Handout Uebung 4

Übung zu Mikro II (WS 04/05)
Tri Vi Dang
Handout zu Übung 4
Vorbemerkung:
Hinweise auf Fehler sind willkommen.
Keine Gewähr für die vollständige Richtigkeit der Ausführungen.
Preispolitik eines Monopolisten
Aufgabe 1
Golfclub: MC=0, Fixkosten=300.
100 A-Mitglieder mit individueller Nachfrage:
100 S-Mitglieder mit individueller Nachfrage:
qA (p)=2−p
qR (p)=3−p
Aufgabe 1 (a)
Frage 1
Welche Formen der Preispolitik hat ein Monopolist?
Antwort 1
PD 1. Grades
-
Jeder Kunde bezahlt einen Preis in Höhe seines Reservationsnutzens (maximaler
Zahlungsbereitschaft)
Konsumentenrente wird vollständig abgeschöpft
Probleme bei der Durchführbarkeit von perfekter Preisdiskriminierung.
Æ
Asymmetrische Informationen
Konsument kennt seinen eigenen "Typ" besser als Verkäufer.
Konsumenten haben Anreiz, niedrigere Zahlungsbereitschaft anzugeben.
PD 2. Grades
-
Berechnung unterschiedlicher Preise für verschiedene Mengen
Z.B. Mengenrabatt
1
PD 3. Grades
-
Berechnung unterschiedlicher Preise für unterschiedliche Nachfragegruppen.
Gruppen haben verschiedene Nachfragefunktionen.
Aufgabe 1 (bi)
Gewinnmaximierung ohne Preisdiskriminierung.
Frage 2
Wie hoch ist der (gewinnmaximale) Einheitspreis?
Antwort 2
Vorgehensweise
q Ri = 3 − p
QR = 100q Ri = 300 − 100 p
Bemerkung:
Bei symmetrischer Anzahl kann man auch über jeweils 1 Konsument der zwei Gruppen
optimieren.
2
Schritt 1
Q A = 200 − 100 p
QR = 300 − 100 p
_____________
Q = 500 − 200 p
Aggregierte inverse Nachfrage
1
 500
 200 − 200 Q
p(Q) = 
 300 − 1 Q
100 100
für Q ≥ 100
für Q < 100
Schritt 2
Lineare Nachfrage:
Æ
MR(Q)=MC(Q)
⇔
5 1
−
Q=0
2 100
⇔
Q*=250
MR(Q) doppelte Steigung wie p(Q)
MC(Q)=0
Schritt 3
3
Alternative 2
dπ
= 500 − 400 p = 0
dp
Æ
p = 1,25
Optimaler Preis ist im zulässigen Bereich.
Schritt 4
Gewinnmaximaler Preis :
p* =
5
1
5 250 5 5 5
−
Q* = −
= − = = 1,25
2 200
2 200 2 4 4
Aufgabe 1 (bii)
Frage 3
Wie groß ist die Nachfrage von A und R?
Antwort 3
Nachfrage von A-Typ Konsument
Jeder Konsument R kauft Q Ri = 3 − p* = 1,75
Aufgabe 1 (biii)
Frage 4
Wie ist der Gewinn?
Antwort 4
π = (75 + 175) ⋅1,25 − 300 = 312,5 − 300 = 12,5
4
Aufgabe 1 (biv)
Frage 5
Wie hoch ist die Konsumentenrente von A und R?
Antwort 5
75
1 2

CS A = 0,75Q −
Q
200  0

1
= 0,75 ⋅ 75 −
⋅ 75 2 = 28,125
200
Alternative
0 , 75
1 

CS Ai = 0,75Q − Q 2 
2 0

Æ
100
∑ CS
i =1
Ai
1
0,75²
= 0,75 ⋅ 0,75 − ⋅ 0,75 2 =
= 0,28125
2
2
= 100 ⋅ 0,28125 = 28,125
Konsumentenrente von R-Typen
qR = 3 − p
Æ
p(q A ) = 3 − q A
1, 75
qR *
1 

