Zahlentheorie

Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
Wolfgang Fraunholz
Zahlentheorie
Wintersemester 1996/97
0.
0.0
Vorbemerkungen
Fragestellungen der Zahlentheorie
Die additive Struktur der Menge der ganzen Zahlen ist verhältnismäßig einfach, da ( ZZ, + ) eine
Gruppe darstellt. Die multiplikative Struktur ist komplizierter, da ( ZZ, . ) nur eine Halbgruppe ist. Man
kann also die Division nicht immer ausführen. Dies führt zu dem Begriff der Teilbarkeit und der
Primelemente. Als Primzahlen sieht man die natürlichen Zahlen an, die in der Menge IN genau zwei
Teiler haben.
Beispiele: Amnestie im Gefängnis, multiplikative Zerlegung von Zahlen, Zahlentabellen.
Viele Fragen knüpfen sich seit alten Zeiten an den Begriff der Primzahl an, zum Beispiel:
Wieviele Primzahlen gibt es?
Schon Euklid (ca. 365-300 v.Chr.) gab die Antwort: unendlich viele.
Aber die Primzahlen werden in ihrer Folge doch immer weniger? Gibt es eine Regelmäßigkeit?
Gibt es ein „Gesetz der Primzahlen“?
n
n–1 .
n–1
Eine Formel, mit der man die n-te Primzahl ausrechnen kann? Etwa [ 72 α ] – 72
[ 72
α]
Man weiß, es gibt ein solches reelles α , aber man kann dieses α nur ausrechnen, wenn man schon
die Primzahlen kennt. Beispiel für einen Existenzbeweis, der nicht konstruktiv ist.
Gibt es wenigstens eine Formel, die nur Primzahlen liefert?
p = n2 + n + 41
n
Fn = 22 + 1
n = 1, . . . , 39 Primzahlen; n = 40 und n = 41 nicht
Fermatsche Zahlen (P. Fermat 1601 - 1665)
Euler (1707-1783) zeigte 1732, daß für n = 5
F5 = 4 294 967 297 = 641 . 6 700 417 keine Primzahl ist.
Für n > 5 hat man noch keine Primzahl gefunden. Man weiß auch nicht, ob es
nur für endlich viele n Primzahlen ergibt oder für unendlich viele n .
Wieviele Primzahlen gibt es unterhalb einer vorgegebenen Zahl?
Für kleine n kann man die Antwort aus Primzahltafeln entnehmen. Bezeichne π(n) die Anzahl der
Primzahlen unterhalb von n.
π(1) = 0; π(10) = 4; π(100) = 25; π(1000) = 168; π(1010) = 455 052 512
Wie kann man bei einer gegebenen Zahl n entscheiden, ob n eine Primzahl ist ?
Liegt eine große Zahl vor, so ist dies sehr schwierig. Theoretisch läßt zwar beispielsweise zeigen, daß
n eine Primzahl ist, wenn n | ((n–1)! + 1 gilt.
So ist 7 ein Primzahl, da 7 | 6! + 1 , nämlich 7 | 721; 6 keine Primzahl, da 6 kein Teiler von 5! +1 =
121.
Doch wie soll man dieses Verfahren etwa auf 1 000 000 009 649 anwenden?
Wie kann man Primzahlen finden?
Ein altes Verfahren ist das Sieb des Eratosthenes (um 200 v. Chr.).
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Primzahlzwillinge
Ebenfalls aus dem Altertum stammt die Frage nach den Primzahlzwillingen. Zwei Primzahlen, deren
Differenz 2 ist, heißen Primzahlzwillinge. Sie treten sehr unregelmäßig auf und - wie es scheint - immer
wieder. Zum Beispiel sind 1 000 000 009 651 und 1 000 000 009 651 Primzahlzwillinge. Die Frage,
ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt, ist noch nicht geklärt.
Die Goldbachsche Vermutung
Die Goldbachsche Vermutung (Goldbach 1690-1764) sagt aus, daß jede gerade Zahl > 2 die Summe
zweier Primzahlen ist (zwei gleiche Primzahlen sind zulässig). Zum Beispiel gilt
4=2+2
6=3+3
8=5+3
10 = 3 + 7
20 = 13 + 7
100 = 83 + 17 .
Ein Beweis steht noch aus. J. Chen zeigte im Jahre 1973, daß jede genügend große gerade Zahl als
Summe einer Primzahl und einer Zahl dargestellt werden kann, diedas Produkt von höchstens zwei
Primzahlen ist.
Chinesisches Primzahlkriterium von 500 v. Chr.
500 Jahre vor Christus hatten die Chinesen ein ihrer Ansicht nach unfehlbares Kriterium für
Primzahlen:
n ist genau dann eine Primzahl, wenn n ein Teiler von 2n – 2 ist.
Beispiele:
2 | 22 – 2 = 2
3 | 23 – 2 = 6
5 | 25 – 2 = 30
7 | 27 – 2 = 126
8
10
Gegenbeispiele: 8 teilt nicht 2 – 2 = 254 10 teilt nicht 2 – 2 = 1022
Für große n wird die Rechnung aber schnell sehr kompliziert; die Chinesen haben sicher nicht sehr
viele Rechnungen durchgeführt. Die Formel wurde bis zum 16. Jhdt. bis n = 300 durchgerechnet.
Aber für n = 341 stimmt sie nicht mehr: Man kann zeigen, daß 341 | 2341 – 2 , aber 341 = 11.13
keine Primzahl ist. 2341 ist eine Zahl mit 103 Ziffern!
Diophantische Gleichungen
Die Zahlentheorie beschäftigt sich auch mit der Frage nach ganzzahligen Lösungen von Gleichungen
(sog. Diophantischen Gleichungen; Diophant 3. Jhdt. v. Chr.). Zum Beispiel kann man sehr schnell
erkennen, daß die Gleichung x2 = 1621 y2 + 1 die Lösungen x = 1 , y = 0 hat. Doch gibt es darüberhinaus Lösungen mit natürlichen Zahlen? Anscheinend nicht, denn wenn man alle Zahlen unterhalb
einer Trillion durchprobiert, kommt man zu keiner Lösung. Trotzdem weiß man heute, daß die
Gleichung unendlich viele natürliche Lösungspaare besitzt, allerdings hat das kleinste y mit der
verlangten Eigenschaft 75 Ziffern.
Dagegen wird x2 = 1620 y2 + 1 bereits durch das Paar ( 161 , 4 ) gelöst.
Auch andere additive Fragestellungen der Zahlentheorie haben die Mathematiker des Altertums
bereits beschäftigt. So z. B. die Frage nach den pythagoräischen Zahlentripeln, für die x2 + y2 = z2
gilt. Aus dem alten Babylon existiert noch eine Keilschrifttafel, auf der 15 grundsätzlich verschiedene
pythagoräische Zahlentripel aufgeführt sind. Eines davon ist ( 13500 , 12709 , 18541 ). Vermutlich
war ein Verfahren zum Auffinden solcher Tripel vorhanden. (vgl. Vorlesung „Geschichte der
Mathematik“)
Sucht man nun ganzzahlige Lösungen der analogen Gleichung xn + yn = zn für n > 2 , so stößt man
auf große Schwierigkeiten. (Fermatsches Problem; Fermat 1601-1665). Erst in den letzten Jahren
wurde ein Beweis für diesen sogenannten großen Fermatschen Satz gegeben.
Eine Vermutung Eulers aus dem Jahre 1778 war, daß man eine n-te Potenz einer natürlichen Zahl
(n≥3) nicht als Summe von weniger als n n-ten Potenzen natürlicher Zahlen erhalten kann. (zum
Beispiel: 93 = 13 + 63 + 83 oder 63 = 33 + 43 + 53 ). Diese Vermutung wurde bis 1966 für richtig
gehalten, dann fanden L. J. Landau und T. R. Parker das Beispiel 1445 = 275 + 845 + 1105 + 1335 .
Für Primzahlen, die bei der Division durch 4 den Rest 1 lassen, ist die Gleichung p = x2 + y2 in
ganzen Zahlen x und y lösbar. Die übrigen ungeraden Eigenschaften haben diese Eigenschaft nicht.
(Beispiele: 5 = 12 + 22 ; 13 = 22 + 32 ; 17 = 12 + 42 ; 29 = 22 + 52 .)
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0.1
Voraussetzungen aus Mathematik I
Begriff der Menge, Operationen mit Mengen, Teilmengen, Produktmengen (cartesisches Produkt),
geordnete Mengen, Wohlordnung von Mengen
Relationen, insbesondere Ordnungsrelationen, Äquivalenzrelationen
Die natürlichen Zahlen IN, Operationen mit natürlichen Zahlen, Anordnung der natürlichen Zahlen,
axiomatische Begründung der natürlichen Zahlen, dier natürlichen Zahlen IN* als Größenbereich mit
Induktionseigenschaft, Lösbarkeit von Gleichungen in IN
Beweismethoden: direkter Beweis, indirekter Beweis, Beweis durch vollständige Induktion
Mathematisch-logische Schreibweisen (logische Verknüpfungen, Quantoren)
0.2
Voraussetzungen aus Mathematik II
Die ganzen Zahlen ZZ, Operationen mit ganzen Zahlen, Anordnung der ganzen Zahlen, Konstruktion
der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen, Einbettung der natürlichen Zahlen in die ganzen
Zahlen
Der Begriff der Gruppe, Gruppenaxiome, Untergruppe, Untergruppenkriterien, Ordnung einer
Gruppe, erzeugende Elemente einer Gruppe, zyklische Gruppen, Satz von Lagrange
0.3
Literatur zur Zahlentheorie
Behnke, H.: Vorlesungen über Zahlentheorie, Münster 1966
Bolker, E. D.: Elementary Number Theory, New York 1970
Chandrasekharan, K.: Einführung in die analytische Zahlentheorie, Lecture Notes in Mathematics
Bd. 29, Berlin 1966
Dickson, Leonard E.: History of the theory of Numbers, New York 1952
Dickson, Leonard E.: Modern Elementary Theory of Numbers, London 1965
Dudley, U.: Elementary Number Theory, San Francisco 1969
Euklid: Die Elemente (übersetzt von Cl. Thaer), Darmstadt 1962
Grosswald, E.: Topics from the Theory of Numbers, New York 1966
Gundlach, K.-B.: Einführung in die Zahlentheorie, Mannheim 1972
Hardy, G. H. / Wright, E. M.: Einführung in die Zahlentheorie, München 1958
Hasse, Helmut: Vorlesungen über Zahlentheorie, Berlin 1965
Holzer, L.: Zahlentheorie I, II, III, Leipzig 1958ff.
Indlekofer, H.-K.: Zahlentheorie - Eine Einführung, Basel und Stuttgart 1978
Leveque, W. J.: Elementary Theory of Numbers, Reading-London 1962
Ogilvy, C. Stanley / Anderson, John T.: Zahlentheorie, München 1970
Ore, O.: Number Theory and its History, New York 1948
Padberg, Friedhelm: Elementare Zahlentheorie, Freiburg 1972
Scheid, Harald: Einführung in die Zahlentheorie, Stuttgart 1972
Scheid, Harald: Zahlentheorie, Mannheim 1996
Scholz, A. / Schoeneberg, B.: Einführung in die Zahlentheorie, Berlin 1966
Schräder, Wilhelm: Einführung in die Zahlentheorie, Düsseldorf 1973
Trost, E.: Primzahlen, Basel 1968
Winogradow, I. M.: Elemente der Zahlentheorie, München
Wispler, M.: Elemente der Zahlentheorie, Grundkurs Mathematik, Studienbrief I,4 des DIFF,
Tübingen 1971
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1. Die Teilbarkeit ganzer Zahlen
Im folgenden bedeuten kleine lateinische Buchstaben a, b, c, . . . , x, y, z Variable für ganze Zahlen,
soweit nichts anderes angegeben ist.
1.1
Begriff der Teilbarkeit
Definition 1.1. 1 :
∧
a,b ∈Z
( a heißt Teiler von b bzw. b heißt Vielfaches von a
∧
in Zeichen:
bzw.
∧
a,b ∈Z
a,b ∈Z
( a |/ b
(a|b ⇔
⇔ ¬
∨
c ∈Z
∨
c ∈Z
⇔
∨
c ∈Z
a.c=b)
a.c=b)
a.c=b)
5 | 15 , denn es gibt die Zahl 3 mit 5 . 3 = 15
– 2 | 4 , denn es gibt die Zahl –2 mit –2 . –2 = 4
3 |/ 4 , denn es gibt keine ganze Zahl c mit 3 . c = 4
Beispiele:
Regeln für die Teilbarkeit
∧
a,b, c ∈Z
(1)
a|a,
denn a . 1 = a
(2)
–a | a ,
denn (–a) . (–1) = a
(3)
1|a,
denn 1 . a = a
(4)
–1 | a , denn (–1) . (–a) = a
(5)
a | 1 ⇒ a = 1 ∨ a = – 1 , denn a . c = 1 ⇒ a = 1 ∨ a = –1 ,
weil in ZZ nur 1 und –1 inverse Elemente bezüglich der
Multiplikation besitzen.
(6)
a|0,
(7)
0 | a ⇒ a = 0 , denn 0 . c = a ⇒ a = 0
(8)
a | b ∧ b | a ⇒ a = b ∨ a = –b ,
denn
.
.
für a ≠ 0 gilt
a c=b ∧ b d=a ⇒ a.c.d=a ⇒ c.d=1
⇒ c = d = 1 ∨ c = d = –1 ⇒ a = b ∨ a = –b
für a = 0 gilt
a = b = 0 wegen Regel (7)
(9)
a|b
∧ b | a ∧ ab > 0 ⇒ a = b (folgt aus Regel (8))
(10)
a|b
a|b
∧ b|c ⇒
∧ b|c ⇒
denn a . 0 = 0
⇒
(11)
a | c , denn
a . d1 = b
∨
∨
d1,d2 ∈Z
d1⋅d2 ∈Z
∧ b . d2 = c
a . d1 . d2 = c
⇒
a|c
a | b ∧ b ≠ 0 ⇒ |a| ≤ |b| , denn
|b|
a . c = b ∧ b ≠ 0 ⇒ c ≠ 0 ⇒ |a| = |c| ≤ |b|
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Speziell gelten für natürliche Zahlen auf Grund der oben angeführten Regeln die folgenden:
(I)
(II)
(III)
a|a
a|b
a|b
∧ b|a ⇒ a=b
∧ b|c ⇒ a|c
das heißt
Satz 1.1. 1 :
Die Teilerrelation a | b ist in der Menge der natürlichen Zahlen eine Ordnungsrelation.
Beweis:
ergibt sich aus den oben angeführten Regeln, denn eine Ordnungsrelation
ist gerade durch die drei Eigenschaften der Reflexivität, der Antisymmetrie und der
Transitivität bestimmt.
(Vgl. ≤ bzw. ⊂ als Ordnungsrelation)
Beachten Sie: In ZZ stellt die Teilerrelation a | b keine Ordnungsrelation dar, denn die Antisymmetrie
ist nicht gegeben, z. B. 4 | –4 ∧ –4 | 4 , aber 4 ≠ –4 .
Satz 1.1. 2 :
d | a1
∨
Beweis: durch vollständige Induktion
Ind.Anf.:
∧
∧ d | a2 ∧ . . . ∧ d | an ⇒
d | a1 ⇒
k=1
c ∈Z
n
d
r i∈Z
|∑
ri a i
i=1
d . c = a1 ⇒ d . c . r1 = a1 . r1
⇒ d | a1 . r1
Ind.Vor.:
Für k = n sei die Formel richtig.
Ind.Beh.
Die Formel ist richtig für k = n+1.
Ind.Schritt:
∧
r i∈Z
n
d
|∑
ri a i
∧ d | an+1 ,
i=1
das heißt es gibt ein c1 mit d . c1 =
n
∑
ri a i
i=1
und es gibt ein c2 mit d . c2 = rn+1 an+1 (wegen Ind.Anf.).
Addiert man diese Gleichungen, so erhält man
∨
c = c + c ∈Z
1 2
Definition 1.1. 2 :
∧ ∧
n+1
d ( c1 + c2 ) =
n,i∈IN* a ,r ∈Z
i i
speziell ist
∑
ri a i
i=1
n
(
∑
ri a i heißt eine Vielfachsumme von a1, a2, . . . , an )
i=1
ra + sb für r,s ∈ IN* eine Vielfachsumme von a und b.
Der Satz 1.1. 2 sagt, daß jeder Teiler der ganzen Zahlen a und b auch jede Vielfachsumme von a
und b teilt.
Beispiel: 11 | 55 und 11 | 99 , also 11 | 3.55 + 2.99 = 363 .
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Folgerungen aus Satz 1.1. 2 :
(1)
∧ d|b ⇒ d|a+b
d|a
Ein Teiler von zwei Zahlen ist auch Teiler der Summe
dieser beiden Zahlen.
Folgt aus Satz 1.1. 2 mit n = 2 und r1 = r2 = 1 .
d|a ∧ d|a+b ⇒ d|b
Ein Teiler einer Summe von zwei Zahlen, der den
einen Summanden teilt, teilt auch den anderen
Summanden.
Folgt aus Satz 1.1. 2 mit n = 2 und r1 = 1 ∧ r2 = –1
(2)
∧
.
(3)
c ∈Z
[ d | a ⇒ d | ca ]
Jeder Teiler einer Zahl teilt auch jedes Vielfache
dieser Zahl.
Folgt aus Satz 1.1. 2 mit n = 1 und r1 = c .
Satz 1.1. 3 :
a1 | b1
∧ a2 | b2 ∧ . . . ∧ an | bn
⇒
n
n
i=1
i=1
∏ a i | ∏ bi
Beweis: durch vollständige Induktion
Folgerungen aus Satz 1.1. 3 :
(1)
∧
c ∈Z
[ a | b ⇒ ac | bc ]
folgt aus Satz 1.1. 3 für n = 2, a1 = a , b1 = b , a2 = b2 = c
denn
(2)
∧
c ∈Z*
∧
c ∈Z
[ c|c ]
[ ac | bc ⇒ a | b ]
denn aus a c d = b c folgt für c ≠ 0 wegen der Kürzungsregel a d = b.
