Experiment: Inelastischer Stoß - Physik

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Experiment: Inelastischer Stoß
• Langer Gleiter auf der Luftkissenbahn stößt inelastisch auf einen ruhenden von gleicher Masse.
• Gleiter kleben nach dem Stoß zusammen (Klebwachs) .
• Messung der Geschwindigkeiten der Gleiter vor und nach dem Stoß durch Lichtschranken.
• Verdunklungszeit verdoppelt wegen der doppelten Länge der Gleiter nach dem Stoß; noch einmal
verdoppelt wegen der halben Geschwindigkeit!
p = m·v
50cm Gleiter
Inelastischer Stoß: p1 = p2
p1 = m·v1, p2 = 2·m·v2
m·v1 = 2·m·v2
Also
v2 = v1/2
Messgrößen:
Mit to = xo/v1
Zeit: t = (2·x0)/(0.5 v1)= 4 · to
14.11.2007
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1
Experiment: elastischer Stoß
• Langer Gleiter auf der Luftkissenbahn stößt elastisch auf einen ruhenden von gleicher Masse.
• Messung der Geschwindigkeiten der Gleiter vor und nach dem Stoß durch Lichtschranken.
• Der erste Gleiter bleibt nach dem Stoß stehen.
• Mehrere Stöße hintereinander durch Reflexion am Ende der Bahn.
• v ∝ 1/t, t = Verdunkelungszeit.
p = mv: wenn m1=m2 dann auch v2,f = v1,i
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Elastische Stöße von zwei Objekten; zweidimensional
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Elastische Stöße von zwei Objekten; zweidimensional
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Beispiel von elastischen Stößen in 2D: Billard
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Billard
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Beispiel: Billard
G
G
G
Impuls bleibt erhalten: pi = p f + Pf
G
G
G
G
G
G G
pi2 = (p f + Pf )2 = p f2 + Pf2 + 2 ⋅ p f • Pf .
Kinetische Energie bleibt erhalten
G2
G2
G2
pf
Pf
G2 G2 G2
pi
m ⋅v2
p2
=
, da p = m ⋅ v
=
+
⇒ pi = p f + Pf , da gleiche Masse! E =
2
2⋅m
2m 2m 2m
Vergleich beider Gleichungen:
G
G G
G G
G
p f • Pf = 0!! ( (p f , Pf ) = 90° ∨ p f = 0 ∨ Pf = 0.
Nach dem Stoß: Die Richtungen von
stoßender und gestoßener Kugel stehen
aufeinander senkrecht oder (beim zentralen
G
Stoß) p f = 0
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Beispiel: Billard
14.11.2007
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Drehbewegung
Zunächst einige neue
Begriffe:
Drehmoment
Drehimpuls
Kraft F ⇒ Drehmoment M
Impuls p ⇒ Drehimpuls L
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Das Drehmoment M
Definition:
G
:M
G
F
G G G
M = r ×F
M = r ⋅ F ⋅ sin ϕ
Vektorprodukt
ϕ
G
r
G
F
G
G
r = 0 ⇒ M = 0!
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G
G G
r F ⇒ M = 0!
Das Drehmoment
einer Kraft wir immer
bezüglich eines
Zentrums angegeben.
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Drehimpuls L
Definition:
G G G
L =r×p
L = r ⋅ p ⋅ sin ϕ
G
L
G G
r ⊥v
G
r
G
G G
L = m⋅r ×v
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G
r
m
G
G
v ⊗L
L = r ⋅m⋅v
G
p
m
Der Drehimpuls einer
bewegten Masse bezieht
sich immer auf ein
Zentrum
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Drehimpuls
Aus der Newtonschen Bewegungsgleichung
und der Definition von Drehmoment und
Drehimpuls folgt der Zusammenhang:
G
G
dL
=M
dt
Bewegungsgleichung für Drehimpuls, analog
zur Newtonschen Bewegungsgleichung für
den Impuls:
G dpG
F =
dt
Beispiel: Bewegung unter dem Einfluss einer Zentralkraft:
G
F
G
v
G
r
m
14.11.2007
G G G
G G
M = r × F = 0,da r F
G
G
G G
M = 0 ⇒ L = m ⋅ r × v = const.!!!
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Experiment: Drehimpulserhaltung
Eine Holzkugel ist an einem Faden befestigt, der durch einen durchbohrten Feilenhandgriff geführt ist. Auf diese Weise kann man mit einer Hand am Handgriff die
Kugel herumschleudern, während die andere Hand das Ende des Fadens hält und
so den Radius des Kreises variiert, auf dem die Kugel umläuft.
