verhalten
gewähltes Mittelungsvolumen
- << Dimension der Probleme
- >> Abstand der Moleküle
⇒
Annahme :
Var. im Strömungsfeld entspricht dem Durchschnittswert
der Moleküle im Volumen
Sehr viele im Volumen
kontinuierliche Verteilung der Charakteristika
⇒
Kontinuumsmechanik
Kinematik der Fluide
Ablauf der Bewegung, später Ursache der Bewegung
Eulersche und Lagrangesche Strömungsbeschreibung
Lagrange:
Unabhgg. Var.
Bewegung des einzelnen Partikels bestimmt die
Fluideigenschaften
r
r
r
r
r
t , r (t = 0) = r0 = x0i + y0 j + z0 k
y
t
Teilchenbahn
t=0
r
r0
r
r
x
Lage des Teilchens
r r
r (r0 , t )
Strögs.var. F geg durch
r
F (r0 , t )
Euler:
Feldkonzept
Zeitpunkt
t = t 0 = konst
Fluideigenschaft
P = P(x,y,z)
allgemein gilt für eine Var. F
⇒
r
r r
r
r
F (r , t ) mit r = xi + yj + zk
r
z. Bsp. für die Geschwindigkeit v
sofern
u(x,y,z,t)
v(x,y,z,t)
w(x,y,z,t)
dann auch
bekannt,
r
r
r
r
v = ui + vj + w k
Unterschied: Euler - Lagrange
Bsp. : Kaminrauch
Euler Methode :
Temp.messgerät in 0
T ( x0 , y0 , z0 , t )
mit vielen Messgeräten
T ( x, y , z , t )
Temp. eines Teilchens abhängig von t ist unbekannt
Lagrange Methode :
Temp.messgerät sitzt auf A
TA = f (Ort )
unbekannt, sofern
Ort = g (t )
unbestimmt
TA = TA (t )
In der Fluidmechanik wird im Allgemeinen auf das Euler Konzept
zurückgegriffen
Stationäre und instationäre Strömungen
instationär bzw. zeitabhängig:
Variable = f(x,y,z,t)
stationär bzw. zeitunabhängig:
Variable = f(x,y,z) ≠ g(t)
Instationäre Strömungen : Start- und Anfahrvorgänge
quasistationär bzw. ‘‘wie
‘‘
stationär‘‘
‘‘:
‘‘ Änderung aufgrund von t sehr langsam
Bemerkung : Beschleunigung aufgrund von A = f(x,y,z) in stationären Strömungen
Stromlinie, Bahnlinie, Rauchlinie
Stromlinie :
Kurve, die tangential zum Geschwindigkeitsvektorfeld verläuft
r
v
y
r
ds
dx
v
dy
u
x
z
r
r
r
r
ds = dxi + dyj + (dzk )
r
r r
r
v = ui + vj + ( wk )
es gilt :
r r r
v xds = o
bzw.
dx dy dz
=
=
u
v
w
entlang der Stromlinie
Stromröhre : Stromlinien, die durch eine geschlossene Kurve G gehen
Stromlinie
Stromröhre
C
Stromfaden :
Stromröhre mit infinitesimalem Querschnitt
Bahnlinie
Trajektorie eines individuellen Partikels über der Zeit
:
Stat. Strömung :
Bahnlinie = Stromlinie
Instat. Strömung :
Bahnlinie ≠ Stromlinie
Rauchlinie :
Linie der Fluidpartikel, die denselben Ort passiert haben.
Stat. Strömung :
Stromlinie = Bahnlinie = Rauchlinie
Bezugssystem
stat. oder instat. kann f (Bezugssystem) sein
fester Beobachter
mitbewegter Beobachter
(instat. Strömung)
(stat. Strömung)
fester Beobachter
intstationäre Strömung
Stromlinie : Momentaufnahme
Bahnlinie : Verlauf über die Zeit
Visualisierung von Strom- und Bahnlinien zum Bsp. mittels reflektierendem
Material auf der Fluidoberfläche.
Wichtig: Stromlinien haben keinen Knick.
Grundgleichungen strömender Fluide
Kontrollvolumen und Kontrollsystem
Fundamentale physikalische Gesetze auf Kontrollsystemen (KS) und