1.2
Teilermengen und Teilerdiagramme (Hasse-Diagramme)
Definition 1.2. 1 :
Für a ∈ ZZ sei Ta die Menge aller positiven Teiler von a, also
Ta = { x ∈ IN*
|
x | a } . Ta heißt die Teilermenge von a.
Folgerungen über Teilermengen auf Grund der Sätze und Regeln aus 1.1:
(1)
(2)
T0 = IN* , folgt aus Regel 6 für die Teilbarkeit.
[ Ta ist eine endliche Menge ] , folgt aus Regel 11 für die Teilbarkeit.
∧
∧[T
a∈Z*
(3)
a∈Z
(4)
(5)
(6)
a
≠ ∅ ] , folgt aus Regel 3 für die Teilbarkeit.
T1 = { 1 } , folgt aus Regel 3 , 7 und 11 für die Teilbarkeit.
[ | Ta | ≥ 2 ] , folgt aus Regel 1 und 2 für die Teilbarkeit.
∧
∧ [ Ta = T
a∈Z \ {1}
a∈Z
–a
∧ Ta = T|a| ] wegen Folgerung 3 aus Satz 1.1. 2 für c = –1.
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Man kann sich bei der Untersuchung von Teilermengen auf a ∈ IN beschränken.
Definition 1.2. 2 :
Ein Diagramm, in dem alle Teiler einer Zahl a ∈ IN* dargestellt sind und das
nach der unten angegebenen Weise konstruiert ist, heißt Teilerdiagramm
oder Hassediagramm für die Teilermenge Ta .
Konstruktionsvorschrift: Sind u, v ∈ Ta mit u | v und u ≠ v und gibt es kein
x ∈ Ta mit x ≠ u , x ≠ v und u | x , x | v , so schreibt man v höher als u und
verbindet u und v mit einem Strich.
Beispiele für Hassediagramme
1.3
Komplementärteiler
Definition 1.3. 1 :
∧
a, c, d∈Z
a
[ Die ganze Zahl c = d
heißt Komplementärteiler von d
bezüglich a. :⇔ d | a ]
Sprechweise:
Die Teiler d und
a
d
von a sind zueinander komplermentär.
Zwei Teiler c und d von a sind also genau dann komplementäre Teiler bezüglich a, wenn c.d = a ist.
Bei der Bestimmung der Teilermenge von a muß man also nur „die Hälfte“ der Teiler ermitteln und
erhält die restlichen Teiler als Komplementärteiler.
Wann ist man bei der Ermittlung aller Teiler bei der „Hälfte“ angekommen? Das ist offenbar dann der
Fall, wenn der Komplementärteiler des ermittelten Teilers d nicht mehr größer als d ist. Dies präzisiert
der
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∧
Satz 1.3. 1 :
a, d∈IN*
gleichbedeutend ist
Beweis:
[ d | a ⇒ d2 ≤ a
∧
a, d∈IN*
∨
a
( d )2 ≤ a ]
[ d | a ⇒ d ≤ √a ∨
a
d
≤
√a ]
¬ [ d ≤
√a ∨
a
d
≤
√a ]
indirekt
Angenommen
⇒
d>
√a
⇒
a = d.
∧
a
d
>
a
d
>
√a
√a . √ a > a
Widerspruch!
Bei der Bestimmung der Teilermenge von a kann man sich auf die Bestimmung der Teiler d mit d≤ 
√a
beschränken, die anderen Teiler ergeben sich als Komplementärteiler.
Beispiel: Bei der Bestimmung der Teiler von 368 kann man sich auf die Bestimmung der Teiler beschränken, die kleiner oder gleich 
√
368 ≈ 19,18 sind.
Für größere Zahlen ist aber auch die Wurzel u. U. sehr groß, so daß die Bestimmung der Teilermenge
sehr mühsam sein kann. CAS erlauben eine bequeme Bestimmung. Aber auch mit Hilfe der Primfaktorzerlegung lassen sind Teilermengen einfacher bestimmen.
2. Primzahlen
2.1
Begriff der Primzahl und des Primteilers
∧
Definition 2.1. 1 :
p ∈IN
[ p heißt Primzahl :⇔ p ≠ 1
∧ Tp = { 1, p } ]
Eine natürliche Zahl mit genau zwei Teilern heißt eine Primzahl. Beachten Sie, daß 1 nicht zu den
Primzahlen gerechnet wird. Dies hat u. a. historische Gründe, da die 1 bei den Griechen des klassischen Altertums überhaupt nicht zu den Zahlen gezählt wurde (Zahl entsteht durch Vervielfachung
der Einheit). Aber auch für die Formulierung von Sätzen wird sich der Ausschluß der 1 von den
Primzahlen als günstig erweisen.
Bezeichnung: Ist n ∈ IN* \ ( P U { 1 } ), so heißt n eine zusammengesetzte Zahl.
Die Menge der Primzahlen werde mit P bezeichnet. P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, . . . }
vgl. im Anhang 1 die Liste der ersten tausend
3
Primzahlen (erstellt mit MAPLE).
2
0
4
5
1
6
7
Die Menge IN besteht also im Sinne dieser
Bezeichnungen aus drei Klassen, der Menge
der Primzahlen P, der Menge der zusammengesetzten Zahlen IN \ ( P U { 1 } ) und der
Menge { 1 } ) .
8
9
11
.......
.........
{1}
P
IN \ (P
{1})
In der Zahlenfolge treten Primzahlen immer
wieder, aber fortlaufend seltener auf. Hört die
Folge der primzahlen einmal ganz auf oder gibt
es unendlich viele Primzahlen?
Diese Frage hat bereits die Griechen des klassischen Altertums beschäftigt. Bei Euklid (ca. 300 v.Chr.)
findet sich ein Beweis dafür, daß es unendlich viele Primzahlen gibt.
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Zusammengesetzte Zahlen heißen so, weil man sie sich aus anderen Zahlen multiplikativ zusammengesetzt vorstellen kann, zum Beispiel 4 = 2.2, 60 = 2.3.10 oder 60 = 22.3.5. In der zuletzt geschriebenen Darstellung ist 60 als Produkt von Primzahlen dargestellt. Es wird sich zeigen, daß man jede
Zahl als Produkt von Primzahlen darstellen kann, sogar bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig. Diese Sätze werden in diesem Kapitel bewiesen werden.
Definition 2.1. 2 :
Satz 2.1. 1 :
∧
p,n∈IN
∧
p,n∈IN
[ p heißt Primteiler von n. :⇔ p ∈ P
[ n≥2
⇒
∨
p ∈P
∧ p|n ]
p|n ]
in Worten: Jede natürliche Zahl n ≥ 2 besitzt mindestens einen Primteiler.
Beweis: durch vollständige Induktion (Achtung: hier wird die Ordnungsinduktion oder Induktion
2. Art benötigt!)
Ind.Anf.
Ind.Vor.
n=2
2 ≤ k ≤ n
2 ∈P ∧ 2|2
p|k
∨
p ∈P
2 hat den Primteiler 2
Alle Zahlen zwischen 2 und n
besitzen einen Primteiler.
Ind.Beh.
n = k+1
Ind.Schritt
1. Fall:
2. Fall:
∨
p ∈P
p | k+1
k+1 besitzt einen Primteiler.
k + 1 ist eine Primzahl ⇒ k ∈ P ∧ k+1 | k+1
k+1 ist keine Primzahl, also eine zusammengesetzte Zahl,
z. B. k+1 = r . s
mit r < k+1 ∧ s < k+1
Dann ist aber 2 ≤ r ≤ k ∧ 2 ≤ s ≤ k , also nach Ind.Vor.
besitzt r einen Primteiler q mit q | r . (Analog wäre dies
für s .)
Wegen der Transitivität der Teilerrelation gilt dann
q | r ∧ r | k+1 ⇒ q | k+1 , das heißt
q | k+1
∨
q ∈P
Damit ist für jeden Fall gezeigt, daß k+1 einen Primfaktor besitzt; das heißt alle natürlichen
Zahlen größer oder gleich 2 besitzen mindestens einen Primfaktor.
2.2
Anzahl der Primzahlen, das Sieb des Eratosthenes
Satz 2.2. 1 :
Satz von Euklid:
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis: indirekt
Angenommen: Es gibt nur endlich viele Primzahlen.
Dann lassen sich diese endlich vielen (zum Beispiel r) Primzahlen auflisten:
p1, p2, p3, . . . , pr sind diese endlich vielen Primzahlen.
Man bildet die Zahl a = p1 . p2 . p3 . . . . . pr + 1
Nach Satz 2.1. 1 besitzt die Zahl a ( a ≥ 2 ) einen Primteiler, er heiße p.
Dann gilt
p | a , d. h. p | p1 . p2 . p3 . . . . . pr + 1 .
Da es nach Annahme nur endlich viele Primzahlen gibt, gilt p | p1 . p2 . p3 . . . . . pr .
Nach Satz 1.1. 2 Folgerung (2) gilt p | 1 , da p | a ∧ p | p1 . p2 . p3 . . . . . pr .
T1 = { 1 } , also p = 1
Widerspruch zur Tatsache, daß p prim ist.
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Satz 2.2. 2 :
∧
∨
n ∈IN \ ( P ∪{1}) p ∈P
[ p|n
∧ p ≤ √ n ]
In Worten: Ist n eine zusammengesetzte Zahl, dann existiert eine Primzahl p mit
p | n ∧ p ≤
√n .
Beweis:
∨
⇒
n zusammengesetzt
d∈IN
d≤
√n
⇒
denn wäre
√ n < d ∧ √n <
n
d
d|n ⇒ 1<d<n
⇒
∨
n = √n . 
√n
n
√n
d≤
n
< d. d
,
= n
Widerspruch!
ObdA d ≤ 
√ n . d besitzt nach Satz 2.1. 1 einen Primteiler p ≤ d ≤
aus p | d
√ n und
∧ d | n folgt wegen der Transitivität der Teilerrelation p | n .
Um eine natürliche Zahl n auf Primzahleigenschaft zu prüfen, braucht man also nur zu prüfen, ob die
Zahl n durch eine Primzahl p ≤ 
√ n teilbar ist.
Beispiel: Ist 97 Primzahl? 2
97 ist Primzahl.
∧ 3
97
97
∧ 5
97
∧ 7
97 . Fertig, denn 11 > 
√97
Satz 2.2. 2 kann man verwenden, um die Primzahlen unterhalb einer bestimmten Zahl k zu ermitteln.
Dies geschieht mit dem sogenannten Sieb des Eratosthenes (275 - 195 v. Chr., Leiter der Bibliothek
von Alexandria).
Dazu schreibt man die Zahlen von 2 bis k auf, notiert die Zahl 2 als Primzahl und streicht alle Vielfachen
von 2. Dann notiert man die Zahl 3 als Primzahl und streicht alle Vielfachen von 3. So verfährt man mit
allen Primzahlen ≤ 
√ k . Dann kann man nach Satz 2.2. 2 sicher sein, alle zusammengesetzten
Zahlen gestrichen zu haben.
Wählt man k = 120 , so muß man das Verfahren bis zur Primzahl 7 durchführen, da bereits 11 > 
√
120
ist. Dies sieht zum Beispiel, wenn man die geraden Zahlen gleich wegläßt, so aus:
2
2.3
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
49
51
53
55
57
59
61
63
65
67
69
71
73
75
77
79
81
83
85
87
89
91
93
95
97
99
101
103
105
107
109
111
113
115
117
119
120
Der Fundamentalsatz der Zahlentheorie
Aus der Schulmathematik ist bekannt, daß man jede Zahl n ≥ 2 in ein Produkt von Primfaktoren
zerlegen kann. Zum Beispiel :
360 = 23 . 32 . 5
4 294 967 297 = 641 . 6 700 417
.
111 = 3 37
18 446 744 073 709 551 617 =
111111 = 3 . 7 . 11 . 13 . 37
= 67 280 421 310 721 . 274 177
Diese Zerlegungen sind eindeutig bis auf die Reihenfolge, d. h. es gibt keine zwei verschiedenen
Primfaktorzerlegungen für eine Zahl n.
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Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
Satz 2.3. 1 :
∧
[ n besitzt eine bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmte
n ∈IN *|{1}
Primfaktorzerlegung. ]
In diesem Satz sind zwei Aussagen formuliert: 1. Jedes n ≥ 2 besitzt eine Primfaktorzerlegung.
2. Diese Primfaktorzerlegung ist eindeutig bestimmt.
Diese beiden Teile werden getrennt bewiesen.
Beweis: für die Existenz
durch Ordnungsinduktion (Induktion 2. Art)!
Ind.Anf.:
n=2
2 = 2 ist eine Primfaktorzerlegung
Ind.Vor.:
2 ≤ k ≤ n
Jede Zahl k zwischen 2 und n (einschließlich der Grenzen)
besitzt eine Primfaktorzerlegung.
Ind.Beh.:
n = k+1
k+1 besitzt eine Primfaktorzerlegung
Ind.Schluß: mit Fallunterscheidung
1. Fall:
k+1 ist eine Primzahl k+1 = k+1 ist die Primfaktorzerlegung
2. Fall:
k+1 ist zusammengesetzt
nach Satz 2.1. 1 besitzt k+1 dann einen Primteiler, dieser sei p.
⇒ k+1 = p . r mit 2 ≤ r < k+1 , d. h. 2 ≤ r ≤ k
Nach der Induktionsvoraussetzung besitzt also r eine Primfaktorzerlegung;
sie sei r = p1 . p2 . p3 . . . . . pρ .
Dann ist k+1 = p . p1 . p2 . p3 . . . . . pρ eine Primfaktorzerlegung von k+1.
Beweis: für die Eindeutigkeit durch Ordnungsinduktion (Induktion 2. Art)!
Ind.Anf.:
n=2
2 = 2 ist die eindeutige Primfaktorzerlegung
Ind.Vor.:
2 ≤ k ≤ n
Jede Zahl k zwischen 2 und n (einschließlich der Grenzen)
besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung.
Ind.Beh.:
n = k+1
k+1 besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung
Ind.Schluß: mit Fallunterscheidung
1. Fall:
k+1 ist eine Primzahl k+1 = k+1 ist die eindeutige Primfaktorzerlegung
2. Fall:
k+1 ist zusammengesetzt, also k+1 = p . r mit p prim 2 ≤ r < k .
Wegen der Ind.Vor. besitzt r eine eindeutige Primfaktorzerlegung;
deshalb kann k+1 keine andere Primfaktorzerlegung mit dem Primfaktor p
besitzen. In jeder anderen Primfaktorzerlegung von k+1 können nur von p
verschiedene Primfaktoren vorkommen.
indirekt:
Angenommen es gäbe eine andere von der obigen verschiedene
Primfaktorzerlegung k+1 = q . q1 . q2 . q3 . . . . . qσ , dann muß gelten
q≠p ∧
qi ≠ p
∧
i∈{1, 2 ,...,σ }
Setzt man s = q1 . q2 . q3 . . . . . qσ , dann wird k+1 = q. s
Da q ≠ p ist, kann man oBdA annehmen q > p.
Dann gilt a = k + 1 – p. s = q. s – p. s = (q – p) s < k + 1
und besitzt nach Ind.Vor. eine eindeutige Primfaktorzerlegung.
Es ist aber auch a = p. r – p. s = p (r – s) .
Das heißt: In der Primfaktorzerlegung von a kommt der Faktor p vor.
Da p aber nicht in der Primfaktorzerlegung von s vorkommt, muß er in der
Primfaktorzerlegung von q – p vorkommen, d.h. p | q – p .
Da p | q – p ∧ p | p , muß (nach Satz 1.1. 2 Folgerung 2) p | q sein.
Da p und q Primzahlen sind und p < q gilt, ergibt sich ein Widerspruch.
Die Primfaktorzerlegung von k+1 ist also eindeutig bestimmt.
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Dieser Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung scheint zwar selbstverständlich zu sein, ist aber
nicht trivial, wie man sich an einer anderen Zahlenmenge klar machen kann.
Wählt man nicht die Menge IN* , sondern die Menge H = { 4n + 1 | n ∈ IN } , so sieht man, daß diese
Menge multiplikativ abgeschlossen ist, weil
(4n1 + 1) (4n2 + 1) = 16 n1 n2 + 4 n1 + 4 n2 + 1 = 4 (4 n1 n2 + n1 + n2 ) + 1
gilt.
Die ersten Zahlen von H:
H = { 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, . . . }
In H werden Primzahlen wie in IN definiert als die Zahlen p mit genau zwei Teilern p und 1 .
Alle Primzahlen aus IN sind dann auch Primzahlen in H. Es gibt aber noch weitere Primzahlen in H, die
nicht Primzahlen in IN sind, zum Beispiel die Zahl 9 , denn in H gibt es nur die beiden Teiler 1 und 9 .
Die Zerlegung 9 = 3 . 3 existiert in H nicht, da 3 ∉ H. Auch 21 ist Primzahl in H, da 21 nur die beiden
Teiler 1 und 21 in H besitzt (3 und 7 sind keine Elemente von H).
Aufgabe: Untersuchen Sie die ersten 24 Zahlen von H auf Primzahleigenschaft.
In H gibt es Zahlen, die auf verschiedene Weise in Primfaktoren (aus H) zerlegt werden können, z. B:
441 = 21 . 21 = 9 . 49
3249 = 57 . 57 = 9 . 361
.
.
1089 = 33 33 = 9 121
5929 = 77 . 77 = 49 . 121
2.4 Folgerungen aus dem Fundamentalsatz
Bei der Zerlegung einer Zahl in Primfaktoren ordnet man üblicherweise die Primzahlen der Größe
nach, also p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, p5 = 11, . . . .
Die Primfaktoren können natürlich mehrfach in den Primzahlzerlegungen auftreten. Dann schreibt
man die Potenzen der Primfaktoren mit den entsprechenden Exponenten.
∞
Formal läßt sich eine Primfaktorzerlegung der Zahl a schreiben als a =
∏ piα . Dieses Produkt hat
i
i =1
natürlich nicht unendlich viele Faktoren, da alle Primzahlen, die in dem Produkt nicht auftreten, den
Exponenten 0 erhalten. Eine solche Darstellung nennt man die kanonische Form der Primfaktordarstellung.
