Eigenwerte - TU Berlin

TU Berlin - Institut für Mathematik
Fachmentorium
Lineare Algebra für Ingenieure
Wintersemester 2014/2015
1
Tutor: Fabian Faulstich
Eigenwerte
Selbsttest :
Kreuzen Sie im Folgenden das Zutreende an :
Wahr Falsch Aufgabe
Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes ist gröÿergleich
seiner geometrischen Vielfachheit.
Setzt man die Matrix A in das zugehörige Charakteristischespolynom ein, so erhält man die Nullabbildung.
2
Ist λ ein Eigenwert von A, so ist λ√
ein Eigenwert von A2 .
Ist λ ein Eigenwert von A2 , so ist λ ein Eigenwert von A.
1. Aufgabe :


3 0
0
Gegeben sei die Matrix B = 1 2 −1 ∈ R3×3 .
2 −2 1
i) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom pB von B .
ii) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von B sowie die jeweiligen algebraischen Vielfachheiten.
iii) Geben Sie, wenn möglich, drei linear unabhänginge Eigenvektoren von B an.
2. Aufgabe :
L=
Seien a, b ∈ R, und sei die lineare Abbildung L : R2 → R2 deniert durch
a b
.
b −a
i) Bestimmen Sie die Eigenwerte von L in Abhängigkeit von a und b.
ii) Bestimmen Sie alle a, b für die L orthogonal ist.
3
3
 Gegeben sei die lineare Abbildung A : R → R mit ~x 7→ A~x und
2 2 1
A =  0 2 0.
−1 5 0
3. Aufgabe :

i)
Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von A und bestimmen Sie die
Eigenwerte von A.
ii) Bestimmen Sie zu jedem Eigenwert den zugehörigen Eigenraum.
Durch einen Basiswechsel kann die Form einer Matrix geändert werden.
Eine solche Transformation ist eine Ähnlichkeitstransformation der Form D = S −1 AS ,
wobei S die Transformationsmatrix ist und A die Ausgangsmatrix. Beweisen Sie, dass
eine solche Transformation die Eigenwerte der Matrix A nicht ändert.
4. Aufgabe :
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Lineare Algebra für Ingenieure
2
Wintersemester 2014/2015
Tutor: Fabian Faulstich
5. Aufgabe :


1 0 −1
Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix C = 1 1 3  und jeweils
0 0 2
die zugehörige geometrische und algebraische Vielfachheit.

5 1
0 −3
6. Aufgabe :
Betrachten Sie die Matrix B = 
0 0
0 0
4
auf dem Vektorraum R .
5
61
1
1
0

− 12
7 

2  als lineare Abbildung
3
4
i) Geben Sie die Determinante von B an.
ii) Hat B reelle Eigenwerte ? Falls ja, welche ? Welche Dimensionen haben die
zugehörigen Eigenräume ?