Kontrollvolumina (KV) anwendbar
KS :
Sammlung einer Substanz gleichbleibender Identität
KV :
festgelegtes Volumen im Raum
geometrische Größe
Im Allgemeinen ist man in der Fluidmechanik u. a. an Kräften interessiert, die
von der Strömung auf Propeller, Flugzeuge Autos etc. wirken.
Veränderungen des Systems stehen nicht im Vordergrund der Analyse
⇒
Im Allgemeinen Analyse mittels KV !
typische KV :
ruhendes, festes KV
ruhendes oder
bewegtes KV
verformendes
Kontrollvolumen
Ballon
Grundgesetze der Strömungsmechanik sind ursprünglich für KS formuliert
Masse eines Systems ist konstant
zeitliche Änderung des Impulses eines Systems ist gleich der ΣF auf das System
⇒
Reynoldssche Transporttheorem notwendig, um von der KS-Form auf die
KV-Form zu gelangen
Das Reynoldssche Transporttheorem
Zeitpunkt t
: System enthält Fluid im KV
Zeitpunkt t+∆t : System besteht aus (KV-I)+II
B sei eine beliebige Größe des Systems (z. Bsp. die Masse m). Dann gilt zum Zeitpunkt t,
Bsys (t ) = BKV (t )
da System und Fluid im Kontrollvolumen übereinstimmen. Weiterhin ist
Bsys (t + ∆t ) = BKV (t + ∆t ) − BI (t + ∆t ) + BII (t + ∆t )
bzw. die zeitliche Änderung von B ist
∆Bsys
∆t
=
Bsys (t + ∆t ) − Bsys (t )
∆t
BKV (t + ∆t ) − BKV (t ) BI (t + ∆t ) BII (t + ∆t )
=
−
+
∆t
∆t
∆t
dBsys
Für ∆t → 0 erhält man :
dBsys
dt
= lim (
∆t → 0
=
dt
∆Bsys
∆t
)
∂BKV &
+ Bout − B&in
∂t
Zusammenhang zwischen der zeitlichen Änderungsrate von B für das
KS und das KV
Bout , Bin
: Nettostrom von B aus dem bzw. in das KV.
allgemeine Darstellung:
feste Kontrollfläche und Systemgrenze bei t
Systemgrenze bei t + ∆t
Bestimmung von
KFout
Bout mittels Integration über ∆A von KFout
: trennt Gebiet II und KV
Kontrollfläche von
r
n
KFout
∆A
Θ
B&out
r
n : nach außen gerichtete Normale zur Oberfläche
r
r
Θ : Winkel zwischen v und n
r
v
B = mb
Fluss von B über ∆A in ∆t
r
∆ Bout = b ρ ∆ V = bρ ( v cos Θ ∆ A)
∆ln
∆V = ∆ln ∆A
∆A
r
n
r
n
∆A
Θ
Θ
r
v
r
∆l = v ∆t
r
v
∆l
Als Strom erhält man
∆B& out = lim (
ρ b∆V
∆t → 0
bzw. nach Integration über
KFout
∫
B& out =
∆t
r
) = ρb v cos Θ ∆A
r
∫ ρ b v cos Θ dA
d B& out =
KF out
KF out
r r
∫ ρbv ⋅ n dA
B& out =
KFout
Für die Einströmung über die Kontrollfläche KFin errechnet sich
B&in = −
r r
∫ ρbv ⋅ n dA
KFin
[
]
r r
r r
r r
B&out − B&in = ∫KF ρ b v ⋅ n dA − − ∫KF ρ b v ⋅ n dA = ∫KF ρ b v ⋅ n dA
out
mit
in
BKV = ∫ ρ bdV
folgt
KV
dBsys
dt
∂
r r
= ∫KV ρ b dV + ∫KF ρ b v ⋅ n dA
∂t
Reynoldssches Transporttheorem für ein ruhendes, unverformbares Kontrollvolumen
Erhaltung der Masse
Die Masse des Systems bleibt bei Bewegung durch das Strömungsfeld konstant
B = mb
dm sys
dt
=
,
für b = 1
∂
r r
ρ
dV
+
ρ
v
⋅ n dA = 0
∫KV
∫KF
∂t
∂t
integrale Form
differentielle Form über Gaußschen Satz oder am Element
∆y
v
u
y
w
∆z
x
∆x
z
Zeitliche lokale Massenänderung :
Massenfluss über die Oberfläche des Elements (in x-Richtung) :
∆y
∂ (ρu ) ∆x 

