8. ¨Ubungsblatt ,,Algorithmische Mathematik I”

Institut für angewandte Mathematik
Wintersemester 2010/2011
Patrik Ferrari, Nikolaus Schweizer
8. Übungsblatt ,,Algorithmische Mathematik I”
Abgabe am Mittwoch 22.12. in der Vorlesung.
1. (Block-Matrizen)
[4 Pkt ]
Gegeben sei das lineare Gleichungssystem Cx = b, wobei C eine invertierbare 2n × 2n
Matrix der folgenden speziellen Gestalt ist:
A B
C=
,
B A
wobei A und B invertierbare n × n Matrizen sind.
a) Sei C −1 partitioniert wie C, d.h.
C
−1
=
E F
G H
.
Zeigen Sie die Identität von I. Schur:
E = H = (A − BA−1 B)−1
und
F = G = (B − AB −1 A)−1 .
b) Seien x = (x1 , x2 )T und b = (b1 , b2 )T in gleicher Weise partitioniert. Betrachte die
Gleichungssysteme (A + B)y1 = b1 + b2 und (A − B)y2 = b1 − b2 . Zeige, dass
1
x1 = (y1 + y2 )
2
und
1
x2 = (y1 − y2 ).
2
Welchen numerischen Vorteil hat diese Umformulierung des ursprünglichen Problems?
Hinweis: Das Produkt zweier invertierbarer n × n Matrizen U und V ist wieder eine invertierbare n × n Matrix und es gilt (U V )−1 = V −1 U −1 . Dies kann gerne bewiesen werden.
2. (Graphen)
[4 Pkt ]
Wir betrachten den folgenden gerichteten Graphen, in dem ↔ für eine Doppelkante steht
(d.h. je eine Kante vom Knoten und eine Kante zum Knoten).
a) Geben Sie alle einfachen Pfade vom Knoten 1 zum Knoten 8, sowie vom Knoten 8
zum Knoten 1 an.
1
b) Geben Sie die Adjazenzmatrix für obigen Graphen an. Geben Sie weiterhin die Adjazenzmatrix für den (modifizierten) Fall an, dass alle eingezeichneten Kanten ungerichtet sind.
c) Gehen Sie nun davon aus, dass alle Kanten ungerichtet sind. Geben Sie die maximale
Anzahl Kanten an, die entfernt werden können, so dass der Graph zusammenhängend
bleibt.
d) Zeichnen Sie einen Graphen mit
besitzt:
1
1
2 1
3
4
5 1
6
7
8
9
Knoten 1, 2, ..., 9, der die folgende Adjazenzmatrix
2 3 4 5 6 7 8 9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
Muss der Graph gerichtet gezeichnet werden, oder kann man direkt Doppelpfeile zeichnen?
Wie sieht man die Antwort an der Matrix?
3. (Binärbäume)
[4 Pkt ]
Man bezeichnet einen gerichteten Graphen G = (V, E) als Out-Tree, wenn die ungerichtete
Version von G ein Baum ist und es in G genau einen Knoten w gibt, der nicht Endpunkt
einer Kante von G ist. Dieser Knoten w heißt Wurzel. Ein Knoten ohne ausgehende Kante
heißt Blatt, die übrigen Knoten werden als innere Knoten bezeichnet. Gibt es eine Kante
von einem Knoten x zu einem Knoten y, dann heißt x Vater von y und y Sohn von x.
Hat jeder innere Knoten höchstens zwei Söhne, so spricht man von einem Binärbaum. Hat
jeder innere Knoten genau zwei Söhne, so spricht man von einem regulären Binärbaum. Die
mittlere Pfadlänge eines Out-Tree G = (V, E) mit Wurzel w und Blättern L ist gegeben
durch
1 X
H(G) =
distG (w, v).
|L| v∈L
Zeigen Sie: In jedem regulären Binärbaum mit |L| Blättern ist die mittlere Pfadlänge nicht
kleiner als log2 |L|.
4. (Graphen II)
[4 Pkt ]
a) Zeigen Sie: Jeder ungerichtete Graph mit n ≥ 3 Knoten und mehr als
besitzt einen Kreis der Länge höchstens 3.
n2
4
Kanten
b) Beweisen Sie, dass eine Folge natürlicher Zahlen d1 , . . . , dn mit d1 ≥ d2 ≥ . . . ≥ dn
genau dann die Gradfolge eines ungerichteten Graphen ist (d.h., es gibt einen Graph
G = (V, E) mit V = {v1 , . . . , vn } und deg(vi ) = di für i ∈ {1, . . . , n}), wenn d2 − 1,
d3 − 1, ...,dd1 +1 − 1, dd1 +2 , ..., dn die Gradfolge eines ungerichteten Graphen ist.
2