Übung 6 - Universität Bonn

Physikalisches Institut
Universität Bonn
Theoretische Physik
Hausaufgabe 6
25. Mai 2016
SS 16
Übungen zur Vorlesung Quantenmechanik und statistische
Mechanik
Prof. Herbert Dreiner, PD Dr. Stefan Förste, Sebastian Belkner, René Laufenberg
http://www.th.physik.uni-bonn.de/people/sbelkner/QMSMSS16/
–Hausaufgabe–
Bis 12:00Uhr, 01. Juni 2016
H 6.1 Hermite Polynome
1+2+1+2+2+2+2+2+3+1+2 = 20 Punkte
Im Folgenden betrachten wir die Hermite Polynome. Diese werden zur Konstruktion der Lösungen des quantenmechanischen harmonischen Oszillators benötigt. Das n-te Hermite Polynom ist
gegeben durch
Hn (x) = (−1)n ex
2
dn −x2
e
.
dxn
(1)
(a) Zeige, dass eine lineare Rückstellkraft zu einem quadratischen Potential führt.
(b) Der klassische harmonische Oszillator wurde bereits behandelt. Die Bewegungsgleichung sei
gegeben durch
m
∂2
ζ(t) + kζ(t) = 0,
∂t2
(2)
wobei k die Rückstellkonstante und m die Masse des Oszillators ist. Zeige zur Wiederholung,
dass die Lösung dieser Differentialgleichung zu
r
k
ω=
,
(3)
m
führt, wobei ω die Kreisfrequenz ist.
(c) Für den quantenmechanischen harmonischen Oszillator wird ein Teilchen der Masse m mit
linearer Rückstellkraft betrachtet. Benutze die Ergebnisse von (a) und (b) und stelle damit
die stationäre Schrödingergleichung für den quantenmechanischen harmonischen Oszillator
auf. In der Vorlesung wurde diese mit dem Potenzreihenansatz gelößt, was zu den Hermite
Polynomen führt.
(d) Berechne die ersten vier Hermite Polynome (Gl.(1)) explizit und skizziere sie.
(e) Zeige, dass eine Taylorreihenentwicklung um t der erzeugenden Funktion,
w(x, t) = e2xt−t
2
(4)
zu den Hermite Polynomen für die Koeffizienten der Entwicklung führt. Als Ergebnis erhälst
du
w(x, t) =
∞
X
Hn (x) n
t , t ∈ R.
n!
n=0
(5)
(f) Zeige, dass das n-te Hermite Polynom die Rekursionsrelation
Hn+1 (x) − 2xHn (x) + 2nHn−1 (x) = 0,
erfüllt.
1
∀n ∈ N,
(6)
(g) Zeige, dass u = Hn (x) der Differentialgleichung
u00 − 2xu0 + 2nu = 0,
(7)
genügt.
(h) Benutze Gl.(7) und zeige, dass der Ansatz
vn = Cn e−
x2
2
Hn (x), Cn = konstant
(8)
die Differentialgleichung
vn00 + (2n + 1 − x2 )vn = 0,
(9)
löst.
(i) Zeige, dass die Hermite Polynome auf dem Interval [−∞, ∞] orthogonal zueinander sind, wenn
sie mit einer gaußschen Glockenkurve gewichtet werden. Das heisst, zeige dass für n 6= m
folgendes gilt,
Z ∞
2
e−x Hn (x)Hm (x) dx = 0, ∀(n, m) ∈ N, n 6= m.
(10)
−∞
(j) Bestimme die Cn , sodass die vn ein Orthonormalsystem bilden.
(k) Zeichne fn = vn + 2n + 1 für n = 0, 1, 2 und die Funktion f (x) = x2 in ein Koordinatensystem.
2
H 6.2 Kommutierende hermitesche Operatoren
1+1+1+2+2+2+1 = 10 Punkte
(a) Wir wollen im Folgenden zeigen, warum diagonalisierbare, kommutierende Matrizen eine Basis
aus gemeinsamen Eigenvektoren besitzen.
Seien hierzu A,B zwei hermitesche Matrizen. Wir hatten bereits auf Blatt 5 geklärt, dass
solche Matrizen diagonalisierbar sind. Sei zudem [A, B] = 0.
(i) Nehme an, v sei ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ. Zeige, dass dann auch der
Vektor w = B · v ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ ist.
(ii) Sei nun (v1 , ..., vm ) eine Basis des Unterraumes W, der von allen Eigenvektoren von A
zum Eigenwert λ gebildet wird d.h. W = Eig(A, λ). Dann ist B wegen (i) auch auf diesem Unterraum diagonalisierbar (B bildet W auf W ab), d.h., es gibt eine Basis dieses
Unterraumes W (w1 , ..., wm ) aus Eigenvektoren von B.
Zeige, dass diese wi ’s ebenfalls Eigenvektoren von A sind. Nutze dabei aus, dass sich
solche w’s als Linearkombination der vi darstellen lassen.
Wenn du dies gezeigt hast, hast du eine Basis des Unterraumes aus gemeinsamen Eigenvektoren gefunden.
So fährt man nun für jeden weiteren Unterraum fort.
h
i
(b) In Aufgabe H4.2 haben wir gezeigt, dass L̂z , |L̂|2 = 0 ist.
Sei nun V ein reelles, radialsymmetrisches Potential d.h. V (r ) = V (|r |)
~2
∆ + V̂ der zugehörige Hamiltonoperator.
und Ĥ = − 2m
(i) Berechne
∂
∂x V
(|r |),
∂
∂y V
(|r |) und
∂
∂z V
(|r |). Achte auf die Verwendung der Kettenregel!
h
i
(ii) Zeige, dass L̂z , V̂ = 0 .
i
h
(iii) Zeige, dass L̂z , Ĥ = 0 .
h
i
(iv) Zeige, dass |L̂|2 , Ĥ = 0 .
(v) Was haben die Resultate (iii) und (iv) für eine Konsequenz?
3