 ρu −
∆y∆z
∂x 2 

∂ ( ρu ) ∆x 

 ρu +
∆y∆z
∂x 2 

ρu
∆z
∆x
Nettomassenfluss in x-Richtung
∂ ( ρu ) ∆ x 
∂ ( ρu ) ∆ x 
∂ ( ρu )


ρ
ρ
u
+
∆
y
∆
z
−
u
−
∆
y
∆
z
=
∆ x∆ y∆ z




∂x 2 
∂x 2 
∂x


In y- und z-Richtung erhält man
∂ ( ρ v)
∂ ( ρ w)
∆x∆y∆z ,
∆x∆y∆z
∂y
∂z
⇒
bzw.
mit
differentielle Form der Kontinuitätsgleichung
Mit
lok.
dρ
=
dt
∂ρ
∂t
=
konvek.
+u
∂ρ
∂ρ
∂ρ
+v
+w
∂x
∂y
∂z
∂ρ r
+ v ⋅ ∇ρ
∂t
folgt :
bzw.
r r dρ
r
dρ
+ ρ∇ ⋅ v =
+ ρ div v = 0
dt
dt
Sonderfälle :
•
stat. Strömung
•
Inkompressibles Fluid ρ = konstant
r r
∇⋅v = 0
Erhaltung des Impulses
r
F
: Auf die Fluidmasse wirkende resultierende Kraft
r
I =
r
∫ v dm
: Impuls
Sys
Anwendung auf ein differentielles Massesystem:
r d (vr ∆m)
∆F =
dt
∆msys = konstant
r
r
r
dv
∆F = ∆m
= ∆ma
dt
r
∆F
: Oberflächen- und Volumenkräfte
Volumenkraft :
Gewichtskraft maßgeblich
in kartesischen Koordinaten:
∆Fbx = ∆mg x
∆Fby = ∆mg y
∆Fbz = ∆mg z
Oberflächenkraft:
Element ↔ Umgebung
∆Fn
r
∆Fs
∆A
∆F2
∆F1
beliebige Oberfläche
∆F1 ⊥ ∆F2
, ∆Fn ⊥ ∆A
Normalspannung:
∆Fn
∆A→0 ∆A
σ n = lim
Schubspannung:
∆F1
∆A→0 ∆A
∆F2
τ 2 = lim
∆A→0 ∆A
τ1 = lim
die übliche Zeichenkonvektion gilt
C′
D′
C
τ xy
D
τ ′xz
σ ′xx
y
τ ′xy
σ xx
B′
τ xz
x
z
A′
A
B
Bedeutung der Indizes :
S ij
:
i
Richtung der Normalen der Ebene
j
Richtung der Spannung
Spannungen auf 3 orthogonalen, durch einen Punkt gehende Ebenen definieren den
Spannungszustand eindeutig
Oberflächenkräfte (nicht vollständig):
∂τ ∆y 

