Massenmittelpunkt, Kinematik

Massenmittelpunkt, Kinematik
Massenmittelpunkt, Kinematik
Mechanik basiert auf der Bilanz von Impuls und Drehimpuls. Mechanik ist aber auch Bewegungslehre (Kinematik).
So hängt die Bewegung eines Körpers über die Geschwindigkeit und die Winkelgeschwindigkeit mit dem Impuls
und dem Drehimpuls zusammen, d.h. Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit sind die Potenziale des Impulses
und des Drehimpulses (Füllhöhen in den Flüssigkeitsbildern). Die beiden Potentialgrössen liefern deshalb auch das
Energiebeladungsmass, d.h. sie bestimmen, wie stark der Impulsstrom bzw. der Drehimpulsstrom mit Energie
beladen sind.
In dieser Vorlesung werden Verbindungen zwischen der Kinematik und der Dynamik aufgezeigt. Wir beschränken
uns dabei auf die Aspekte, die für technische Anwendungen von grosser Bedeutung sind.
Lernziele
In dieser Vorlesung lernen Sie
• die Bedeutung des Massenmittelpunktes kennen
• wie man die Lage des Massenmittelpunktes berechnet
• wie man Tangential- und Normalbeschleunigung eines beliebigen Punktes beim rotierenden Körper bestimmt
• wie man beim starren Körper aus der Geschwindigkeit eines gegebenen Punktes und der Winkelgeschwindigkeit
den Bewegungszustand eines weiteren Punktes berechnet
• wann man eine Zentrifugalkraft einführen darf und auch muss
• dass die Zentrifugalkraft der statischen und die Corioliskraft der dynamischen Teil einer auf rotierenden
Bezugssystemen einzuführenden Trägheitskraft ist
Massenmittelpunkt
Auf einer langen Luftkissenbahn bewegen sich verschieden schwere
Gleiter mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten aufeinander zu. Weil
die Gleiter mit Klettverschlüssen ausgerüstet sind, gleichen sich ihre
Geschwindigkeiten an. Die gemeinsame Endgeschwindigkeit aller
Gleiter lässt sich ohne Kenntnis der Aufpralldynamik vorhersagen
Im Flüssigkeitsbild besagt diese Formel, dass die sich einstellende
Impulsausgleich im inelastischen Stoss
Füllhöhe (Geschwindigkeit) gleich dem total gespeicherten "Volumen"
(Impuls) dividiert durch den Gesamtquerschnitt (totale Masse) aller
miteinander verbundenen Gefässe (Gleiter) ist. Weil diese Endgeschwindigkeit zum vornherein fest steht, postuliert
man für jedes isolierte System eine charakteristische Geschwindigkeit, die gleich dem Quotienten aus gespeichertem
Impuls und totaler Masse ist. Diese Idee lässt sich problemlos auf alle Richtungen ausdehnen
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Die sich einstellende Endgeschwindigkeit heisst Geschwindigkeit des
Massenmittelpunktes (MMP) oder manchmal etwas ungenau
Geschwindigkeit des Schwerpunktes. Ersetzt man den Impuls der
Teilsysteme durch das kapazitives Gesetz, erhält man die
Geschwindigkeit
als
gewichtetes
Mittel
über
alle
Einzelgeschwindigkeiten
Schwerpunkt beschleunigt mit 9.8 m/s2
Integriert man diese Gleichung beidseits über ein beliebiges
Zeitintervall, ergibt der linke Term die Strecke, um die sich der Massenmittelpunkt im Raum verschoben hat.
Mit dieser Formel lässt sich auch die momentane Lage des Massenmittelpunktes berechnen
Setzt man die Geschwindigkeit des Massenmittelpunktes in die Impulsbilanz ein, erhält man die allgemeinste Form
des Grundgesetzes der Mechanik
Hier wird angenommen, dass das Gravitationsfeld homogen ist, also auf alle Teilsysteme gleich stark wirkt.
