Kap. 1.1 - Aussagenlogik

1.1 Aussagenlogik
Grundlagen der Mathematik
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1.1 Aussagenlogik
Definition: Aussage
Eine Aussage im Sinne der Logik ist ein formulierter Tatbestand, der sich bei objektiver
Prüfung immer eindeutig als wahr oder falsch bewerten lässt. Aussagen werden ihrem
Wahrheitswert entsprechend als wahre oder falsche Aussagen bezeichnet.
Schreibweise:
Kleine lateinische Buchstaben wie z. B. p, q, r, s t, usw.
Wahrheitswerte:
"wahr":
"falsch" :
1
0
bzw. "w" in der Technik auch H ( high )
bzw. "f" in der Technik auch L ( low )
Definition: Verknüpfungen von Aussagen
Es werden folgende elementare logische Verknüpfungen von Aussagen eingeführt:
Negation ( NOT )
p
"Es gilt nicht p"
Logisches Oder ( OR )
p∨q
"Es gilt wenigstens eine der beiden Aussagen"
Logisches Und ( AND )
p∧q
"Es gelten beide Aussagen"
Äquivalenz
p⇔q
"Es gilt p genau dann, wenn auch q gilt"
Implikation
p⇒q
"Aus p folgt q"
Wahrheitstabellen
p
q
p
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
q
1
0
1
0
p∨q
p∧q
p⇔q
p⇒q
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
Bei der Implikation wird vereinbart, dass eine falsche Voraussetzung stets eine wahre
Implikation bewirkt, da aus einer falschen Voraussetzung alles folgen kann.
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Wahrheitstabellen für mehrfache Verknüpfungen zwischen logischen Aussagen
enthalten 2n Zeilen mit allen Kombinationen für die n zu verknüpfenden Aussagen. Die
Gesamtverknüpfung wird dann schrittweise entwickelt.
Wahrheitstabelle für die Verknüpfung
p
q
R
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
s
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
v ⇔ (( p ∨ q ) ⇒ (r ⇔ s ))
q
s
p∨q
r⇔s
v
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
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1
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1
1
1
1
0
0
0
0
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1
1
1
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1
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0
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0
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1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
Rechengesetze für logische Verknüpfungen
Für beliebige logische Aussagen p, q, r gelten die folgenden Gesetze
1.) Assoziationsgesetze
p ∨ (q ∨ r ) ⇔ ( p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ q ∨ r
p ∧ (q ∧ r ) ⇔ ( p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ q ∧ r
2.) Distributivgesetze
p ∧ (q ∨ r ) ⇔ ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r )
p ∨ (q ∧ r ) ⇔ ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r )
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3.) Absorptionsgesetze
p ∨ ( p ∧ q) ⇔ p
p ∧ ( p ∨ q) ⇔ p
p ∧ ( p ∨ q) ⇔ p ∧ q
p ∨ ( p ∧ q) ⇔ p ∨ q
4.) Gesetze von de Morgan
p∨q⇔ p∧q
p∧q⇔ p∨q
5.) Gesetze für Implikationen
( p ⇒ q) ⇔ (q ⇒ p)
( p ⇒ q) ⇔ ( p ∨ q)
Die Beweise für alle Regeln ergeben sich durch Vergleich der rechten und linken Seiten der
Äquivalenzen, indem die Wahrheitstabellen erstellt werden.
Der indirekte Beweis (Widerspruchsbeweis)
A ⇒ B wird bewiesen, indem man aus der Annahme B einen Widerspruch zu A herleitet.
Beispiel: Der Beweis, dass „ 2 ist irrational“, d.h. „wenn p und q teilerfremde natürliche Zahlen
p
sind (A), dann ist 2 ≠ (B)“, wird geführt, indem man die Annahme „mit teilerfremden
q
p
( A ∧ B ) “ zum Widerspruch führt.
Zahlen p, q gilt 2 =
q
(
)
D.h. allgemein: Annahme ( A ∧ B ) falsch ⇒ A ∧ B bewiesen ⇒ ( A ⇒ B ) bewiesen.
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Definition: Weitere Verknüpfungen von Aussagen
Es werden folgende weitere logische Verknüpfungen von Aussagen eingeführt:
Exklusives Oder ( XOR )
p⊕q
"Es gilt entweder p oder q"
NOR-Verknüpfung
p∨q
"Es gilt die Negation des logischen Oder"
NAND-Verknüpfung
p∧q
"Es die Negation des logischen Und"
Wahrheitstabellen
p
q
p⊕q
p∨q
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
0
p∧q
1
1
1
0
Darstellung von Implikation, Äquivalenz und Exklusivem Oder durch die
elementaren logischen Verknüpfungen NOT, OR und AND
Es gelten die folgenden Darstellungen
1.) Implikation
( p ⇒ q) ⇔ ( p ∨ q)
2.) Äquivalenz
( p ⇔ q) ⇔ (( p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ p)) ⇔ (( p ∨ q) ∧ (q ∨ p))
3.) Exklusives Oder
( p ⊕ q) ⇔ ( p ⇔ q) ⇔ ( p ∨ q ) ∧ (q ∨ p ) ⇔ (( p ∧ q) ∨ (q ∧ p))
Darstellung von
Verknüpfungen
NOT, OR und AND durch NOR- bzw. NAND-
Es gelten die folgenden Darstellungen
1.) Negation
p⇔ p∨ p⇔ p∧ p
2.) Logisches Oder
( p ∨ q) ⇔ p ∨ q ⇔ p ∧ q
3.) Logisches Und
( p ∧ q) ⇔ p ∧ q ⇔ p ∨ q
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Definition: Allsymbol und Existenzsymbo
Zur Formulierung und Formalisierung mathematischer Aussagen werden die folgenden Symbole
erklärt:
Allsymbol
∀
mit der Bedeutung
"Für alle ....
Existenzsymbol
∃
mit der Bedeutung
"Es existiert .... "
"
Beispiele :
1.)
∀x ( x + 1 = 1 + x )
2.)
∀x∃y ( y 2 = x)
Definition: Aussageform, Lösung einer Aussageform
Eine Aussageform ist eine Aussage, die noch von einer oder mehreren Variablen abhängt, für
welche geeignete konkrete Werte eingesetzt werden können. Durch Belegung dieser Variablen
entstehen wahre oder falsche Aussagen.
Als Lösung einer Aussageform bezeichnet man alle Variablen, für welche sich eine wahre
Aussage ergibt.
Beispiele :
1.)
p(x) ⇔ x ist eine positive ganze Zahl und durch 11 teilbar
Lösungen der Aussageform p(x) sind die Zahlen 11, 22, 33, 44, ...
2.)
q(x) ist eine Primzahl
Lösungen von q(x) sind die Zahlen 2,3,5,7,11,13,17,....
3.)
h(x) ⇔ x ist ein Mathematiker
Lösungen sind Gauß, Euler, Pascal,....
3.)
v(x,y) ⇔ Die Summe x + y hat den Wert 3
Lösungen sind Wertepaare von Zahlen (x,y), z.B. (1,2) , (7,-4), ....