∞
Definition 2.4. 1 :
a=
∏ piα
i
heißt kanonische Primfaktorzerlegung von a.
i =1
Satz 2.4. 1 :
∧
∞
[a=
a , b ∈IN *
O
Beweis: ⇒
a|b
⇒
i =1
⇒
∨ b=c.a
c ∈Z
∞
⇐
O
∧
i ∈IN *
∞
∏ piα . ∏ pi
i
i =1
⇒
∏ piαi ∧ b =
∧
i ∈IN *
( αi ≤ βi
∞
b
a
i =1
∞
=c=
∞
=
⇒ ( a|b ⇔
i =1
⇒
γi
βi
∏ pi
i )
i
]
γi
i =1
βi
∏ pi
i =1
αi + γi = βi
∏ pi
∧α ≤β
i ∈IN
⇒
∧ γi = βi – αi )
∧
i ∈IN *
⇒
αi ≤ βi
a . c = b mit c =
∞
∏ pi
γi
i =1
Dieser Satz liefert die Möglichkeit, alle Teiler einer Zahl nacheinander zu bestimmen. Es gilt nämlich
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Satz 2.4. 2 :
∧
∞
[a=
a ∈Z
∏ piαi ⇒ Ta = {
i =1
∞
∏ piδ
|
i
0 ≤ δi ≤ αi für alle i ∈ IN*
∞
Beweis:
∏ piδi ist ein Teiler von
1. Jedes Produkt
}
i =1
i =1
∞
∏ piα . Dies ergibt sich direkt aus
i
i =1
den Überlegungen zum Satz 2.4. 1 .
2. Es sind tatsächlich alle (positiven) Teiler erfaßt. Für δi < 0 ergeben sich keine
natürlichen Zahlen, für αi < δi können keine Teiler entstehen.
∞
Beispiel:
Die Menge aller Teiler von 360 =
∏ piα
i
= 2 3 .3 2 . 5 1
i =1
∞
ist T360 = =
{
∏ piδ
i
i =1
γ
γ
γ
1
.
2
.
2
3
53
|
0 ≤ δi ≤ αi für alle i ∈ IN*
}
|
= {
0 ≤ γ1 ≤ 3 ∧ 0 ≤ γ2 ≤ 2 ∧ 0 ≤ γ3 ≤ 1 }
= {1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,18,20,24,30,36,40,45,60,72,90,120,180,360 }
Für γ3 = 0 erhält man aus der folgenden Tabelle alle Teiler, die die Primzahl 5 nicht
enthalten.
γ1
0
1
2
3
γ2
0
1
2
22 = 4
23 = 8
1
3
2.3 = 6
22 .3 = 12
23 .3 = 24
2
.
2
2
.
2
2
3 =9
2 3 = 18
2 3 = 36
23.32 = 72
Es gibt noch einmal so viele Teiler, die den Primfaktor 5 enthalten, wie man sich leicht
überlegen kann.
Die Anzahl der Teiler kann man sich auch so überlegen:
Der Primfaktor 2 kann
mal vorkommen.
In jedem Fall kann der
Primfaktor 3
mal vorkommen
und der Primfaktor
5 in jedem Fall
zweimal.
0
0
1
1
2
0 1 0 1 0 1
0
1
2
2
0 1 0 1 0 1
0
1
3
2
0 1 0 1 0 1
0
1
2
0 1 0 1 0 1
Insgesamt sind es also 4 . 3 . 2 = 24 Teiler.
Aus diesem Beispiel läßt sich eine Vermutung ableiten, wieviele Teiler eine natürliche Zahl a besitzt.
Definition 2.4. 2 :
∧
a ∈IN *
[ τ(a) bezeichnet die Anzahl der Teiler von a und heißt Teilerfunktion. ]
τ(a) gibt also die Anzahl der Elemente von Ta an.
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τ(a) = | Ta |
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Beispiele:
τ(1) = 1
τ(p) = 2
τ(2) = 2
τ(p2)
∧
Satz 2.4. 3 :
a ∈IN*
τ(360) = τ(23 .32 . 51) = 4.3.2 = 24
= 3 für p prim
∞
[ a=
τ(6) = 4
für p prim
∏ piα
i
i =1
= p1α1 . p2α2 . p3α3 . p4α4 . . . .
∞
∏ (α + 1) = ( α1 + 1 ) ( α2 + 1 ) ( α3 + 1 ) . . .
⇒ τ(a) =
i
]
i =1
Ist d ∈ IN* und d =
Beweis:
∞
∏ piδ
i
die kanonische Primfaktorzerlegung von d, dann ist
i =1
genau dann d | a , wenn δi ≤ αi für alle i ∈ IN*. Daher gibt es
( α1 + 1 ) Möglichkeiten für δ1
( α2 + 1 ) Möglichkeiten für δ2
( α3 + 1 ) Möglichkeiten für δ3
. . . . . . . usw.
also insgesamt ( α1 + 1 ) ( α2 + 1 ) ( α3 + 1 ) ( α4 + 1 ) . . . Möglichkeiten für die
Exponentenfolge δ1, δ2, δ3 , δ4, . . . .
Bei diesem Beweis wurde die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung benutzt. Der Satz 2.4. 3 ist
daher nur in den Zahlenmengen gültig, in denen die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung gegeben
ist, also zum Beispiel nicht in der Zahlenmenge H = { 4n + 1 | n ∈ IN } . Man mußte ja sicher sein, daß
zwei verschiedenen Exponentenfolgen δ1, δ2, δ3 , δ4, . . . auch zwei verschiedenen Teilern d
entspricht.
Aus dem Fundamentalsatz der Zahlentheorie lassen sich noch andere Folgerungen ziehen, zum
Beispiel über die Irrationalität gewisser reeller Zahlen.
∧
Satz 2.4. 4 :
[ a ≠ bm
⇒
a,b,m∈IN*
Beweis:
m
 a ∈ IR \ Q| ]
√
indirekt
m
Angenommen
 a wäre ein Element von Q| , also eine rationale Zahl, so wäre
√
m
 a = sr mit r,s ∈ IN*
√
da man
r
s
und ggT(r,s) = 1,
als vollständig gekürzt annehmen darf.
Potenziert man die obige Gleichung mit m , so erhält man die Beziehung
rm
a = sm
oder
a . sm = rm .
Ist nun p ein Primteiler von s, so ist pm | a . sm und auch pm | rm ,
dann ist aber p | r und damit wären r und s nicht teilerfremd.
Also kann s keinen Primteiler besitzen und somit ist s = 1.
⇒
a = rm im Widerspruch zur Voraussetzung des Satzes
a ≠ bm .
∧
b ∈IN*
m
Die Zahl x = √
 a genügt der Gleichung
nerung des Satzes 2.4. 4 .
xm – a = 0. Daher ist der folgende Satz eine Verallgemei-
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Satz 2.4. 5 :
∧ c∧ ∧ ∧
x ∈IR
m
[
i ∈Z m ∈IN * i ∈{1, 2 , 3,..., m}
∑ c i xi = 0
∧ cm = 1 ⇒ x ∈ZZ ∨ x ∈ IR \ Q| ]
i= 0
In Worten: Die Lösung einer algebraischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten
und dem höchsten Koeffizienten 1 ist entweder ganzzahlig oder irrational.
Beweis:
Man zeigt, daß aus der Annahme einer rationalen Lösung folgt, daß diese ganzzahlig
sein muß.
r
Es sei
x = s mit r,s ∈ZZ
und ggT(r,s) = 1 .
Diesen Wert setzt man in die algebraische Gleichung ein und multipliziert die
Gleichung mit sm .
m
∑
ci (s )i = 0
∑
ci s i = 0
∑
ci ri sm–i = 0
i=0
m
i=0
m
r
ri
i=0
Außer dem Glied rm sind alle Glieder durch s teilbar. Da 0 durch s teilbar ist, muß aber
auch rm durch s teilbar sein.
Also ist jeder Primteiler p von s auch Primteiler von r . Da aber ggT(r,s) =1
vorausgesetzt wurde, kann b keinen Primteiler haben, es muß b = 1 sein.
Das heißt aber: Wenn x rational ist, dann ist x ganzzahlig.
Beispiel:
Die Zahl
√ 2 + √ 3 ist irrational.
 2 + √ 3 ist Lösung der Gleichung x4 – 10 x2 + 1 = 0 , wie man durch
√
Nachrechnen zeigen kann.
Wegen
1,4 < 
√ 2 < 1,5
und
1,7 < 
√ 3 < 1,8
folgt
3,1 < 
√ 2 + √ 3 < 3,3
ist 
√ 2 + √ 3 nicht ganz; also muß √ 2 + √ 3 wegen Satz 2.4. 5 irrational sein.
Satz 2.4. 6 :
∧ [ ∨ (p|m ∧ p
m , n ∈IN *
Beweis:
⇒
n)
p ∈P
indirekt
Angenommen
logn m ∈ Q| , also
logn m ∈ IR \ Q| ]
logn m =
a
b
a
dann ist
nb = m
oder
na = mb .
Ist n = 1 , so ist auch m = 1 und besitzt im Widerspruch zur Voraussetzung keinen
Primteiler. Also sind m und n beide von 1 verschieden.
[ Ist p ein Primteiler von m, so ist p auch ein Primteiler von n. ]
∧
p ∈P
Dies steht im Widerspruch zur Voraussetzung, daß m einen Primteiler besitzt, den n
nicht besitzt.
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3. Kongruenzen und Restklassen
3.1 Division von a durch m mit Rest r
Definition 3.1. 1 :
Ist a ∈ZZ und m ∈ IN* und ist a = v.m + r , so heißt a dargestellt mit der
Division durch m mit Rest r .
Gilt zusätzlich v.m ≤ a < v.(m+1) bzw. gilt 0 ≤ r < m , so heißt a dargestellt mit
der Division durch m mit dem kleinsten nicht negativen Rest r .
m
Gilt zusätzlich | r | ≤ 2 , so heißt a dargestellt mit der Division durch m mit dem
Anmerkung:
Es ist
absolut kleinsten Rest r .
Im folgenden wird zunächst als Division mit Rest immer die Darstellung mit kleinstem
nicht negativen Rest r verwendet.
r = a – v.m . Ist r = 0 , so ist a durch m teilbar.
27 = 6.4 + 3
56 = 8.7 + 0
122 = 8.11 + 1
526 = 21.25 + 1
Beispiele:
3.2
– 72 = – 6.13 + 6
12560 = 738.17 + 14
23020 = 1000.23 + 20
56809 = 1234.46 + 45
Begriff der Kongruenz
Definition 3.2. 1 :
∧ ∧
[ a heißt kongruent zu b modulo m :⇔ m | a – b ]
m∈IN* a,b∈Z
In Zeichen:
∧ ∧
m∈IN* a,b∈Z
[ a ≡ b (mod m) :⇔ m | a – b ]
Ist m |/ a – b , so heißt a inkongruent zu b modulo m .
In Zeichen:
[ a ≡/ b (mod m) :⇔ m |/ a – b ]
∧ ∧
m∈IN* a,b∈Z
27 ≡ 3 (mod 4)
Beispiele:
56 ≡ 0 (mod 7)
122 ≡ 1 (mod 11)
526 ≡ 1 (mod 25)
Satz 3.2. 1 :
∧ ∧
m∈IN* a,b∈Z
Beweis:
⇐
Ο
⇒
Ο
72 ≡ 7 (mod 13)
12560 ≡ 14 (mod 17)
23020 ≡ 20 (mod 23)
56809 ≡ 45 (mod 46)
[ a ≡ b (mod m) ⇔ a = v1.m + r1
∧ b = v2.m + r2
∧ 0 ≤ r1, r2 < m ∧ r1 = r2 ]
a = v1.m + r1
∧ b = v2.m + r2 ∧ 0 ≤ r1, r2 < m ∧ r1 = r2
⇒ a – b = v1.m + r1 – v2.m – r2 = ( v1 – v2 ) . m
⇒ m | a–b
⇒
a ≡ b (mod m)
a ≡ b (mod m)
Ist a = v1.m + r1 ∧ b = v2.m + r2 ∧ 0 ≤ r1, r2 < m , so gilt
a ≡ b (mod m) ⇒ m | a–b ⇒ m | v1.m + r1 – v2.m – r2
⇒ m | ( v1 – v2 ) . m + (r1 – r2) ⇒ m | (r1 – r2)
Da r1 – r2< m ⇒ r1 – r2= 0 ⇒ r1 = r2
Folgerung:
Läßt a bei Division durch m den Rest r , so ist a ≡ r (mod m). Beweis aus Satz 3.2. 1 .
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Satz 3.2. 2 :
∧ ∧
∧ ∧
m∈IN* a,b∈Z
[ a ≡ b (mod m) ist eine Äquivalenzrelation in ZZ, das heißt
(1)
a ≡ a (mod m)
Reflexivität
(2)
a ≡ b (mod m) ⇒ b ≡ a (mod m)
Symmetrie
(3)
a ≡ b (mod m)
m∈IN* a,b∈Z
∧ b ≡ c (mod m) ⇒ a ≡ c (mod m)
Transitivität
Beweis:
3.3
(1)
(2)
(3)
m|a–a=0
m | a – b ⇒ m | – (a – b) = b – a
m |a–b ∧ m |b–c ⇒ m |a–b+ b–c= a–c
Restklassen
∧ ∧
Definition 3.3. 1 :
m∈IN* a,b∈Z
[ Rm(a) = { x ∈ZZ
| x ≡ a (mod m) } ]
Rm(a) heißt die Restklasse a modulo m.
Beispiele für Restklassen:
Restklassen mod 7
. . . , –21, –14, –7, 0, 7, 14, 21, . . .
. . . , –20, –13, –6, 1, 8, 15, 22, . . .
. . . , –19, –12, –5, 2, 9, 16, 23, . . .
. . . , –18, –11, –4, 3, 7, 17, 24, . . .
. . . , –17, –10, –3, 4, 7, 18, 25, . . .
. . . , –16, –9, –2, 5, 7, 19, 26, . . .
. . . , –15, – 8, –1, 6, 7, 20, 27, . . .
∈ R7(0)
∈ R7(1)
∈ R7(2)
∈ R7(3)
∈ R7(4)
∈ R7(5)
∈ R7(6)
Restklassen mod 6
. . . , –18, –12, –6, 0, 6, 12, 18, . . .
. . . , –17, –11, –5, 1, 7, 13, 19, . . .
. . . , –16, –10, –4, 2, 8, 14, 20, . . .
. . . , –15, – 9, –3, 3, 9, 15, 21, . . .
. . . , –14, – 8, –2, 4, 10, 16, 22, . . .
. . . , –13, –7, –1, 5, 11, 17, 23, . . .
∈ R6(0)
∈ R6(1)
∈ R6(2)
∈ R6(3)
∈ R6(4)
∈ R6(5)
Restlklassen mod 2
. . . , –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, . . .
. . . , –5, –3, –1, 1, 3, 5, 7, . . .
∈ R2(0)
∈ R2(1)
Restlklassen mod 1
. . . , –3, –2, –1, 0, 2, 2, 3, . . .
∈ R1(0) = ZZ
Satz 3.3. 1 :
∧
m −1
[ ZZ =
m∈IN*
Beweis:
1. ZZ ⊂
U Rm(i)
(gerade Zahlen)
(ungerade Zahlen)
∧ Rm(i) ∩ Rm(j) = ∅ für i ≠ j ( 0 ≤ i,j ≤ m–1) ]
i= 0
m −1
U
Rm(i)
i= 0
a ∈ ZZ
⇒
a = k.m + r mit 0 ≤ r < m ⇒ a ∈ Rm(r) ⇒ a ∈
m −1
U
Rm(i)
i= 0
Andererseits ist jedes Element einer Restklasse ein ganze Zahl, also
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m −1
U
Rm(i) ⊂ ZZ . Insgesamt also ZZ =
i= 0
m −1
U
Rm(i) .
i= 0
2. Der zweite Teil des Satzes läßt sich wie folgt beweisen:
Angenommen, es gäbe eine Zahl a mit a ∈ Rm(i) ∩ Rm(j) mit i ≠ j.
⇒ a ∈ Rm(i) ∧ a ∈ Rm(j) ⇒ a ≡ i (mod m) ∧ a ≡ j (mod m)
⇒ i ≡ j (mod m) wegen der Transitivität der Kongruenz ⇒ m | i – j
⇒ (zusammen mit | i – j | < m ) i = j im Widerspruch zu i ≠ j.
Satz 3.3. 2 :
∧ ∧
m∈IN* a,b∈Z
⇐
Ο
Beweis:
⇒
Ο
[ Rm(a) = Rm(b)
a ≡ b (mod m)
⇔ a ≡ b (mod m) ]
∧ x ∈ Rm(a) , also x ≡ a (mod m)
⇒
x ≡ b (mod m) wegen der Transitivität der Kongruenzrelation
⇒
x ∈ Rm(b)
⇒
Rm(a) ⊂ Rm(b)
Analog zeigt man
Rm(b) ⊂ Rm(a)
⇒
Rm(a) = Rm(b)
Rm(a) = Rm(b) , so ist mit x ≡ a (mod m) auch x ≡ b (mod m)
und damit wegen der Symmetrie und der Transitivität der Kongruenzrelation
a ≡ b (mod m) .
Beispiele:
R7(1) = R7(–6) = R7(8) = R7(15) = R7(22) = R7(–13)
R6(–12) = R6(–6) = R6(0) = R6(6) = R6(12) = R6(18)
Mit Kongruenzen nach demselben Modul kann man auch rechnen, das heißt Kongruenzen addieren
und subtrahieren, multiplizieren und potenzieren. Dabei muß man natürlich nachweisen, daß die Kongruenzrelation verträglich mit der Addition, Multiplikation und dem Potenzieren ist. Dies garantiert der
nächste Satz.
Satz 3.3. 3 :
1.
2.
3.
∧ ∧
∧ ∧
∧ ∧
m∈IN* a1,a2,b1,b2 ∈Z
m∈IN* a1,a2,b1,b2 ∈Z
m∈IN* a,b∈Z
Beweis: 1.
2.
