2.1 Definition

2.1 Definition
Eine Menge M ist die Zusammenfassung wohldefinierter Objekte zu
einem Ganzen. Die Objekte heißen Elemente der Menge.
Ist m ein Element der Menge M, so schreibt man
m∈M
Ist m kein Element der Menge M, so schreibt man
m 6∈ M
Klaus Schindler
Kapitel 2
Schreibweisen
1
Enumerativ: Die Elemente werden in Klammern aufgezählt
Konventionen:
Reihenfolge der Elemente spielt keine Rolle:
{1, 2, 3} = {2, 3, 1}
Mehrfachaufzählung von Elementen hat keine Wirkung:
{1, 2, 3} = {1, 1, 2, 3, 3}
2
Deskriptiv: Die Elemente werden charakterisiert durch
beschreibende Eigenschaften
Klaus Schindler
Kapitel 2
Zahlenmengen
Natürliche Zahlen
N := {1, 2, 3 . . .}, N
0
:= {0, 1, 2, 3, . . .}
Z := {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
p
Rationale Zahlen Q := { | p∈Z, q∈N}
q
Reelle Zahlen R
Komplexe Zahlen C
Ganze Zahlen
(M×N)-Matrizen


a



 11



a
21
M×N := 

 ..


 .
R





a12
a22
..
.
...
...
..
.
        a1N
a2N
..
.
aM1 aM2 . . . aMN
RM×1 = RM
R1×N
Speziell N = 1: Spaltenvektoren
Speziell M = 1: Zeilenvektoren
Klaus Schindler
R
aij ∈ ;
i = 1, . . . , M
j = 1, . . . , N
Kapitel 2















Definition 2.4
a) A heißt Teilmenge von B, falls gilt:
∀x : (x ∈ A =⇒ x ∈ B)
Schreibweise: A ⊂ B oder A ⊆ B
b) Zwei Mengen A und B sind gleich, falls gilt:
∀x : (x ∈ A ⇐⇒ x ∈ B)
Schreibweise: A = B
Klaus Schindler
Kapitel 2
2.5 Satz
a) A ⊂ A
b) (A = B) ⇐⇒ (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ A)
c) (A ⊂ B) ∧ (B ⊂ C ) =⇒ (A ⊂ C )
d) ∅ ⊂ A
Klaus Schindler
Kapitel 2
Bezeichnung 2.6 / Definition 2.7
Bezeichnung 2.6
Ein Mengensystem ist eine Menge, deren Elemente selbst wieder
Mengen sind!
Definition 2.7
Die Potenzmenge
℘(A) ist die Menge aller Teilmengen von A, d.h.
n
o
℘(A) := M | M ⊂ A .
℘(A) ist ein Mengensystem.
Klaus Schindler
Kapitel 2
2.9 Definition
n
o
a) Die Menge M1 ∪ M2 ∪ M3 ∪ . . . = x | ∃i : x∈Mi heißt
Vereinigung der Mengen M1 , M2 , M3 , . . .
Kurzschreibweise:
∞
S
Mi
i=1
n
o
b) Die Menge M1 ∩ M2 ∩ M3 ∩ . . . = x | ∀i : x∈Mi heißt
Durchschnitt der Mengen M1 , M2 , M3 , . . .
Kurzschreibweise:
∞
T
Mi
i=1
Klaus Schindler
Kapitel 2
2.14 Definition
Die Differenzmenge von A und B ist
A\B = {x∈A | x ∈B}.
/
Alternative Bezeichnung: relatives Komplement von B in A
Spezialfall: B ⊂ A
Komplement von B in A
{A B, {B, B
Klaus Schindler
Kapitel 2
2.16 Satz
A, B und C Teilmengen einer relativen Allmenge G .
(
(M1)
Idempotenz
A∩A = A
(
(M2)
A∪B = B ∪A
Kommutativität
A∩B = B ∩A
(
(M3)
A∪A = A
(A ∪ B) ∪ C
= A ∪ (B ∪ C )
(A ∩ B) ∩ C
= A ∩ (B ∩ C )
Klaus Schindler
Kapitel 2
Assoziativität
2.16 Satz (Forts.)
(
(M4)
(
(M5)
(M6)
(A ∪ B) ∩ C
= (A ∩ C ) ∪ (B ∩ C )
(A ∩ B) ∪ C
= (A ∪ C ) ∩ (B ∪ C )
A∪B = A∩B
De Morgan
A∩B = A∪B







