Trigonometrie

Trigonometrie
Theorie
Die Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck:
A
c
b
β
B
C
a
sin β =
Gegenkathete
b
=
Hypotenuse
c
cos β =
a
Ankathete
=
Hypotenuse
c
tan β =
b
Gegenkathete
=
Ankathete
a
Die Winkelfunktionen für beliebige Winkel:
y
yP
P
F
xP
E
yP
= yP
1
xP
= xP
cos ϕ =
1
sin ϕ =
1
ϕ
O
x
tan ϕ =
yP
EF
EF
=
= EF
=
xP
1
OE
Zwei wichtige Beziehungen:
tan ϕ =
sin ϕ
cos ϕ
und (sin ϕ)2 + (cos ϕ)2 = 1
Das Bogenmass:
Die Grösse des Winkels entspricht der Länge des Bogens,
der vom Winkel ϕ aus dem Einheitskreis herausgeschnitten wird. (360◦ =2π)
ˆ
y
Umrechnungsformeln:
_
ϕ
π
180◦
◦
_ 180
ϕ=ϕ·
π
_
ϕ
ϕ =ϕ·
x
1
In einem beliebigen Dreieck gelten
a
b
c
Sinussatz:
=
=
= 2r
sin α
sin β
sin γ
Cosinussatz:
c2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
(r=Umkreisradius des Dreiecks)
(Variablen zyklisch vertauschbar)
Trigonometrie
Übungsaufgaben
1. Rechne die Winkel ins Bogenmass um. Runde auf drei Nachkommastellen genau.
(a) 15◦
(b) −400◦
(c) 57.2957795◦
2. Rechne die Winkel ins Gradmass um. Runde auf zwei Nachkommastellen genau.
(a)
π
5
(b)
2π
7
(c)
1
3
3. Bestimme alle Lösungen 0 ≤ α < 360 der Gleichungen
(a) sin α = 0.75
(b) cos α = −0.3
(c) tan α = 2.6
4. Bestimme die fehlenden Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck mit γ = 90◦ .
(a) α = 30◦
b = 5 cm
(b) β = 64◦
b = 7 cm
(c) α = 51◦
c = 8 cm
5. Bestimme die fehlenden Winkel und Seitenlängen im (allgemeinen) Dreieck.
(a) a = 7 cm
α = 42◦
c = 9 cm
(b) a = 5 cm
b = 8 cm
c = 12 cm
(c) α = 35◦
c = 22 cm
β = 74◦
Trigonometrie
π
= 0.262
1. (a)
12
Lösungen zu den Übungsaufgaben
(b) −6.981
(c) 1.000
Die Masseinheit“ des Bogenmasses heisst rad (=Radiant). Sie wird aber meist
”
weggelassen.
2. (a) 36◦
(b) 51.43◦
(c) 19.10◦
3. (a) α1 = 48.59◦ ; α2 = 180◦ − α1 = 131.41◦
(b) α1 = 342.54◦ (= −17.46◦ + 360◦ ); α2 = 360◦ − α1 = 17.46◦
(c) α1 = 68.96◦ ; α2 = 180◦ + α1 = 248.96◦
4. (a) sin 30◦ =
5
5
⇒c=
= 10 cm
c
sin 30◦
tan 30◦ =
5
5
⇒a=
= 8.66 cm
a
tan 30◦
(b) cos 64◦ =
7
7
⇒c=
= 15.97 cm
c
cos 64◦
tan 64◦ =
(c) sin 51◦ =
a
⇒ a = 7 · tan 64◦ = 14.35 cm
7
b
⇒ b = 8 · sin 51◦ = 6.22 cm
8
a
⇒ a = 8 · cos 51◦ = 5.03 cm
8
√
5. (a) Cosinussatz:
a = b2 + c2 − 2bc cos α = 6.03 cm
cos 51◦ =
c2 + a2 − b2
= 50.96◦
2ca
Cosinussatz:
β = arccos
Winkelsumme:
γ = 180◦ − α − β = 87.04◦
(b) Cosinussatz:
α = arccos
b2 + c2 − a2
= 17.61◦
2bc
Cosinussatz:
c2 + a2 − b2
β = arccos
= 28.96◦
2ca
Winkelsumme:
γ = 180◦ − α − β = 133.43◦
(c) Winkelsumme:
γ = 180◦ − α − β = 71◦
Sinussatz:
a
c
c · sin α
=
⇒a=
= 13.35 cm
sin α
sin γ
sin γ
Sinussatz:
c
c · sin β
b
=
⇒b=
= 22.37 cm
sin β
sin γ
sin γ