Selbstverständlich dürfen in der Bilanz nur die Stärken von Impulsströmen gezählt werden, die über die
Systemgrenze fliessen (äussere Kräfte).
starrer Körper
Prallt ein Vogel gegen die Scheibe einer Pilotenkanzel (engl. cockpit für Hahnengrube), liefert
das Grundgesetz der Mechanik (Summe über alle Kräfte gleich Masse mal Beschleunigung
des Massenmittelpunkts) keine direkt verwertbare Information, weil sich der
Massenmittelpunkt beim Aufprall auch relativ zum Vogel bewegt. Eine analoge Situation
findet man beim Einschlag einer Bleikugel in ein Holzbrett. Die Stärke des Impulsabflusses,
die momentane Kraft, bestimmt die Beschleunigung des Massenmittelpunktes. Nur kann
dieser Punkt während des Einschlages mit keinem Teil des Bleis identifiziert werden.
Festkörper ändern ihre Gestalt unter nicht zu grosser Belastung kaum. Solche Körper werden
durch das Modell des starren Körpers gut nachgebildet. Beim starren Körper ist der
Massenmittelpunkt eine körperfeste Grösse. Zudem behalten alle andern materiellen Punkte
ihre gegenseitige Lage bei. Mit dem dynamischen Verhalten des starren Körpers wollen wir
uns in einer späteren Vorlesung beschäftigen. Hier begnügen wir uns mit den geometrischen
(kinematischen) Aspekten des starren Körpers.
Lage des MMP
verändert sich
Der Bewegungszustand des starren Körpers ist zu jedem Zeitpunkt durch die Geschwindigkeit eines beliebigen
Punktes und durch seine Winkelgeschwindigkeit festgelegt. Weil die Impulsbilanz die Geschwindigkeit des
Massenmittelpunktes liefert, geht man in der Regel auch von dieser speziellen Geschwindigkeit aus.
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Rotation um starre Achse
Einen starren Körper, der um eine feste Achse rotiert, nennt man
Rotator. Bei einem Rotator beschreibt jeder Punkt eine Kreisbahn.
Weil sich jede Linie auf dem Rotator in gleichen Zeiten um den
gleichen Winkel dreht, gilt für den ganzen Körper zu jedem Zeitpunkt
die gleiche Winkelgeschwindigkeit. Zwischen dem Weg (b für
Bogenlänge), den ein Punkt im Abstand r von der Drehachse in einem
bestimmten Zeitabschnitt zurücklegt und dem zugehörigen Drehwinkel
Δφ besteht ein einfacher Zusammenhang
Dividiert man diese Beziehung durch den Zeitabschnitt, ergibt sich ein
Zusammenhang zwischen Betrag der Geschwindigkeit v, Schnelligkeit
genannt, und der Winkelgeschwindigkeit
Beschleunigung eines Punktes
Denkt man sich den Zeitabschnitt beliebig kurz, ist die zweite Gleichung die Ableitung der ersten nach der Zeit. Eine
weitere Ableitung nach der Zeit liefert einen Zusammenhang zwischen der Tangentialkomponente der
Beschleunigung dieses Punktes at (Tangentialbeschleunigung) und der Winkelbeschleunigung α
Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit. Weil wir hier nur den Weg (Bogen) bzw.
die Schnelligkeit und nicht die Strecke bzw. die Geschwindigkeit abgeleitet haben, ist ein Teil der Beschleunigung
"verloren" gegangen. Jeder Punkt, der auf einer Kreisbahn läuft, weist neben der Tangential- noch eine
Beschleunigung auf, die gegen das Kreiszentrum gerichtet ist, also normal zur Geschwindigkeit steht und deshalb
Normalbeschleunigung heisst
Die Geschwindigkeit und die Normalbeschleunigung der Punkte auf einem sich drehenden Rotator nehmen
proportional mit dem Abstand zur Drehachse zu. Ist zusätzlich noch eine Winkelbeschleunigung vorhanden, dreht
also der Rotator immer schneller oder langsamer, gilt die gleiche radiale Abhängigkeit auch für die
Tangentialbeschleunigung.