CS Ri = ∫ (3 − q − 1,25)dQ = 1,75q − q 2 
2 0

0
Æ
∑ CS
S
= 1,625
= 100 ⋅1,625 = 162,5
5
Graphische Darstellung
100 A-Typ und 100 R-Typ
Preis
3
5/2
MBGesamt
1
MR
100
250
500
Menge
Aggregierte inverse Nachfrage
1
 500
 200 − 200 Q
p(Q) = 
 300 − 1 Q
100 100
für Q ≥ 100
für Q < 100
 500 1
 200 − 100 Q
MR = 
 300 − 1 Q
100 50
für Q ≥ 100
für Q < 100
Aufgabe 1 (ci,ii)
Frage 6
Was für Preise setzt die Firma, wenn sie Preisdiskriminierung 1. Grades betreibt?
Antwort 6
Æ
komplette CS abschöpfbar.
6
Vorgehensweise
Schritt 2
qA = 2 − pA = 2
qR = 3 − pR = 3
+
Schritt 3
CS A = (q A ⋅ p A ) / 2 = (2 ⋅ 2) / 2 = 2
(Dreieck)
CSS = (3 − 0) * 3 / 2 = 4,5
Schritt 4
G A = CS A = 2
G R = CS R = 4,5
Firma bietet zwei Angebote an.
Konsument A konsumiert 2 Einheiten
Konsument R konsumiert 3 Einheiten.
7
Aufgabe 1 (ciii)
Frage 7
Wie hoch sind Gewinn und Konsumentenrente?
Antwort 7
π = 100 ⋅ GA + 100 ⋅ GR − F
π = 100 ⋅ 2 + 100 ⋅ 4,5 − 300 = 350
Graphische Darstellung
Konsument R
Konsument A
3
2
3
q
2
Frage 8
Gibt es noch eine andere Preisstrategie?
Antwort 8
Für Konsument A
Preis für die erste Einheit
8
1
1
1 

p A( 1 ) = CS A (1) = ∫ ( 2 −q)dq = 2q − q 2 
2 0

0
1
= 2 − = 1,5
2
D.h. Konsument P zahlt für die erste Einheit einen Preis von pP(1)=1.5.
Preis für die zweite Einheit
2
2
1 

p A( 2 ) = CS A (2) = ∫ ( 2 −q)dq = 2q − q 2 
2 1

1
= (4 − 2) − (2 − 0.5) = 0,5
Æ
Durch diese Strategie kann man auch die gesamte Konsumentenrente abschöpfen.
Aufgabe 1 (di,ii)
Frage 9
Die Firma betreibt Preisdiskriminierung 3. Grades. Welchen Preis müssen Konsument P und
S bezahlen und wie viel wird nachgefragt?
Antwort 9
π A = p A(q A ) ⋅ q A
π R = p R(q R ) ⋅ q R
π A = (2 − 1q A ) ⋅ q A
π R = (3 − 1q R ) ⋅ q R
9
dπ A
= 2 − 2q A − 0{ = 0
dp A 123 MC
dπ R
= 3 − 2q R = 0
dp R
Æ
qA = 1
Æ
q R = 1,5
Æ
pA = 1
Æ
p R = 1,5
MRP
Alternative 2
π A = q A (p A ) ⋅ p A
π R = q R (p R ) ⋅ p R
π A = (2 − p A ) ⋅ p A
π R = (3 − p R ) ⋅ p R
dπ A
= 2 − 2p A = 0
dp A
dπ R
= 3 − 2p R = 0
dp R
Æ
pA = 1
Æ
p R = 1,5
Æ
qA = 1
Æ
q R = 1,5
Aufgabe 1 (diii)
Frage 10
Wie hoch sind Gewinn und Konsumentenrente?
Antwort 10
1
1, 5
 1 
CS Ai = q − q 2  = 1 − 0,5 = 0,5
2 0

∑ CSAi = 100 ⋅ 0,5 = 50
1 
1,5²

CS Ri = 1,5q − q 2  = 1,5² −
= 1,25
2 0
2

∑ CSRi = 100 ⋅1,25 = 125
10
Gewinn
π = 100 ⋅1 + 100 ⋅1,5 ⋅1,5 − 300 = 25
Graphische Darstellung
Konsument R
Konsument S
p
3
2
1,5
1
MR
MB
1,5
3
q
1
2
Aufgabe 1 (e)
Nun wird angenommen, dass der Golfclub die Zahlungsbereitschaft der Konsumenten nicht
unterscheiden kann. Es soll nun Preisdiskriminierung 2. Grades durchgeführt werden, wo die
Konsumenten aus zwischen den “Paketen“, (qA, pA) und (qR, pR) wählen können. Dabei
bezeichnet qi die Menge pi der Preis für diese Menge.
Aufgabe 1 (ei,ii)
Was sind die gewinnmaximalen (und typenseparierenden) Mengen und Preise?
Frage 11
Was ist das Problem, wenn man die ganze Konsumentenrente von beiden Gruppen
abschöpfen will, aber die Typen nicht unterscheiden kann.
Antwort 11
Paket A: 2 Einheiten zum Preis von 2
Paket R: 3 Einheiten zum Preis von 4,5
11
2
2
1 

