Geschwindigkeitsfelder und Dichteverteilungen in der Umgebung

Geschwindigkeitsfelder und Dichteverteilungen in
der Umgebung von Galaxienhaufen
Wolfgang Salzmann
Dezember 1997
Kurzfassung
In dieser Arbeit werden Dichteverteilungen von Massen in der Größenordnung von
Galaxienhaufen zu verschiedenen kosmischen Zeiten untersucht. Der Begriff Masse umfaßt
dabei leuchtende und nicht leuchtende baryonische Materie als auch dunkle Materie, deren
Evidenz z.B. aus Rotationskurven von Galaxien erschlossen werden kann. Die in dieser
Arbeit zur Erklärung von Strukturbildung im Kosmos referenzierten Modelle legen ebenfalls
die Existenz dunkler Materie nahe und liefern Hinweise auf die Größenordnung initialer
Dichteschwankungen zu früheren Zeiten im Kosmos. Diese Dichteschwankungen werden als
Ursache späterer Strukturbildung angesehen. Dabei reichen lineare Modelle zur Beschreibung
evolutionärer Entwicklungen nicht aus, man benötigt nicht lineare Ansätze, wie z.B. das
sphärische Modell, das in dieser Arbeit verwendet wird. Die initialen Schwankungen
werden als Gaussförmig vorausgesetzt. Eine initiale Gesamtmasse wird in eine
ineinandergeschachtelte Folge von Massenkugeln zerlegt. Die durchschnittliche
Dichteschwankung innerhalb einer solchen Vollkugel ergibt sich als bedingte
Wahrscheinlichkeit unter Berücksichtigung der durchschnittlichen Dichteschwankung
ihrer inneren Vollkugel. Zur Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeiten und zur
Berechnung von Standardabweichungen wird das "Cold Dark Matter" Potenzspektrum (CDM
power spectrum) verwendet. Damit eine der beschriebenen Massenkugeln zur Strukturbildung
beitragen kann, muß ihre Massendichte zu jeder Zeit oberhalb der kritischen
Massendichte liegen. Unter dem Einfluß ihrer Eigengravitation wird eine solche Kugel zu
einem späteren Zeitpunkt kollabieren und sich damit von der generellen kosmologischen
Hintergrundexpansion abspalten. Der zentralsymmetrische spärische Kollaps einer
rotationsfreien und ladungsfreien Massenkugel führt zu einem schwarzen Loch, in
realistischen Szenarien sind diese Symmetrieeigenschaften in der Regel nicht gegeben und es
treten repulsive Kräfte auf, so daß ein finaler Gleichgewichtszustand angenommen werden
kann. Solche Gleichgewichtszustände werden unter Anwendung des Virialsatzes berechnet.
Die in dieser Arbeit berechneten finalen Massenverteilungen beinhalten in ihrem Zentrum
einen solchen finalen Zustand und geben die Verteilung außerhalb eines Zentralbereiches
wieder.
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Einführung
Der algorithmische Teil dieser Arbeit beschreibt die Entwicklung sphärischer
Massenverteilungen mit Überdichte innerhalb eines expandierenden kosmischen
Hintergrundes. Über den Hintergrund wird vorausgesetzt, daß er homogen und isotrop
ist. Der Hintergrund repräsentiert die durchschnittliche Massenverteilung des gesamten
Universums zu einer Zeit t. Damit ist die Voraussetzung im Einklang mit kosmologischen
Beobachtungen: oberhalb der Größenordnung von Superhaufen ist keine weitere
Strukturbildung erkennbar, unterhalb dieser Größenordnung können Strukturen als lokale
Dichteschwankungen betrachtet werden.
Zur Beschreibung eines homogenen und isotropen Universums wird die Robertson Walker
Metrik verwendet. Zusammen mit den Einsteinschen Feldgleichungen resultieren,
unter bestimmten Vereinfachungen, die Friedmann Gleichungen zur Beschreibung des
Kosmos. Mit Hilfe der Friedmann Gleichungen kann das Problem der Entwicklung einer
kugelförmigen Massenverteilung innerhalb des expandierenden Hintergrundes gelöst
werden.
Eine Analyse der Bewegungsgleichungen zeigt, daß zur Beschreibung dieser Entwicklung die
Newtonsche Gravitationstheorie ausreicht. Ausgehend von einer initialen
Gesamtenergie E < 0 wird die Entwicklung einer Massenkugel mit Überdichte
folgendermaßen beschrieben:
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1  dr  GM
  