Geschwindigkeiten auf starrem Körpern
Hält man statt einer Achse nur einen Punkt des starren Körpers fest, wird aus dem Rotator ein Kreisel. Wirkt kein
Drehmoment auf den Kreisel ein, bleibt sein Drehimpuls konstant (ein Drehmoment entspricht der Stärke eines
Drehimpulsstromes oder einer Drehimpulsquelle). Je nach Form und Ausrichtung des Kreisels kann sich die Lage
der Drehachse relativ zum Kreisel und relativ zum Bezugssystem auch bei konstantem Drehimpuls ändern. Dieses
Phänomen nennt man Nutation. Weil die Drehachse dann weder körperfest noch raumfest ist, spricht man beim
Kreisel nur noch von der momentanen Drehachse. Die momentane Drehachse wird durch die Punkte gebildet, die im
Moment relativ zum Laborsystem in Ruhe sind
Man kann zeigen, dass sich die Winkelgeschwindigkeit wie ein Vektor transformiert. Der Vektor der
Winkelgeschwindigkeit zeigt immer parallel zur momentanen Drehachse. Dabei steht der Vektor der
Winkelgeschwindigkeit zum Drehsinn wie der Daumen der rechten Hand zu seinen Finger (Rechte-Hand-Regel).
Die momentane Geschwindigkeit eines Punktes auf dem Kreisel ergibt sich nun durch ein Vektorprodukt
wobei der Vektor r von einem beliebigen Punkt auf der momentanen Drehachse zum fraglichen Punkt zeigt.
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Beispiel 1: Ein Güterzug fährt mit 108 km/h geradeaus. Welche Maximalgeschwindigkeit erreichen die oberste
Punkte auf dem Spurkranz (überkragender Wulst auf der Innenseite der Lauffläche des Rades)? Wie schnell bewegt
sich der im Moment tiefst gelegene Punkt auf dem Spurkranz? Der Durchmesser des Radlaufkreises beträgt 920 mm,
der Spurkranz weise einen Durchmesser 980 mm auf.
Die momentane Drehachse liegt auf der Lauffläche, dort wo das Rad die Schiene berührt. Für die Geschwindigkeit
der Radachse gilt der oben formulierte Zusammenhang. Folglich ist die Winkelgeschwindigkeit gleich
= 65.2 1/s
Der obersten Punkt des Spurkranzes liegt 950 mm über der Lauffläche der Schiene. Multipliziert man diese Distanz
mit der Winkelgeschwindigkeit, ergibt sich eine Geschwindigkeit von 61.95 m/s oder 223 km/h. Der tiefste gelegene
Punkt des Spurkranzes liegt 30 mm unterhalb der Lauffläche. Folglich bewegt er sich mit 1.96 m/s oder 7 km/h
gegen den Güterzug.
Die oben formulierte Beziehung zwischen Winkelgeschwindigkeit und
Geschwindigkeit erlaubt die Berechnung der Geschwindigkeit (als
Vektor) für einen beliebigen Punkt auf dem Rad eines Zuges oder eines
Autos. Nimmt man zwei verschiedene Punkte (A und B) und
subtrahiert die Geschwindigkeiten voneinander, erhält man eine noch
allgemeinere Form
oder Umgeformt
Geschwindigkeiten auf rotierendem Körper
Der Vektor rAB zeigt vom Punkt A zum Punkt B.
Beispiel 2: Ein Planetengetriebe ist ein einfaches Getriebe, bei dem sich quasi das Gehäuse auch noch drehen kann.
Das Getriebe besitzt deshalb drei Wellen, eine für das Sonnenrad, eine für das Hohlrad und eine für den Träger der
Planetenräder. Die Kinematik von Getrieben beruht auf der Abrollbewegung von Teilkreisen. Folglich sind die
Drehzahlen der drei Achsen über diese Abrollbewegung gekoppelt.
Der Teilkreisradius des Sonnenrades sei gleich r, der Radius des
Hohlrades wird mit R bezeichnet. Die Radien der Planetenräder ist
dann gleich der halben Differenz dieser beiden Radien. Bezüglich der
Achse eines Planetenrades gilt
Die Geschwindigkeit der Achse eines Planetenrades ist gleich der
Planetengetriebe
Winkelgeschwindigkeit des Planetenradträgers (Index T) mal den
Abstand von der Achse des Getriebes oder gleich der Geschwindigkeit des Sonnenrades (Index S) plus die
Winkelgeschwindigkeit des Planetenrades (Index P) mal die zugehörige Distanz.