3.
m | a1 – b1
[ a1 ≡ b1 (mod m)
∧ a2 ≡ b2 (mod m) ⇒ a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod m) ]
[ a1 ≡ b1 (mod m)
∧ a2 ≡ b2 (mod m) ⇒ a1 . a2 ≡ b1 . b2 (mod m) ]
[ a ≡ b (mod m) ⇒ an ≡ bn (mod m) ]
∧ m | a2 – b2
⇒
m | a1 – b1 + a2 – b2
nach Folgerung 1 aus
Satz 1.1. 2
⇒ m | ( a1 + a2 ) – ( b1 + b2 )
⇒ a1 + a2 ≡ b1 + b2 (mod m)
m | a1 – b1 ∧ m | a2 – b2 ⇒ m | b2 ( a1 – b1 ) + a1 ( a2 – b2 ) nach Satz 1.1. 2
⇒ m | a1 a2 – b1 b2
⇒ a1 . a2 ≡ b1 . b2 (mod m)
durch vollständige Induktion
Ind.Anf.:
n=2
a ≡ b (mod m) ⇒ a2 ≡ b2 (mod m)
folgt aus 2. für a1 = a2 = a und b1 = b2 = b
Ind.Vor.:
n=k
a ≡ b (mod m) ⇒ ak ≡ bk (mod m)
Ind.Beh.
n = k+1 a ≡ b (mod m) ⇒ ak+1 ≡ bk+1 (mod m)
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Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
a ≡ b (mod m) ∧ ak ≡ bk (mod m) ⇒ ak+1 ≡ bk+1 (mod m)
folgt aus 2. für a1 = a ∧ a2 = ak ∧ b1 = b ∧ b2 = bk
Ind.Schluß
Eine Verallgemeinerung dieses Satzes ergibt:
Satz 3.3. 4 :
1.
∧ ∧
∧
[ ai ≡ bi (mod m) ⇒
∧ ∧
∧
[ ai ≡ bi (mod m) ⇒
m∈IN* ai,bi,∈Z i∈{1,2,...,n}
2.
m∈IN* ai,bi,∈Z i∈{1,2,...,n}
n
n
i=1
n
i=1
n
∑ ai ≡ ∑ bi
(mod m) ]
∏ ai ≡ ∏ bi
i=1
(mod m) ]
i=1
Beweis: durch vollständige Induktion
1.
Ind.Anf.
n=2
ist in Satz 3.3. 3 bewiesen.
Ind.Vor.
n=k
ai ≡ bi (mod m) ⇒
k
ai ≡ bi (mod m) ⇒
Ind.Beh. n = k+1
Ind.Schluß
∑ bi
(mod m)
∑ ai ≡ ∑ bi
(mod m)
i=1
k +1
i=1
k +1
i=1
k
∧
∧
i=1
(mod m)
i=1
∧ ak+1 ≡ bk+1 (mod m)
ai ≡ bi (mod m)
i ∈{1, 2,..., k}
k
(
i=1
k
∑ ai ≡ ∑ bi
ai ≡ bi (mod m) ⇒
i ∈{1, 2,..., k}
⇒
∑
k
ai ≡
k
∑ ai) + ak+1 ≡ ( ∑ bi )
i=1
+ bk+1 (mod m)
i=1
nach Induktionsvoraussetzung und nach Satz 3.3. 3
k +1
i=1
i=1
∑
⇒
2.
k +1
ai ≡
∑ bi
(mod m)
Ind.Anf.
n=2
ist in Satz 3.3. 3 bewiesen.
Ind.Vor.
n=k
ai ≡ bi (mod m) ⇒
k
k
∏a ∏b
i
i =1
k +1
ai ≡ bi (mod m) ⇒
Ind.Beh. n = k+1
Ind.Schluß
i
i =1
k
i ∈{1, 2,..., k}
i ∈{1, 2,..., k}
ai ≡ bi (mod m) ⇒
(
i =1
(mod m)
i
(mod m)
k
i
i =1
i
(mod m)
∧ ak+1 ≡ bk+1 (mod m)
ai ≡ bi (mod m)
∏a
i
∏a ≡ ∏b
i =1
k
⇒
i =1
k +1
∏a ≡ ∏b
i =1
∧
∧
≡
k
) + ak+1 ≡ (
i
∏b
i =1
i
) + bk+1 (mod m)
nach Induktionsvoraussetzung und nach Satz 3.3. 3
k +1
⇒
k +1
∏a ≡ ∏b
i =1
i
i =1
i
(mod m)
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Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
Folgerungen aus Satz 3.3. 3 :
1.
∧ ∧
∧ ∧
m∈IN* a,b,c∈Z
2.
m∈IN* a,b,c∈Z
Beweis:
[ a ≡ b (mod m)
⇒ a + c ≡ b + c (mod m) ]
[ a ≡ b (mod m)
⇒ a . c ≡ b . c (mod m) ]
Da c ≡ c (mod m) folgt dies aus Satz 3.3. 3 2. bzw. 3. für a1 = a
∧ a2 = b2 = c
641 | 232 + 1 = 4 294 967 297
Eine Anwendung:
(Fermatsche Zahl für n =5)
641 = 5 . 128 + 1 = 5 . 27 + 1
5 . 27 + 1 ≡ 0 (mod 641)
5 . 27 ≡ –1 (mod 641)
(5 . 27 )4 ≡ (–1)4 (mod 641)
625 . 228 ≡ 1 (mod 641)
–16 . 228 ≡ 1 (mod 641)
–24 . 228 ≡ 1 (mod 641)
–232 ≡ 1 (mod 641)
232 ≡ –1 (mod 641)
232 +1 ≡ 0 (mod 641)
5
22 +1 ≡ 0 (mod 641)
5
641 | 22 +1
daher
und
∧
Definition 3.3. 2 :
n
[ a=
a∈Z
∑ ai b
i
∧ b1 = b
–1
mit 4 potenzieren
weil 625 ≡ –16 (mod 641)
. (–1)
+1
n
⇔: Q(a) =
i =1
∑ ai
heißt Quersumme von a ]
i =1
n
Ist eine Zahl a im Stellenwertsystem mit der Basis b dargestellt als
∑ a i bi ,
i =1
n
so heißt Q(a) =
∑ ai
die Quersumme von a bezüglich des
i =1
Stellenwertsystems mit der Basis b.
Satz 3.3. 5 :
Eine im Zehnersystem dargestellte Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme
durch 9 teilbar ist.
n
Beweis:
a=
∑ ai ⋅10i
i =1
Es gilt
a1 . 1 ≡ a1 (mod 9)
a2 . 10 ≡ a2 (mod 9)
a3 . 100 ≡ a3 (mod 9)
a4 . 1000 ≡ a4 (mod 9)
....................
an . 10n ≡ an (mod 9)
1 ≡ 1 (mod 9)
10 ≡ 1 (mod 9)
100 ≡ 1 (mod 9)
1000 ≡ 1 (mod 9)
.................
10n ≡ 1 (mod 9)
n
∑ ai ⋅10
⇒
i =1
Allgemein:
i
n
≡
∑ ai
(mod 9)
i =1
Eine im b-adischen System dargestellte Zahl ist durch b–1 teilbar, wenn ihre
Quersumme durch b–1 teilbar ist.
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Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
Definition 3.3. 3 :
∧
n
[ a=
a∈Z
∑ ai b
n
i
:⇔ Q´(a) =
∑ (−1)i ai
heißt alternierende
i =1
i =1
Quersumme von a bezüglich der Basis b ]
n
Ist eine Zahl a im Stellenwertsystem mit der Basis b dargestellt als
∑ a i bi ,
i =1
n
so heißt Q(a) =
∑ (−1)i ai
die alternierende Quersumme von a bezüglich
i =1
des Stellenwertsystems mit der Basis b.
3.4 Restsystem
Definition 3.4. 1 :
∧ ∧
∧
m∈IN* ai∈Z i,j∈{1,2,3,...,m}
[ 1≤i<j≤m
∧ ai ≡/ aj (mod m) :⇔
{ a1, a2, a3, . . . , am } heißt ein Restsystem modulo m ]
Ein Restsystem (mod m) enthält also aus jeder Restklasse (mod m) genau einen Vertreter, da zwei
verschiedene Elemente des Restsystems zu verschiedenen Restklassen (mod m) gehören und das
Restsystem m Elemente hat.
Das Restsystem { 0, 1, 2, . . . , m–1 } heißt auch kleinstes Restsystem (mod m).
(genauer: Restsystem mit den kleinsten nicht-negativen Resten).
Um eine Menge { a1, a2, a3, . . . , am } auf Restsystemeigenschaft (mod m) zu untersuchen, ersetzt
man jedes ai durch die kleinste nicht-negative Zahl in Rm(ai), d. h. man ersetzt ai durch den Rest,
den ai bei der Division durch m läßt (Reduktion auf den kleinsten nicht-negativen Rest).
Beispiele:
m=7
{ 12, –5, 20, –35, 22, 10, 60 }
geht über in
{ 5, 2, 6, 0, 1, 3, 4 }
also in { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Es handelt sich also um ein Restsystem.
4. Der größte gemeinsame Teiler
4.1
Definition des ggT
Definition 4.4. 1 :
∧
∧
ai∈Z i∈{1,2,3,...,n}
[ Sind die Zahlen a1, a2, a3, . . . , an (n≥1) nicht alle gleich 0,
Ta1 ∩ Ta2 ∩ Ta3 ∩ . . .
der größte gemeinsame Teiler der Zahlen a1, a2, a3, . . . , an . ]
Bezeichnung: ggT ( a1, a2, a3, . . . , an ) = ( a1, a2, a3, . . . , an )
dann heißt die größte Zahl in der Menge
∩ Tan
Ein solcher ggT existiert unter den gegebenen Bedingungen stets, da mindestens eine Teilermenge
endlich ist, also der Schnitt aller Teilermengen ebenfalls endlich, da jede Teilermenge die Zahl 1
enthält und eine endliche Menge natürlicher Zahlen wegen der linearen Ordnung der natürlichen
Zahlen ein größtes Element besitzt.
Im Falle n = 1 ist ggT(a) = |a| für a ≠ 0.
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Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
Regeln für den ggT
(1)
(2)
(3)
( a, b ) = ( –a, b ) = ( a, –b ) = ( –a, –b )
( a, 0 ) = (a) = |a| für a≠0
( a, 1 ) = 1
denn Ta = T–a und Tb = T–b
denn T0 = IN und Ta ∩ IN = Ta = T|a|
denn T1 = {1} und Ta ∩ {1} = {1}
Wegen der Regel 1 ist es für die Bestimmung von ( a, b ) ausreichend, sich auf a, b ∈ IN zu
beschränken.
Beispiele:
(12,42)
T12 = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }
T42 = { 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 }
T12 ∩ T42 = { 1, 2, 3, 6 }
ggT ( 12, 42 ) = 6
( 43962, 640782 )
T43962 = { 1, 2, 3, 6, 17, 34, 51, 102, 431, 862, 1293, 2586, 7327, 14654, 21981, 43962 }
T640782 = { 1, 2, 3, 6, 9, 18, 97, 194, 291, 367, 582, 734, 873, 1121, 1746, 2202, 3303, 6606,
35599, 71198, 106797, 213594, 320391, 640782 }
T43962 ∩ T640782 = { 1, 2, 3, 6 }
ggT( 43962, 640782 ) = 6
(253 647 581, 25 446 763 )
T253647581 = { 1, 11, 121, 2 096 261, 23 058 871, 253 647 581 }
T25446763 = { 1, 23, 1 106 381, 25 446 763 }
T253647581 ∩ T25446763 = { 1 }
ggT(253 647 581, 25 446 763 ) = 1
Darstellung des ggT im Hasse-Diagramm
ggT( 30, 42 )
30 = 2.3.5
42 = 2.3.7
ggT( 50, 125 )
50 = 2.52
125 = 53
30
42
125
50
15
5
10
21
6
2
3
14
7
5
2
1
1
4.2
25
10
Methoden zur Bestimmung des ggT
Primfaktorzerlegung
ggT ( 30, 42 )
30 = 2.3.5
ggT ( 36, 60 )
36 = 22.32
ggT( 43962, 640782 )
ggT(253 647 581, 25 446 763 )
42 = 2.3.7
( 30, 42 ) = 2.3 = 6
60 = 22.3.5
( 36, 60 ) = 22.3 = 12
.
.
43962 = 2 3 17.431
640782 = 2.32.97.367
( 43962, 640782 ) = 2.3 = 6
2
.
253 647 581 = 11 2096261
25 446 763 = 23.1106381
(253 647 581, 25 446 763 ) = 1
Seite 24
Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
Euklidischer Algorithmus
Kann man kein CAS zu Hilfe nehmen, sind die Berechnungen der Teilermengen oder der Primfaktorzerlegung, wie sie in den obigen Beispiele durchgeführt wurden, kaum machbar. Zieht man aber den
Satz 1.1. 2 heran, so kann man aus diesem folgern
∧
a,b, c, d∈Z
Das bedeutet aber
und daher
[ d|a
∧ d | b ⇔ d | a ∧ d | b – ca ]
Ta ∩ Tb = Ta ∩ Tb–ca
ggT( a, b ) = ggT ( a, b–ca )
Der Wert des größten gemeinsamen Teilers von zwei Zahlen ändert sich also nicht, wenn man ein
Vielfaches der einen Zahl von der anderen Zahl abzieht.
Dies läßt sich auch für endlich viele Zahlen verallgemeinern.
Zunächst eines der obigen Beispiele :
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
( 640 782, 43962 )
( 640 782 – 14.43962, 43 962 )
( 25 314, 43 962 )
( 25 314, 43 962 – 1.25 314 )
( 25 314, 18 648 )
( 25 314 – 1 .18 648, 18 648 )
( 6666, 18 648 )
( 6666, 18 648 – 2.6666 )
( 6666, 5316 )
( 6666 – 5316, 5316 )
( 1350, 5316 )
( 1350, 5316 – 3.1350 )
( 1350, 1266 )
( 1350 – 1.1266, 1266 )
( 84, 1266 )
( 84, 1266 – 15.84 )
( 84, 6 )
( 84 – 14.6, 6 )
( 0, 6 )
6
d. h.
( 640 782, 43962 ) = 6
Man subtrahiert also immer ein solches Vielfache einer Zahl von der anderen, daß ein möglichst kleiner
nicht-negativer Rest bleibt. Man führt also Divisionen mit Rest durch. Dieses Verfahren nennt man den
Euklidischen Algorithmus, weil er sich bereits bei Euklid findet.
Definition 4.2. 1 :
∧
a,b,ni,ri∈IN
[ Folgende Kette von Divisionen mit Rest heißt Euklidischer
Algorithmus für a und b :
a
= nb
+
r
b
= n1 r
+
r1
r
= n2 r1
+
r2
r1 = n3 r2
+
r3
.......................
rk–2 = nk rk–1 +
rk
rk–1 = nk+1 rk +
0
Seite 25
0<r<b
0 < r1 < r
0 < r2 < r1
0 < r3 < r2
0 < rk < r k–1
rk+1 = 0
Beispiel:
368 = 1.264 + 104
264 = 2.104 + 56
104 = 1.56 + 48
56 = 1.48 + 8
48 = 6.8 + 0
]
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Da die Folge der Reste monoton abnimmt, muß notwendigerweise einmal der Rest 0 erreicht werden,
denn alle auftretenden Zahlen sind Elemente von IN und IN hat als kleinste Zahl 0.
Daraus folgt der
Satz 4.2. 1 :
Der Euklidische Algorithmus, angewandt auf das Zahlenpaar ( a, b ) mit b ≠ 0, liefert mit
seinem letzten von Null verschiedenen Rest den ggT(a,b).
oder anders ausgedrückt
In den Bezeichnungen der Definition 4.2. 1 ist
Trk = Ta ∩ Tb und damit rk = ggT ( a, b )
Beweis:
Man lese die Kette von Divisionen im Euklidischen Algorithmus von unten nach oben.
Dann gilt wegen Satz 1.1. 2
rk | rk–1 ⇒
rk | rk–2
⇒
rk | rk–3
usw. bis schließlich
⇒
rk | r2
⇒
rk | r1
⇒
rk | b
⇒
rk | a
Es ist also rk ∈ Ta ∩ Tb und daher
Trk ⊂ Ta ∩ Tb
Ist nun d ∈ Ta
∩ Tb , so ist wegen Folgerung 2 aus Satz 1.1. 2 , wenn man die
Divisionskette von oben nach unten liest
d|r
⇒ d | r1
⇒ d | r2 ⇒ . . . .
Daher ist
Bemerkung:
Trk = Ta
Ta
⇒
d | rk .
∩ Tb ⊂ Trk , insgesamt also Trk = Ta ∩ Tb .
∩ Tb bedeutet:
d|a
∧ d|b
⇔
d | ggT( a, b )
Die Menge der gemeinsamen positiven Teiler von a und b stimmt mit der Menge der
positiven Teiler von ggT(a,b) überein.
Schema für den Euklidischen Algorithmus
r1
a
b
r
n
n
n
1
2
r2
n3
rk–2
nk–1
rk–1
nk
rk
nk+1
Beispielsweise sieht für den ggT(4081,2585) dieses Schema so aus:
4081
2585
1496
1089
407
275
132
1
1
1
2
1
2
11
12
0
...
...
Also ist ggT(4081,2585) = 11 .
Rechnet man nun diese Rechnungen rückwärts, so ergibt sich
11 =
=
=
=
=
=
11 =
Also ist
275 – 2 . 132
275 – 2 . (407 – 1 . 275)
3 . 275 – 2 . 407
3 . (1089 – 2 . 407) – 2 . 407
3 . 1089 – 8 . 407
.....
30 . 2585 – 19 . 4081
ggT(4081,2585) = u . 2585 + v . 4081 = 30 . 2585 – 19 . 4081
Rechnet man den Euklidischen Algorithmus zurück, so zeigt sich also der
Seite 26
Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
∧∨
Satz 4.2. 2 :
a,b ∈Z u, v ∈Z
a,b ∈ IN
Man schreibt die Gleichungen des Euklidischen Algorithmus als
r = a – nb
r1 = b – n1 r
r2 = r – n2 r1
r3 = r 1 – n3 r2
.............
rk = rk–2 – nk rk–1
und setzt ein.
