3. Überblick Dynamik

Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 8
c 2016 A. Kersch
1
Dynamik
1.1
Newton’sche Bewegungsgleichung
Reaktionsgesetz Der Bewegungszustand eines Körpers wird nur durch den Ein‡uss von (äuß
eren) Kräften
F~ geändert
d~v
F~ = m ~a = m
dt
Reaktionsgesetz für Rotation starrer Körper Der Rotationszustand eines starren Körpers wird durch
~ geändert
den Ein‡uss (äuß
erer) Drehmomente M
d!
dt
Der Zusammenhang zwischen Drehwinkel ', Winkelgeschwindigkeit ! und Winkelbeschleunigung
M =J
!=
1.1.1
=J
d'
dt
=
ist
d!
d2 '
= 2
dt
dt
Beispiele für Kräfte
Kräfte beschreiben die Wechselwirkung der Umgebung mit einem Körper. Die Kräfte haben vektorielle
Eigenschaften und können Funktionen der Ortsvektoren und der Geschwindigkeitsvektoren des Massenpunktes und der Zeit sein
F~ = F~ (t; ~x; ~v )
Damit läß
t sich eine Aufgabe der Dynamik nach dem Baukastenprinzip lösen
Kraftresultierende bestimmen, diese ist i.A. ein Ausdruck F~ = F~ (t; ~x; ~v )
::
:
Newton’sche Bewegungsgleichung aufstellen m~x = F~ (t; ~x; ~x). Dies ist eine DGL 2. Ordnung
DGL lösen unter Berücksichtigung der Anfangsbedingungen
Schwerkraft Die Schwerkraft ist an allen Orten (bei allen Ortsvektoren ~r) gleich, und zwar ein Vektor
in negative vertikale Richtung. Sie ist damit nicht vom Ort (und auch nicht von der Geschwindigkeit)
abhängig.
F~g =
m g ~ey
Zentripetalkraft Die Zentripetalkraft ist immer zum Rotationszentrum hin gerichtet (kinematische
Analyse der Kreisbewegung ergab eine Beschleunigung. Nach Newton ist dies die Folge einer Kraft - hier
die Kraft des Seils - die den Körper auf die Kreisbahn zwingt). Sie ist damit ortsabhängig (der Ort ist hier
immer der Ort des Massenpunktes, welcher beschleunigt wird).
F~ZP =
m r ! 2 ~er
Federkraft Die (lineare) Federkraft ist der Auslenkung entgegengesetzt. Auß
erdem nimmt sie linear
mit der Auslenkung zu. Sie ist damit ortsabhängig.
F~ =
k ~x
Coulomb-Reibungskraft Die Coulomb-Reibungskraft ist das einfachste Modell für Reibung in der
Mechanik ohne Schmiermittel. Sie hängt von der Richtung der Geschwindigkeit ab (da sie der Bewegung
entgegengesetzt ist), aber nicht vom Wert der Geschwindigkeit.
FR;C =
G FN
Stokes-Reibungskraft Für die langsame Bewegung durch Fluide (laminar, z.B. Fallen von sehr kleinen
Körpern wie Staub, Nebeltröpfchen) gilt die Stokes-Reibungskraft. Diese hängt von der Geschwindigkeit und
ihrer Richtung ab.
F~S =
c v ~ev
Newton-Reibungskraft Für schnelle Bewegung (Fluid turbulent, fallende Körper, fahrende Autos)
gilt die Newton-Reibungskraft mit einer stärkeren Abhängigkeit vom Wert der Geschwindigkeit. Die Konstante c hängt mit dem sog. Widerstandsbeiwert zusammen.