τ yx + yx
∆x∆z
∂y 2 

∂τ zx ∆z 

τ
−
 zx
∆x∆y
∂z 2 

∆y
∂σ ∆x 

 σ xx − xx
∆y∆z
∂x 2 

∂σ ∆x 

 σ xx + xx
∆y∆z
∂x 2 

∆z
∆x
∂τ zx ∆z 

τ
+
 zx
∆x∆y
∂z 2 

∂τ ∆y 

τ yx − yx
∆x∆z
∂y 2 

Summation liefert die Komponenten der resultierenden Oberflächenkraft:
r
r
r
r
∆FS = ∆FSx i + ∆FSy j + ∆FSz k
Kräfte in x- / y- / z-Richtung:
 ∂σ xx ∂τ yx ∂τ xz 
∆x∆y∆z
∆FSx = 
+
+
∂y
∂z 
 ∂x
 ∂τ xy ∂σ yy ∂τ zy 
∆x∆y∆z
∆FSy = 
+
+
∂y
∂z 
 ∂x
 ∂τ xz ∂τ yz ∂σ zz 
∆x∆y∆z
∆FSz = 
+
+
∂y
∂z 
 ∂x
Einsetzen in
mit
r
r
∆F = ∆ma
r
r
r
∆F = ∆Fs + ∆Fb
∆m = ρ∆x∆y∆z
r
r
r
r
r ∂v
∂v
∂v
∂v
a=
+u
+v +w
∂t
∂x
∂y
∂z
ergibt
r
r r
r
v = ui + vj + wk
Differentielle Form der Impulserhaltung
 ∂u
∂σ xx ∂τ yx ∂τ zx
∂u
∂u
∂u 
ρ  + u + v + w  = ρg x +
+
+
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z 
∂x
 ∂t
∂τ xy ∂σ yy ∂τ zy
 ∂v
∂v
∂v
∂v 
+
+
ρ  + u + v + w  = ρg y +
∂x
∂y
∂z 
∂x
∂y
∂z
 ∂t
 ∂w
∂w
∂w
∂w 
∂τ xz ∂τ yz ∂σ zz
ρ  + u
+v
+ w  = ρg z +
+
+
∂x
∂y
∂z 
∂x
∂y
∂z
 ∂t
X
Y
Z
Kinematik des Fluidelements
Aufgabe : Spannungen durch Geschwindigkeitskomponenten ausdrücken
Bewegung eines Elements
⇒
Änderung seiner Lage und seiner Form
Bestimmung der Verformung mittels der relativen Bewegung zwischen 2
Punkten I und II
r
v
II
I
r
r
r
r
v + dv
r
r
r + dr
(t = konst.)
O
r
r : Ortsvektor
r
d v : Geschwindi gkeitsände rung
r
dv
in Komponentenschreibweise
∂u
∂u
∂u
dx + dy + dz
∂x
∂y
∂z
∂v
∂v
∂v
dv = dx + dy + dz
∂x
∂y
∂z
∂w
∂w
∂w
dw =
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
du =
Um den Zusammenhang mit Translation, Rotation, Dehnung und
r
Scherung zu erkennen, wird d v umgeschrieben
du = ε&x dx + ε&xy dy + ε&xz dz + ω zx dz − ω xy dy
dv = ε& yx dx + ε& y dy + ε& yz dz + ω xy dx − ω yz dz
dw = ε&zx dx + ε&zy dy + ε&z dz + ω yz dy − ω zx dx
Der Vergleich beider Gleichungssysteme ergibt folgende
Definitionen für
 ε&x