Beweis: OBdA
Folgerung:
Beweis:
[ ggT(a,b) = u a + v b ]
∧
[ {ax + by
a,b ∈Z
|
x ∈ZZ
Nach Satz 1.1. 2 ist
also
∧
∨
∧ y ∈ZZ } = { ggT(a,b) . z | z ∈ZZ } ]
x, y ∈Z
z ∈Z
[ ggT(a,b) | a x + b y ]
[ a x + b y = ggT(a,b) . z ]
Andererseits folgt aus Satz 4.2. 2
∧∨
z ∈Z x, y ∈Z
[ ggT(a,b) . z = a x + b y ]
Die Darstellung ggT(a,b) = u a + v b heißt eine Vielfachsummendarstellung von ggT(a,b).
Dabei sind u und v nicht eindeutig bestimmt. Zum Beispiel ist
(85,65) = 5 = (–3).85 + 4.65 . Es ist aber auch
65
85
[ 5 = ( –3 + t . ) . 85 + ( 4 – t . ). 65 ] ,
∧
5
t ∈Z
5
da die hinzugekommen Summanden sich wieder herausheben.
Mögliche Zahlenpaare für (u,v) sind demnach (–3,4), (62,–81), (127,–166), (–68,89), (–133,174), . . .
Regeln für den ggT
(1)
(2)
(3)
ggT(a,b) = ggT(b,a) weil
Ta ∩ Tb = Tb ∩ Ta
ggT(ggT(a,b),c) = ggT(a, ggT(b,c)) = ggT(a,b,.c)
weil (Ta ∩ Tb ) ∩ Tc = Ta ∩ (Tb ∩ Tc )
ggT(a1, a2, a3, . . . , an) = ggT( ggT(a1, a2), a3, . . . , an)
weil weil Ta1 ∩ Ta2 ∩ Ta3 ∩ . . . ∩ Tan = (Ta1 ∩ Ta2 )
Kommutativität
Assoziativität
allgemeine Assoziativität
∩ Ta3 ∩ . . . ∩ Tan
Beispiel:
ggT(18, –24, –48, 90) = ggT( ggT(18, –24), –48, 90) = ggT(6, –48, 90)
= ggT( ggT(6, –48), 90) = ggT(6, 90) = 6
Satz 4.2. 3 :
∧
a,b, c ∈Z
[ ggT(a,b) = 1
∧ b | ac ⇒ b | c ]
in Worten: Ist ein Teiler eines Produktes zu dem einen Faktor teilerfremd (Definition
von „teilerfremd“ siehe unten) , so ist er ein Teiler des anderen Faktors.
Beweis:
∨
u, v ∈Z
(1 = ua + vb )
nach Satz 4.2. 2
⇒
c = cua + cvb
nach Satz 1.1. 2 gilt dann b | ac
∧ b | bc ⇒
Seite 27
b|c
Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
∧ ∧
Definition 4.2. 2 :
a ∈Z i, j∈{1, 2, 3,...,n}
i
[ Die Zahlen a1, a2, . . . , an heißen teilerfremd zueinander
:⇔
ggT(a1, a2, . . . , an) = 1 ]
[ Die Zahlen a1, a2, . . . , an heißen paarweise teilerfremd
∧
:⇔
[ i ≠ j ⇒ ggT(ai, aj) = 1 ]
i, j∈{1, 2, 3,...,n}
Sind die Zahlen a1, a2, . . . , an paarweise teilerfremd, dann sind sie auch teilerfremd; das Umgekehrte
muß nicht gelten.
Beispiele:
Die Zahlen 2, 3, 4, 10 sind teilerfremd, aber nicht paarweise teilerfremd.
Die Zahlen 4, 9, 11, 49 sind paarweise teilerfremd, also auch teilerfremd.
4.3
Eigenschaften des ggT
∧ ∧
Satz 4.3. 1 :
n
I Ta
[
i
i∈{1, 2,...,n} ai∈Z
= TggT(a1, a2, . . . , an) ]
i=1
anders ausgedrückt:
∧ d | a2 ∧ . . . ∧ d | an ⇔ d | ggT(a1, a2, . . . , an)
d | a1
Beweis: durch vollständige Induktion
1
Ind.Anf.:
I Ta
n=1
i
= TggT(a1)
Aussage trivial
= TggT(a1, a2)
gilt nach Satz 4.2. 1
i=1
2
I Ta
n=2
i
i=1
k
Ind.Anf.
I Ta
n=k
i
= TggT(a1, a2, . . . , ak)
i=1
k +1
Ind.Beh.:
n = k+1
I Ta
i
= TggT(a1, a2, . . . , ak+1)
i=1
n
Ind.Schluß:
I Ta
i
= TggT(a1, a2, . . . , ak)
∩ Tk+1 = TggT(a1, a2, . . . , ak+1) da richtig für n = 2
i=1
oder
Ind.Anf.:
Ind.Vor.:
Ind.Beh.:
Ind.Schluß:
Satz 4.3. 2 :
n=1
d | a1 ⇔ d | ggT(a1)
Aussage trivial
n=2
d | a1 ∧ d | a2 ⇔ d | ggT(a1, a2,) gilt nach Satz 4.2. 1
n=k
d | a1 ∧ d | a2 ∧ . . . ∧ d | ak ⇔ d | ggT(a1, a2, . . . , ak)
n = k+1
d | a1 ∧ d | a2 ∧ . . . ∧ d | ak+1 ⇔ d | ggT(a1, a2, . . . , ak+1)
d | a1 ∧ d | a2 ∧ . . . ∧ d | ak ∧ d | ak+1
⇔ d | ggT(a1, a2, . . . , ak) ∧ d | ak+1
⇔ d | ggT(a1, a2, . . . , ak+1)
nach Satz 4.2. 1
∧ ∧∨
i∈{1,2,...,n} ai∈Z
n
[ ggT(a1, a2, . . . , an) =
ui∈Z
∑u ⋅a
i
i=1
Seite 28
i
]
Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
Beweis: durch vollständige Induktion
Ind.Anf.:
∨
∧ ∨
∧ ∧∨
∧ ∧∨
ggT(a1) = a1 = 1 . a1
n=1
Aussage trivial
1 ∈Z
n=2
2
[ ggT(a1, a2) =
a1,a 2 ∈Z u1,u2 ∈Z
Ind.Vor.:
n=k
i
] wegen Satz 4.2. 2
i
i=1
k
∑u ⋅a
[ ggT(a1, a2, . . . , ak) =
i∈{1,2,...,k} ai∈Z
Ind.Beh.:
∑u ⋅a
n = k+1
i
ui∈Z
k +1
[ ggT(a1, a2, . . . , ak+1) =
i∈{1,2,...,k +1} ai∈Z
Ind.Schluß:
ui∈Z
ggT(a1, a2, . . . , ak+1) = ggT(ggT(a1, a2, . . . , ak), ak+1)
k
= ggT (
k
∑ ui ⋅ ai , ak+1) = v ∑ ui ⋅ ai + vk+1 ak+1 =
i=1
Satz 4.3. 3 :
∧ ∧∧
]
i
i=1
i=1
∑u ⋅a
i
i
]
i=1
k +1
∑ v ⋅a
i
i
(mit v ui = vi)
i=1
[ ggT(a1, m) = ggT(a2, m) = ggT(a3, m) = . . . = ggT(an, m) = 1
i∈{1,2,...,n} ai∈Z m∈Z
n
⇒
ggT (
∏a , m ) = 1 ]
i
i=1
Beweis: Nach Satz 4.2. 2
1 =
1 =
1 =
gibt es ganze Zahlen u1, u2, . . . , un ∈ZZ und v1, v2, . . . , vn ∈ZZ mit
u1 a1 + v1 m
u2 a2 + v2 m
u3 a3 + v3 m
. . .
...
. . .
Daraus folgt
Satz 4.3. 4 :
1 = un an + vn m
1 = (u1 a1 + v1 m) (u2 a2 + v2 m) (u3 a3 + v3 m) . . . (un an + vn m)
= u1u2u3 . . .un . a1a2a3 . . .an + v . m
∧ ∧∧
i∈{1,2,...,n} ai∈Z d∈IN*
Beweis:
⇒
Ο
a
[ d = ggT (a1, a2, . . . , an) ⇔ ggT ( d1,
Ist d = ggT (a1, a2, . . . , an) so ist nach Satz 4.3. 2
n
∑u ⋅a
d =
i
mit
i
i =1
n
1 =
⇒
1 = ggT ( d1,
∧
Da
d | ai
a
a2
an
d, . . . , d )
∧ 1=
n
∑ u ⋅ ad
i
i
∧ t = ggT (a1, a2, . . . , an)
i =1
d|t
nach Satz 4.3. 1
∧
t | ai
t
d
=1
i∈{1,2,...,n}
⇒
ui ∈ ZZ
i
i
i∈{1,2,...,n}
⇒
∧
i∈{1,2,...,n}
∑ u ⋅ ad
⇒
i =1
⇐
Ο
a2
an
d, . . . , d )
t
a
gilt d | ggT ( d1,
⇒
t = d
Seite 29
a2
an
d, . . . , d ) = 1
= 1 ]
Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
Die Bestimmung des ggT zweier Zahlen a und b durch Primfaktorzerlegung beruht auf dem folgenden
Satz
Satz 4.3. 5 :
∧
a,b ∈IN*
∞
∞
i
[ a = ∏ pα
und b =
i
∏ pβi i
i =1
∞
⇒
ggT(a,b) =
i =1
∏ pmin(α ,β )
i
i
i
]
i =1
∞
Beweis:
Es sei d =
∏ pmin(α ,β ) .
i
i =1
min(αi,βi) ≤ αi
⇒
∧ min(αi,βi) ≤ βi
⇒
⇒
⇒
⇒
∧ d|b
d|a
nach Satz 2.4. 1
d | ggT(a,b)
Ist andererseits t | a
⇒
i
i
∧
∧
i∈IN*
∞
∧ t|b
mit t =
∧ τi ≤ βi ]
[ τi ≤ αi
∏ pτ
i
i
i =1
[ τi ≤ min(αi,βi) ]
i∈IN*
t|d
d ist der größte Teiler unter den gemeinsamen Teilern von a und b.
Den Satz 4.3. 5 kann man einfach erweitern für mehr als zwei Zahlen aus IN*, da gilt
min (r,s,t) = min (min(r,s),t)
Das Rechenverfahren für die ggT-Bestimmung kann man also auf n natürliche Zahlen erweitern.
Für den Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung (Fundamentalsatz der Zahlentheorie, Satz
2.3. 1 ) mußte die Existenz der Primfaktorzerlegung und die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung
(bis auf die Reihenfolge) bewiesen werden. Mit Hilfe des Satzes 4.2. 3 kann man für die
Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung einen anderen Beweis formulieren.
Aus dem Satz 4.2. 3 leitet man erst einen Hilfssatz ab.
Hilfssatz 4.3. A :
∧ ∧
i∈{1, 2,...,k}
Beweis:
1. Fall
⇒
2. Fall
[ p | q1.q2.q3. . . . .qk ⇒
p, qi∈P
ggT(p,qi) ≠ 1
⇒
p | qi ⇒
p = qi
ggT(p,qi) = 1
⇒
Fall 2.1 ggT(p,q2) ≠ 1
⇒
p | q2
⇒
Fall 2.2 ggT(p,qi) = 1
Fall 2.11
bis schließlich p | qk
∨
p = qi ]
i∈{1, 2,...,k}
ggT(p,qi) = p (da TP = { 1, p } )
(weil qi eine Primzahl ist)
p | q2 .q3. . . . . . qk
nach Satz 4.2. 3
⇒ ggT(p,q2) = p (da TP = { 1, p } )
p = q2 (weil q2 eine Primzahl ist)
⇒
p | q2 . q3. . . . . . qk
⇒
usw.
⇒
p = qk (weil qk eine Primzahl ist)
Beweis für die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung
Angenommen n besitzt zwei Primfaktorzerlegungen n = p1 .p2. . . . . . pr und n = q1 .q2. . . . . . qs .
p1 | n ⇒ p1 | q1 .q2. . . . . . qs ⇒
p1 = qi
∨
i∈{1, 2,..., s}
⇒ oBdA
p1 = q1 da es auf die Reihenfolge nicht ankommt.
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Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
Aus p1 .p2. . . . . . pr = q1 .q2. . . . . . qs ergibt sich durch Kürzen
Wie eben gilt: p2 | n ⇒ p2 | q2 .q3. . . . . . qs
⇒
∨
p2 .p3. . . . . . pr = q2 .q3. . . . . . qs
p2 = qi
i∈{2, 3,..., s}
⇒ oBdA p2 = q2 da es auf die Reihenfolge nicht ankommt.
Setzt man diese Überlegung fort, so erhält man schließlich nach endlich vielen Schritten
r=s
∧
pi = qi
∧
i∈{1, 2,...,r}
Will man diese etwas anschauliche Formulierung mathematisch exakt aufschreiben, so verwendet man
wieder das Induktionsprinzip.
5. Das kleinste gemeinsame Vielfache
5.1
Definition des kgV
-
Methoden zur Bestimmung des kgV
∧ ∧
Definition 5.1. 1 :
[ Va = { x ∈ IN*
|
a | x } heißt Menge aller positiven Vielfachen
i∈{1,2,...,n} ai∈Z
von a oder kurz Vielfachenmenge von a. ]
Beispiele:
ferner gilt
V0 = ∅
, denn keine natürliche Zahl ist durch 0 teilbar.
V1 = IN*
, denn jede natürliche Zahl ist durch 1 teilbar.
V2 = { 2, 4, 6, 8, . . . }
, denn jede gerade Zahl ist durch 2 teilbar.
V12 = { 12, 24, 36, 48, . . . } = R12+* (0) ,
Va = V–a = V|a|
nach der Definition 5.1. 1
∧ ∧
Definition 5.1. 2 :
i∈{1,2,...,n} ai∈Z
[ Va1
∩ Va2 ∩ . . . ∩ Van heißt Menge der gemeinsamen
positiven Vielfachen der Zahlen a1, a2, . . . , an. ]
Die Menge der gemeinsamen positiven Vielfachen von a1, a2, . . . , an ist nicht leer, wenn kein ai = 0
ist. Da jede nicht-leere Teilmenge von IN* ein kleinstes Element besitzt, kann man das kleinste
gemeinsame Vielfache von Zahlen a1, a2, . . . , an definieren.
∧ ∧
Definition 5.1. 3 :
i∈{1,2,...,n}
ai∈Z*
[ Die kleinste Zahl in der Menge Va1
∩ Va2 ∩ . . . ∩ Van
heißt das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen a1, a2, . . . , an. ]
Schreibweise: kgV(a1, a2, . . . , an) oder [a1, a2, . . . , an].
Ist eine der Zahlen a1, a2, . . . , an gleich Null, so setzt man [a1, a2, . . . , an] = 0.
In dieser Definition ist auch der (triviale) Fall n = 1 eingeschlossen. Es gilt nämlich
∧
kgV(a) = |a| .
a ∈Z
Regeln für das kgV:
1.
∧
[ kgV(a,b) = kgV(–a,b) = kgV(a,–b) = kgV(–a,–b) ]
a,b ∈Z
denn nach Satz 5.1. 1 ist Va = V–a
2.
∧ Vb = V–b
kgV(a,1) = kgV(a) = |a|
denn V1 = IN*
Va ∩ IN* = Va = V|a|
Seite 31
Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
Nach der Definition 5.1. 3 ist es für die Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen
ausreichend, sich auf natürliche Zahlen zu beschränken.
Beispiel:
V12 = { 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, . . . . }
V15 = { 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, . . . . }
V12 ∩ V15 = {
60,
120,
. . . . }
kgV(12,15) = 60
Einen Zusammenhang zwischen dem ggT zweier Zahlen und deren kgV zeigt der folgende Satz.
Satz 5.1. 1 :
∧
[ kgV(a,b) =
ab
ggT(a,b)
]
Die ganze Zahl v =
ab
ggT(a,b)
= a.
a,b ∈IN*
Beweis:
b
ggT(a,b)
=
a
ggT(a,b)
. b ist ein gemeinsames
Vielfaches von a und b .
Ist nun w ebenfalls ein gemeinsames Vielfaches von a und b , so betrachtet man
w
w . ggT(a,b)
=
.
v
a.b
den Bruch
Nach Satz 4.2. 2 gibt es zwei Zahlen x und y , so daß ggT(a,b) = x.a + y.b .
Setzt man dies für ggT(a,b) ein, so erhält man
w
v
=
w . ggT(a,b)
a.b
=
w
v
=
w . (x a + y b )
a.b
=
wx
b
+
wy
a
Die Glieder dieser Summe sind ganze Zahlen, da a | w und b | w .
w
Also ist auch v eine ganze Zahl und damit v | w .
⇒
⇒
Jedes gemeinsame Vielfache von a und b ist ein Vielfaches von v .
v ist das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b .
Aus diesem Beweis ergibt sich die Tatsache, daß jedes gemeinsame Vielfache von a und b ein
Vielfaches des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von a und b ist. Daraus folgt:
Satz 5.1. 2 :
∧
[ Va
a,b ∈IN*
∩ Vb = VkgV(a,b) . ]
Anders ausgedrückt:
∧
a,b, v ∈Z
Beispiele:
V12
∩ V15 = V60
[ a|v
∧ b | v ⇔ kgV(a,b) | v ]
∧ V3 ∩ V11 = V33
Wenn 12 Teiler von 180 ist und 15 Teiler von 180 , dann ist auch 60 Teiler von
180. Wenn 3 Teiler von 330 ist und 11 Teiler von 330 ist, dann ist auch 33 Teiler
von 330.
Rechenregeln für das kgV:
∩ Vb = Vb ∩ Va
denn (Va ∩ Vb ) ∩ Vc ) = Va ∩ (Vb ∩ Vc )
2. kgV(kgV(a,b),c) = kgV(a,kgV(b,c))
3. kgV(a1, a2, . . . , an) = kgV(kgV(a1, a2,), a3, a4, . . . , an) denn Va1 ∩ Va2 ∩ . . . ∩ Van = (Va1 ∩
Va2 ) ∩ Va3 ∩ Va4 ∩ . . . ∩ Van
denn Va
1. kgV(a,b) = kgV(b,a)
Beispiel:
kgV(60, 15, 22, 10) = kgV(kgV(60,15), 22, 10) = kgV(60, 22, 10)
= kgV (kgV(60,22), 10) = kgV(660, 10) = 660
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5.2
Eigenschaften des kgV
Satz 5.2. 1
∧
∧
[ Va
1
ai∈Z i∈{1,2,...,n}
bzw.