F~N =
c v 2 ~ev
Newton-Gravitationsgesetz Das Newton-Gravitationsgesetz beschreibt die Anziehungskraft zwischen schweren Körpern, hier die Kraft einer schweren Masse M auf eine schwere Masse m (actio gleich groß
wie reactio von m auf M ). Die Kraft hängt vom Betrag und von der Richtung der Ortsvektoren ab. G ist
eine Naturkonstante (die Gravitationskonstante) und hat einen Wert von G = 6:674 10 11 m3 =(kg s2 )
F~G = G mM
er
r2 ~
Das bemerkenswerte an der Gravitationskraft
Fernkraft
1=r2 -Abhängigkeit der Kraft, d.h. starke Zunahme bei kleinem Abstand
räumliche Ausdehnung einer homogen kugelförmigen Masse spielt keine Rolle (ist zu beweisen)
actio=reactio ist explizit sichtbar
1.1.2
Aufstellen und Lösen der Newton’schen Bewegungsgleichung
Die Modelle für die Kräfte sind vektorwertige Funktionen, deren Argumente die Orts- oder Geschwindigkeitskoordinaten des Massenpunktes bzw. die Zeit sind
F~ (t; ~x; ~v )
Modelle für Kräfte
Wenn die resultierenden Kräfte in die 2. Newton’sche Gleichung eingesetzt werden, ergeben sich die Bewegungsgleichungen für den Massenpunkt
F~ (t; ~x; ~v ) = m ~a
:
::
F~ (t; ~x; ~x) = m ~x
oder
Beispiel: Schwerkraft
F~g
=
m g ~ey
=
m g ~ey
m y• ~ey
y• =
g
Die Masse kann hier gekürzt werden, weil die träge Masse und die schwere Masse gleich großsind.
Dies führt zu der erstaunlichen Tatsache, dass alle Körper gleich schnell fallen. Die Lösung der Bewegungsgleichung (Bahngleichung) ist aus der Kinematik bekannt
y(t) = y0 + v0 t
1 2
gt
2
Beispiel: Fallschirmspringer Die Kraft auf den Fallschirmspringer ist die Resultierende aus der Schwerkraft und der Reibungskraft. Diese Reibungskraft kann näherungsweise durch eine Newton’sche Reibungskraft beschrieben werden (Gleichung gilt wg. Vorzeichen nur für Fall, nicht für Aufstieg)
F~
=
m y•
=
y• =
1
m g ~ey + cw A v 2 ~ey =
2
m g + m v2
m g ~ey + m v 2 ~ey
g + y_ 2
g + v2
) v_ =
=
1
A
cw
2
m
mit y_ = v
Die allgemeine Lösung dieser Bewegungsgleichung kann nun nicht mehr ganz einfach angegeben werden.
Eine spezielle Lösung läß
t sich jedoch sofort hinschreiben, und zwar die Lösung für den Grenzfall: nach
einiger Zeit wird die Bewegung gleichförmig und Schwerkraft=Reibungskraft. Dann …ndet keine weitere
Beschleunigung mehr statt. Unter der Annahme der Existenz einer derartigen Lösung läß
t sich diese schnell
…nden
v_ 1
=
=)
0=
2
g + v1
r
g
= g =) v1 =
r
r
g
g
y(t) = y0 +
t
y(t)
_ =
2
v1
y•(t) = 0
Bewegung im Grenzfall
Nun zur Lösung der Bewegungsgleichung mit der Separation der Variablen
r
Z t
Z t
g
v_
2
v_ =
g+ v
dt
mit v1 =
)
1 dt =
2
v
g
0
0
Z
Z
Z v(t)
1
1 v(t)
1
1
1 v(t)
dv =
t =
dv =
dv
2
2
2
v
g
v1
v1 ) (v + v1 )
v(0) v
v(0) (v
v(0)
mit Partialbruchzerlegung
1
(v
1
1
=
v1 ) (v + v1 )
2 v1
1
(v v1 )
1
v2
v1
= 1 =
=
2 v1
2gv1
2g
1
(v + v1 )
ergibt sich
t
Z
=
v(t)
1
( v + v1 )
v(0)
=
ln
)
e
v + v1
v + v1
t=
=
1
(v + v1 )
ln
v + v1
v + v1
v(t)
dv =
v1
v1
=
)
v(t) =
(ln ( v + v1 ) + ln (v + v1 ))j0
ln
v + v1
v + v1
1 e
1+e
t=
t=
v1
t!!
1 v1
Beispiel: Staubkorn Für sehr kleine Kügelchen vom Radius r, die sich mit der Geschwindigkeit v durch
ein Fluid bewegen, ist die Reibungskraft FR gegeben durch das Stokes’sche Gesetz: FR = 6 rv. Dabei ist
eine Materialeigenschaft des Fluids (die sogenannte Zähigkeit).
(a) Wie großist die Endgeschwindigkeit von Kügelchen, die im Schwerefeld der Erde fallen (z.B. Staubpartikel in Luft)?