&
d ij =  ε& yx
&
 ε zx
ε&xy
ε& y
ε&zy
ε&i
und
ε&ij
bzw.
ωij

∂u

∂x
ε&xz  

1  ∂u ∂v 
ε& yz  =   + 
 2 ∂y ∂x 
ε&z   
1  ∂u ∂w 

  +
2
∂
∂
z
x

 
1  ∂v ∂u 
ω xy =  − 
2  ∂x ∂y 
1  ∂w
∂v 
ω yz =  − 
2  ∂y ∂z 
1  ∂u ∂w 
−

2  ∂z ∂x 
ω zx = 
1  ∂v ∂u 
 + 
2  ∂x ∂y 
∂v
∂y
1  ∂v ∂w 
 +

2  ∂z ∂x 
1  ∂w ∂u  
+ 

2  ∂x ∂z  
1  ∂w ∂v  

+  
2  ∂y ∂z  

∂w

∂z

Bedeutung von
ε&i , ε&ij , ωij
?
Unverformtes Element bewegt sich in der Strömung
Translation:
u dt
v dt
∆y
∆x
Rotation:
−
∂u
∆y dt
∂y
dγ
ωs
∂v
∆x dt
∂x
dϕ
tan(dϕ ) ≈ dϕ
dϕ =
∂v
∂u
dt = − dt
∂x
∂y
⇒
Zeitliche Winkeländerung
ϕ& =
dϕ
dt
aus dem arithmetischen Mittel
1  ∂v ∂u 
ω z =  −  = ω xy
2  ∂x ∂y 
⇒
Drehung um z-Achse
In 3D erhält man :
1  ∂w ∂v 
ω x =  −  = ω yz
2  ∂y ∂z 
1  ∂u ∂w 
ω y =  −  = ω zx
2  ∂z ∂x 
⇒
r
Dreh- oder Wirbelvektor ω
r
r
r
ω = ωxi + ω y j + ωz k
r
⇒
ωij - Terme
: Rotation des unverformten Elements
Relative Volumenänderung (Volumendilatation)
1 d (∆V )
∆V dt
1
 
∂v
∂w
1 d (∆V ) 1 
∂u

 
=
∆x + ∆x dt ⋅ ∆y + ∆y dt ⋅ ∆z + ∆z dt − ∆x∆y∆z 
∆V dt
∆V 
∂x
∂y
∂z
 

 
 dt
1 d (∆V ) ∂u ∂v ∂w r r
r
=
+ +
= ∇ ⋅ v = div v
∆V dt
∂x ∂y ∂z
Kontinuitätsgleichung für inkompr. Fluide
Rechteck
Scherung
Parallelepiped
dγ = dα + dβ
Verformung des Elements
∂v
∆y dt
∂y
∆y
Dehnung
∆x
∂u
∆x dt
∂x
∂u
∆y dt
∂y
Scherung
dβ
∂v
∆x dt
∂x
dα
Dehnungsgeschwindigkeit entspricht der zeitlichen Dehnungsänderung pro Kantenlänge
ε&x =
∂u
∂x
, ε& y =
∂v
∂y
, ε&z =
∂w
∂z
entspricht den Hauptdiagonalen der Matrix
d α
=
d β
=
dγ
dt
dij
∂ v
dt
∂ x
∂ u
dt
∂ y
 dα   dβ 
:
;  
 dt   dt 
gesamte Winkeländerung pro Zeit
Schergeschwindigkeit
γ&ij
über arithmetische Mittelung
1  ∂u ∂v 
&
γ xy =  + 
2  ∂y ∂x 
1  ∂v ∂w 
γ& yz =  + 
2  ∂z ∂y 
1  ∂u ∂w 
+

2  ∂z ∂z 
γ& zx = 
Vergleiche mit
d ij − Matrix
:
⇒ ε&ij =ˆ γ&ij − Terme
⇒ d ij − Matrix : enthält Dehnung und Scherung
⇒
Tensor der Deformation
Spannungstensor τ ij in der Impulserhaltung
Zusammenhang zwischen τ ij und d& ij durch Newtonschen Reibungsansatz :
Tangentiale Spannung ~ Schergeschwindigkeit
und mittels Isotropie des Elements
r
ε&x , ε& y , ε&z und divv
viskositätsbedingte Normalspannungen
Ansatz:
r
τ xy = τ yx = 2η γ&xy
σ xx = − p + 2ηε&x + λ div v
r
σ yy = − p + 2ηε& y + λ div v
τ yz = τ zy = 2η γ& yz
σ zz
τ zx = τ xz = 2η γ& zx
r
&
= − p + 2ηε z + λdiv v
Die Größen η und λ sind Proportionalitätsfaktoren
Die Normalspannungen werden i. a. umformuliert