∧
a ∈Z
i∈{1,2,...,n}
i
Beweis:
∧
[
n=2
n=k
gilt nach Satz 5.1. 2 .
Va1 ∩ Va2 ∩ . . . ∩ Vak = VkgV (a1, a2, . . . , ak)
n = k+1 Va1 ∩ Va2 ∩ . . . ∩ Vak+1 = VkgV (a1, a2, . . . , ak+1)
Va1 ∩ Va2 ∩ . . . ∩ Vak+1
= Va1 ∩ Va2 ∩ . . . ∩ Vak ∩ Vak+1
= (Va1 ∩ Va2 ∩ . . . ∩ Vak ) ∩ Vak+1
wegen Ass.
= VkgV (a1, a2, . . . , ak) ∩ Vak+1
wegen Ind.Vor.
= VkgV (a1, a2, . . . , ak+1)
wegen Ind.Anf.
Ind.Beh.:
Ind.Schluß:
∧ ∧
a ∈Z
i
[(
v ∈IN*
∧ ( a ≠0 ∧ a |v )
i∈{1,2,...,n}
i
⇔
Beweis:
⇔ kgV (a1, a2, . . . , an) | v ]
ai | v
induktiv
Ind.Anf.:
Ind.Vor.:
Satz 5.2. 2 :
∩ Va2 ∩ . . . ∩ Van = VkgV (a1, a2, . . . , an) ]
⇐
O
⇒
⇒
v
d
∈ ZZ
i
v
v
1
i
n
3
n
für alle i ∈ { 1, 2, 3, ... , n }
v
muß daher d = 1 sein.
v
v
∧ w = kgV (a1, a2, . . . , an)
ggT( a , a , a , . . . , a ) = 1
1 2 3
n
v
v
w|v
v
⇒
v
∨
k∈IN*
v = w.k
w.k w.k w.k
w.k
⇒
1 = ggT( a , a , a , . . . , a ) = ggT( a , a , a , . . . , a )
1 2 3
n
1
1
1
1
w w w
w
= k . ggT( a , a , a , . . . , a )
(vgl. Aufgabe 62)
⇒
k=1
[
⇒
∧ (a ≠0)
i∈{1,2,...,n}
⇒
Beweis:
2
v
ai | d
⇒
1
∧
a ∈Z
3
∧ ggT( av , av , av , . . . , av ) = d
Wegen Satz 5.2. 1 gilt:
Satz 5.2. 3 :
2
∈ Va1 ∩ Va2 ∩ . . . ∩ Van = Vv
Wegen v | d
⇒
O
1
kgV (a1, a2, . . . , an) = v ]
v = kgV (a1, a2, . . . , an)
v
a .d
∧ ggT( av , av , av , . . . , av ) = 1 )
i
i
1
1
1
v=w.
∧ A = | a1 . a2 . . . . . an | ∧ d = ggT(
A
kgV (a1, a2, . . . , an) = d ]
A
A
A
= ai . . ∧ . ∈ ZZ für alle i ∈ { 1, 2, . . . , n }
d
d ai
d ai
A
⇒
∈ Va1 ∩ Va2 ∩ . . . ∩ Van
d
A
A
A
A
nach Satz 4.3. 4 ist ggT( da , da , da , . . . , a ) = 1
1
2
3
n
Seite 33
A A A
A
, , ,...,a )
a1 a2 a3
n
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A
nach Satz 5.2. 2 ist dann d = kgV (a1, a2, . . . , an)
Beispiel:
6 . 8 . 10 . 15 = 7200
ggT(
7200 7200 7200 7200
6 , 8 , 10 , 15
) = ggT(1200, 900, 720, 480) = 10 ggT(120, 90, 72, 48)
= 10 ggT(24, 42, 24, 48) = 10 ggT(24, 18, 0, 0) = 10 ggT(6, 18, 0, 0) =
= 10 ggT(6, 0, 0, 0) = 10 . 6 = 60
7200
Also kgV(6, 8, 10, 15) = 60 = 120
Satz 5.2. 4 :
Mit den Bezeichnungen von Satz 5.2. 3 gilt:
A
A
A
A
⇔
ggT( a , a , a , . . . , a ) = 1
1 2 3
n
teilerfremd.
Beweis:
Die ai für i ∈ { 1, 2, . . . , n } sind paarweise
durch vollständige Induktion
A
A
A
A
A
A
A
A
Ind.Anf.:
n=2
ggT( a , a ) = ggT(a2, a1) = 1
1 2
Ind.Vor.:
n=k
ggT( a , a , a , . . . , a ) = 1
1 2 3
k
sind paarweise teilerfremd.
Ind.Beh.:
n = k+1 ggT( a , a , a , . . . , a
) = 1 ⇔ Die ai für i ∈ { 1, 2, . . . , k+1 }
1 2 3
k+1
sind paarweise teilerfremd.
A
Man setze A = a1 . a2 . . . . . ak . ak+1 und A´ = a
Ind.Schluß:
A
a1, a2 sind teilerfremd
⇔
Die ai für i ∈ { 1, 2, . . . , k }
A
k+1
⇐
O
Die ai für i ∈ { 1, 2, . . . , k+1 } sind paarweise teilerfremd.
⇒
ggT( a , a , a , . . . , a
) = ggT ( ak+1 ( a , a , a , . . . , a
) , A´)
1 2 3
k+1
1 2 3
k+1
wegen der Assoziativität
= ggT( ak+1 , A´ ) = 1
wegen der Induktionsvoraussetzung
und der paarweisen Teilerfremdheit
⇒
O
A
A
A
A
A
A
A
A
A´ A´ A´
A´
ggT( a , a , a , . . . , a
) = 1
1 2 3
k+1
Wie oben folgt ggT( ak+1 , A´ ) = 1
ggT( ak+1 , ai ) = 1 für i ∈ { 1, 2, . . . , k+1 }
Durch Umnumerierung der k+1 Zahlen a1, a2, . . . , ak+1 kann man
jede dieser Zahlen auf die (k+1)-te Stelle bringen, so daß
ggT( ah , ai ) = 1 für 1 ≤ h < i ≤ k+1 bewiesen ist.
⇒
Folgerung aus den Sätzen 5.2. 3 und 5.2. 4
∧
ai∈Z
∧
i∈{1,2,...,n}
[ a1, a2, . . . , an sind paarweise teilerfremd
⇔ kgV(a1, a2, . . . , an) = | a1 . a2 . . . . . an | ]
Satz 5.2. 5 :
∧
a,b ∈IN*
∞
[a=
∏
i =1
αi
pi
∧ b=
∞
∏
i =1
β
pi i
Seite 34
⇒
∞
kgV(a,b) =
∏ pi
i =1
max(αi,βi)
]
Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
∞
Beweis:
Man setzt zur Abkürzung v =
∏ pi
max(αi,βi)
.
i =1
Aus αi ≤ max(αi,βi)
∧ b|v ⇒
a|v
Ist andererseits w =
∧ βi ≤ max(αi,βi)
folgt nach Satz 2.4. 1
kgV(a,b) | v .
∞
∏ pi
ηi
mit a | w
∧ b|w
i =1
Beispiel:
∧ βi ≤ ηi
⇒
αi ≤ ηi
⇒
max(αi,βi) ≤ ηi
⇒
v | w , also v das kleinste gemeinsame Vielfache von a und b.
nach Satz 2.4. 1
Auf Grund des Satzes 5.3. 5 kann man das kgV von mehreren Zahlen berechnen.
84 = 22 . 3 . 7
990 = 2 . 32 . 5 . 11
27000 = 23 . 33 . 53
–––––––––––––––––
kgV(84,990,27000) = 23 . 33 . 53 . 7 . 11 = 2 079 000
6. Restklassengruppen und Restklassenringe
6.1
Die additive Restklassengruppe
Nach der Definition 3.3. 1 :
∧ ∧
m∈IN* a,b∈Z
[ Rm(a) = { x ∈ZZ
| x ≡ a (mod m) } ]
(Rm(a) heißt die Restklasse a modulo m.)
sind die Restklassen modulo m die Klassen Rm(0), Rm(1), Rm(2), Rm(3) , . . . , Rm(m–1) .
Im folgenden wird für die Restklassen eine kürzere Schreibweise benutzt:
Rm(0) = 0
oder, wenn der Modul mit genannt werden soll Rm(0) = 0m
Rm(1) = 1
Rm(1) = 1m
Rm(2) = 2
Rm(2) = 2m
.......
......
Rm(m–1) = m–1
Rm(m–1) = m–1m
allgemein Rm(a) = a
Rm(a) = am
Die Menge der Restklassen modulo m soll mit ℜ m bezeichnet werden.
Die Menge der Restklassen (zum Beispiel) modulo 4 ist dann die Menge ℜ 4 = { 0, 1, 2, 3 } ,
die Menge der Restklassen modulo 6 die Menge ℜ 6 = { 0, 1, 2, 3 , 4, 5 } , die Menge der
Restklassen modulo 7 die Menge ℜ 7 = { 0, 1, 2, 3 , 4, 5, 6 } .
Beachten Sie: die Restklassen selbst sind Mengen, nämlich Mengen von Zahlen, die nach einem
Modul kongruent zueinander sind. Die Menge der Restklassen ist eine Menge von Mengen.
Es wird nun ein Rechnen mit den Restklassen eingeführt, und zwar eine Addition ⊕ (und im
nächsten Abschnitt eine Multiplikation ⊗ ).
Definition 6.1. 1 :
∧
[ a ⊕ b = a+b ]
Addition von Restklassen
a,b∈ℜm
Da zur Bezeichnung einer Restklasse ein beliebiger Vertreter aus dieser Restklasse verwendet werden kann (zum Beispiel ist modulo 6: 2 = 8 ), muß geklärt werden, ob die Addition von Restklassen
nach der Definition 6.1. 1 wohldefiniert, das heißt unabhängig vom Repräsentanten ist.
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Dies garantiert der
∧
Satz 6.1. 1 :
[ a1 ∈ a
∧ a2 ∈ a ∧ b1 ∈ b ∧ b2 ∈ b
⇒
a1+b1 = a2+b2 ]
a,b∈ℜm
In Worten: Die Addition von Restklassen nach Definition 6.1. 1 ist wohldefiniert.
a1 ∈ a
b1 ∈ a
⇒
Beweis:
∧ a2 ∈ a
∧ b2 ∈ a
⇒
a1 ≡ a2 (mod m)
⇒
b1 ≡ b2 (mod m)
a1 + b1 ≡ a2 + b2 (mod m)
⇒
Beispiel:
nach Satz 3.3. 3
a1+b1 = a2+b2
nach Satz 3.3. 2
für m = 7
a = 15 ∧ b = 23
1∈a
∧ 8 ∈ a ∧ 30 ∈ b ∧ 9 ∈ b
⇒
1+30 = 8+9 ,
denn 31 ≡ 17 (mod 7)
Es gilt also 1 ⊕ 30 = 8 ⊕ 9 = 3
Da die Restklassenmenge ℜ m endlich ist (Es gibt immer genau m Restklassen in ℜ m), ist auch die
Anzahl der Summenwerte endlich. Man kann daher für die Addition von Restklassen stets eine
Additionstafel aufstellen, die allerdings für großes m sehr groß wird. Als Beispiel seien hier die
Additionstafeln für die Restklassenaddition modulo 6 und modulo 7 aufgestellt.
⊕6
0
1
2
3
4
5
0
0
1
2
3
4
5
1
1
2
3
4
5
0
2
2
3
4
5
0
1
3
3
4
5
0
1
2
4
4
5
0
1
2
3
5
5
0
1
2
3
4
⊕7
0
1
2
3
4
5
6
0
0
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
0
2
2
3
4
5
6
0
1
3
3
4
5
6
0
1
2
4
4
5
6
0
1
2
3
5
5
6
0
1
2
3
4
6
6
0
1
2
3
4
5
Beim Betrachten dieser Tafeln fallen einige Gesetzmäßigkeiten auf:
1. Die Restklassenaddition ist kommutativ. (vgl. Symmetrie zur Hauptdiagonalen)
2. Die 0 ist neutrales Element bezüglich der Addition (vgl. 1. Zeile bzw. 1. Spalte)
3. Für die Restklassenaddition gilt die Kürzungsregel. (In jeder Zeile bzw. jeder Spalte stehen
alle Restklassen.)
4. Für jede Restklasse gibt es eine bzgl. der Addition inverse Restklasse. (In jeder Zeile bzw.
jeder Spalte tritt die neutrale Restklasse 0 genau einmal auf.)
Man kann vermuten, daß ( ℜ 6 , ⊕ ) und ( ℜ 7 , ⊕ ) Gruppen darstellen. Tatsächlich gilt der
Satz 6.1. 2 :
∧
[(
ℜ m , ⊕m ) ist eine kommutative Gruppe. ]
m∈IN*
Beweis:
Es müssen die vier Gruppenaxiome nachgewiesen werden.
1. Die Verknüpfung ⊕ ist algebraisch abgeschlossen.
[ a ∈ ℜm ∧ b ∈ ℜm ⇒
a ⊕ b = a+b ∈
∧
ℜ m]
a,b∈ℜm
Beweis folgt aus der Definition der Addition und der Restklassen.
2. Die Verknüpfung ⊕ in ℜ m ist assoziativ.
[ (a ⊕ b ) ⊕ c = a ⊕(b ⊕ c ) ]
∧
a,b,c∈ℜm
Beweis:
( a ⊕ b ) ⊕ c = a+b ⊕ c = (a+b)+c = a+(b+c) = a ⊕ b+c
= a ⊕(b ⊕ c )
wegen der Assoziativität in ZZ
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3. Es gibt in
∨ ∧
ℜ m ein neutrales Element bezüglich der Verknüpfung ⊕.
[ (a ⊕ n ) = (n ⊕ a ) = a ]
n∈ℜm a∈ℜm
Beweis:
n = 0 erfüllt diese Bedingung, denn es ist
( a ⊕ 0 ) = a+0 = a = 0+a = ( 0 ⊕ a )
4. Zu jeder Restklasse aus ℜ m gibt es ein inverses Element bezüglich der
Verknüpfung ⊕.
[ ( a ⊕ a–1 ) = ( a–1 ⊕ a ) = n ]
∧ ∨
a∈ℜm a −1∈ℜm
Beweis:
∧
[ a–1 = m–a erfüllt die Bedingung ] , denn es ist
a∈ℜm
( a ⊕ m–a ) = a+m–a = m = 0 = m = m–a+a = ( m–a ⊕ a )
5. Die Verknüpfung ⊕ in ℜ m ist kommutativ.
[ (a ⊕ b ) =(b ⊕ a ) ]
∧
a,b∈ℜm
Beweis: a+b = = b+a
Satz 6.1. 3 :
∧
auf Grund der Kommutativität der Addition in ZZ
[ Die Gleichung a ⊕ x = b
ist in
ℜ m eindeutig lösbar. ]
a,b∈ℜm
Beweis:
1. Existenz
Die Restklasse x = m–a ⊕ b ist Lösung der Gleichung a ⊕ x = b ,
denn a ⊕ m–a ⊕ b = a+m–a+b = m+b = b .
2. Eindeutigkeit
Angenommen, es gäbe zwei Lösungen x1 und x2 , so wäre
a ⊕ x1 = b und a ⊕ x2 = b , also a ⊕ x1 = a ⊕ x2
und somit
m–a ⊕ a ⊕ x1 = m–a ⊕ a ⊕ x2 , also x1 = x2 Widerspruch!
Mit dieser Kenntnis läßt sich in
Definition 6.1. 2 :
∧
ℜ m eine Differenz definieren
[ Die eindeutig bestimmte Lösung der Gleichung a ⊕ x = b heißt
a,b∈ℜm
Differenz der Restklassen b und a . Schreibweise:
6.2
O
b – a .]
Die multiplikative Restklassenhalbgruppe
Es wird eine Multiplikation ⊗ von Restklassen eingeführt.
Definition 6.2. 1 :
∧
[ a ⊗ b = a.b ]
Multiplikation von Restklassen
a,b∈ℜm
Da zur Bezeichnung einer Restklasse ein beliebiger Vertreter aus dieser Restklasse verwendet werden kann (zum Beispiel ist modulo 6: 2 = 8 ), muß geklärt werden, ob die Multiplikation von Restklassen nach der Definition 6.2. 1 wohldefiniert, das heißt unabhängig vom Repräsentanten ist.
Dies garantiert der
Satz 6.2. 1 :
∧
[ a1 ∈ a
∧ a2 ∈ a ∧ b1 ∈ b ∧ b2 ∈ b
⇒
a1.b1 = a2.b2 ]
a,b∈ℜm
In Worten: Die Multiplikation von Restklassen nach Definition 6.2. 1 ist wohldefiniert.
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a1 ∈ a
b1 ∈ a
⇒
Beweis:
∧ a2 ∈ a
∧ b2 ∈ a
⇒
⇒
a1 ≡ a2 (mod m)
b1 ≡ b2 (mod m)
.
a1 b1 ≡ a2 . b2 (mod m)
a1.b1 = a2.b2
⇒
Beispiel:
nach Satz 3.3. 3
nach Satz 3.3. 2
für m = 7
a = 15 ∧ b = 23
1∈a
∧ 8 ∈ a ∧ 30 ∈ b ∧ 9 ∈ b
⇒
1.30 = 8.9 ,
denn
Es gilt also 1 ⊗ 30 = 8 ⊗ 9 = 2
31 ≡ 17 (mod 7)
Da die Restklassenmenge ℜ m endlich ist (Es gibt immer genau m Restklassen in ℜ m), ist auch die
Anzahl der Produktwerte endlich. Man kann daher für die Multiplikation von Restklassen stets eine
Multiplikationstafel aufstellen, die allerdings für großes m sehr groß wird. Als Beispiel seien hier die
Multiplikationstafeln für die Restklassenmultiplikation modulo 6 und modulo 7 aufgestellt.
