grundwissen-m-9 - Wittelsbacher Gymnasium

Grundwissen Mathematik 9. Jahrgangsstufe
Rechnen mit Wurzeln
Beispiel-Aufgaben:
√ 16 • 9 = √ 144 = 12 oder √16 • 9 = √ 16 • √9 = 4 • 3 = 12
√ 16 + 9 = √ 25 = 5
Falsch wäre : √16 + 9 = √ 16 + √ 9 = 4 + 3 = 7
√ 27 + 9 √ 8 + 5 √ 12 – 6 √18 = 3 √3 + 18 √ 2 + 10 √ 3 – 18 √ 2 = 13 √ 3
22
7 – √5
22 – 21 + 3 √5
–
=
=
3 √5
5
3 √5
√
( 1 + 3 √5 ) • √ 5
5 + 15
1
= √
=
√5 + 1
15
15
3 √5 • √ 5
Quadratische Funktionen und deren Graphen
Beispiel-Aufgabe:
Zeichne die Graphen der folgenden Funktionen:
a (x) = x2
b (x) = x2 + 2
c (x) = ( x + 2 )2
d (x) = x2 + 6x + 12 = ( x + 3 )2 – 9 + 12 = ( x + 3 )2 + 3
e (x) = 2x2
Quadratische Gleichungen
Beispiel-Aufgabe:
Ermittle die Lösungen der Gleichung
x2 + 7 x – 8 = 0 .
2
2
x 2 + 7 x – 8 = 0 ⇒ ( x + 3,5 ) – 12,25 – 8 = 0 ⇒ ( x + 3,5 ) = 20,25 ⇒
∣ x + 3,5 ∣ = 4,5 ⇒ x + 3,5 = ±4,5 ⇒ x = – 8 ∨ x = 1
oder mit der „Mitternachtsformel“:
– 7 ± √ 72 – 4 • 1 • ( – 8 )
– 7 ± √ 81
– 7 ±9
x =
=
=
= – 8∨1
2•1
2
2
Binomische Formeln
2
( a + b ) = a 2 + 2 a b + b2
2
( a – b ) = a2 – 2 a b + b2
( a + b ) ( a – b ) = a2 – b2
Satz des Pythagoras, Höhensatz, Kathetensatz
a 2 + b2 = c 2
h2 = p q
a 2 = p c bzw.
b2 = q c
Beispiel-Aufgabe:
Berechne die fehlenden Streckenlängen:
2
2
h 2 = (30 cm ) – (18 cm ) = 900 cm2 – 324 cm2 = 576 cm2 ⇒ h = 24 cm
2
( 24 cm )
h2
576 cm2
h = 18 cm • p ⇒ p =
=
=
= 32 cm
18 cm
18 cm
18 cm
2
2
2
a 2 = ( 18 cm + 32 cm ) – (30 cm ) = 2500 cm2 – 900 cm2 = 1600 cm2 ⇒ a = 40 cm
Trigonometrie (Sinus, Kosinus, Tangens) im rechtwinkligen Dreieck
a
b
c
cos α =
b
a
tan α =
c
sin α =
„Gegenkathete durch Hypotenuse“
„Ankathete durch Hypotenuse“
„Gegenkathete durch Ankathete“
Beispiel-Aufgabe:
Berechne die fehlenden Streckenlängen:
a
⇒ a = 45 m • tan 18° ≈ 14,6 m
45 m
a+b
tan ( 18 ° + 47 ° ) =
⇒ a + b = 45 m • tan 65 ° ≈ 96,5 m ⇒
45 m
b = 96,5 m – 14,6 m ≈ 81,9 m
45 m
45 m
cos 65 ° =
⇒ c =
≈ 106,5 m
c
cos 65°
tan 18 ° =
Allgemeine Wurzeln, Potenzen mit rationalen Exponenten
3
√3 27 = 3
x 5 = 32 ⇒ x = √5 32 = 2
x = 27 ⇒ x =
x– 3 =
1
x3 =
2
x3 =
1
x3
√3 x
2
( √3 x )
Volumen von Prisma, Pyramide, Zylinder und Kegel, Stützdreiecke zur Berechnung
von Streckenlängen und Winkeln
Prisma:
V =G h
(V = Volumen, G = Grundfläche, h = Höhe)
Pyramide:
V =
1
G h
3
(V = Volumen, G = Grundfläche, h = Höhe)
Zylinder:
V = G h = r 2 π h (V = Volumen, G = Grundfläche, h = Höhe, r = Radius)
O = 2 G + M = 2 r 2 π + 2 r π h = 2 r π ( r + h ) (O = Oberfläche, M = Mantelfläche)
Kegel:
V = G h = r 2 π h (V = Volumen, G = Grundfläche, h = Höhe, r = Radius)
2
O = G +M = r π+r π m = r π (r +m )
(O = Oberfläche, M = Mantelfläche, m = Mantellinie)
Beispiel-Aufgabe:
Länge der Diagonale d:
2
2
d 2 = l 2 + b 2 = ( 7 cm ) + ( 5 cm ) = 49 cm2 + 25 cm2 = 74 cm2 ⇒ d ≈ 8,6 cm
Länge der Seitenkante s:
1
2
2
s2 = h2 +
d d 2 = ( 8 cm ) + ( 4,3 cm ) = 64 cm2 + 18,5 cm2 = 82,5 cm2 ⇒
2
s ≈ 9,1 cm
( )
Winkel zwischen Seitenkante s und Grundfläche G:
(entspricht Winkel zwischen Seitenkante und Diagonale)
h
8
tan α =
=
≈ 1,86 ⇒ α ≈ 61,7 °
1
4,3
d
2
Mehrstufige Zufallsexperimente, Pfadregeln