2. Kinematik - physik.fh

2. Kinematik
2. Kinematik
2.1 Grundsätzliche Bewegungsarten
2.2 Modell Punktmasse
2.3 Mittlere Geschwindigkeit (1-dimensional)
2.4 Momentane Geschwindigkeit (1-dimensional)
2.5 Beschleunigung (1-dimensional)
2.6 Bahnkurve
2.7 Bewegung in 3 Dimensionen
2.8 Gleichförmige Kreisbewegung
2.9 Relativbewegungen
Inhalt
2. Kinematik
2.1 Bewegungsarten
2. Kinematik: Lehre von Bewegung (beschreibt nur)
2.1 Grundsätzliche Bewegungsarten (ausgedehnte Körper):
1. Translation
[Animation]
x
Änderung der Position
Jeder Punkt des Körpers hat die gleiche Bahnkurve
2. Rotation (Drehung)
[Animation]
Änderung der Orientierung
Punkte bewegen sich auf Kreisbögen
x
2.1 Bewegungsarten
2. Kinematik
Allgemein gilt:
2.1 Bewegungsarten
Jede Bewegung ist eine Überlagerung von
[Animation]
Translation und Rotation.
Beispiel:
Bahnkurven von Punkten
auf dem Rad eines
Fahrzeugs
[Animation]
[Animation]
Beachte: Bahnkurve = f (Bezugs- und Koordinatensystems)
2.2 Punktmasse
2. Kinematik
2.2 Punktmasse
2.2 Modell Punktmasse
Bewegung:
z. B. Änderung des Ortes (y) mit der Zeit (t),
y = f(t) = y(t)
Beispiele:
y = k oder y = k` t
Problem:
Bewegungen sind meist kompliziert.
(Hund, Katze, Maus,...)
Lösung:
Idealisierung ausgedehnter Körper zur
PUNKTMASSE =
Körper, dessen Masse man sich in einem Punkt
konzentriert denkt
(k, k` = Konstanten)
2.2 Punktmasse
2. Kinematik
2.2 Punktmasse
Modell Punktmasse anwendbar, falls …
1. der Körper nahezu punktförmig ist,
z.B. e- in einem elektrischen Leiter,
2. die Körperabmessungen klein gegenüber dem Abstand sind,
z.B. Erde um Sonne,
3. man einen repräsentativen Punkt wählt.
z.B. Schwerpunkt einer Kugel,
Punkt auf Autostoßstange
Beschreibung von Bewegung in
1. Koordinatensystem
2. Bezugssystem
Bahnkurve
Allgemein: r(t) = (x(t), y(t), z(t))
Beispiel: r(t) = (0, v0t, 0) m
[Animation]
2.3 Mittlere Geschwindigkeit
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2.3 Mittlere Geschwindigkeit
2.3 Mittlere Geschwindigkeit (1-dimensional)
Annahme:
Bewegung: 1-dimensional (z.B. x-Achse)
Modell:
Punktmasse
[Animation]
x
Def.: Mittlere Geschwindigkeit
[Animation]
Beispiel:
2.3 Mittlere Geschwindigkeit
2. Kinematik
2.3 Mittlere Geschwindigkeit
Typische mittlere Geschwindigkeiten:
Schnecke
10-3m/s
Spaziergang
1 m/s
Schnellste Mann
10 m/s
Gasmoleküle
500 m/s
Mond um Erde
1000 m/s
e- in Fernsehröhre
107 m/s
Lichtgeschwindigkeit (Vakuum)
3x108 m/s
Problem:
Keine Aussagen
• über v zu einem
bestimmten Zeitpunkt
• über eine Bahnkurve
2.4 Momentane Geschwindigkeit
2. Kinematik
2.4 Momentane Geschwindigkeit
2.4 Momentane Geschwindigkeit (1-dimensional)
Def.: momentane Geschwindigkeit
Beispiele:
v(t) = ?
v(t) = ?
2.5 Beschleunigung
2. Kinematik
2.5 Beschleunigung
2.5 Beschleunigung
Annahme:
Fragen:
Bewegung ist 1-dimensional.
Wie schnell wird man schnell ?
Wie schnell wird man langsam ?
Def.:
Mittlere Beschleunigung
Def.:
Momentane Beschleunigung
2.6 Bahnkurve
2. Kinematik
2.6 Bahnkurve
2.6 Bahnkurve aus v und a (1-dimensional)
Es gilt:
Beispiele:
1. v(t) = konst. = v0
2. a(t) = konst. = a0
x(t) = ?
v(t) = ? , x(t) = ?
2.7 Bewegung in 3 Dimensionen
2. Kinematik
2.7 Bewegung in 3 Dimensionen
2.7 Bewegung in 3 Dimensionen
Ort einer Punktmasse durch Ortsvektor
r = (x,y,z) = | r | ^r
Mittlere
Geschwindigkeit
Momentane
Geschwindigkeit
Mittlere
Beschleunigung
Μomentane
Beschleunigung
Beispiel: Der schiefe Wurf
2. Kinematik
2.5 Bahnkurve
Beispiele
Der schiefe Wurf
2. Kinematik
Beispiel: Der schiefe Wurf
Beispiel: Der schiefe Wurf
Beispiel: Der schiefe Wurf
2. Kinematik
Beispiel: Der schiefe Wurf
Der schiefe Wurf
Beispiel einer 2-dimensionalen Bewegung:
Tennisball auf der Erde
Annahmen:
1. Tennisball ist punktförmig
2. Ball hat Anfangsgeschwindigkeit v0
3. Abwurfwinkel = α
4. Erdbeschleunigung a = g = konstant
5. Reibung wird vernachlässigt
Frage: Wie sieht y = f(x) aus ?