⊗6
0
1
2
3
4
5
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
2
0
2
4
0
2
4
3
0
3
0
3
0
3
4
0
4
2
0
4
2
5
0
5
4
3
2
1
⊗7
0
1
2
3
4
5
6
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
2
0
2
4
6
1
3
5
3
0
3
6
2
5
1
4
4
0
4
1
5
2
6
3
5
0
5
3
1
6
4
2
6
0
6
5
4
3
2
1
Beim Betrachten dieser Tafeln fallen einige Gesetzmäßigkeiten auf:
1. Die Restklassenmultiplikation ist kommutativ. (vgl. Symmetrie zur Hauptdiagonalen)
2. Die 1 ist neutrales Element bezüglich der Multiplikation (vgl. 2. Zeile bzw. 2. Spalte)
3. Für die Restklassenmultiplikation gilt die Kürzungsregel offenbar nicht. (Nicht in jeder Zeile
bzw. jeder Spalte stehen alle Restklassen.)
4. Nicht für jede Restklasse gibt es eine bzgl. der Multiplikation inverse Restklasse. (Nicht in jeder
Zeile bzw. jeder Spalte tritt die neutrale Restklasse 1 genau einmal auf.)
Man sieht, daß (
Satz 6.2. 2 :
ℜ 6 , ⊗ ) und ( ℜ 7 , ⊗ ) keine Gruppen darstellen. Tatsächlich gilt nur der
∧
[(
ℜ m , ⊗m ) ist eine kommutative Halbgruppe mit Einselement. ]
m∈IN*
Beweis:
Es muß nachgewiesen werden.
1. Die Verknüpfung ⊗ ist algebraisch abgeschlossen.
[ a ∈ ℜm ∧ b ∈ ℜm ⇒
a ⊗ b = a.b ∈
∧
ℜ m]
a,b∈ℜm
Beweis folgt aus der Definition der Multiplikation und der Restklassen.
2. Die Verknüpfung ⊗ in ℜ m ist assoziativ.
[ (a ⊗ b ) ⊗ c = a ⊗(b ⊗ c ) ]
∧
a,b,c∈ℜm
( a ⊗ b ) ⊗ c = a.b ⊗ c = (a.b).c = a.(b.c) = a ⊗ b.c
= a ⊗(b ⊗ c )
wegen der Assoziativität in ZZ
3. Es gibt in ℜ m ein neutrales Element bezüglich der Verknüpfung ⊗.
[ (a ⊗ n ) = (n ⊗ a ) = a ]
Beweis:
∨ ∧
n∈ℜm a∈ℜm
Beweis:
n = 1 erfüllt diese Bedingung, denn es ist
( a ⊗ 1 ) = a.1 = a = 1.a = ( 1 ⊗ a )
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4. Die Verknüpfung ⊗ in ℜ m ist kommutativ.
[ (a ⊗ b ) =(b ⊗ a ) ]
∧
a,b∈ℜm
Beweis: a.b = b.a
Satz 6.2. 3 :
∧
auf Grund der Kommutativität der Multiplikation in ZZ
[ Die Gleichung a ⊗ x = b
ist in
ℜ m nicht stets eindeutig lösbar. ]
a,b∈ℜm
Beweis:
Gegenbeispiel: mod 6
Die Gleichung 3 ⊗ x = 0
hat die Lösungen
x = 0 ∨ x = 2 ∨ x = 4
Betrachtet man die Multiplikationstafel für den Modul 7, so erkennt man, daß für die Restklassen
abgesehen von der Restklasse 0 die Eindeutigkeit für die Lösung einer Gleichung gegeben ist, denn
jede Restklasse von 1 bis m–1 kommt in jeder Zeile und in jeder Spalte genau einmal vor.
Satz 6.2. 4 :
∧ [ ( ℜ \ { 0 } }, ⊗ ) ist eine kommutative Gruppe. ]
p
p
p ∈P
∧
Definition 6.2. 2 :
[ Die eindeutig bestimmte Lösung der Gleichung a ⊗p x = b heißt
a,b∈ℜp \{0}
Quotient der Restklassen b und a . Schreibweise:
6.3
Op a . ]
b :
Restklassenringe
Satz 6.3. 1 :
∧
[ (
ℜ m, ⊕ , ⊗ ) ist ein kommutativer unitärer Ring. ]
m∈IN*
Beweis:
ℜ m, ⊕ ) ist eine kommutative Gruppe.
(siehe Satz 6.1. 2 )
2. ( ℜ m, ⊗ ) ist eine kommutative Halbgruppe mit Einselement. (Satz 6.2. 2 )
1. (
3. Es gilt das Distributivgesetz:
∧
a , b , c ∈ℜm
[ a ⊗ (b ⊕ c ) = (a ⊗ b ) ⊕ ( a ⊗c ) ]
Beweis: a ⊗ ( b ⊕ c ) = a ⊗ b+c = ab+ac = ab ⊕ ac
= (a ⊗ b ) ⊕ ( a ⊗ c )
wegen der Distributivität in ZZ
Dieser Ring muß nicht nullteilerfrei sein, zum Beispiel ist mod 6: 3 ⊗ 4 = 12 = 0
∧
Definition 6.3. 1 :
[ a≠0
a,b ∈(M,⋅)
∧ b ≠ 0 ∧ a.b = 0 ⇔: a und b heißen Nullteiler. ]
Nullteiler bei Restklassen entstehen dann, wenn das Produkt zweier von Null verschiedener
Restklassen gleich dem Modul m ist, denn m = 0 .
Ist der Modul eine Primzahl, so kann es keine Nullteiler geben, denn der Modul p hat dann nur die
beiden Teiler 1 und p , das heißt p = 1 ⊗ p ist die einzige multiplikative Zerlegung von p .
Satz 6.3. 2 :
∧ [ (ℜ
p
, ⊕ , ⊗) ist ein Körper. ]
p ∈P
Beweis:
ℜ p, ⊕ ) ist eine kommutative Gruppe.
2. ( ℜ p \ { 0 }, ⊗ ) ist eine kommutative Gruppe.
1. (
3. Es gilt das Distributivgesetz:
∧
a , b , c ∈ℜm
(siehe Satz 6.3. 1 )
Seite 39
(siehe Satz 6.1. 2 )
(siehe Satz 6.2. 4 )
[ a ⊗ (b ⊕ c ) = (a ⊗ b ) ⊕ ( a ⊗c ) ]
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6.4 Die Gruppe der primen Restklassen
In einer Aufgabe war zu untersuchen, ob aus a c ≡ b c (mod m) in allen Fällen a ≡ b (mod m) folgt.
Wie man sich leicht am Gegenbeispiel 8 ≡ 6 (mod 2) klarmachen kann, folgt nicht 4 ≡ 3 (mod 2).
Wohl läßt sich c herausdividieren, wenn ggT(c,m) = 1.
Satz 6.4. 1 :
∧ ∧
[ ggT(c,m) = 1 ⇒ ( ac ≡ bc (mod m) ⇒
a ≡ b (mod m) ]
a,b, c ∈Z m∈IN*
Beweis:
Satz 6.4. 2 :
ac ≡ bc (mod m) ⇒ m | ac – bc = (a – b) c
ggT(c,m) = 1 ∧ m | (a – b) c ⇒ m | a – b ⇒
∧
[ ggT(a,m) = 1 ⇒
a ∈Z
a ≡ b (mod m)
∨ ( a x ≡ 1 (mod m) ) ]
x ∈Z
In Worten: Sind a und m teilerfremd, so ist die Kongruenz a x ≡ 1 (mod m) lösbar.
Beweis:
Beispiel:
Da ggT(a,m) = 1 , läßt sich 1 darstellen als Vielfachsumme von a und m .
Es sei 1 = u a + v m , dann gilt aber 1 ≡ a u (mod m) .
Folglich ist u eine Lösung der Kongruenz a x ≡ 1 (mod m).
Weiterhin gilt: Ist x ≡ u (mod m) , so ist a x ≡ au (mod m) , also ist jedes zu u
modulo m kongruente x auch eine Lösung.
Die Kongruenz 7 x ≡ 1 (mod 15) ist lösbar, denn ggT(7,15) = 1.
Es gibt die Darstellung 1 = 1.15 – 2.7 , also ist –2.7 ≡ 1 (mod 15).
Lösungen sind alle Elemente der Restklasse
Es gilt also 7 ⊗ 13 = 91 = 1 .
–2 = 13 (mod 15).
Der Satz 6.4. 2 besagt, daß alle Zahlen einer Restklasse Rm(a) denselben größten gemeinsamen
Teiler mit m haben. Zum Beispiel:
∧
∧
∧
[ ggT(x,6) = 6 ]
x∈R6 (0)
[ ggT(x,6) = 1 ]
x∈R6 (1)
∧∧
[ ggT(x,6) = 3 ]
[ ggT(x,6) = 2 ]
x∈R6 (4)
[ ggT(x,6) = 2 ]
x∈R6 (2)
Definition 6.4. 1 :
∧
∧
∧
x∈R6 (3)
[ ggT(x,6) = 1 ]
x∈R6 (5)
[ Die Restklasse Rm(a) heißt prime Restklasse :⇔ ggT(a,m) = 1 ]
a∈Z m∈IN*
Folgerung:
Die Elemente einer primen Restklasse (mod m) sind alle zu m teilerfremd.
In 6.2 wurde gezeigt, daß bei gegebenem Modul m > 2 und gegebener Restklasse a nicht immer
eine Restklasse a–1 mit a ⊗ a–1 = 1 existiert. Ist a eine prime Restklasse (mod m), so existiert ein
a–1 , da die Kongruenz a x ≡ 1 (mod m), wie in Satz 6.4. 2 gezeigt, lösbar ist, falls ggT(a,m) = 1 ist.
Zum Beispiel hat mod 15 die Restklasse 7 das inverse Element 13 bezüglich der Multiplikation ⊗.
Definition 6.4. 2 :
∧
[
ℜ m* = { a ∈ ℜ m
|
(ggT(a,m) = 1 } heißt Menge der primen
m∈IN*
Restklassen modulo m. ]
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Beispiele:
Satz 6.4. 4 :
ℜ *6 = { 1 , 5 }
* = { 1 , 2 , 4 , 7 , 8 , 11 , 13, 14 }
ℜ 15
∧
[ (
* = { 1 , 5 , 7 , 11 }
ℜ 12
ℜ *2 = { 1 }
ℜ m* , ⊗ ) ist eine kommutative Gruppe. ]
m∈IN*
∧ ∧
Beweis: 1. Abgeschlossenheit
[ ggT(a,m) = 1
∧ ggT(b,m) = 1 ⇒ ggT(ab,m) = 1 ]
a,b∈ℜm m∈IN*
Das Produkt von zwei primen Restklassen mod m ist wieder eine prime Restklasse
mod m (wegen Satz 4.3. 3 ).
2. Assoziativität
wurde bereits mit Satz 6.2. 2 bewiesen.
3. Existenz eines neutralen Elementes
wurde bereits mit Satz 6.2. 2 bewiesen. 1 ist neutrales Element, 1 ∈
ℜ m* .
4. Existenz eines inversen Elementes zu jedem Element.
nach Satz 6.4. 2 ist die Kongruenz a x ≡ 1 (mod m) stets lösbar, wenn ggT(a,m) = 1.
Da für alle a ggT(a,m) = 1 ist, besitzt also jedes a ein inverses Element.
5. Kommutativität
wurde bereits mit Satz 6.2. 2 bewiesen.
Beispiele mit den Multiplikationstafeln:
ℜ *2
⊗
1
ℜ *3
⊗
1
2
1
1
ℜ *4
1
1
2
⊗
1
3
2
2
1
ℜ *6
1
1
3
⊗
1
5
3
3
1
1
1
5
5
5
1
Ist der Modul eine Primzahl, so ist jede Restklasse mit Ausnahme der Nullrestklasse prim. Also gilt als
Spezialfall von Satz 6.4. 4 der Satz 6.2. 4 .
Beispiel:
ℜ *7
⊗7
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
2
2
4
6
1
3
5
3
3
6
2
5
1
4
4
4
1
5
2
6
3
5
5
3
1
6
4
2
6
6
5
4
3
2
1
7. Zifferndarstellung natürlicher Zahlen
7.1
Dezimalsystem
n
Eine natürliche Zahl a wird üblicherweise im Dezimalsystem dargestellt als a =
∑ ai ⋅10i .
i=0
Die ai heißen die Ziffern von a. Sie sind Zahlen aus der Menge Z10 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 },
der sogenannten Ziffermmenge des dekadischen Systems.
Die Zahl a hat die Zifferndarstellung (anan–1an–2an–3 . . . .a2a1a0)10 .
Beispiel: a = 3.105 + 7.104 + 0.103 + 8.102 + 1.101 + 3.100 = 370 813
Seite 41
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7.2
Stellenwertsysteme zur Basis b
Die natürlichen Zahlen können aber auch mit jeder anderen Basis b ≥ 2 dargestellt werden. Die
n
Darstellung ist dann
a =
∑ a i ⋅ bi .
i=0
Um zu einer solchen Darstellung zu kommen, führt man die folgende Kette von Divionen mit Rest
durch:
a = ak bk + rk
mit
1 ≤ ak < b
0 ≤ rk < bk
k–1
rk = ak–1 b
+ rk–1
mit
0≤ ak–1 < b
0 ≤ rk–1 < bk–1
k–2
rk–1 = ak–2 b
+ rk–2
mit
1 ≤ ak–2 < b
0 ≤ rk–2 < bk–2
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
r3 = a2 b2 + r2
mit
0≤ a2 < b
0 ≤ r2 < b2
1
r2 = a1 b + r1
mit
0≤ a1 < b
0 ≤ r1 < b1
r1 = a0
mit
0≤ a0 < b
k
Es ist demnach
a=
∑ a i ⋅ bi
1 ≤ ak < b
mit
0 ≤ ai < b
für i = 0, 1, 2, . . ., k–1
i=0
k
Definition 7.2. 1 :
Die Darstellung a =
∑ a i ⋅ bi
heißt Zifferndarstellung der Zahl a zur Basis b
i=0
oder die b-adische Zifferndarstellung. Dabei heißt k+1 die b-adische
Stellenzahl. Die ai heißen die b-adischen Ziffern von a.
Die b-adischen Ziffern von a sind aus der Zahlenmenge Zb = { 0, 1, 2, . . . , b–1 } genommen.
Die Zahl a hat die Zifferndarstellung (akak–1ak–2ak–3 . . . .a2a1a0)b .
Zur Bestimmung der b-adischen Ziffern einer Zahl a berechnet man
a
=
b . b1 + a0
b1
=
b . b2 + a1
b2
=
b . b3 + a2
........
bk–1
=
b . bk + ak–1
bk
=
b . 0 + ak
oder als Tabelle
Beispiel: 3429 für b = 8
a
b1
b2
b3
b4
.
.
.
bk
0
:b
a0
a1
a2
a3
3429
428
53
6
0
(3429)10 =
ak–1
ak
Seite 42
:8
5
4
5
6
(6545)8
Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
Beispiele:
3429 für b = 7
3429
489
69
9
1
0
3429 für b = 12
:7
6
6
6
2
1
3429
285
23
1
0
(dabei steht α für 10 , β für 11 , da man 12 Ziffernbraucht).
342910 = 65458 = 126667 = 1β9912
7.3
:12
9
9
β
1
Rechnen in Stellenwertsystemen
Das Rechnen in einem Stellenwertsystem mit der Basis b vollzieht sich im wesentlichen genauso wie
im Dezimalsystem, nur daß die jeweiligen Überträge bei der erreichten Zahl b zu machen sind
(entsprechend den Überträgen bei der Zahl 10).
Es gilt ja auch für eine beliebige Basis b
m
∑
max(m,n)
n
a1ibi +
i= 0
m
∑
a 2ibi =
i= 0
n
∑ a1ibi . ∑ a 2ibi
und
i= 0
i= 0
∑ (a1i + a 2i )bi
i= 0
m+n
=
∑ Aibi
,
i= 0
wobei die Ai Summen von Produkten der a1i und a2i sind.
Addition und Multiplikation im System mit der Basis 6 geht zum Beispiel so:
3
2
+
1
1
1
0
5
3
0
4
4
4
1
2
5
2
5
0
2
2
2
5
3
5
2
1
3
.
0
1
5
1
1
3
2
2
1
5
4
3
2
5
0
0
Beim Sechsersystem muß man jeweils die vollen Sechser in die nächste Stelle übertragen.
Zum Rechnen muß man selbstverständlich das kleine Einmaleins beherrschen. Für eine Basis größer
als Zehn kann das Erlernen des kleinen Einmaleins eine beträchtliche Mühe sein. Die alten
Babylonier zum Beispiel haben mit der Basis 60 gerechnet. Das kleine Einmalseins geht dann von 1
mal 1 bis 60 mal 60. Da wenige Menschen diese Einmaleinsreihen im Kopf behalten, haben die
Babylonier Multiplikationstafeln (Keilschrifttexte) angelegt, auf denen die Produkte abgelesen werden
konnten.
Genau wie ganze Zahlen kann man auch Brüche in b-adischer Darstellung mit der Kommaschreibweise aufschreiben: ein halb ist im Sechsersystem 0,3 , denn die erste Stelle hinter dem Komma
sind die Sechstel und drei Sechstel sind ein halb.
Im Zehnersystem gilt: Brüche, deren Nenner nur aus Potenzen der Primteiler von 10 bestehen,
lassen sich als abbrechende Dezimalbrüche schreiben. Alle anderen Brüche ergeben einen
unendlichen periodischen Dezimalbruch. Denn nur, wenn keine anderen Primfaktoren im Nenner
enthalten sind als 2 und 5, läßt sich der Bruch so erweitern, daß im Nenner eine Potenz von 10 steht.
Entsprechendes gilt natürlich auch für die b-adische Bruchdarstellung in der Kommaschreibweise:
Nur solche Brüche, deren Nenner nur Potenzen der Primfaktoren von b enthalten, können so
erweitert werden, daß eine Potenz von b im Nenner steht.
