Technische Notiz 13 Ersatzschaltbilder in der

Technische Notiz 13
Ersatzschaltbilder in der Halbleiterschaltungstechnik
Ch. Diskus
26. 7. 2016
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
1
2 Großsignalrechnung
2.1 Nichtlineare Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
2
2
3 Kleinsignalrechnung
3.1 Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Temperaturgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
6
6
1
Einführung
Diese Notiz soll einen kurzen Überblick über die Ersatzschaltbilder und die dabei angewendeten Näherungen bei der Berechnung von Halbleiterschaltungen geben.
2
2.1
Großsignalrechnung
Nichtlineare Bauelemente
Die Kennlinie einer Diode und die Transferkennlinie eines Bipolartransistors sind nicht
linear und lauten
U
D
(1)
ID = IS e nUT − 1
und
IC = IS e
UBE
UT
−1 .
(2)
Wegen der Exponentialfunktion führt die Berechnung von Strömen und Spannungen zu
transzendenten Gleichungen. Es gibt drei Möglichkeiten dieses Problem zu lösen:
1
• Iteration
• Grafische Lösung
• Unter bestimmten Voraussetzungen1 ist eine Näherung für UD , bzw. UBE mit 0,6
bis 0, 7 V erlaubt.
Für die Bestimmung des Arbeitspunktes (AP) ist diese Großsignalrechnung unverzichtbar. Um die Ströme und Spannungen als solche des Arbeitspunktes zu kennzeichnen,
wird als Index AP oder 0 hinzugefügt, also beispielsweise IC,0 für den Kollektorstrom.
Wenn das Signal in einer Schaltung so groß ist, dass auch dafür die Großsignalrechnung
notwendig ist, so ist diese Rechnung „zu Fuß“ in der Regel zu kompliziert. Auch am PC
ist dies nicht trivial. Professionelle Programme verwenden oft aus Reichenzeitgründen die
Harmonic Balance Methode. Dabei wird die Schaltung in zwei Teile aufgeteilt: In den
linearen Teil, welcher im Frequenzbereich berechnet wird (Stichwort komplexe Rechnung)
und in den nichtlinearen Teil, welcher im Zeitbereich berechnet werden muss. Dem Ganzen
muss dann eine Iteration überlagert werden, in welcher an der Schnittstelle der beiden
Teile die Ströme und Spannungen aneinander angeglichen werden müssen.
2.2
DC
Im Falle einer Arbeitspunkteinstellung sind die großen Spannungen und Ströme Gleichspannungen und Gleichströme. In diesem Fall gilt für die Schaltungsvereinfachung:
• Induktivitäten wirken wie Kurzschlüsse, da |jωL| → 0,
1
| → ∞.
• Kapazitäten wirken wie Leerläufe, da | jωC
Der Strom durch L im AP wird dann wie bei einer Konstantstromquelle konstant gehalten.
Die Spannung an C im AP wird dann wie bei einer Konstantspannungsquelle konstant
gehalten.
2.3
AC
Das Signal ist in der Regel eine Wechselspannung oder ein Wechselstrom. Wenn Koppelkondensatoren und/oder Blockinduktivitäten groß genug sind, dass die Wechselspan1
in den Maschengleichungen und/oder die Wechselströme durch jωL
nungsabfälle an jωC
in den Knotengleichungen vernachlässigt werden können, dann gilt für die Schaltungsvereinfachung
• Spannungen an solchen Kondensatoren sind konstant → Kondensatoren können
durch Konstantspannungsquellen ersetzt werden,
• Ströme durch solche Induktivitäten sind konstant → Induktivitäten können durch
Konstantstromquellen ersetzt werden.
1
In der Regel darf UD bzw. UBE in keiner Masche vorkommen, in welcher alle anderen Spannungen in
der gleichen Größenordnung wie diese 0,6 . . . 0, 7 V liegen. Für eine stabile Arbeitspunkteinstellung wird
meist schaltungstechnisch eine Rückkopplung vorgesehen, welche die Auswirkungen einer Temperaturdrift
von UD bzw. UBE stark reduziert. Auch dann ist oft diese Näherung erlaubt. Anders ausgedrückt: Ergibt
sich der Arbeitspunkt durch einen schleifenden Schnitt von Kennlinie und Arbeitsgerade, dann ist diese
Näherung nicht erlaubt.
2
U0
U2
R
U0
C
I
ILast
C
C
Das folgende Beispiel soll dies erläutern.