2
3
r


2
3
r


2
3
r
r
σ yy = − p + η  2ε& y − div v  + ηˆ div v

r
σ xx = − p + η  2ε&x − div v  + ηˆ div v

r
σ zz = − p + η  2ε&z − div v  + ηˆ div v
η
2
3
ηˆ = λ + η
⇒

: dynamische Viskosität
: Volumenviskosität
2
r 3
Stokes‘sche Hypothese :
ηˆ = λ + η = 0
inkompressible Strömungen :
div v = 0
mittlere Normalspannung σ :
σ =
1
(σ xx + σ yy + σ zz ) = − p + ηˆ div vr
3
Einsetzen der Normal- und Tangentialspannung
⇒
Navier- Stokes Gleichungen
r  ∂   ∂u ∂v  ∂   ∂w ∂u 
du
∂p ∂   ∂u 2
ρ
= ρg x − + η  2 − div v  + η  +  + η 
+ 
dt
∂x ∂x   ∂x 3
 ∂y   ∂y ∂x  ∂z   ∂x ∂z 
ρ
r  ∂   ∂v ∂w  ∂   ∂u ∂v 
dv
∂p ∂   ∂v 2
 + η  + 
= ρg y − + η  2 − div v  + η  +
dt
∂y ∂y   ∂y 3
 ∂z   ∂z ∂y  ∂x   ∂y ∂x 
r  ∂   ∂w ∂u  ∂   ∂v ∂w 
dw
∂p ∂   ∂w 2

ρ
= ρg z − + η  2
− div v  + η 
+  + η  +
dt
∂z ∂z   ∂z 3
 ∂x   ∂x ∂z  ∂y   ∂z ∂y 
inkompressible Strömung, η = konst
r
div v = 0
Vereinfachung der 2. Ableitungen
 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u  ∂   ∂u ∂v ∂w 
 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2 u 
η  2 + 2 + 2  + η  + +  = η  2 + 2 + 2 
∂y
∂z  ∂x   ∂x ∂y ∂z 
∂y
∂z 
 ∂x
 ∂x
⇒
Navier- Stokes Gleichungen für ein ink. Fluid
 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 
∂p
du
= ρg x − + η  2 + 2 + 2 
ρ
∂x
dt
∂y
∂z 
 ∂x
 ∂ 2v ∂ 2v ∂ 2v 
∂p
dv
ρ = ρg y − + η  2 + 2 + 2 
∂y
dt
∂y
∂z 
 ∂x
 ∂2w ∂ 2w ∂ 2w 
∂p
dw
ρ
= ρg z − + η  2 + 2 + 2 
∂z
dt
∂y
∂z 
 ∂x
Energiegleichungen
1. Hauptsatz der Thermodynamik :
dQ dE dW
=
+
dt
dt
dt
Volumenelement :
Wärmeleitung nach Fourier :
Q : Wärme; E : Energie; W : Arbeit
∆V = ∆x∆y∆z
∆m = ρ∆V
1 dQ
∂T
= q = −λ
A dt
∂n
λ
: Wärmeleitfähigkeit
Betrachtung für die Fläche ∆y ∆z (x-Richtung)
aufgenommene Wärme:
abgegebene Wärme:
 ∂T ∂  ∂T  ∆x 
− λ
− λ
 ∆y∆z
 ∂x ∂x  ∂x  2 
 ∂T ∂  ∂T  ∆x 
+ λ
λ
 ∆y∆z
 ∂x ∂x  ∂x  2 
Nettowärmestrom in x- , y- und z-Richtung
 ∂  ∂T  ∂  ∂T  ∂  ∂T 
 +  λ
dQ = dt∆V   λ
 +  λ

 ∂x  ∂x  ∂y  ∂y  ∂z  ∂z 
τ xz −
∂τ xz ∆x
∂x 2
∂τ xy ∆x
τ xy +
∂x 2
∆y
σ xx −
∂σ xx ∆x
∂x 2
τ xy −
σ xx +
∂τ xy ∆x
∂x 2
∆z
∆x
y
x
z
τ xz +
∂σ xx ∆x
∂x 2
∂τ xz ∆x
∂x 2
zeitliche Änderung der Gesamtenergie:
dE
 de 1 d 2 2

