Aufgabenblatt 1

Schätzen und Testen II
Christian Heumann, Volker Schmid,
Christiane Dargatz, Elisabeth Waldmann, Roman Hornung
SS 2010
Abgabe bis 30.04.2010
Aufgabenblatt 1
Aufgabe 1
Gegeben sei eine geordnete Stichprobe x = (x(1) , . . . , x(n) ) von ungeradem Stichprobenumfang n. Alle Werte
dieser Stichprobe seien verschieden. Die interessierende Statistik sei der Median θ̂(x) = med(x).
(a) Zeigen Sie: Für eine nichtparametrische Bootstrap-Stichprobe x∗ gilt
n−1 n−1
∗
P θ̂(x ) = x(i)
=
j k n−j−k
2
2
X
X
n n−j
i−1
n−i
1
j=0 k=0
j
k
n
n
n
n−1
2
=
"
n−j j n−j #
X n i − 1 j n
i
i−1
i
−
1−
1−
j
n
n
n
n
j
j=0
für alle i = 1, . . . , n
(b) Überprüfen Sie dieses Ergebnis durch Simulation.
Aufgabe 2
Pn
Sei (x1 , . . . , xn ) eine Stichprobe von n i.i.d. Zufallsvariablen und θ̂ = x̄ = n1 i=1 xi die interessierende StaP
n
tistik. θ̂(i) bezeichne die ite Jackknife-Replikation von θ̂ und θ̂(·) = n1 i=1 θ̂(i) . Die Jackknife-Schätzung des
Standardfehlers von θ̂ ist definiert durch
v
u
n 2
un − 1 X
se
b jack (θ̂) = t
θ̂(i) − θ̂(·) .
n i=1
(a) Zeigen Sie:
θ̂(i) =
nx̄ − xi
n−1
und damit
für i = 1, . . . , n
v
u
u
se
b jack (θ̂) = t
und
θ̂(·) = x̄
n
X
1
2
(x̄ − xi ) .
n(n − 1) i=1
(b) Betrachten Sie eine konkrete Stichprobe vom Umfang n = 10 mit Mittelwert x̄ = 2.94 und Summe der
Pn
2
∗
Quadrate
i=1 xi = 94.21. Es werden 20 Bootstrap-Stichproben gezogen, deren Mittelwerte θ̂ (b) und
∗
approximative Pivots Z ∗ (b) = (θ̂∗ (b) − θ̂)/se
b (b) in der folgenden Tabelle zu sehen sind:
b
θ̂ (b)
Z ∗ (b)
∗
b
θ̂ (b)
Z ∗ (b)
∗
1
2.92
-0.07
11
3.16
0.73
2
2.98
0.11
12
2.80
-0.62
3
2.50
-1.65
13
2.47
-1.63
4
3.15
0.65
5
3.15
0.75
6
2.67
-1.59
7
3.65
5.33
14
2.61
-1.07
15
2.98
0.14
16
2.40
-3.36
17
2.74
-0.77
8
2.88
-0.24
18
2.34
-3.14
9
2.90
-0.13
19
2.82
-0.40
10
3.05
0.38
20
2.86
-0.20
Berechnen Sie aus diesen Daten ein Bootstrap-t- und ein Bootstrap-Perzentil-Intervall zum Vertrauensgrad 0.8. Verwenden Sie dabei für den globalen Standardfehler den Jackknife-Schätzer aus Teil (a).
Aufgabe 3
Gegeben sei eine Stichprobe
X = (X1 , . . . , XN )
vom Umfang N . Hieraus wird eine Bootstrap-Stichprobe
X ∗ = (X1∗ , . . . , Xn∗ )
vom Umfang n ≤ N erzeugt durch Ziehen aus X
(i) mit Zurücklegen,
(ii) ohne Zurücklegen.
Von Interesse sei der Mittelwert
n
X∗
Definiere
X=
1X ∗
=
X .
n i=1 i
N
1 X
Xk
N
und
X2 =
k=1
(a) Zeigen Sie: Der Erwartungswert von
X∗
N
1 X 2
Xk .
N
k=1
lautet in beiden Fällen (i) und (ii)
E X ∗ = X.
(b) Zeigen Sie: Die Varianz von X ∗ lautet in Fall (i)
Var
X∗
X2 − X
=
n
2
.
(c) Zeigen Sie: Die Varianz von X ∗ lautet in Fall (ii)
Var
X∗
N − n X2 − X
·
=
N −1
n
2
.
(d) Wie wirkt sich der Unterschied zwischen (i) und (ii) also auf die Schätzung des Standardfehlers von X aus?
Hinweise zu 3(c): Verwenden Sie
Var
n
X
i=1
!
Xi∗
=
n
X
Var (Xi∗ ) +
i=1
n
n
X
X
i=1
Cov Xi∗ , Xj∗ .
j=1
j 6= i
Zwischenergebnisse bei der Berechnung von Var(X ∗ ) sind
2
E Xi∗ Xj∗
=
N X − X2
N −1
Cov Xi∗ , Xj∗
=
X − X2
N −1
2
für i 6= j.