Gegeben
sei eine Emitterschaltung mit GeRL
genkopplung über RE und mit Anschluss eines Lastwiderstandes RL . Ein Kondensator
C überbrückt RE um die Gegenkopplung
fürC das Signal wirkungslos zu machen, ein weiRE
U
terer Koppelkondensator C verhindert, dass am1 Lastwiderstand Gleichspannung anliegt.
Abbildung 1 zeigt den Ausgangskreis der Schaltung. Der Eingang sei geeignet beschaltet,
sodass ein passender Arbeitspunkt IC,0 eingestellt wird.
Eingangsbeschaltun
g
U0
RC
U0
U2
IC
Eingangsbeschaltung
ILast
C
RL
RE
C
U1
Abbildung 1: Emitterschaltung mit Kondensatoren zur Überbrückung des EmitterwiderU0
standes und zur gleichspannungsmäßigen Trennung des Lastwiderstandes.
U2
R
U0
C
Eingangsbeschaltun
g
IC
ILast
Die Arbeitspunktberechnung (DC) ergibt,
dass
sich die Kondensatoren im stationären
RL
UCE
Zustand auf die Spannungen
U1
U1 = URE,0 = RE
1
IC,0
1+
B
(3)
und
U2 = U0 − RC IC,0
e:\know_how\technische_notizen\t_notiz13_ersatzschaltbilder\emitterschaltung.docx
(4)
aufgeladen haben.
Wird jetzt ein Wechselsignal überlagert, für welches die oben genannten Näherungen
erlaubt sind, so können die Kondensatoren durch ideale Konstantspannungsquellen mit
U1 und U2 ersetzt werden, wie es in Abbildung 2 dargestellt ist.
U0
U0
RC
Eingangsbeschaltung
IC
U2
UCE
U1
ILast
RL
Abbildung 2: Wechselspannungsersatzschaltung der Emitterschaltung mit idealen Spannungsquellen anstelle der Kondensatoren.
3
Aus den beiden Maschengleichungen
U0 = (IC + ILast ) RC + UCE + U1
(5)
UCE + U1 = U2 + ILast RL
(6)
und
ergibt sich für den Zusammenhang zwischen Kollektorstrom IC und Kollektor-Emitterspannung
UCE nach Elimination von ILast folgender Ausdruck
U0
RC
RC RL
RL
− U1 + U2
= UCE + IC
,
RC + RL
RC + RL
RC + RL
(7)
mit welchem die Arbeitsgerade gezeichnet werden kann (siehe Abbildung 3). Für diese
Abbildung wurden folgende Zahlenwerte verwendet:
RC = 1 kΩ RL = 1 kΩ 0
= 1 + B1 RE ≈ RE
RE = 100 Ω RE
U0 = 15 V
IC,0 = 5 mA
Eine andere Möglichkeit diese Arbeitsgerade zu konstruieren ergibt sich mit Kenntnis der Kleinsignalrechnung (siehe 3.2). Mit Hilfe des Wechselspannungs-KleinsignalErsatzschaltbildes ergibt sich der Lastwiderstand als RC ||RL , diese Lastgerade kann einfach eingezeichnet werden, wenn der Arbeitspunkt bekannt ist.
3
Kleinsignalrechnung
3.1
Linearisierung
Ist die Amplitude des Signales klein genug, so können die krummen Kennlinien linearisiert
werden, d.h. durch die Tangenten an diese Kennlinien ersetzt werden. Dies ist möglich
für:
• den dynamischen Widerstand rD einer Diode:
1
ID,0
dID =
≈
,
dUD AP
rD
nUT
(8)
• den Basis-Emitter-Kleinsignalwiderstand rBE eines Bipolartransistors:
B
∂UBE = rBE ≈ ,
∂IB AP
S
(9)
• die Kleinsignalstromverstärkung β eines Bipolartransistors:
∂IC = β ≈ B,
∂IB AP
(10)
• und die Steilheit eines Bipolartransistors
∂IC IC,0
=S≈
.
∂UBE AP
UT
4
(11)
Abbildung 3: Arbeitsgeraden für Arbeitspunktberechnung (DC) und für Wechselspannungen (AC).
Die mit diesen Kleinsignalnäherungen berechneten Kleinsignalgrößen von Strom und
Spannung sind in der Realität den Großsignalgrößen des Arbeitspunktes überlagert.
