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Kap. 3 Landnutzung in Städten
1. Landnutzung in der monozentrischen Stadt
• Modell: Kreisförmige monozentrische Stadt; Einwohner pendeln zum
Central Business District (CBD) mit Kosten tr für Wohnort r km vom
CBD.
• Einkommen y und Präferenzen identisch.
• Nutzenfunktion v(c, q), c = Konsum, q = Wohnen (in m2 Wohnraum)
ist quasikonkav mit vc := ∂v/∂c, vq := ∂v/∂c > 0, vcc, vqq < 0.
• Preis von c = 1. Haushalte mieten Wohnung.
1
• Preis von Wohnraum, p, variiert mit Wohnort. Mobilität: Konsumenten
erzielen überall gleiches Nutzenniveau u.
• Budgetrestriktion: c + pq = y − tr.
• Problem des Konsumenten:
max
q
B.e.O. für q:
Mobilität:
v(y − tr − pq, q)
(1)
vq − pvc = 0
(2)
v(y − tr − pq, q) = u
(3)
(2) und (3) definieren die bid rent Funktion (maximale WohnungsmietenZahlungsbereitschaft) p(r, t, y, u).
2
• Differenzieren von (3) nach r gibt:
µ
¶
∂p
∂q
∂q
−vc t + q + p
+ vq
=0
∂r
∂r
∂r
∂p
t
aus (2) : vq − pvc = 0 folgt
= − < 0.
∂r
q
(4)
(5)
• Wohnungspreise sinken mit Entfernung vom CBD
3
• Wohnungsgröße steigt mit r:
∂q
∂p
=η
>0
∂r
∂r
η = Steigung der kompensierten Nachfrage.
• Außerdem gilt:
∂p
∂p
∂p
< 0,
> 0,
< 0,
∂t
∂y
∂u
∂q
∂q
∂q
> 0,
< 0,
>0
∂t
∂y
∂u
4
c
y-tr0
y-tr1
c0
E0
E1
u1
c1
u0
q0
q1
(y-tr0)/p
q
Abbildung 1: Wohnungskonsum, Preise und Entfernung
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1.1. Gleichgewicht und Komparative Statik (I)
• Gleichgewicht
1. Am Stadtrand (Radius r̄) ist bid rent gleich landwirtschaftl. Rente RA:
p(r̄, t, y, u) = RA
(6)
2. Alle N Einwohner passen“ in die Stadt. Bevölkerungsdichte: 1/q:
”
Z r̄
1
2πrdr = N
(7)
q(r,
t,
y,
u)
0
6
p
p(r,t,y,u)
RA
-r
r
Abbildung 2: Gleichgewicht in der monozentrischen Stadt
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Komparative Statik.
Geschlossene Stadt: N exogen, u endogen.
1. Erhöhe RA.
(a) r̄ fällt auf r̄0 (Abb. 3).
(b) Wegen (7) ist Stadt nun zu klein: Dichte muss steigen, p steigt, q fällt
und damit sinkt der Nutzen (u0 < u) wegen ∂p/∂u < 0, (Abb. 3).
(c) Konkurrenz um Land steigt. Stadt wird kleiner (r̄00); Dichte steigt;
Mieten steigen; Nutzen sinkt.
2. Erhöhe N .
(a) Aus (6) folgt, dass individuelle bid rent unabh. von N ist.
(b) Wegen (7) muss entweder r̄ steigen oder Dichte zunehmen oder beides.
(c) Konkurrenz um Land steigt. Stadt dehnt sich aus; Dichte steigt;
Mieten steigen; Nutzen sinkt.
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3. Erhöhe y/senke t.
(a) Bid rent steigt → r̄ steigt. Dichte steigt wegen ∂q/∂y < 0.
(b) Um GGW wiederherzustellen, muss u steigen: q steigt, Dichte fällt.
(c)
offene Stadt
• Individuen ziehen weg, wenn u niedriger als anderswo: N endogen, u
exogen (geg. durch Nutzen in anderen Städten).
• Beispiel Einkommen: r̄, u steigen in geschlossener Stadt: Zuzug von
außen, Konkurrenz um Land steigt.
• Ergebnis: größere Bevölkerung und dichtere Besiedlung sowie teureres
Wohnen.
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p
p(r,t,y,u) p(r,t,y,u')
R'A
RA
-r'
-r'' -r
r
Abbildung 3: Effekt von RA auf GGW
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p
p(r,t,y,u)
p(r,t,y',u)
p(r,t,y',u')
RA
-r
-r'' -r'
r
Abbildung 4: Effekt von y auf GGW
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1.2. Suburbanisierung
• Warum dehnen sich Städte aus? Erklärung im Modell:
• höhere Einkommen X
• niedrigere Transportkosten (ÖPNV, Autos) X
• Anas et al. (1998). Modell kann Suburbanisierung zumindest teilweise
erklären.