L = m·r·v = const
r = ro/2 ⇒ v = 2·vo
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Drehimpulserhaltung
• System aus mehreren Massen, nur innere Kräfte: Gesamtdrehimpuls bleibt erhalten:
Satz von der Erhaltung des Drehimpulses.
• Drehimpulserhaltung in der Atom- und Kernphysik von großer Bedeutung:
Atome und Kerne besitzen bestimmte Werte des Drehimpulses,
Summe bleibt bei Reaktionen erhalten.
• Elementarteilchen (z.B. Elektronen, Protonen, Neutronen, Quarks) besitzen
festen Eigendrehimpuls („Spin“).
• Drehimpulse in der Quantenmechanik quantisiert:
nur ganz- oder halbzahlige Vielfache einer Grundeinheit:
Planck‘sches Wirkungsquantum h = 6,63x10-34 Js.
h
2π
• Einheiten für den Drehimpuls
==
• Der Spin des Elektrons ist z.B.
1
s= =
2
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G
G
L = ∑ Li = const
i
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Drehimpulserhaltung
• Der Drehimpuls spielt auch bei der Entstehung von Galaxien und
Planetensystemen eine wichtige Rolle:
• Planetensysteme entstehen aus Gaswolken durch Kontraktion infolge
der Gravitation.
• Dabei muss der Drehimpuls erhalten bleiben, den die Wolke vor der
Kontraktion besitzt.
• Er steckt in der Bahnbewegung der Planeten, die wegen der Drehimpulserhaltung nicht in die Sonne stürzen können und in der
Eigenrotation.
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Drehstuhlexperimente
1. Man setzt sich auf den Hocker, nimmt zwei Hanteln (je 3
kg) in die Hände und streckt die Arme waagrecht aus. Dann
lässt man sich in eine langsame (!) Drehbewegung
versetzen. Zieht man die Arme eng an den Körper heran, so
vergrößert sich die Winkelgeschwindigkeit merklich. Ein
Ausstrecken der Arme verkleinert sie wieder auf den
ursprünglichen Wert.
2. Man setzt sich auf den Hocker und nimmt den rotierenden
Fahrradkreisel in die Hand. Durch Drehen der Kreiselachse
lässt sich der Gesamtdrehimpuls des Systems verändern und
so die Drehimpulserhaltung zeigen. Der Kreisel widersetzt sich
Änderungen seiner Drehachse.
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Kreiselkompass (Anschütz-Kämpfe, 1907)
Magnetnadel: Missweisung, da magnetischer Südpol nicht
gleich geographischer Nordpol
Prinzip des Kreiselkompass:
14.11.2007
Ausführung
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Der Hebel
G
r1
G
M1
G
r2
G
M2
Zweiseitiger gerader Hebel: Last
und Kraft liegen auf verschiedenen
Seiten des Drehpunkts
G
r1
G
M1
G
r2
G
M2
Einseitiger gerader Hebel:
Last und Kraft liegen auf derselben
Seite des Drehpunkts
Kraft ⊥ Hebelarm, unterschiedlicher Drehsinn!!
G
G
Gleichgewicht: M1 + M2 = 0 ⇒ d1 ⋅ F1 = d 2 ⋅ F2
G
G
d1 = r1 , d 2 = r2
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Drehimpulserhaltung: Experiment Zug auf Rad
• Ring aus Eisenbahnschienen, auf Fahrradfelge
montiert, drehbar um horizontale Achse.
• Auf den Schienen steht eine Spielzeuglokomotive,
Drehachse genau senkrecht.
• Zug fährt: Gleiskörper bewegt sich in entgegengesetzter Richtung.
• Zug stoppt: Gleiskörper kommt (fast) zur Ruhe.
Erhaltung des Drehimpulses
• Andere Demonstration:
• Zug fährt, Gleiskörper von Hand festgehalten.
• Loslassen des Gleiskörpers.
• Zug wird stoppt
• Gleiskörper und Zug drehen sich in derselben
Richtung weiter.