= ρ∆V  +
(u + v + w2 )
dt
 dt 2 dt

e : massenbezogene innere Energie
Arbeit pro Zeit anhand von σxx :
∂u ∆x 
∂σ xx ∆x 
 
dWσ = − ∆y∆zdt −  u −
 σ xx −

∂
x
2
∂
x
2


 
xx
∂u ∆x 
∂σ xx ∆x 

+ u +
 σ xx +

∂x 2 
∂x 2 

∂u 
 ∂σ
= − ∆y∆zdt  u xx + σ xx ∆x
∂x 
 ∂x
∂
= − ∆Vdt (uσ xx )
∂x
analoge Vorgehensweise für den gesamten Spannungstensor :

∂
∂
∂
dW
(
)
(
)
(
)
= −∆V  uσ xx + vτ xy + wτ xz +
uτ yx + vσ yy + wτ yz +
uτ zx + vτ zy + wσ zz 
dt
∂
x
∂
y
∂
z


Mittels Impulserhaltung (z.B. x-Impuls) :
du ∂σ xx ∂τ xy ∂τ xz
ρ =
+
+
dt
∂x
∂y
∂z
Umformung der
dE
dW
und
dt
dt
-Therme :
dE  de
du
dv
dw 
=  ρ + uρ
+ vρ + wρ  ∆V
dt  dt
dt
dt
dt 
∂σ
∂u
dW 1
= −u xx − σ xx K
∂x
∂x
dt ∆V
∂τ xy
∂u
−u
− τ xy K
∂y
∂y
∂τ
∂u
− u zx − τ zx K
∂z
∂z
de
∂u
∂v
∂w
 dE dW  1
+
= ρ − σ xx
− τ xy
− τ xz


dt  ∆V
dt
∂x
∂x
∂x
 dt
∂u
∂v
∂w
− τ yx
− σ yy
− τ yz
∂y
∂y
∂y
∂u
∂v
∂w
− τ zx
− τ zy
− σ zz
∂z
∂z
∂z
Einführung der Spannungen ergibt die Energiegleichung
ρ
r ∂  ∂T  ∂  ∂T  ∂  ∂T 
de
 + λ
+ p div v =  λ
 + λ
 + ηΦ
∂x  ∂x  ∂y  ∂y  ∂z  ∂z 
dt
mit Φ für ηˆ = 0
 ∂u  2  ∂v  2  ∂w  2   ∂v ∂u  2
Φ = 2  +   +    +  + 
 ∂x   ∂y   ∂z    ∂x ∂y 
2
2
2
 ∂w ∂v   ∂u ∂w  2  ∂u ∂v ∂w 
 > 0
+ 
+  +  +
 −  + +
 ∂y ∂z   ∂z ∂x  3  ∂x ∂y ∂z 
Φ = Dissipatio nsfunktion
mechanische Energie
thermische Energie
Energiegleichungen für ideale Gase
e = f (T ), h = e +
p
ρ
= f (T )
kalorische Zustandsgleichungen:
 ∂e 
de =   dT = cv dT
 ∂T  1
ρ
⇒
 ∂h 
dh =   dT = c p dT
 ∂T  p
 p
d 
de dh
dT 1  dp pdρ 
ρ

=
−
= cp
−  −
dt dt
dt
dt ρ  dt ρdt 
Kontinuitätsgleichung:
−
⇒
1 dρ ∂u ∂v ∂w
r
=
+ +
= div v
ρ dt ∂x ∂y ∂z
ρc p
dT dp  ∂  ∂T  ∂  ∂T  ∂  ∂T 
 +  λ
=
+  λ
 +  λ
  + ηΦ
dt
dt  ∂x  ∂x  ∂y  ∂y  ∂z  ∂z 
Form der Energiegleichung in CFD-Untersuchungen
∂E ∂
∂
∂
+ [u (E + p )] + [v(E + p )] + [w(E + p )] =
∂t ∂x
∂y
∂z
∂
uτ xx + vτ xy + wτ xz − q x +
∂x
∂
uτ xy + vτ yy + wτ yz − q y +
∂y
∂
uτ xz + vτ yz + wτ zz − q z
∂z
bzw. mit
H = h+
r
v
[
]
[
]
[
]
2
2
r2