A
Distributivität
= A
A∪A = G
A∩A =
(M7) A ⊂ B
∅
⇐⇒ B ⊂ A
Klaus Schindler
Kontraposition
Kapitel 2
2.20 Definition
Das kartesische Produkt A × B der Mengen A, B ist
die Menge aller geordneten 2-Tupel (x, y ) , d.h.
A × B := (x, y ) | x∈A, y ∈B
Das kartesische Produkt A1 × A2 × . . . × An ist
die Menge aller geordneten n-Tupel (a1 , . . . , an ) , d.h.
n
o
A1 × . . . × An := (a1 , . . . , an ) a1 ∈A1 , . . . , an ∈An
Schreibweise:
n
Q
Ai
i=1
Klaus Schindler
Kapitel 2
2.23 Definition
Eine Teilmenge R ⊂ X ×Y heißt Relation zwischen X und Y .
Spezialfall:
R ⊂ M×M heißt Relation in M
Statt (x, y ) ∈ R, schreibt man xRy .
Sprechweise: „x steht in der Relation R zu y “.
Der Definitionsbereich ist die Menge der an R beteiligten x
{x∈X | ∃y ∈Y : xRy }
Der Wertebereich ist die Menge der an R beteiligten y
{y ∈Y | ∃x∈X : xRy } .
Klaus Schindler
Kapitel 2
2.25 Definition a)
Eine Relation R in der Menge M heißt
reflexiv, wenn ∀x∈M : xRx
irreflexiv, wenn ∀x∈M : ¬ xRx
h
i
symmetrisch, wenn ∀x, y ∈M : xRy =⇒ y Rx
h
i
antisymmetrisch, wenn ∀x, y ∈M : xRy ∧ y Rx =⇒ x = y
h
i
transitiv, wenn ∀x, y , z∈M : xRy ∧ y Rz =⇒ xRz
h
i
vollständig, wenn ∀x, y ∈M : xRy ∨ y Rx
Klaus Schindler
Kapitel 2
2.25 Definition b)
Die Relation R in der Menge M heißt
Äquivalenzrelation, wenn reflexiv, symmetrisch und transitiv.
Präferenzordnung, wenn vollständig und transitiv.
Ordnung, wenn reflexiv, antisymmetrisch und transitiv.
Totalordnung, wenn reflexiv, antisymmetrisch, transitiv und
vollständig (= vollständige Ordnung).
Klaus Schindler
Kapitel 2
Funktion
Die Relation R ⊂ X ×Y heißt Funktion von X nach Y , wenn
zu jedem x∈X genau ein y ∈Y mit xRy existiert.
mathematisch:
xRy1 ∧ xRy2 =⇒ y1 = y2
Klaus Schindler
Kapitel 2
2.28 Definition a)
Betrachte
R mit Ordnung 6 und B⊂R. Eine reelle Zahl S heißt
obere Schranke der Menge B, wenn
∀b∈B : b 6 S
kleinste obere Schranke (Supremum) der Menge B, wenn
i) S ist eine obere Schranke von B
ii) jedes kleinere Element als S ist keine obere Schranke von B
Schreibweise: sup(B)
Maximum von B, wenn S = sup(B) und S ∈ B gilt.
Schreibweise: max(B)
Klaus Schindler
Kapitel 2
2.28 Definition a)
Eine reelle Zahl S heißt
untere Schranke der Menge B, wenn
∀b∈B : S 6 b .
größte untere Schranke (Infimum) der Menge B, wenn
i) S ist eine untere Schranke von B
ii) jedes größere Element als S ist keine untere Schranke von B
Schreibweise: inf(B)
Minimum von B, wenn S = inf(B) und S ∈ B gilt.
Schreibweise: min(B)
Klaus Schindler
Kapitel 2
2.28 Definition b)
Die Menge B heißt nach oben beschränkt, wenn eine obere
Schranke für B existiert.
Die Menge B heißt nach unten beschränkt, wenn eine untere
Schranke für B existiert.
Die Menge B heißt beschränkt, wenn eine obere und eine
untere Schranke für B existiert.
Klaus Schindler
Kapitel 2