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Starrer Körper
Gleichgewichtsbedingungen:
Ein starrer Körper bleibt in Ruhe, wenn:
Kräftegleichgewicht herrscht, d.h. die Summe
aller an ihm angreifender Kräfte NULL ist
Momentengleichgewicht herrscht, d.h. Summe
aller Drehmomente bezüglich eines beliebigen
Zentrums NULL ist
14.11.2007
G
∑ Fj = 0
j
G
∑ Mj = 0
j
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Beispiel: Balken auf zwei Stützen
G
F1
G
F2
F1, F2: Stützkräfte
FS: Schwerkraft
G
rS
Kräftegleichgewicht:
G G G
FS + F1 + F2 = 0
G
r1
G
G
FS = m ⋅ g
FS = F1 + F2
Momentengleichgewicht:
G G G G
rS × FS + r1 × F1 = 0
rS·FS = r1·F1
Lösung: F1 = Fs·(rs/r1) , F2 = Fs·[(r1-rs)/r1]
14.11.2007
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Rotationsvariable
Für Punkt mit Abstand R
von der Rotationsachse:
α = const
ω = ω0 + α ⋅ t
θ = θ0 + ω ⋅ t +
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1
⋅ α ⋅ t2
2
x = R ⋅θ
v = R ⋅ω
a = R ⋅α
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Analogie lineare Bewegung - Drehung
14.11.2007
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Beispiel: Rad und Seil
14.11.2007
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Beispiel: Rad und Seil
θ0 = 0
ωo = 0
θ = θ 0 + ω0 ⋅ t + 12 ⋅ α ⋅ t 2 ⇒ θ = 0 + 0 ⋅ 10 + 12 ⋅ 10 ⋅ 10 2 = 500 rad
1 rot
⋅
≈
2π rad
≈ 80 Umdrehungen
θ = 500 rad ⋅
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Rotationsenergie und Trägheitsmoment
14.11.2007
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28
Rotationsenergie und Trägheitsmoment (Forts.)
14.11.2007
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29
Kinetische Energie rotierender Systeme
14.11.2007
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30
Trägheitsmoment
14.11.2007
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31
Trägheitsmomente - Beispiel
Verteilung von N Punktmassen mi, feste Drehachse:
N
I = ∑ mi ⋅ ri2 , r = Abstand von der Drehachse
i =1
r2 = L2/2
14.11.2007
r2 = L2/4
r 2 = L2
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Trägheitsmoment eines beliebigen Körpers
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33
Trägheitsmoment eines beliebigen Körpers
14.11.2007
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34
Beispiele von Trägheitsmomenten starrer Körper
Dichte
R
I = ∫ r 2 ⋅ 2π rdr ⋅ ρ ⋅ A = 2π ⋅ ρ ⋅ A ⋅ ∫ r 3 dr = π ⋅ ρ ⋅ A ⋅ R 4 /2.
0
V = π ⋅ R 2 ⋅ A ⇒ M = π ⋅ ρ ⋅ A ⋅ R 2 ⇒ I = 12 ⋅ M ⋅ R 2 .
r
l
14.11.2007
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Gesamtenergie
Die kinetische Energie eines Systems von Teilchen
K ges
1
1
2
= M ⋅ VCM + ICM × ω 2
2
2
d.h.: Gesamtenergie ist die Summe aus der kinetischen Energie des
Schwerpunkts plus die Energie, die in der Rotation steckt !
14.11.2007
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Beispiel: Rollender Körper auf schiefer Ebene
14.11.2007
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Beispiel: Rollender Körper auf schiefer Ebene
Reifen, Hohlzylinder: c = 1
Scheibe, Zylinder: c = ½
Kugel:
c = 2/5
Mit
und
v = ω ·R
I = c·M·R2
1
1
I ⋅ ω2 + M ⋅ V 2
2
2
2
1
1
2 v
M ⋅ g ⋅ h = c ⋅ M ⋅ R ⋅ 2 + M ⋅ v2
2
2
R
1
1
1
g ⋅ h = c ⋅ v 2 + v 2 = v 2 ⋅ (c + 1)
2
2
2
2⋅g⋅h
v=
c +1
K = M⋅g⋅h =
Rollgeschwindigkeit ist immer kleiner als die Gleitgeschwindigkeit, da die
Energie geteilt wird in Schwerpunkts- und Drehbewegung!
14.11.2007
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Beispiel: Rollen auf schiefer Ebene
v=
14.11.2007
2⋅g⋅h
!!
c +1
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39
Experiment: Hohlzylinder und Vollzylinder derselben Masse
• Vollzylinder aus Holz und Hohlzylinder aus Messing mit gleicher
Masse, gleicher Länge und gleichem Außendurchmesser.
• Beide Körper auf schiefer Ebene.
• Gleichzeitiger Start des Rollens.
