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Stoffübersicht: Schwingungen
Schallschwingungen
p
p
p
Wellenbewegung
p
Pendel
p
harmonische
Schwingungen,
(harmonischer Oszillator)
Einheiten
mathematische
Grundlagen
Energie der harmonischen
Schwingung
Pendel
Elektromagnetische
Schwingungen
fh-pw
Harmonische Schwingung
Schwingungen entstehen durch
eine (kleine) Auslenkung eines
Systems aus einer stabilen
Ruhelage
p
Ruhelage: Feder übt keine
Kraft auf Körper aus ( x=0 )
p
Masse m nach rechts bewegen
Feder übt Kraft auf Masse aus
p
Fx = - k x (Hooksches Gesetz)
Federkonstante k
p
Rücktreibende Kraft wirkt
entgegengesetzt zur Auslenkung
(daher Minus !)
fh-pw
Harmonische Schwingung
Hooksches Gesetz : Fx = − kx
d 2x
2.Newtonsche Gesetz : F = ma = m 2
dt
d 2x
k 
a = 2 = −  x
dt
m 
Beschleunigung ist proportional und entgegengesetzt
zur Auslenkung
„Harmonische Schwingung“eines Körpers wenn:
• Beschleunigung proportional zur Auslenkung
• Beschleunigung der Auslenkung entgegengesetzt
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Bewegungsgleichung
Kurve beschreibe n durch
sin oder cos - Funktion : x = A cos(ω t + δ)
x
Es gilt :
A
t
sin(ω t + δ+ π 2 )= cos (ω t + δ)
cos(ω t + δ)= cos (ω t + δ+ 2π)
Schwingung sdauer (Periode) : T
A
Amplitude [
m]
ω
Kreisfrequ enz s − 1
[]
δ
Phasenkons tante
(ω t + δ) Phase
ω (t + T )+ δ= ω t + δ+ 2π
Phase(t + T )= Phase (t )+ 2π
ω T = 2π oder T = 2π ω
Frequenz : f = 1 T = ω 2π
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Bewegungsgleichung
x
T
x = A cos (ω t )
A
t
π
T
x
t = 0 → cos 0 = 1
x = A ⇒ maximale Auslenkun g
x = A sin (ω t )
A
t
0
cos
sin
3π 