CS R ( A) = ∫ (3 − q )dq − 2 = 3q − q 2  − 2 = 6 − 2 − 2 = 2 > 0
2 0

0
3
2
2
2
2
3
Frage 12
Was kann man machen, damit Konsument R, dass Paket R kauft und nicht das Paket A?
Antwort 12
Technisch gesagt
Bemerkung
Konsument A hat keinen Anreiz, das teurere Paket R zu kaufen.
Frage 13
Wie geht man hier allgemein vor (bei konstanten MC, linearer sich nicht schneidender
Nachfrage sowie gleicher Anzahl der zwei Konsumententypen)?
12
Antwort 13
Vorgehensweise
Gesucht :
(qA, pA) und (qR, pR) mit zwei Eigenschaften
Intuition
2
x
2
3
Schritt 1b:
x
x
3
π = ∫ (2 − q )dq + ∫ (2 − q )dq + ∫ (3 − q )dq
(abschöpfbare CS)
0
0
x
1
4243 1
44424
444
3
CS A
CS R
x
x
3
0
0
x
π = ∫ (2 − q )dq + ∫ (2 − q )dq + ∫ (3 − q )dq
13
Wähle x, um Gewinn (CS) zu maximieren, unter Anreizkompatibilität-Bedingung
x
3
0
x
π = 2∫ (2 − q )dq + ∫ (3 − q )dq
x
3
1  
1 

π = 22q − q 2  + 3q − q 2 
2 0 
2 x



1
2
 
 
 
 
1
2
1
2


π = 2 2 x − x 2  +  3 ⋅ 3 − 32  −  3 x − x 2 
1
2
π = 4 x − x ² + 4,5 − 3 x + x 2
FOC
dπ
= 4 − 2x − 3 + x = 0
dx
Æ
x*=1
Schritt 2a:
1
1 

p A = 2q − q  = 1,5
2 0

Schritt 2b:
3
1 
9  1


p R = p A + 3q − q 2  = 1,5 +  9 −  −  3 −  = 3,5
2 1
2  2


Folgerung : Optimale Pakete
(qA, pA)=(1 ; 1,5)
(qR, pR)=(3 ; 3,5)
14
Graphische Darstellung
Preis
3
2
1
1
2
3
Menge
Frage 14
Was ist die “allgemeine“ Bedingung für die optimale Menge qA (bzw. ein Gewinnmaximum)?
Antwort 14
x
x
3
π = ∫ (2 − q )dq + ∫ (2 − q )dq + ∫ (3 − q )dq − F
0
0
x
1
4243 1
444
424
444
3
CS A
CS R
x
q eff
0
x
π = 2∫ p A (q A )dq A +
∫p
R
(q R )dq R − F
FOC
dπ
= 2 p A ( x) − p R ( x) = 0
dx
Æ
2 p A ( x) = p R ( x )
Aufgabe 1 (eiii)
Frage 15
Wie hoch sind Gewinn und Konsumentenrente?
15
Antwort 15
π = 100 ⋅1,5 + 100 ⋅ 3,5 − 300 = 200
CSA = 0
3
CSR = 100 ⋅1 = 100
( CSRi = ∫ (3 − q )dq − 3,5 = 1 )
0
Aufgabe 1 (fi,ii)
Der Golfclub kann die Zahlungsbereitschaft der Konsumenten nicht unterscheiden kann. Es
soll Two-Part-Tarif durchgeführt werden, d.h. eine einheitliche Grundgebühr G und
einheitlicher Preis p pro Mengeneinheit.
Frage 16
Wie sieht die “allgemeine“ Vorgehensweise beim Two-Part-Tarif aus (mit identischer Anzahl
der zwei Konsumentengruppen)?
Antwort 16
Idee
Vorgehensweise
Schritt 1
π = q A ( p) ⋅ p + q R ( p) ⋅ p + 2CS A (q A ( p)) − F
16
Schritt 2
CS A (q A ( p)) =
qA ( p)
∫(p
A
(q) − p )dq
0
Hier
q ( p)
qA ( p)
1 2 A