Bahnkurve
Beispiel: Der schiefe Wurf
2. Kinematik
Beispiel: Der schiefe Wurf
Zum Zeitpunkt t = 0 gilt:
Für Bewegung in x-Richtung gilt:
Auflösen nach der Zeit ergibt:
Beispiel: Der schiefe Wurf
2. Kinematik
Beispiel: Der schiefe Wurf
Für Bewegung in y-Richtung gilt:
mit
y
Parabel: y(x) = ax + bx2
x
Beispiel: Parabelflug
Beispiel: Parabelflug
2. Kinematik
Parabelflug mit Airbus
Beispiel: Parabelflug
2. Kinematik
Achtung
Achtung !!!!
Ändert sich Geschwindigkeit in Betrag und /oder Richtung
liegt beschleunigte Bewegung vor !!!!
Βeweis:
mit
folgt nach
Produktregel
^
^
v
v
^
^
v
v
^
v
!!!!!
^
v
2.8 Gleichförmige Kreisbewegung
2. Kinematik
2.8 Gleichförmige Kreisbewegung
2.8 Gleichförmige Kreisbewegung (|v| konst.)
Im Punkt p gilt:
Im Punkt q gilt:
Für ∆t von p à q
pq = Länge des Kreisbogens von p à q
2.8 Gleichförmige Kreisbewegung
2. Kinematik
2.8 Gleichförmige Kreisbewegung
x - Richtung
Für mittlere Beschleunigung < ax > gilt:
y – Richtung
Für mittlere Beschleunigung < ay > gilt:
2.8 Gleichförmige Kreisbewegung
2. Kinematik
2.7 Gleichförmige Kreisbewegung
Wir haben:
Frage:
Momentane Beschleunigung in Punkt P = ?
Antwort:
Man mache Grenzübergang θ à 0
2.7 Gleichförmige Kreisbewegung
2.8 Gleichförmige Kreisbewegung
2. Kinematik
Momentane Beschleunigung in P
Betrag
)
Zentripetalbeschleunigung
F = m
v2/r
Zentripetalkraft
Ursache für
Kreisbewegungen
2.8 Gleichförmige Kreisbewegung
2.8 Gleichförmige Kreisbewegung
2. Kinematik
Zentripetalbeschleunigung:
• ⊥ zur Tangentialgeschwindigkeit
• Richtung zum Kreismittelpunkt
• Ursache für Kreisbewegung
Fragen:
(gleichförmige Kreisbewegung)
1. Bleibt die Geschwindigkeit konstant ?
2. Ist jede Kreisbewegung eine beschleunigte Bewegung ?
3. Ist die Beschleunigung konstant ?
2.8 Gleichförmige Kreisbewegung
2. Kinematik
2.8 Gleichförmige Kreisbewegung
Beispiele
2.9 Relativbewegungen
2. Kinematik
2.9 Relativbewegungen
2.9 Relativbewegungen
Es gilt:
• Die Bahnkurve eines Objektes ist nicht eindeutig.
• Die Geschwindigkeit eines Objektes ist nicht eindeutig.
Sie sind Funktion des Bezugssystems.
Beispiel:
• Ein Zug hat eine konstante Geschwindigkeit vZg.
• Im Zug bewegt sich Fahrgast mit Geschwindigkeit vFg.
Frage:
Wie groß ist vFahrgast ?
Antwort: Das hängt vom
Bezugssystem ab.
2.9 Relativbewegungen
2. Kinematik
2.9 Relativbewegungen
Für den Beobachter, der im Zug ruht, gilt:
vFahrgast = vFg
Für den Beobachter, der am Bahndamm ruht, gilt:
vFahrgast = vFg + vZg
v = f (Bezugssystem)
2.9 Relativbewegungen
2. Kinematik
2.9 Relativbewegungen
Die Galilei-Transformation
Allgemeine (abstrakte) Betrachtung (1-dimensional)
Annahmen:
1. Man hat zwei Bezugssysteme A und B.
2. Bezugssystem A ruht.
3. Bezugssystem B bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit
vB/A relativ zu A entlang der positiven x-Richtung.
4. In B ist Punktmasse P, die sich in x-Richtung bewegt.
2.9 Relativbewegungen
2. Kinematik
2.9 Relativbewegungen
Es gilt für Bahnkurve xP/A (t) von P in A:
xP/A = xB/A + xP/B
xP/B (t) = Bahnkurve von P
in Bezugssystem B
xB/A (t) = Bewegung
von B relativ zu A
Es gilt für Geschwindigkeit vP/A:
Es gilt für Beschleunigung aP/A:
2.9 Relativbewegungen
2. Kinematik
2.9 Relativbewegungen
Konsequenz
In Bezugssystemen, die sich relativ zueinander
mit konstanter Geschwindigkeit bewegen,
ist die Beschleunigung
UNABHÄNGIG
vom Bezugssystem.
2.9 Relativbewegungen
2. Kinematik
2.9 Relativbewegungen
Ein merkwürdiges Beispiel:
Zug mit vZg = 90 % der Lichtgeschwindigkeit c
relativ zum Bahndamm:
vZg = 0,9 c = 0,9 . 3 . 108 m/s
Fahrgast mit vFg = 30 % der Lichtgeschwindigkeit
relativ zum Zug:
vFg = 0,3 c = 0,3 . 3 . 108 m/s
Am Bahndamm ruhender Beobachter
sollte messen:
vFahrgast = (0,3 +0,9) c = 1,2 c > c
Widerspruch zu tatsächlichen Beobachtungen!
Es gilt:
• Lichtgeschwindigkeit c kann nicht überschritten werden.
• Obige Transformation der Geschwindigkeiten (Galilei-Transformation)
v << c
ist nur gültig, falls
( Später mehr)
3 Newtonsche Grundgesetze