Bezüglich eines zwischen Planetenrad und Hohlrad liegenden Berührpunktes (Index H) kann eine analoge
Formulierung gefunden werden
Setzt man die obere Gleichung in die untere ein (Winkelgeschwindigkeit des Planetenrades eliminieren), erhält man
die kinematische Grundgleichung für das Planetengetriebe
Hält man wahlweise eine der drei Achsen fest, ergeben sich drei gewöhnliche Getriebe. Die zugehörigen
Übersetzungsverhältnisse können direkt der kinematischen Grundgleichung entnommen werden. Drehen sich das
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Sonnenrad und das Hohlrad mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit, dreht sich der Träger des Planetengetriebes
trivialerweise ebenfalls mit dieser Winkelgeschwindigkeit.
Ausblick
Die Geschwindigkeit ist das Potenzial der Translationsmechanik, d.h. die Geschwindigkeit des Massenmittelpunkts
sagt, wie viel Impuls ein Körper mit gegebener Masse speichert, und die Geschwindigkeit einer Referenzfläche legt
fest, wie stark ein Impulsstrom mit Energie beladen ist. Desgleichen für die Winkelgeschwindigkeit. Die
Winkelgeschwindigkeit sagt, wie viel Drehimpuls ein bestimmter Körper speichert und wie stark ein
Drehimpulsstrom mit Energie beladen ist. Auch aus kinematischer Sicht sind Geschwindigkeit und
Winkelgeschwindigkeit einfacher zu handhaben als Ort bzw. Winkel oder Beschleunigung bzw.
Winkelbeschleunigung.
Ort und Lage
Dividiert man den Impulsinhalt eines starren Körpers durch dessen Masse, erhält man die Geschwindigkeit des
Massenmittelpunktes. Analog dazu lässt sich die Winkelgeschwindigkeit aus dem Drehimpuls berechnen, nur ist das
zugehörige Berechnungsverfahren um einiges komplizierter. Sind aber Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit
zu einem bestimmten Zeitpunkt bekannt, kann mit der oben aufgeführten Formel die Geschwindigkeit eines
beliebigen Punktes auf dem starren Körper bestimmt werden. Der Ort des Massenmittelpunktes ist - wie schon in der
Translationsmechanik mehrfach ausgeführt - durch eine Integration der zugehörigen Geschwindigkeit über die Zeit
zu ermitteln. Die Berechnung der Orientierung (Lage) des Körpers ist dagegen um einiges komplizierter und nicht
durch eine einfache Integration der Winkelgeschwindigkeit über die Zeit zu ermitteln. Um diese Schwierigkeit, die
mit der geometrischen Struktur der Drehung zusammenhängt, zu umgehen, werden wir uns in dieser Vorlesung
hauptsächlich mit der ebenen Bewegung beschäftigen.
rotierendes Bezugssystem
Üblicherweise beschreibt man die Bewegung der Körper bezüglich des Systems Erde. Dabei nimmt man an, dass
sich diese nicht bewegt (Ruhesystem). Mechanische Vorgänge können aber auch relativ zu einem gleichmässig
rotierenden Bezugssystem, etwa einem Karussell, beschrieben werden. In diesem Fall muss die Gravitationskraft
durch zwei ebenfalls massenspezifische Volumenkräfte (Impulsquellen), die Zentrifugalkraft und die Corioliskraft,
ergänzt werden. Die Zentrifugalkraft hängt nur vom Ort ab und kann wie die Gewichtskraft als Masse mal Stärke
eines Zentrifugalfeldes beschrieben werden. Die Corioliskraft hängt dagegen nur von der Geschwindigkeit und nicht
vom Ort ab. Diese Geschwindigkeit ist relativ zum rotierenden Bezugssystem zu messen.