Für die Berechnung der Kleinsignalgrößen ist es vorteilhaft, ein Kleinsignal-Ersatzschaltbild
zu zeichnen, in welchem nur mehr die kleinen Änderungen der Ströme und Spannungen,
also die Abweichungen vom Arbeitspunkt fließen bzw. anliegen. Die Maschen und Knoten ergeben dann ein lineares Gleichungssystem für die Spannungen und Ströme, das
geschlossen lösbar ist. Im Kleinsignal-Ersatzschaltbild gilt für ungesteuerte Quellen:
• Konstantspannungsquelle: ∆U = 0 ⇒ Kurzschluss
• Konstantstromquelle: ∆I = 0 ⇒ Leerlauf
Dies gilt auch für die Spannungsversorgung. Vorsicht bei gesteuerten Quellen: Wenn sich
die steuernde Größe ändert (z.B. bei der Kollektorstromquelle), dann darf diese Quelle
natürlich nicht durch Kurzschluss oder Leerlauf ersetzt werden.
5
3.2
AC
Die Kleinsignalnäherung ist nicht auf Wechselstrom (AC) beschränkt (siehe 3.3), sie wird
aber in der Regel damit kombiniert. Wie Induktivitäten und Kapazitäten in der Wechselstromrechnung zu behandeln sind, hängt davon ab, ob die entsprechenden Impedanzen
oder Admittanzen im Vergleich zu den übrigen Bauelementen der Schaltung wichtig sind
oder eventuell vernachlässigt werden können. Für Abblockinduktivitäten und Koppelkondenstoren gilt dann:
• |jωL| restliche Impedanzen in der Masche → Leerlauf
1
| restliche Impedanzen in der Masche → Kurzschluss
• | jωC
Wenn die Wechselspannungen und Wechselströme so klein sind, dass die Kleinsignalnäherung zu keinen großen Fehlern führt, dann ist diese Rechnung auf Basis eines
Wechselstrom-Kleinsignal-Ersatzschaltbildes möglich.
3.3
Temperaturgang
Die Kleinsignalnäherung ist für alle krummen Kennlinien sinnvoll, so z.B auch für die
Berechnung des Temperatureinflusses. Als Beispiel sei die Basis-Emitter-Spannung eines
Bipolartransistors betrachtet. Die Taylorreihe für die Basis-Emitter-Spannung als Funktion der beiden Parameter Kollektorstrom und Temperatur lautet für eine Entwicklung
im Arbeitspunkt
UBE (IC , T ) = UBE |IC,0 ,T0
+
∂UBE ∂UBE ∆IC +
∆T
∂IC IC,0 ,T0
∂T IC,0 ,T0
+
1 ∂ 2 UBE 1 ∂ 2 UBE 1 ∂ 2 UBE 2
∆IC +
∆IC ∆T +
∆T 2
2 2
2 ∂IC IC,0 ,T0
2 ∂IC ∂T IC,0 ,T0
2 ∂T IC,0 ,T0
+ ···.
(12)
Die lineare Näherung ist dann
UBE (IC , T ) ≈ UBE |IC,0 ,T0
∂UBE ∂UBE ∆IC +
∆T
+
∂IC IC,0 ,T0
∂T IC,0 ,T0
= UBE |IC,0 ,T0
wobei
∂UBE ∂T IC,0 ,T0
1
∂UBE + ∆IC +
∆T,
S
∂T IC,0 ,T0
(13)
ungefähr −2 mV
beträgt. Berücksichtigt man noch, dass im KleinsignalK
Ersatzschaltbild nur der Basisstrom iB = iβC durch den Eingangswiderstand rinnt, dann
ergibt sich für die Kleinsignal-Basis-Emitter-Spannung
β
mV
iB + −2
∆T.
S
K
uBE =
(14)
Das zugehörige Kleinsignal-Ersatzschaltbild ist in Abbildung 4 dargestellt. Die BasisEmitter-Spannung setzt sich zusammen aus dem Spannungsabfall am rBE = Sβ und der
Spannung ∂U∂TBE ∆T .
6
𝐵
𝑢𝐵𝐵 ≈ 𝑆 𝑖𝐵 +
𝜕𝑈𝐵𝐵
𝜕𝜕
Δ𝑇
𝜕𝑈𝐵𝐵
Δ𝑇
𝜕𝜕
B
𝑖𝐵
𝑢𝐵𝐵
𝛽
𝑆
β 𝑖𝐵
C
E
Abbildung 4: Kleinsignal-Ersatzschaltbild
eines Bipolartransistors mit Linearisierung
der Eingangskennlinie Sβ und des Temperaturganges der Basis-Emitter-Spannung
∂UBE
∆T
∂T
.
HLST, Ch. Diskus, 11. November 2013
e:\know_how\technische_notizen\t_notiz13_ersatzschaltbilder\taylorreihe der basis_emitter_spannung.docx
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