−
−
=
−
−
(
2
)
(
2
)
q
p
dq
p
q
q
∫0

2  0
1
2
CS A (q A ( p )) = (2 − p ) ⋅ q A ( p ) − (q A ( p ) )
2
(2 − p )2
1
2
CS A (q A ( p )) = (2 − p ) ⋅ (2 − p ) − (2 − p ) =
2
2
CS A (q A ( p)) =
Schritt 3
π = (2 − p ) ⋅ p + (3 − p ) ⋅ p +
(2 − p )2 − F
π = ( 2 − p ) ⋅ p + (3 − p ) ⋅ p +
1
(4 − 4 p + p ² ) − F
2
2
FOC
dπ
= 2− 2p +3− 2p − 2+ p = 0
dp
Æ
Æ
p =1
G = CS A (q A
2
(
2 − p)
( p )) =
2
=
1
2
Optimaler Two-part-Tarif : (G,p)=(0,5 ; 1)
Aufgabe 1 (fiii)
Frage 17
Wie hoch sind Gewinn und Konsumentenrente?
Antwort 17
q Ai = 2 − p = 1
Konsument A:
CS Ai =
qA ( p)
1
0
0
1
∫ ( p A (q) − p )dq − G = ∫ ((2 − q) − 1)dq − = 0
2
17
Konsument R
q Ri = 3 − p = 2
CS Ri =
∑ CS
qR ( p )
2
0
0
Ri
1
∫ ( pR (q) − p )dq − G = ∫ ((3 − q) − 1)dq − = 1,5
2
= 150
Gewinn
π = 100 + 200 + 2 ⋅ 50 − 300 = 100
Aufgabe 1 (fiv)
Frage 18
Kann eine Veränderung von G bzw. p den Gewinn erhöhen?
Antwort 18
Aufgabe 1(g)
Der Anteil der A Konsumenten geht zurück. Ausserdem fällt deren Nachfrage auf q Ai = 1 − p .
Der Club betreibt keine Preisdiskriminierung, sondern verlangt einen einheitlichen Preis
(ohne Grundgebühr).
Frage 19
Was ist die Intuition dafür, dass es sinnvoll ist, nur eine Gruppe zu bedienen?
Antwort 19
18
Dafür verliert man viel Erlös, die man von den Konsumenten R bekommen kann.
Dann ist es nicht sinnvoll, A Konsumenten zu haben.
Frage 20
Sei q A = 1 − p und q R = 3 − p . Der Anteil der A Konsumenten beträgt α∈[0,1]. Wie klein darf
α sein, damit es sich noch lohnt, A Konsumenten zu haben?
Antwort 20
qA = 1− p
Æ
Q A = αq A = α (1 − p) = α − αp
qR = 3 − p
Æ
QR = (1 − α )q R = (1 − α )(3 − p) = 3 − 3α − p + αp
Q A = α − αp
QR = 3 − 3α − p + αp
_________________
Q = 3 − 2α − p
Aggregierte Nachfrage
3 − 2α − 2Q für Q ≤ 3 − 2α

MR (Q ) = 
2Q
für Q > 2(1 − α )
3 − 1 − α
Fall 1
Optimum (MR(Q)=MC(Q)=0)
3 − 2α − 2Q = 0
3
Æ
Q* = − α
2
Zulässigkeit erfordert: α≤1/2.
p (Q*) = 3 − 2α − Q* =
3
−α
2
19
Gewinn
3
2
 3
 2


π = Q * ⋅ p (Q*) =  − α  ⋅  − α 
Fall 2:
Nur R-Konsumenten bedienen:
QR = (1 − α )q R = (1 − α )(3 − p)
QR
(1 − α )
QR
MR(QR ) = 3 − 2
(1 − α )
P(QR ) = 3 −
FOC
QR
=0
(1 − α )
3
QR * = (1 − α )
2
3− 2
⇔
Æ
P(QR *) = 3 −
QR * 3
=
(1 − α ) 2
Keine Nachfrage von A Konsumenten bei p=1,5.
3
2
3
2
9
4
π = QR * ⋅ p* = (1 − α ) ⋅ = (1 − α )
Gewinnvergleich
Beide Gruppen
3
2
 3
 2
Nur R-Gruppe
9
4


π = (1 − α )
π =  −α ⋅ −α 
9
9
− 3α + α ² ≥ (1 − α )
4
4
⇔
⇔
⇔
9
− 3α + α ² ≥ − α
4
3
α² ≥ α
4
3
α≥
4
Falls α≥3/4, dann lohnt es sich, beide Gruppen zu bedienen.
20