(b) Leiten Sie das Weg-Zeit-Gesetz für die Fallbewegung her! Die Rechnung verläuft genauso, wie in
der Vorlesung für den Fall eines groß
en schweren Objekts demonstriert, nur dass diesmal keine exotischen
Funktionen auftreten.
Lösung:
Zunächst müssen wi sorgfältig auf das Vorzeichen achten. Sei das Koordinatensystem ~ey vertikal nach
oben gewählt. Dann ist
Fg;y
F~R
=
mg
=
6
r~v ) ~ey F~R = FR;y =
6
r ~v ~ey
~v ~ey
= y_ = vy =: v > 0 für Bewegung nach oben ist
~v ~ey
= y_ = vy =: v < 0 für Bewegung nach unten ist
v ist hier nicht der Betrag, sondern die Geschwindigkeitskomponente
::
m~y
= F~g + F~R ) m y• = m ~y ~ey = F~g + F~R
mv_
=
mg
6
~ey =
rv
(a) Zunächst untersuchen wir die Grenzgeschwindigkeit, bei der v_ = 0 ist
0
=
v1
=
mv_ = mg 6 r v
mg
ist negativ
6 r
mg
6
r y_
(b) als nächstes lösen wir die DGL mit Separation der Variablen
v_
=
)
6
r
g
v=
dv
= dt )
g + v=
Z
m
v
g=
v(t)
)
ln(~
v + g )jv(0) =
t
=
(ln(v(t) + g )
t
=
ln 1 +
v(t)
=
g (1
mit
v(t)
v(0)
t
~
t0
=
d~
v
=
g + v~
m
6
Z
r
=
v1
g
t
dt~
0
v(t) + g
v0 + g
v(t)
)
exp( t= ) = 1
g
t!!
1
v(t) = g = v1
ln(v0 + g )) =
v(t)
g
exp( t= ))
ln
mit v0 = 0
v(t) 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
2
3
4
5
x
Newton-Reibung (Striche) und Stokes-Reibung
(Linie)
Beispiel: Federkraft
F~
=
k ~x
k x ~ex
=
mx
• ~ex
mx
• =
kx
k
x
•+
x = 0
m
Die Bewegungsgleichung wird Schwingungsgleichung genannt. Der Quotient
und wird Kreisfrequenz ! genannt
x
• + !2 x = 0
p
k=m hat die Einheit 1=s
Diese Gleichung wird später ausführlich behandelt werden. Die Lösungen ergeben sich durch folgenden
Ansatz (Beweis durch Einsetzen) und sind die harmonischen Schwingungen (siehe Kinematik):
p
x(t) = A sin(!t + ')
! = k=m
x(t)
_
=
x
•(t) =
2
x
•(t) + ! x(t) =
!A cos (!t + ')
! 2 A sin (!t + ')
! 2 A sin (!t + ') + ! 2 A sin(!t + ') = 0
Rotationsbewegung Ein Eimer der Masse m = 10kg hängt an einem Seil. Dieses Seil ist auf eine
reibungsfrei gelagerte Trommel mit Masse M = 20kg und Radius R = 10cm gerollt (dünnwandiger Zylinder).
Der Eimer wird nun aus h = 2m Höhe losgelassen, wobei sich das Seil ohne Schlupf von der Trommel
abwickelt. Wie schnell ist der Eimer, wenn er auf dem Boden aufkommt (Reibung und Masse der Seils
können vernachlässigt werden)?
1.
Lösung:
Mit Freischneiden
Teil-System Trommel: (Seilkraft FS wirkt auf Trommel und - entgegengesetzt - auf Eimer:actio=reactio)
J'
• = M
M R2 '
• = RFS
Teil-System Eimer: Schwerkraft und Seilkraft wirken auf Eimer (Vorzeichen: vergröß
ertes s = verlängertes Seil)
m•
s = Fg FS = mg FS
Schlupfbedingung s = 'R bzw. s_ = 'R
_ = !R bzw. s• = '
• R. Elimination von FS
s•
= M R2 '
• = R (mg
R
M s• = (mg m•
s)
m
s• =
g=a
M +m
M R2
m•
s)
Die Bewegung ist ein Fall mit geringerer Beschleunigung als der Fallbeschleunigung. Die Geschwindigkeit
ergibt sich aus der Lösung der Bewegungsgleichung mit konstanter Beschleunigung
v
v
1
s = at2
)
r2
p
m
=
2as = 2
gh
m+M
= at
s=
1
v
a
2
a
2
=
1 v2
2 a