x = A cosω t +

2 

Phasenkons tante δ= 3π 2
fh-pw
Bewegungsgleichung x(t) für Fx=-kx
d 2x
k 
=
−
  x Differentialgleichun g
dt 2
m 
x = A cos(ω t + δ) Lösungsans atz
dx
= − Aω sin (ω t + δ)= Aω cos(ω t + δ+ π 2 )
dt
dv d 2 x
= 2 = − Aω 2 cos (ω t + δ)= − ω 2 x
a=
dt dt
k
k
bzw. ω =
Kreisfrequ enz
ω2 =
m
m
a
t
v=
Frequenz :
f =
1 k
ω
=
2π 2π m
Periode :
T=
1
m
= 2π
f
k
a = − Aω 2 cos(ω t )
v
v = − Aω sin (ω t )
t
x
x = A cos(ω t )
t
fh-pw
Beispiel: Schwingungsdauer
• Zwei harmonische Oszillatoren mit
identischen Federn (k = 90 N/m) und zwei
identischen Massen (m = 10 kg)
• Unterschiedliche Auslenkung aus der
Ruhelage (3 cm, 5 cm)
• beide Massen werden gleichzeitig
losgelassen
3 cm
m
k
m
5 cm
Ges: Zeit bis die Massen wieder die Ruhelage erreichen
Kreisfrequenz / Frequenz : ω =
k
ω
1 k
= 3 s -1 , f =
=
≈0,5 s − 1
m
2π 2π m
m
1
= 2π
≈2 s
k
f
Körper erreichen nach etwa 0,5 s wieder die Ruheposition (beide Körper! )
Periode :
T=
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Harmonische Schwingung
Bei harmonisch en Schwingung en
x
hängen Frequenz ( f ) und Periode (T )
nicht von der Amplitude ab!
m1
m2
t
Klavieresa ite :
Tonhöhe ⇒ Frequenz
Lautstärke ⇒ Amplitude
T
Tonhöhe bleibt gleich, egal wie
fest man auf die Taste schlägt.
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Harmonische Schwingungen und Energie
Kraft F = + kx muß aufgewendet
F = -kx
werden um die Feder zu dehnen
F = kx
x
m
x=0
x
1
Arbeit W = ∫Fdx = kx 2
2
0
Änderung der potentiellen Energie der Feder :
x
?E pot = − W = − ∫Fdx = −
0
(
)
1
1
− kx 2 = kx2
2
2
für kleine Verschiebungen gilt : dE pot = − Fdx bzw.
?E pot = E pot , x − E pot ,0
E pot =
dE pot
dx
=− F
1 2
kx
2
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Harmonische Schwingung, Gesamtenergie
E pot
Epot
1
Eges = kA2
2
Ekin
A
1 2 1
2
mv = m(− ω A sin(ω t + δ))
2
2
k
1
= kA2 sin 2 (ω t + δ)
mit ω 2 =
2
m
Ekin =
Ekin
E pot
-A
1 2 1
2
kx = k ( A cos(ω t + δ))
2
2
1
= kA2 cos 2 (ω t + δ)
2
E pot =
F = -kx
x
Kraft Fx = −
dE pot
dx
− kx
Kraft bewirkt immer eine Beschleunigung in Richtung kleinerer potentieller
Energie
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Harmonische Schwingung, Gesamtenergie
Eges = Ekin + E pot
F = -kx
[
Epot
1
Eges = kA2
2
]
1
Eges = kA2 sin 2 (ω t + δ)+ cos 2 (ω t + δ)
2
1
Eges = kA2 ⇒ Eges = konstant!
2
Ekin = Eges sin 2 (ω t + δ)
Ekin
E pot = Eges cos 2 (ω t + δ)
Epot
x
A
-A
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Beispiel: Energie einer harm. Schwingung
A
Geg.:
m
m
1
Eges = kA2
2
Masse m=5 kg, A=10 cm, f=0.1 Hz
Ges.: Eges, max. Geschwindigkeit,
Federkonstante k
ω=
k
m
k = ω 2m
ω = 2π ⋅ f
k = (2π ⋅ f ) m = 4π2 ⋅0.12 ⋅5 kg⋅s − 2 = 1,97 Nm − 1
2
1
1
Eges = kA2 = 1,97 ⋅0,12 Nm = 9,85 mJ
2
2
Eges
1 2
2 ⋅9,85 ⋅10− 3 J
= mv = 9,85 mJ ⇒ v =
= 0,06 ms − 1
2
5 kg
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Beispiel: Energie einer harm. Schwingung
A
Geg.:
m
m
Masse m=5 kg, A=10 cm, f=0.1 Hz
Ges.: Eges, max. Geschwindigkeit,
Federkonstante k
Anderer Lösungsweg für vmax
x = A cos(ω t + δ)
v = − ω A sin(ω t + δ)
vmax = v max = vmax = ω A(sin(ω t + δ))max
Maximalwert von sin(ω t + δ)= 1
vmax = ω A = 2π ⋅ f ⋅A = 0,06 ms − 1
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Pendel
Bogenlänge s = rθ
F = m ⋅a (2. Newtonsche Gesetz)
l
θ
Z
s
θ
-mgsinθ
-mgcosθ
Masse bewegt sich entlang des Kreisbogen s
d 2s
− mg sin θ = m 2
dt
Näherung für kleine Auslenkun gen :
sin θ ≈θ = s r
d 2s
g
=− s
2
dt
r
mg
Lösung : s = s0 cos (ω t + δ) mit ω 2 =
ω = 2π ⋅ f =
2π
r
⇒ T = 2π
T
g
⇒ harmonisch e Schwingung
g
r
Schwingungsdauer hängt nur von der
Pendellänge ab, nicht von der Masse !
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Beispiel: Pendel
Wie groß ist die Frequenz der Schwingung eines Pendels mit 1 m Länge?
ω2 =
g
l
ω =
g
l
ω = 2π ⋅ f
1 g
1 9,81 ms − 2
ω
Frequenz f =
=
=
≈0,5 s − 1
2π 2π l 2π
1m
Schwingung sdauer T =
1
≈2 s
f
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Physikalisches Pendel
Starrer Körper schwingt um Aufhängepunkt
S = Schwerpunkt
A
θ d
S
d sinθ
mg
Drehmoment M = − mgd sin θ
Trägheitsm oment I
Winkelbesc hleunigung α
d 2θ
M = Iα = I 2 = − mgd sin θ
dt
kleine Auslenkun g, daher : sin θ ≈θ
d 2θ
mgd
=
−
θ = − ω 2θ
2
dt
I
Lösung : θ = θ0 cos(ω t + δ) mit ω =
mgd
I
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