E
2  dt 
r
Dabei ist M die Gesamtmasse, r der Radius der Vollkugel.
Eine Begründung für dieses Vorgehen findet man in [Fließbach, Kap. 59]. Fliessbach leitet
die angegebene Beziehung aus den Friedmann Gleichungen für ein Einstein de Sitter
Universum her ( = 0,  = 1), verwendet für r allerdings den kosmischen
Expansionsparameter.
Fliessbach: "multipliziert man die linke Seite mit einer beliebigen Masse (etwa einer
Galaxie), so kann sie als Summe aus kinetischer und potentieller Energie
interpretiert werden."
Man kann eine Proportionalität zwischen physikalischem Radius r(t) und
Expansionsparameter a(t) ableiten, wenn man konstante mitbewegte Koordinaten
verwendet: r(t) = a(t)x.
Der Bezug der Energiegleichung zu den kosmischen Parametern wird von /Padmanabhan/
folgendermaßen hergestellt: es gilt E = 2A mit
A
Ri
1  Fs

2
 1

 1
 Fs  
 i


Ri bzeichnet den initialen Radius der Massenkugel, Fs die mittlere initiale
Dichteschwankung innerhalb der Vollkugel, i den Dichteparameter zur
initialen Zeit ti. Die initiale Zeit entspricht einer Rotverschiebung von zi = 1000.
 4 3 
Für M gilt folgende Beziehung: M  b ( t i )  
r  1  Fs 
 3 i 
2
(b,i = b(ti))
mit der Hintergrunddichte b,i zur Zeit ti.
Eine Überdichte der Form (1 + Fs) kann z.B. durch Akkredition von Materie aus der
Umgebung der Vollkugel bewirkt werden. Negative Werte für Fs deuten auf "leergefegte"
Bereiche hin.
Verwendet man die oben angegebene Energiegleichung um die Evolution einer Masse M über
die Zeit zu berechnen, so wird die Konstanz der Gesamtmasse innerhalb der sich
entwickelnden Vollkugeln vorausgesetzt. Dieses Vorgehen bereitet Probleme, da auf Grund
der Gravitationswechselwirkung Materie in die Vollkugel einfallen kann, auch wenn die
mittlere Massendichte außerhalb der Vollkugel geringer ist, und daher dem Einfluß der
kosmischen Hintergrundexpansion im stärkeren Maße unterliegt, als die Vollkugel selbst.
Mit der Kontinuitätsgleichung kann man man (unter bestimmten Voraussetzungen) zeigen,
daß das Produkt (t)R(t)3 für eine sich entwickelnde Vollkugel konstant bleibt.
((t): Massendichte der Kugel, R(t): Radius der Kugel)
In dieser Arbeit wird eine initiale Masse M in eine Folge ineinandergeschachtelter
Vollkugeln zerlegt. Dabei wird für jede der initialen Vollkugeln Mi zunächst ein initialer
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Radius Ri ermittelt, der sich folgendermaßen ergibt:   b,i  Ri3  M i .
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Der Begriff "initial" bezieht sich auf die Zeit der Rekombination, dem entspricht eine
Rotverschiebung zi von etwa 1000. Für diese Zeit werden Gaussförmige
Dichteschwankungen der Materie vorausgesetzt.
Es werden nur mittlere Dichteschwankungen Fs betrachtet, so daß sich für die initiale
Vollkugel mit Radius Ri eine mittlere Dichte von b,i(1 + Fs) ergibt. Die Bezeichnung Fs
wurde entsprechend der Terminologie von /BBKA/ gewählt.
Für die Strukturbildung sind nur solche Mi von Interresse, für die Fs > 0 ist und für die
insgesamt eine Materiedichte vorherrscht, die über der kritischen Dichte zur Zeit ti liegt.
Dem entspricht die Vorstellung, daß Materiekugeln mit Überdichte unter dem Einfluß ihrer
