3.11 Der Kondensator 3.11.1 Kapazität

3.11 Der Kondensator
In den vorangegangenen Kapiteln wurden die physikalischen Eigenschaften von elektrischen
Ladungen und Feldern näher untersucht. In vielen Experimenten kamen dabei bereits Kondensatoren
zum Einsatz. So wurden elektrische Ladungen auf Kondensatoren gespeichert oder elektrische Felder
im Innern von Kondensatoren betrachtet. Da Kondensatoren als Ladungs- und Energiespeicher
wesentliche Bauteile in der Elektrotechnik sind und Kondensatoren in fast allen elektronischen
Geräten vorkommen sollen nun abschließend die grundlegenden Eigenschaften von Kondensatoren
und deren Fähigkeit Ladung zu speichern untersucht werden. Ziel der Überlegungen ist es zu
untersuchen wie Kondensatoren konstruiert werden können, die möglichst viel Ladung und damit
auch möglichst viel Energie speichern können.
3.11.1 Kapazität
Einstiegsexperiment:
An einen Plattenkondensator wird eine Spannung angelegt und mit Hilfe eines Ladungsmessverstärkers die auf den Platten befindliche Ladung gemessen. Der Versuchsaufbau entspricht dem
Aufbau zur Bestimmung der Flächenladungsdichte.
Misst man die Ladung in Abhängigkeit von der angelegten Spannung, so ergibt sich ein proportionaler Zusammenhang zwischen Ladung und Spannung:
Durch Einführen einer Proportionalitätskonstante erhält man die Gleichung:
© M. Brennscheidt
Die Proportionalitätskonstante wird Kapazität (Fassungsvermögen) eines Kondensator genannt und
mit einem großen abgekürzt:
Die Kapazität eines Plattenkondensators ist gewissermaßen ein Maß dafür, wie viel Ladung der
Kondensator bei einer bestimmten angelegten Spannung „fassen“ bzw. speichern kann. Je höher die
angelegte Spannung desto höher ist die im Kondensator gespeicherte Ladung .
(Eselsbrücke:
Kuh gleich Zu)
Die Kapazität, also das Speicherungsvermögen eines Kondensators hängt entscheidend von der
Bauart des Kondensators und den verwendenten Materialien ab. So haben zum Beispiel die
Plattengröße und der Plattenabstand einen großen Einfluss auf die Kapazität. Der Zusammenhang
zwischen Plattengröße, Plattenabstand und der Kapazität kann mit Hilfe der Flächenladungsdiche
berechnet werden.
Für die Flächenladungsdichte gelten die Gesetze
man die Gleichung:
und
Für die elektrische Feldstärke im Plattenkondensator gilt zudem
. Durch Gleichsetzen erhält
.
Durch einfaches Umformen erhält man
Für die Kapazität ergibt sich somit ein direkter Zusammenhang zu geometrischen Größen wie der
Fläche und dem Abstand der Platten:
Um die Kapazität eines Plattenkondensators für technische Anwendungen zu erhöhen ist es somit
sinnvoll die Fläche der Kondensatorplatten zu vergrößern. Dies erreicht man zum Beispiel dadurch,
dass man sehr große Platten aufrollt. Zusätzlich kann der Abstand der Platten so gering wie möglich
gehalten werden. Das Problem eines geringen Plattenabstands ist jedoch, dass es bei hohen
Spannungen zu einem Funkenüberschlag kommt und sich der Kondensator selbstständig entlädt.
© M. Brennscheidt
Diese Entladung kann dadurch unterdrückt werden, dass man einen Isolator zwischen die Platten
einfügt. Dieser verhindert nicht nur einen Funkenüberschlag, sondern hat noch einen weiteren
entscheidenden Einfluss auf die Kapazität.
3.11.2 Dielektrikum im Plattenkondensator
Bringt man einen Isolator, ein sog. Dielektrikum in den leeren Raum zwischen zwei Kondensatorplatten, so erhöht sich die Kapazität des Plattenkondensators um den Faktor der sog. Dielektrizitätsbzw. Permittivzahl.
Kapazität im Vakuum:
Kapazität mit Dielektrikum:
Beispiele für Dielektrika sind:



Glas:
Wasser:
Keramik:
Bringt man ein Dielektrikum in einen von der Quelle getrennten Kondensator, so sinkt bei konstanter
Ladung die Spannung zwischen den Platten. Dieser Zusammenhang ist anhand der Formeln für die
Kapazität leicht nachvollziehbar:
Wird die Kapazität auf der rechten Seite der Gleichung durch Einfügen eines Dielektrikums erhöht, so
muss sich in gleichem Maße der Wert der Kapazität auf der linken Seite der Gleichung erhöhen. Da
keine Ladung vom Kondensator abfließen kann, der ja von der Quelle getrennt ist, muss sich somit
© M. Brennscheidt
zwangläufig die Spannung verringern. Es stellt sich jedoch die Frage, warum eigentlich ein
Dielektrikum eine Kapazitätssteigerung und damit einen Spannungsabfall bewirkt?
Die Erklärung für die Kapazitätssteigerung ist der bereits bekannte Effekt der Polarisation von
Nichtleitern im elektrischen Feld. Unter dem Einfluss des äußeren elektrischen Feldes richten sich im
Dielektrikum die häufig in Form von elektrischen Dipolen vorliegenden Ladungen entlang der
Feldlinien aus. Dadurch entstehen auf den Außenflächen des Dielektrikums die Oberflächenladungen
und
. Diese Polarisationsladungen an der Oberfläche erzeugen wiederum im Dielektrikum ein
elektrisches Feld, das dem des geladenen Kondensators entgegen gerichtet ist. Die Nettofeldstärke
im Kondensator verringert sich somit und die Spannung fällt gemäß
(für
.) ab.
