Mathematik

Mathematik
Hinweise:
• Jede Aufgabe ist auf einem neuen Blatt zu lösen.
• Die Prüfung dauert 3 Stunden.
• Erlaubte Hilfsmittel sind das Buch „Formeln, Tabellen, Begriffe“, sowie ein Taschenrechner ohne graphische
und/oder algebraische Hilfsfunktionen.
• Dezimalzahlen sind auf 4 Stellen nach dem Komma zu runden.
• Die maximal zu erreichende Punktezahl ist 53.
• Die Note 6 ist mit 45 Punkten zu erreichen.
Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion f (x) = x · (2 − ln x).
a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich, alle Nullstellen sowie die Koordinaten aller Extremalpunkte
dieser Funktion, und skizzieren Sie den Graphen der Funktion f (x).
(7 Punkte)
b) Zeigen Sie, dass die Funktion F(x) = 54 x2 − 12 x2 · ln x eine Stammfunktion der Funktion f (x) ist.
(2.5 Punkte)
c) Der Graph von f (x), die Parallele zur y-Achse durch den Punkt P(1|0) und die Tangente im Extremalpunkt des Graphen von f (x) begrenzen zusammen eine Fläche.
Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche.
(2.5 Punkte)
Aufgabe 2
a) Gegeben sind die Eckpunkte A(1|1|2), B(1|−2|z) und C(7|−2|6) eines Dreiecks. Man bestimme die
Koordinate z derart, dass dieses Dreieck einen Flächeninhalt von 15 Einheiten besitzt.
(5.5 Punkte)
b) Vom Eckpunkt A eines Dreiecks mit den Eckpunkten A(5|−2|1), B(−3|3|2) und C(8|4|9) wird die Höhe
ha gefällt. Welche Koordinaten besitzt der Fusspunkt dieser Höhe (auf der Seite BC)?
(5 Punkte)
Aufgabe 3
Das Kreuzfahrtschiff „Dolphin Seahopper“ hat vier Decks mit je 40 Kabinen. Auf jedem Deck findet man
zwei gegenüberliegende Kabinenreihen mit je 20 Kabinen.
a) Eine Reisegruppe möchte 6 direkt nebeneinander (in einer Reihe) liegende Kabinen buchen.
Ermitteln Sie, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn auf der „Dolphin Seahopper“ noch alle 160 Kabinen frei sind.
(1.5 Punkte)
b) Vier Kreuzfahrtteilnehmer buchen je eine Kabine auf der „Dolphin Seahopper“. Die Kabinen werden
den Passagieren nach dem Zufallsprinzip zugewiesen.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle vier Kabinen auf demselben Deck liegen, wenn
vorher noch keine Kabinen verbucht worden sind.
(2.5 Punkte)
c) Die Reederei weiss aus langjähriger Erfahrung, dass 5% aller Buchungen nach Fernost annulliert,
also nicht wahrgenommen werden. Deshalb überbucht sie Kreuzfahrten in diese Region: Sie nimmt
163 Buchungen für die vorhandenen 160 Kabinen auf der „Dolphin Seahopper“ an.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass schliesslich mehr als 160 Kabinen beansprucht werden.
(2.5 Punkte)
d) In einer Bar auf der „Dolphin Seahopper“ wird den Gästen ein kleines Glücksspiel angeboten: Bei einem
Spieleinsatz von Fr. 3.- kann man drei (faire) Geldstücke (1 Fr., 2 Fr., 5 Fr.) gleichzeitig werfen. Der
Einsatz geht verloren, aber diejenigen Münzen, welche „Zahl“ zeigen, darf man behalten.
Wie viel gewinnt ein Spieler durchschnittlich bei einem solchen Spiel?
(2.5 Punkte)
Aufgabe 4
a) Bestimmen Sie die Funktion f (x), wenn von dieser Funktion bekannt ist, dass
• für ihre dritte Ableitung gilt: f 000 (x) = 0.6,
• im Punkt P(4|−3.2) ein lokales Minimum vorliegt,
• und an der Stelle x = 2 ein Wendepunkt des Graphen liegt.
(5 Punkte)
b) Die vom Funktionsgraphen von f (x) und der x-Achse zwischen den Nullstellen eingeschlossene Fläche
rotiert um die x-Achse. Berechnen Sie das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.
(Wenn Sie Teilaufgabe a) nicht lösen können, dann verwenden Sie die Funktion f (x) = 0.2x3 − 1.4x2 .)
(3.5 Punkte)
Aufgabe 5
a) In einer unendlichen geometrischen Reihe besitzt der erste Summand den Wert a1 = 40 500 und der
vierte den Wert a4 = −20 304. Es gilt also: S = 4‘500 + a2 + a3 + (−20 304) + a5 + . . .
i) Welchen Wert besitzt die Summe S der unendlichen Reihe?
(2.5 Punkte)
ii) Wie viele Summanden dieser Reihe muss man mindestens addieren, bis sich deren Summe von der
Summe der unendlichen Reihe um weniger als 1 unterscheidet?
(3 Punkte)
b) Von einem Viereck ABCD sind die folgenden fünf Masse beD
kannt: a = 35 cm, b = 34.4 cm , d = 40.7 cm, α = 102.4◦ und
β = 111.5◦ .
Welche Länge besitzt die Seite c?
c
d
(3.5 Punkte)
A
C
α
a
β
B
b
Aufgabe 6
Zwischen der scheinbaren Helligkeit m (von der Erde aus gesehen), der
absoluten Helligkeit M und der Entfernung r eines Sternes besteht der
Zusammenhang
m − M = −7.57 + 5 · log10 r
Die Distanz des Sternes von der Erde – also der Wert r – wird dabei in
Lichtjahren gemessen.
Man beachte, dass die hellsten Sterne eine Helligkeit von m = 0 besitzen, und je weniger hell ein Stern am
Himmel erscheint, desto grösser ist der Wert von m.
a) Für den Stern Wega im Sternbild Leier gilt: m = 0.03 und M = 0.58. Wie viele Lichtjahre ist die Wega
von uns entfernt?
(1.5 Punkte)
b) Der Polarstern (im Sternbild kleiner Bär) besitzt eine scheinbare Helligkeit von m = 2.10.
Welche scheinbare Helligkeit würde der Polarstern aufweisen, wenn er doppelt so weit von uns entfernt
wäre als er heute tatsächlich ist?
(Hinweis: Die absolute Helligkeit M des Polarsternes in doppelter Entfernung wäre die gleiche wie in
der aktuellen Entfernung.)
(2.5 Punkte)