Eigengravitation zu einem späteren Zeitpunkt kollabieren, d.h. in einen finalen
Gleichgewichtszustand übergehen.
Die Dichteschwankung für Mi+1 > Mi wird über zweidimensionale bedingte
Wahrscheinlichkeiten ermittelt. Die dabei verwendeten Standardabweichungen und
Korrelationsfunktionen entsprechen der in der Kosmologie üblichen Norm, speziell wird das
CDM (Cold Dark Matter) power spectrum verwendet.
Es wird angenommen, daß das berechnete finale Dichteprofil einen dunklen Halo
beschreibt. Die Ergebnisse werden mit einer 2 Punkte Korrelationsfunktion verglichen,
die die Materieverteilung wiedergibt. Der sich ergebende Unterschied wird durch einen Bias
Parameter beschrieben. Auf diese Weise ist es möglich, die algorithmisch ermittelten
Dichteprofile mit theoretischen Modellen zu vergleichen.
Diese Arbeit ist folgendermaßen untergliedert:
In Kapitel 2 werden die Grundlagen der Hintergrundkosmologie diskutiert. Dabei wird vor
allem die im Anhang zur Allgemeinen Relativitätstheorie und Kosmologie angegebene
Literatur verwendet.
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Kapitel 3 gibt einen Überblick, wie die Entwicklung von Massenverteilungen innerhalb
eines expandierenden Hintergrundes beschrieben werden kann. Grundlage der
Überlegungen ist das Buch von Padmanabhan. Hier wird die Bedeutung verschiedener
Zahlenangaben geklärt, die für das Studium der Kosmologie wichtig sind.
Kapitel 4 beschreibt die Grundlagen der in dieser Arbeit verwendeten Statistik. Es werden
zweidimensionale Gaussfelder diskutiert, über die bedingte Wahrscheinlichkeiten und
Korrelationsgrößen definiert werden können. Die Ausführungen sind durch die Artikel von
[BBKS] und [Lilje & Lahav] motiviert. Innerhalb der betrachteten Massenkugeln werden (im
Gegensatz zu [BBKS]) in dieser Arbeit durchschnittliche Massendichten und
durchschnittliche Dichtefluktuationen als Eingangsgrößen für die Berechnungen
verwendet.
Kapitel 5 beschreibt das Energiespektrum der Dichtefluktuationen.
Kapitel 6 gibt eine Beschreibung des sphärischen Modells und zeigt, wie die
Energiegleichung gelöst werden kann. Auf der Grundlage der in Kapitel 4 und 5
durchgeführten Überlegungen wurde ein initiales Massendichteprofil berechnet, das nun
mittels des sphärischen Modells in eine finale Massenverteilung überführt wird.
Kapitel 7 beschreibt die 2 Punkte Korrelationsfunktion, die für die Identifikation von
Strukturbildung im Kosmos verwendet werden kann. Mit dieser Funktion werden die in dieser
Arbeit durchgeführten Berechnungen verglichen. Dabei wird zwischen einer initialen und
einer finalen Korrelationsfunktion unterschieden.
Kapitel 8 präsentiert und diskutiert die in dieser Arbeit berechneten Ergebnisse.
Anhang A enthält Berechnungen, die auf Grund der besseren Lesbarkeit aus dem laufenden
Text ausgelagert wurden.
Anhang B enthält Beschreibungen alternativer Ansätze
Anhang C enthält eine Liste von Symbolen und Erklärungen zu Begriffen.
Anhang D enthält Literaturreferenzen und Anhang E enthält die zur Berechnung
verwendeten Fortran Programme und Maple Worksheets.
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