Welcher Zylinder kommt später an?
a) der Hohlzylinder b) der Vollzylinder c) beide gleichzeitig
Der Hohlzylinder ist wegen seines größeren Trägheitsmoments der langsamere. Er kommt deutlich später am
Ende der schiefen Ebene an.
Vollzylinder: I = (1/2)·m·r2
Hohlzylinder: I = m · r2
14.11.2007
c = 1/2
c=1
v = 0.82 vo
v = 0.70 vo
v=
2⋅g⋅h
c +1
v0 = 2 ⋅ g ⋅ h
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40
Aufgabe: Horizontaler Stoß beim Billard
Kugel: Masse M, Radius R
Queue
14.11.2007
Wo muss das Queue die Billardkugel
treffen, damit sie rollt, ohne
zu gleiten?
a) Auf der Höhe des Mittelpunkts,
b) tiefer
c) höher
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Aufgabe: Horizontaler Stoß beim Billard (Forts.)
Kugel: Masse M, Radius R
v
Impuls:S = M ⋅ v ,
Queue
Drehimpuls:Θ ⋅ ω = Θ ⋅
u
h = Höhe des Stoßpunkts
über dem Mittelpunkt
14.11.2007
(Kraft-)Stoß S (= ∫ F ⋅ dt) :
u
= h ⋅ S.
R
2
⋅ M ⋅ R2 ⇒
5
2
u
⇒ ⋅ M ⋅ R2 ⋅ = h ⋅ M ⋅ v,
5
R
2
u = v ⇒ h = ⋅R
5
Θ=
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42
Die Keplerschen Gesetze
1.
2.
Alle Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen, in deren einem
Brennpunkt die Sonne steht.
Ein von der Sonne zu einem Planeten gezogener Leitstrahl überstreicht in
gleichen Zeiten gleiche Flächen.
G G
G G
L = r × p = m ⋅ r × v = const.
14.11.2007
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43
Die Keplerschen Gesetze (Forts.)
3.
Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die
dritten Potenzen der großen Halbachsen ihrer Bahnen:
T ²/a ³ = const.
2
2
2
M ⋅m
4
π
T
4
π
Kreisbahn: γ ⋅ 2 = m ⋅ ω 2 ⋅ r = m ⋅ 2 ⋅ r ⇒ 3 =
γ ⋅M
r
T
r
B e is p ie l: M Sonne = 2 ⋅ 1 0 30 k g , γ =
(
⇒ T = 2π
2
= 2π
3
⋅10
−10
3
3
⋅10
−10
m³
, rS o n n e - E r d e =
kg ⋅ s²
3
2
⋅ 1 0 11 m
⋅ 1 0 11 m )
=
m³
30
kg
⋅ 2 ⋅10
kg ⋅ s²
3
2
27 ⋅ 3
⋅ 1 0 14 = 2π
8 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅10
14.11.2007
2
81
9
⋅ 1 0 7 ≈ 2π
⋅ 1 0 7 = 3,1 5 ⋅ 1 0 7 s = 3 6 5, 2 5 d
320
18
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44
Die Masse der Erde
Gravitationsgesetz
MErde ⋅ mProbe
F =γ ⋅
= mProbe ⋅ g
2
rErde
γ = 6.6742 ⋅10−11 m3kg-1s-2 , rErde = 6378 km, g = 9.80665 m/s2
2
⎡
m
kg
s
⋅
⋅
2
2⎤
MErde = ⋅ rErde ⎢ 2 3 ⋅ m ⎥ = 5.98⋅1024 kg
γ
⎣ s ⋅m
⎦
g
14.11.2007
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Der Radius der Erde
• Eratosthenes von Kyrene (3. Jahrhundert v. Chr.).
• Sonne in Syene (Assuan) im Zenith, in Alexandria unter ϕ = 7.2°.
• Entfernung Syene-Alexandria s = 5000 Stadien = 850 km.
• r = s/ϕ ≈ 850 km/(2π·7.2°/360°) = 6760 km!
• Kenntnisse 1000 Jahre verschollen.
• Ältester (erhaltener) Globus von Martin Behaim (1492)
Martin Behaim 1512
14.11.2007
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46
Die Masse der Erde (Forts.)
3. Keplersches Gesetz
2
TMond
4π 2
=
3
aMond γ ⋅ M Erde
Zusammenhang zwischen RE und aMond
Mond
Gravitationskonstante
Erde
Licht von
der Sonne
θ/2
θ/2
aMond
14.11.2007
2 ⋅ RE
tan(θ /2) = RE / aMond
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