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1.3. Einkommen und Segregation
• Wohnorte von HH mit unterschiedlichem y: Sei Marshallsche Nachfrage
q̃(p, y), Transportkosten T (r, y) = t(y)r.
• Steigung der Bid rent Funktion ∂p/∂r = −t/q(r, y, u) = −t/q̃(p, y):
∂
∂y
µ
∂p
∂r
¶
q̃∂t/∂y − t∂ q̃/∂y
q̃ 2
∂ q̃ y ∂t y
−
=η−θ
Vorzeichen :
∂y q̃ ∂y t
=−
(8)
(9)
• Wenn η > θ, bid rent mit steigendem Einkommen flacher: arme im
Zentrum und reiche außerhalb.
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p
p1
p2
RA
r
ARM
REICH
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Abbildung 5: Monozentrische Stadt mit 2 Einkommensklassen
• Empirie: Marginale Zeitkosten=Lohn → θ = 1; η vermutlich < 1.
• Andere Faktoren:
1. Variation der Nachfrage: Familien mit Kindern mit hoher Wohnungsnachfrage außerhalb.
2. Nichtmonotone Segregation: z.B. Reiche im Zentrum, Arme in der Mitte,
Mittelklasse in Außenbezirken
3. Reiche im Zentrum wegen kultureller Attraktionen (Architektur/Theater/Restaurants...) mit einkommenselastischer Nachfrage (Bsp.
Paris, Kyoto)
4. Bildung/Kriminalität: Reiche fliehen aus Zentrum, um Bildung und Sicherheit bereitzustelllen: selbsverstärkende Segregation
5. Transportmittel: reiche fahren Auto: hohe Fixkosten, niedrige Zeitkosten,
arme ÖPNV: geringe Fixkosten, hohe Zeitkosten → θ < 1.
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1.4. Gleichgewicht und komparative Statik II
• Produktion: Wohnungen werden mit Kapital K und Land L produziert:
H(K, L) mit HK , HL > 0, HKK < 0. Faktorpreise i (Kapitalzins) und
R (Landrente).
• Gewinn:
G = pH(K, L) − iK − RL
= L(ph(S) − iS − R),
h(S) ≡ H(K/L, 1), h0 > 0, h00 < 0
S: Bebauungsdichte
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• Ann: vollst. Wettbewerb: Gewinnmaximierung und Nullgewinn:
ph0(S) − i = 0
(10)
ph(S) − iS − R = 0
(11)
• Differenzieren von (10) und (11) nach φ = r, t, y, u gibt
∂p 0
00 ∂S
h + ph
=0
∂φ
∂φ
∂R
∂p
h=
∂φ
∂φ
(12)
(13)
• Aus (12) und (13) folgt mit (5) und D := h(S)/q:
∂S
∂D
∂R
< 0,
< 0,
< 0,
∂r
∂r
∂r
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1.5. Erweiterungen und Kritik
• Existenz vom CBD exogen (keine Agglomerationsexternalitäten). Firmen
haben steilere bid rent als Konsumenten → Einwohner fahren zum
arbeiten ins Zentrum.
• Polyzentrische Stadt. Anreiz für Firmen ins Umland zu ziehen: Nähe
zu Arbeitern im Umland → Firmen können niedrigere Löhne zahlen.
• multiple Gleichgewichte. Bsp: Aktivitäten mit hohen Agglomerationsexternalitäten im CBD (Hauptquartier, F & E); mit niedrigen Externalitäten
im Umland (Vertrieb, Produktion...).
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p
0.2
0.15
0.1
0.05
0.5
1
1.5
2
r
-0.05
Abbildung 6: Landrente mit 2 Zentren
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2. Landnutzung im von Thünen-Modell
• Standorte von Produzenten von Gütern i = 1, ..., n. Eine Einheit von xi,
r km vom CBD braucht ai Einheiten Land: xi(r) = 1/ai. Gut i erzielt
pi pro Einheit im CBD; Transportkosten ti pro Einheit.
• Produzenten bieten für Land; Land geht an höchsten Bieter“. Gewinn
”
pro Einheit Land Gi = (pi − tir)xi(r) − R(r).
• Bid rent Funktion: G = 0:
Ψi = (pi − tir)/ai
∂Ψ
ti
=− .
∂r
ai
(14)
(15)
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• Anbau von Produkten näher am Zentrum, je höher Transportkosten
(verderbliche Güter) und je niedriger ai (je höher Landintensität).
• Bid rent Funktionen sind linear; Landrentenfunktion, R(r), ist die äußere
Hülle der Bid rent Funktionen.
• Mit Faktorsubstitution (Land durch Kapital/Arbeit) sind bid rent Funktionen konvex: je kleiner r, desto mehr wird Land durch andere Faktoren
substituiert.
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