Wasser als Dielektrikum:
Auch Wasser H20 besitzt die Eigenschaften eines Dielektrikums. Der Grund hierfür ist die Molekularstruktur des Wassers. Dieses besitzt aufgrund der Wasserstoffbrückenbindung mit einem Winkel von
104° eine Dipolstruktur. Die Wassermoleküle können sich deshalb im elektrischen Feld ausrichten
und es baut sich wie oben erläutert ein Gegenfeld auf, so dass die Kapazität des Kondensators steigt.
3.11.3 Parallel und Reihenschaltungen von Kondensatoren
Genau wie Widerstände können auch mehrere Kondensatoren zusammengeschaltet und miteinander kombiniert werden. Man unterscheidet auch hier zwischen Parallel- und Reihenschaltungen.
1. Parallelschaltung von Kondensatoren:
Beim Aufladen eines Kondensators wird die eine Seite des Kondensators positiv und die andere Seite
negativ aufgeladen. In der Zeichnung ist dies durch rote und blaue Pfeile gekennzeichnet. Dies darf
jedoch nicht so missverstanden werden, dass nun tatsächlich positiv geladene Ionen in Richtung
Kondensatorplatte fließen. Stattdessen deutet eine positiv geladene Kondensatorplatte nur auf einen
Mangel an Elektronen, also negativen Ladungsträgern, hin.
© M. Brennscheidt
Wie bei der Schaltung von Widerständen gelten auch für Kondensatoren die Kirchhoffschen Gesetze
(Maschenregel und Knotenregel). In obiger Parallelschaltung ist die Spannung zwischen den beiden
Knoten konstant:
.
Somit gilt:
und
Nach der Knotenregel teilt sich die Gesamtladung
auf die beiden Kondensatoren auf:
Durch Einsetzen ergibt sich:
Dividiert man abschließend durch die Spannung U, so erhält man die Gleichung:
bzw.
Satz: Bei Parallelschaltungen von Kondensatoren addieren sich die Kapazitäten.
Dies kann rein anschaulich dadurch begründet werden, dass sich gewissermaßen die effektive Fläche
der Kondensatoren in einer Parallelschaltung addiert, also mehr Ladungsträger gespeichert werden
können.
© M. Brennscheidt
2. Reihenschaltung von Kondensatoren:
Bei der Reihenschaltung von Kondensatoren ist die Gesamtladung auf den Flächen konstant
.
Somit gilt:
und
Im Gegensatz zu den Ladungen addieren sich nun die Spannungen (Maschenregel):
Durch Einsetzen ergibt sich:
Dividiert man abschließend durch die Ladung Q, so erhält man die Gleichung:
bzw.
Satz: Bei der Reihenschaltung von Plattenkondensatoren gibt die Summe der Kehrwerte der
Einzelkapazitäten den Kehrwert der Gesamtkapazität an.
3.11.4 Der Kondensator als Energiespeicher
Um einen Kondensator aufzuladen ist Energie erforderlich, die in der Regel von einer
Spannungsquelle geliefert wird. Diese Energie geht nach dem Energieerhaltungssatz beim
Aufladevorgang nicht verloren, sondern wird im Kondensator gespeichert. Entlädt man den
Kondensator dann zum Beispiel über eine Glimmlampe, so kann die im Kondensator gespeicherte
© M. Brennscheidt
Energie dazu verwendet werden um die Glimmlampe zum Leuchten zu bringen. Ziel der folgenden
Überlegung ist es, die Energie zu berechnen, die im Kondensator gespeichert werden kann:
Betreibt man eine kleine Glühlampe mit einer einfachen 9V-Batterie, so wird diese über einen
längeren Zeitraum mit gleichbleibender Helligkeit leuchten. Dies kann dadurch begründet werden,
dass die Quellspannung der Batterie sehr lange auf einem relativ konstanten Wert bleibt (bis die
Batterie „erschöpft“ ist).
Die von der Batterie an der Glühbirne verrichtete Arbeit beträgt somit:
(Herleitung:
)
In einem Q-U-Diagramm entspricht die verrichtete Arbeit
somit der Fläche unter dem Graphen:
Diese Überlegung gilt beim Kondensator nicht, da beim Aufladen des Kondensators die Ladung zu
Beginn gleich Null ist und dann proportional zur aufgenommenen Spannung steigt.
Betrachtet man den Aufladevorgang im Q-U-Diagramm, so ergibt sich demnach eine Ursprungsgerade:
Die verrichtete Arbeit entspricht erneut der Fläche unter dem Graphen. Da diese nun aber nur noch
aus einer Dreiecksfläche, also der Hälfte der obigen Rechtecksfläche besteht, ergibt sich für die zu
verrichtende Arbeit:
Mit
ergibt sich schließlich:
© M. Brennscheidt
Nach dem Aufladen ist im Kondensator somit die Energie
gespeichert.
Anmerkung:
Einen ähnlichen Zusammenhang findet man bei der Herleitung der an einer Feder verrichteten
Arbeit. Bei einer Feder nimmt die Kraft gemäß dem Hookeschen Gesetz mit steigender Auslenkung
zu:
. Trägt man im Diagramm die Auslenkung gegen die Federkraft auf, so ergibt sich als
Fläche unter dem Graphen die verrichtete Spannarbeit
.
© M. Brennscheidt