Weil die Erde rotiert und um die Sonne fällt, stellt sie kein echtes Ruhesystem dar. Dennoch merken wir von der
zweifachen Bewegung der Erde wenig. Dies hängt mit der Besonderheit der Gravitation zusammen. Durch die
Fallbewegung wird das Gravitationsfeld der Sonne bis auf eine kleine Störung (Gezeitenfeld) wegtransformiert
(Schwerelosigkeit). Die Corioliskraft ist so schwach, dass sie sich nur bei grossräumigen Bewegungen wie etwa bei
Winden bemerkbarmacht. Und die Zentrifugalkraft ist nicht direkt nachweisbar, weil das Zentrifugalfeld dem
Gravitationsfeld der Erde überlagert ist und von uns nur gemeinsam mit diesem gemessen werden kann. Wenn wir
also feststellen, dass das Gravitationsfeld in Winterthur eine Stärke von 9.8067 N/kg hat, dann steckt in diesem Wert
auch ein Anteil Zentrifugalfeld drin.
Leider wird der Begriff Zentrifugalkraft oft bei der Kreisbewegung eines einzelnen Körpers verwendet. Dort hat
diese Grösse aber gar nichts zu suchen. Ein Körper bewegt sich auf einer Kreisbahn, weil er über ein Seil, die
Haftreibung oder einen andern "Impuls-Leiter" Bewegungsmenge mit der Umgebung austauscht.
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Kontrollfragen
1. Wie berechnet man die Lage des Massenmittelpunktes eines zusammengesetzten Körpers?
2. Kraft gleich Masse mal Beschleunigung. Übersetzen Sie diese Aussage in das Grundgesetz der Mechanik in
seiner allgemeinsten Form.
3. Ein Körper dreht sich pro Sekunde einmal um die eigene Achse. Wie gross ist die Beschleunigung eines Punktes
im Abstand von 0.5 m?
4. Wie berechnet man die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes auf dem Bugrad eines Flugzeuges, falls die
Geschwindigkeit des Flugzeuges und die momentane Drehzahl des Bugrades gegeben sind?
5. Eine Walze (Radius r) rollt auf einem zweiten Zylinder ab (Radius R). Wie berechnet man die Geschwindigkeit
der Walzenachse, wenn der Zylinder mit ωZ um eine ruhende Achse rotiert und sich die Walze mit ωW dreht?
6. Wann muss eine Zentrifugalkraft eingeführt werden? Wann darf man unter keinen Umständen eine
Zentrifugalkraft einführen?
Antworten zu den Kontrollfragen
1. Die Lage des Massenmittelpunktes eines aus verschiedenen Teilen zusammen gesetzten Körpers berechnet sich
als gewichtetes Mittel der Positionen der Einzelkörper
.
2. Die Summe über alle am Körper angreifenden Kräfte (inkl. Gewichts-, Zentrifugal-, Coriolis- und anderer
Volumenkräfte) ist gleich Masse mal die Beschleunigung des Massenmittelpunktes des Körpers (relativ zum
gewählten Bezugssystem).
3. Die (Normal-)Beschleunigung ist gleich das Quadrat der Winkelgeschwindigkeit mal der Abstand zur Drehachse,
also gleich 19.7 m/s2.
4. Die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes P ist gleich:
5. Ein Punkt auf dem Umfang des Zylinders bewegt sich mit ωZR. Somit ist die Geschwindigkeit der Walzenachse
gleich
.
6. Die Zentrifugalkraft tritt auf, sobald sich der Beobachter in einem rotierenden Bezugssystem befindet. Die
Zentrifugalkraft ist eine massenproportionale Volumenkraft, die linear mit dem Abstand zur Drehachse des
Bezugssystems zunimmt. Analysiert man die Bewegung von einem nicht rotierenden Bezugssystem aus, darf
unter keinen Umständen eine Zentrifugalkraft eingeführt werden. Wer also bei einer blossen Kreisbewegung eines
Körpers bezüglich eines Inertialsystems von einer Zentrifugalkraft spricht, gehört zu den hoffnungsloseren Fällen
in Bezug auf ein tieferes Verständnis der Mechanik.
Materialien
• Videoaufzeichnung [1]
• Kurzfassung auf Youtube [2]
Physik und Systemwissenschaft in Aviatik 2014
Physik und Systemwissenschaft in Aviatik
Quellennachweise
[1] https:/ / cast. switch. ch/ vod/ clips/ 1hidjw34ok/ link_box
[2] http:/ / www. youtube. com/ watch?v=_4xDwwN6Eg0
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