LWB: Themen Intensivkurs (Teil Wahrscheinlichkeitstheorie)

LWB: Themen Intensivkurs
(Teil Wahrscheinlichkeitstheorie)
Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume
endlichen Wahrscheinlichkeitsraum? Geben Sie Beispiele solcher Räume an, dabei auch Modelle
für Laplace-Experimente!
Was versteht man unter einem
Wie lässt sich der Begri des endlichen Wahrscheinlichkeitsraums
zu dem des diskreten Wahrscheinlichkeitsraums erweitern?
Denieren Sie den Begri der
eines Ereignisses
B
bedingten Wahrscheinlichkeit
bei gegebenem Ereignis
A
(mit
P (A) 6= 0).
Interpretieren Sie sie als Wahrscheinlichkeitsfunktion. Wie lauten
die Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit und die
Regel von
Bayes ?
Behandeln Sie exemplarisch am Beispiel des dreimaligen Münzwurfs
die Darstellung eines mehrstugen Experiments mit Hilfe eines Er-
eignisbaumes bzw. Wahrscheinlichkeitsbaumes. Wie lauten die
Pfadregeln ?
Unabhängigkeit, Produktraum, Bernoulli-Kette
Was versteht man unter der (stochastischen) Unabhängigkeit
zweier Ereignisse
A
und
B
eines Wahrscheinlichkeitsraumes bzw.
einer Familie von Ereignissen, was unter der (stochastischen) Unabhängigkeit von Zufallsvariablen?
∗
Denieren Sie den Produktraum von endlichen Wahrscheinlichkeitsräumen, und erläutern Sie kurz, für welche Zufallsexperimente
er Modell sein kann.
Was ist eine
Bernoulli-Kette, welches Modell ist für eine solche
üblich, und wie ist die Anzahl der Treer (Erfolge) dabei verteilt?
Wenden Sie die Ergebnisse auf das
Galtonbrett an!
Zufallsvariable
Zufallsvariablen eines diskreten
Wahrscheinlichkeitsraums, was
unter ihrer (Wahrscheinlichkeits-) Verteilung? Behandeln Sie als Beispiel die Binomialverteilung! Denieren Sie Erwartungswert, Varianz und
Standardabweichung einer reellwertigen Zufallsvariablen X
Was versteht man unter einer
eines endlichen (bzw. diskreten) Wahrscheinlichkeitsraums! Welche
Rechenregeln gelten für Erwartungswerte von Zufallsvariablen: Ist
der Erwartungswert linear, ist er multiplikativ? Wie lautet der
Verschiebungssatz für die Varianz? Welchen Erwartungswert und
welche Varianz hat eine binomialverteilte Zufallsvariable?
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Wahrscheinlichkeitsmaÿe mit Dichten
σ -Algebra,
Was versteht man unter einer
notwendig
diskreten)
Wahrscheinlichkeitsraum?
warum man das W-Maÿ nun auf einer
ein
was unter einem (nicht
σ -Algebra
Begründen
Sie,
deniert. Was ist
Wahrscheinlichkeitsmaÿ mit Dichte? Behandeln Sie einige
wichtige Beispiele!
∗
Verallgemeinern Sie den Begri Zufallsvariable
auf beliebige Wahrscheinlichkeitsräume!
Erwartungswert und Varianz einer stetig
verteilten Zufallsvariablen. Berechnen Sie Erwartungswert und
Denieren Sie
Varianz einer gleichverteilten Zufallsgröÿe!
Approximation der Binomialverteilung
Beschreiben Sie die Approximation der Binomialverteilung durch
die Normalverteilung ! (Satz von Moivre-Laplace).
∗
In wiefern ist dieser Satz ein Spezialfall des Zentrale Grenzwert-
satzes ?
Was versteht man unter einer
Poisson-Verteilung, und wie lässt
sich mit ihrer Hilfe die Binomialverteilung approximieren?
Gesetze der groÿen Zahlen
Wie lautet die Ungleichung von Tschebysche (ƒeby²ev)? Formu-
schwache Gesetz der groÿen Zahlen! Erläutern
Sie die Bedeutung für das Verständnis der Wahrscheinlichkeit
als ideale relative Häugkeit!
lieren Sie das
∗
Was versteht man unter stochastischer Konvergenz, was unter
fast-sicherer Konvergenz einer Folge von Zufallsvariablen?
∗
Wie unterscheidet sich das starke Gesetz der groÿen Zahlen vom
entsprechenden schwachen Gesetz?