v
= p+E
ρH = p + ρ  e +

2 


lauten die räumlichen 1. Ableitungen der linken Seite
∂
∂
∂
(ρuH ) + (ρvH ) + (ρwH )
∂x
∂y
∂z
Formen der Erhaltungsgleichungen
Vektorschreibweise unter Berücksichtigung des Nabla-Operators
∂ρ r
r
+ ∇ ⋅ ( ρv ) = 0
∂t
Masse:
oder
Impuls:
r r
dρ
+ ρ∇ ⋅ v = 0
dt
Spannungstensor τ
 σ x τ xy τ xz 


τ = τ yx σ y τ yz 
τ

τ
σ
zy
z
 zx


2
3
r
r
σ x = σ xx + p = η  2ε&x − div v  + ηˆdiv v
σ y = σ yy + p
σ z = σ zz + p

⇒
Formen der Navier-Stokes Gleichungen:
r
r
dv
r r
ρ = ρg − ∇p + ∇ ⋅τ
dt
oder:
r
r
r r
 ∂v r r r 
ρ  + ( v ⋅ ∇ ) v  = ρg − ∇ p + ∇ ⋅ τ
 ∂t

oder:
r
∂ r r
rr
r r
( ρv ) + ∇ ⋅ ( ρ v v ) = ρg − ∇p + ∇ ⋅τ
∂t
rr
mit v v
 u2
rr 
v v =  vu

wu

uv uw 
v 2 vw 

wv w2 

inkompressibles Fluid mit η = konstant:
r
dv
r r
r
ρ = ρg − ∇p + η∇ 2v
dt
+ stationär
r r r
r r
r
ρ (v ⋅ ∇ )v = ρg − ∇p + η∇ 2v
Energie
2

v
 :
E = ρ e +

2 


Gesamtenergie
r
r r r r r
r r
r
∂E r
+ ∇ ⋅ ( Ev ) = ρg ⋅ v − ∇ ⋅ q − ∇ ⋅ ( pv ) + ∇ ⋅ (τ ⋅ v )
∂t
plus Kontinuitätsgleichung
r2
v 
r r r r r
r r
r
d 
ρ
e+
= ρg ⋅ v − ∇ ⋅ q − ∇ ⋅ ( pv ) + ∇ ⋅ (τ ⋅ v )
dt 
2 


H=
p+E
ρ
:
Gesamtenthalpie
r r ∂p r r r
r
dH
ρ
= ρg ⋅ v +
− ∇ ⋅ q + ∇(τ ⋅ v )
∂t
dt
r2
v  dH 1  ∂p r
r 
d 
e+
=
−  + ∇ ⋅ ( pv ) 
2  dt ρ  ∂t
dt 



e
: innere Energie
r r
r r
rr
de
ρ = −∇ ⋅ q − p∇ ⋅ v + τ ⋅ ∇v
dt
mit
rr
∂u
∂u
∂u
∂v
∂v
∂v
∂w
∂w
τ ⋅ ∇v = σ x + τ xy
+ τ xz
+ τ yx
+σ y
+ τ yz
+ τ zx
+ τ zy
+σ z
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
∂z
∂x
∂y
=σx
 ∂u ∂v 
 ∂v ∂w 
∂u
∂v
∂u
 ∂w ∂u 
 + τ zx 
+σ y
+σ z
+ τ xy  +  + τ yz  +
+ 
∂x
∂y
∂z
 ∂x ∂z 
 ∂y ∂x 
 ∂z ∂y 
=η Φ
h
: innere Enthalpie
r r dp
rr
dh
ρ
= −∇ ⋅ q +
+ τ ⋅ ∇v
dt
dt
bzw. bei idealem Gas:
r r dp
rr
dT
ρc p
= −∇ ⋅ q +
+ τ ⋅ ∇v
dt
dt