Blatt 3 - Universität Basel

Departement Physik, Universität Basel
Prof. C. Bruder (Zimmer 4.2, Tel.: 267-3692, [email protected])
Mechanik, Herbstsemester 2012
Blatt 3
Abgabe: 9.10.12, 12:00H (Treppenhaus 4. Stock)
Tutor: Andreas Wagner, Zi.: 4.13
Termine:
Schriftlicher Test: Donnerstag, 13. Dezember 2012, 10.15 - 12 Uhr
Mündliche Prüfungen (Examen): Die./Mittw. 8./9. Januar 2013
(1) Eichinvarianz der Lagrangegleichungen
Sei L(q, q̇, t) eine Lagrangefunktion, die die Lagrangegleichungen
(2 Punkte)
d ∂L ∂L
−
=0
dt ∂ q˙i ∂qi
d
erfüllt. Zeige, dass die Funktion L̃(q, q̇, t) = L(q, q̇, t) + F (q, t) auch wieder den
dt
Lagrangegleichungen genügt. Die Lagrangegleichungen sind also invariant unter der
obigen Eichtransformation.
(2) Ladung im elektromagnetischen Feld
Die elektromagnetische Kraft auf ein Teilchen mit der Ladung q beträgt
(2 Punkte)
F = q(E + v × B).
Zeige, dass sich F aus einem generalisierten Potential U = q(Φ − v · A) durch die
Vorschrift
d ∂
U
F = −∇U +
dt ∂v
errechnen lässt. Das elektrostatische Potential Φ und das Vektorpotential A sind dabei
∂A
durch E = −∇Φ −
und B = ∇ × A gegeben.
∂t
(3) Schwingung auf Zykloidenbahn
(3 Punkte)
Ein Massenpunkt bewegt sich im im Schwerefeld (g = −g ey ) auf einer Zykloide, welche
durch die Parameterdarstellung x = R(ϕ − sin ϕ), y = −R(1 − cos ϕ) mit ϕ ∈ [0, 2π]
gegeben ist.
(a) Skizziere die Zykloide.
(b) Wähle als verallgemeinerte Koordinate ξ = 4R cos( ϕ2 ). Stelle die Lagrangefunktion
und die Bewegungsgleichung des Problems auf.
(c) Löse die Bewegungsgleichung und berechne die Schwingungsdauer. Zeige damit,
dass für diese spezielle Form der Kurve die Schwingungsdauer unabhängig von der
Auslenkung wird.
(4) Ladung in gekreuzten elektrischen und magnetischen Feldern
(3 Punkte)
Gegeben ist ein homogenes elektrisches Feld der Stärke E in x-Richtung und ein konstantes magnetisches Feld der Stärke B in z-Richtung. Ein Elektron werde mit der
Geschwindigkeit v in y-Richtung eingeschossen.
(a) Finde ein Vektorpotential A, so dass (0, 0, B) = ∇ × A. Schreibe die Lagrangefunktion des Systems auf.
(b) Löse die Euler-Lagrange-Gleichungen und diskutiere die Bewegung detailliert (mit
Zeichnung). Wie sieht die Bewegung qualitativ aus, wenn das elektrische Feld in
der xy-Ebene, E = −∇φ(x, y), inhomogen wird und zusätzlich das B-Feld recht
stark ist?