Seite 43
Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
Im Sechsersystem lassen sich also alle Brüche, deren Nenner nur die Primfaktoren 2 und 3 enthalten,
1
1
1
1
als endliche hexadische Brüche schreiben: 3 = 0,26 ; 9 = 0,046 ; 18 = 0,026 ; 12 = 0,036.
10
7.4
10
10
10
Teilbarkeitsregeln in Stellenwertsystemen
Als Teilbarkeitsregeln gibt es Endstellenregeln, Quersummenregeln und gemischte Regeln, zum
Beispiel im Zehnersystem:
Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn die aus den letzten beiden Stellen gebildete Zahl durch 25 teilbar
ist. Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die Quersumme der Zahl durch 9 teilbar ist.
Diese Regeln lassen sich verallgemeinern.
Endstellenregel:
n
Satz 7.4. 1 :
Ist eine natürliche Zahl a =
∑ ai ⋅ bi im Stellenwertsystem mit der Basis b dargestellt,
i= 0
so gilt:
∧ ∧ ∧∧
k −1
[ d|a
⇔
d | (ak–1. . . a1a0) b =
a,b, d, a i ∈IN i∈{0,1, 2,...,n} d | b k k ∈IN
Beweis:
⇒
O
k −1
d|
∑ a i ⋅ bi
i= 0
Beispiele:
k −1
i=k
i= 0
k −1
∧ d | bk ⇒ d | ∑ ai ⋅ bi = ∑ ai ⋅ bi + ∑ ai ⋅ bi ⇒ d | ∑ ai ⋅ bi = (ak–1. . . a1a0) b
i= 0
⇐
O
]
i= 0
n
n
d|a
∑ a i ⋅ bi
∧ d|
n
∑ a i ⋅ bi
i=k
i= 0
n
⇒
d|
∑ a i ⋅ bi = a
i= 0
Im Zehnersystem:
5 | 10 , also gilt: Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die aus der letzten Ziffer gebildete
Zahl durch 5 teilbar ist.
25 | 102 , also gilt: Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn die aus den zwei letzten Ziffern
gebildete Zahl durch 25 teilbar ist.
40 | 103 , also gilt: Eine Zahl ist durch 40 teilbar, wenn die aus den drei letzten Ziffern
gebildete Zahl durch 40 teilbar ist.
125 | 103 , also gilt: Eine Zahl ist durch 125 teilbar, wenn die aus den drei letzten Ziffern
gebildete Zahl durch 125 teilbar ist.
1250 | 105 , also gilt: Eine Zahl ist durch 1250 teilbar, wenn die aus den fünf letzten
Ziffern gebildete Zahl durch 1250 teilbar ist.
Im Sechsersystem:
3 | 6 , also gilt: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die aus der letzten Ziffer gebildete
Zahl durch 3 teilbar ist. (Im Sechsersystem geschrieben: 36 | 106)
9 | 62 , also gilt: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die aus den zwei letzten Ziffern
gebildete Zahl durch 9 teilbar ist. (Im Sechsersystem geschrieben: 136 | 1006)
72 | 63 , also gilt: Eine Zahl ist durch 72 teilbar, wenn die aus den drei letzten Ziffern
gebildete Zahl durch 72 teilbar ist. (Im Sechsersystem geschrieben: 2006 | 10006)
Im Achtersystem:
2 | 8 , also gilt: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die aus der letzten Ziffer gebildete
Zahl durch 2 teilbar ist. (Im Achtersystem geschrieben: 28 | 108)
16 | 82 , also gilt: Eine Zahl ist durch 16 teilbar, wenn die aus den zwei letzten Ziffern
gebildete Zahl durch 16 teilbar ist. (Im Achtersystem geschrieben: 208 | 1008)
128 | 83 , also gilt: Eine Zahl ist durch 128 teilbar, wenn die aus den drei letzten Ziffern
gebildete Zahl durch 128 teilbar ist. (Im Achtersystem geschrieben: 2008 | 10008)
Seite 44
Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
Im Zwölfersystem:
6 | 12 , also gilt: Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn die aus der letzten Ziffer gebildete
Zahl durch 6 teilbar ist. (Im Zwölfersystem geschrieben: 612 | 1012)
18 | 122 , also gilt: Eine Zahl ist durch 18 teilbar, wenn die aus den zwei letzten Ziffern
gebildete Zahl durch 18 teilbar ist. (Im Zwölfersystem geschrieben: 1612 | 10012)
64 | 123 , also gilt: Eine Zahl ist durch 64 teilbar, wenn die aus den drei letzten Ziffern
gebildete Zahl durch 64 teilbar ist. (Im Zwölfersystem geschrieben: 5412 | 100012)
Quersummenregeln
n
Definition 7.4. 1 :
Ist eine natürliche Zahl a =
∑ ai ⋅ bi im Stellenwertsystem mit der Basis b
i= 0
dargestellt, so gilt:
n
Q1(a) =
∑ ai
heißt Quersumme 1. Stufe (oder Quersumme) der Zahl a.
i=0
n
[ ]
2
Q2(a) =
∑ (a 2i + a 2i+1 ⋅ b)
heißt Quersumme 2. Stufe der Zahl a.
i=0
n
[ ]
k
Qk(a) =
∑ (a 2i + a 2i+1 ⋅ b + a 2i+2 ⋅ b2 +... +a 2i+k −1 ⋅ bk −1)
heißt Quersumme
i=0
k-ter Stufe der Zahl a.
Ausgeschrieben:
Q1(a) = a0 + a1 + a2 + a3 + . . . + an–1 + an
Q2(a) = (a0 + a1 .b) + (a2 + a3 .b) + (a4 + a5 .b) + . . .
Q3(a) = (a0 + a1 .b + a2 .b2) + (a3 + a4 .b + a5 .b2) + (a6 + a7 .b + a8 .b2) + . . .
Qk(a) = (a0 + a1 .b + . . . + ak–1 .bk–1) + (ak + ak+1 .b + . . . + a2k–1 .bk–1) + . . .
n
Definition 7.4. 2 :
Ist eine natürliche Zahl a =
∑ ai ⋅ bi im Stellenwertsystem mit der Basis b
i= 0
dargestellt, so gilt:
n
Q1´(a) =
∑ (−1)i ai
heißt alternierende Quersumme 1. Stufe (oder einfach
i=0
alternierende Quersumme) der Zahl a.
n
[ ]
2
Q2´(a)=
∑ (−1)i (a 2i + a 2i+1 ⋅ b) heißt alternierende Quers. 2. Stufe der Zahl a.
i=0
n
[ ]
k
Qk´(a) =
∑ (−1)i (a 2i + a 2i+1 ⋅ b + a 2i+2 ⋅ b2 +... +a 2i+k −1 ⋅ bk −1)
heißt alternierende
i=0
Quersumme k-ter Stufe der Zahl a.
Ausgeschrieben:
Q1´(a) = + a0 – a1 + a2 – a3 + – . . . + (–1)n–1 an–1 + (–1)n an
Q2´(a) = + (a0 + a1 .b) – (a2 + a3 .b) + (a4 + a5 .b) – + . . .
Q3´(a) = + (a0 + a1 .b + a2 .b2) – (a3 + a4 .b + a5 .b2) + (a6 + a7 .b + a8 .b2) – + . . .
Qk´(a) = + (a0 + a1 .b + . . . + ak–1 .bk–1) – (ak + ak+1 .b + . . . + a2k–1 .bk–1) + – . . .
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n
Satz 7.4. 2 :
Ist eine natürliche Zahl a =
∑ ai ⋅ bi im Stellenwertsystem mit der Basis b dargestellt,
i= 0
∧ ∧ ∧∧
so gilt:
[ d|a
⇔ d | Qk(a) ]
a,b, d, a i ∈IN i∈{0,1, 2,...,n} d|bk −1 k∈IN
Beweis:
d | bk–1
⇒
bk–1 ≡ 0 (mod d)
⇒
bk
≡ 1 (mod d)
⇒
(a0 + a1 .b + . . . + ak–1 .bk–1) ≡ (a0 + a1 .b + . . . + ak–1 .bk–1) (mod d)
⇒
(ak + ak+1 .b + . . . + a2k–1 .bk–1)bk ≡ (ak + ak+1 .b + . . . + a2k–1 .bk–1) (mod d)
⇒
(a2k + a2k+1 .b + . . . + a3k–1 .bk–1)b2k ≡ (a2k + a2k+1 .b + . . . + a3k–1 .bk–1) (mod d)
.......
n
⇒
⇒
⇒
a=
∑ a i ⋅ bi
≡ Qk(a) (mod d)
i= 0
a und Qk(a) lassen bei der Division durch d den gleichen Rest.
d | a ⇔ d | Qk(a)
n
Satz 7.4. 3 :
Ist eine natürliche Zahl a =
∑ ai ⋅ bi im Stellenwertsystem mit der Basis b dargestellt,
i= 0
∧ ∧ ∧∧
so gilt:
[ d|a
⇔ d | Qk´(a) ]
a,b, d, a i ∈IN i∈{0,1, 2,...,n} d|bk +1 k∈IN
Beweis:
d | bk+1
⇒
bk+1 ≡ 0 (mod d)
⇒
bk
≡ –1 (mod d)
⇒
(a0 + a1 .b + . . . + ak–1 .bk–1) ≡ (a0 + a1 .b + . . . + ak–1 .bk–1) (mod d)
⇒
(ak + ak+1 .b + . . . + a2k–1 .bk–1)bk ≡ (ak + ak+1 .b + . . . + a2k–1 .bk–1) (–1) (mod d)
⇒
(a2k + a2k+1 .b + . . . + a3k–1 .bk–1)b2k ≡ (a2k + a2k+1 .b + . . . + a3k–1 .bk–1) (mod d)
.......
n
⇒
⇒
⇒
Beispiele:
a=
∑ a i ⋅ bi
≡ Qk´(a) (mod d)
i= 0
a und Qk´(a) lassen bei der Division durch d den gleichen Rest.
d | a ⇔ d | Qk´(a)
Im Zehnersystem:
9 =10 – 1 , also gilt: Eine Zahl a ist durch 9 teilbar, wenn die Quersumme der Zahl a
durch 9 teilbar ist.
3 | 9 =10 – 1 , also gilt: Eine Zahl a ist durch 3 teilbar, wenn die Quersumme der Zahl a
durch 3 teilbar ist.
99 =102 –1, also gilt: Eine Zahl a ist durch 99 teilbar, wenn die Quersumme 2. Stufe
der Zahl a durch 99 teilbar ist.
999 =103 –1, also gilt: Eine Zahl a ist durch 999 teilbar, wenn die Quersumme 3. Stufe
der Zahl a durch 999 teilbar ist.
27 | 999 =103 –1, also gilt: Eine Zahl a ist durch 27 teilbar, wenn die Quersumme
3. Stufe der Zahl a durch 27 teilbar ist. (Ebenso für 37, da 27.37 = 999)
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Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
11 =10 + 1 , also gilt: Eine Zahl a ist durch 11 teilbar, wenn die alternierende
Quersumme der Zahl a durch 11 teilbar ist.
101 = 102 + 1, also gilt: Eine Zahl a ist durch 101 teilbar, wenn die alternierende
Quersumme 2. Stufe der Zahl a durch 101 teilbar ist.
1001 = 103 + 1, also gilt: Eine Zahl a ist durch 1001 teilbar, wenn die alternierende
Quersumme 3. Stufe der Zahl a durch 1001 teilbar ist.
1001 = 7.11.13 , also gilt diese Regel mit der Quersumme 3. Stufe für 7, 11 und 13.
Im Sechsersystem:
5 = 6 – 1 , also gilt: Eine Zahl a ist durch 5 teilbar, wenn die Quersumme der Zahl a
durch 5 teilbar ist. (Im Sechsersystem geschrieben: 56 | Q1(a) )
35 = 62 – 1, also gilt: Eine Zahl a ist durch 35 teilbar, wenn die Quersumme 2. Stufe der
Zahl a durch 35 teilbar ist. (Im Sechsersystem geschrieben: 556 | Q2(a) )
7 = 6 +1, also gilt: Eine Zahl ist durch 7 teilbar, wenn die alternierende Quersumme
1. Stufe der Zahl a durch 7 teilbar ist. (Im Sechsersystem geschrieben: 116 | Q1´(a) )
37 = 62 +1, also gilt: Eine Zahl ist durch 37 teilbar, wenn die alternierende Quersumme
2. Stufe der Zahl a durch 35 teilbar ist. (Im Sechsersystem geschrieben: 1016 | Q2´(a) )
Im Achtersystem:
7 =8 – 1, also gilt: Eine Zahl ist durch 7 teilbar, wenn die Quersumme 1. Stufe der Zahl
a durch 7 teilbar ist. (Im Achtersystem geschrieben: 78 | Q1(a))
63 = 82 – 1, also gilt: Eine Zahl ist durch 63 teilbar, wenn die Quersumme 2. Stufe der
Zahl a durch 63 teilbar ist. (Im Achtersystem geschrieben: 778 | Q2(a))
9 | 8 +1, also gilt: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die alternierende Quersumme
1. Stufe der Zahl a durch 9 teilbar ist. (Im Achtersystem geschrieben: 118 | Q1´(a))
Im Zwölfersystem:
11 = 12 – 1 , also gilt: Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn die Quersumme 1. Stufe der
Zahl a durch 7 teilbar ist. (Im Zwölfersystem geschrieben: β12 | Q(a))
13 = 12 + 1 , also gilt: Eine Zahl ist durch 13 teilbar, wenn die alternierende Quersumme 1. Stufe der Zahl a durch 13 teilbar ist. (Im Zwölfersystem: 1112 | Q1´(a))
143 | 122 – 1, also gilt: Eine Zahl ist durch 143 teilbar, wenn die Quersumme 2. Stufe
der Zahl a durch 143 teilbar ist. (Im Zwölfersystem geschrieben: ββ12 | Q2(a))
Gemischte Teilbarkeitsregeln
n
Satz 7.4. 4 :
Ist eine natürliche Zahl a =
∑ ai ⋅ bi im Stellenwertsystem mit der Basis b dargestellt,
i= 0
so gilt:
∧
[ ggT(r,s) = 1 ⇒ ( d | a
⇔
r|a
∧ s|a ) ]
d = r⋅s
O
Beweis: ⇐
⇒
O
Beispiele:
r|a ⇒
a = c1.r
s|a ⇒
a = c2.s
d = r.s | a
d = r.s | a
⇒
⇒
⇒
a 2 = c 1 .c 2 .r.s
a = c.r.s
a = c.r.s
⇒
⇒
⇒
r.s | a 2
⇒
r.s | a
da r ≤ a und s ≤ a und ggT(r,s) = 1
a = (c.r).s
a = (c.s).r
⇒
⇒
s|a
r|a
Im Zehnersystem:
Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist.
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Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
Im Sechsersystem:
Eine Zahl ist durch 1010 = 146 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 5 teilbar ist.
Im Achtersystem:
Eine Zahl ist durch 2810 = 348 teilbar, wenn sie durch 4 und durch 7 teilbar ist.
Im Neunersystem:
Eine Zahl ist durch 2410 = 269 teilbar, wenn sie durch 3 und durch 8 teilbar ist.
Im Zwölfersystem:
Eine Zahl ist durch 4410 = 3812 teilbar, wenn sie durch 4 und durch 1110 = β12 teilbar
ist.
Rechenproben
Mit Hilfe der Teilbarkeitsregeln kann man Rechenproben durchführen, wie die Neuner- oder die
Elferprobe. Mit diesen Proben untersucht man, ob das Ergebnis einer Rechnung in der „richtigen“
Restklasse nach dem Modul 9 bzw. 11 liegt.
Diese Rechenproben zeigen einen Fehler dann nicht an, wenn man sich um ein Vielfaches des
Moduls verrechnet hat.
Zum Beispiel:
a) 73695 + 8371 = 83056
b) 372.287 = 105774
Diese Zahlen liegen
mod 10 in den Restklassen
5 + 1 = 6
2 . 7 = 14
mod 11 in den Restklassen
6 + 0 = 6
2 . 7 = 14
mod 9 in den Restklassen
3 + 1 = 4
9 . 1 =
9
Keine der Proben liefert einen Fehler. Trotzdem ist das Ergebnis falsch, denn es ist
a) 73695 + 8371 = 82066
b) 372.287 = 106764
Diese Ergebnisse unterscheiden sich von den falschen um ein Vielfaches von 9.10.11 = 990.
8. Diophantische Gleichungen
8.1
Lineare diophantische Gleichungen
Beispiel: Man hat 6,40 DM und soll damit Briefmarken zu 1,00 DM und zu 0,80 DM kaufen. Wieviele
von jeder Sorte kann man kaufen? Eine Lösung ist sicher : 4 Marken zu 1,00 DM und 3 Marken zu
0,80 DM. Man könnte aber auch 8 Marken zu 0,80 DM kaufen und keine Marken zu 1,00 DM. Die
zugehörige Gleichung ist
80.x + 100.y = 640
oder
8.x + 10.y = 64
oder auch
4.x + 5.y = 32
Da Briefmarken zu in ganzen Stück abgegeben werden, haben hier nur Lösungen einen Sinn, die
ganzzahlig sind (und auch noch nicht negativ, da die Post keine Briefmarken zurückkauft).
Eine Gleichung, bei der nach ganzzahligen Lösungen gefragt ist, nennt man nach Diophantus von
Alexandria (um 250 n. Chr.), der sich systematisch mit solchen Problemen befaßt hat, diophantische
Gleichungen. Diophantische Gleichungen können mit beliebig vielen Variablen auftreten. Kommen
alle Variablen nur linear vor, so spricht man von einer linearen Diophantischen Gleichung.
Man weiß, daß Diophantische Gleichungen nicht immer lösbar sind. Hat man bei obiger Fragestellung
z. B. 6,50 DM in der Tasche, so bleiben immer wenigstens 10 Pfennige übrig. Man hat ja die
Gleichung
8.x + 10.y = 65
zu lösen. Für jede Lösung ist die
linke Seite der Gleichung durch 2 teilbar, weil der ggT(8,10) = 2 ist, 65 dagegen ist nicht durch 2
teilbar.
Seite 48
Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
∧ ∨
Satz 8.1. 1 :
[
a,b,c∈Z
⇒
O
Beweis:
∨
⇔
( ax + by = c )
ggT(a,b) | c ]
x,y∈Z
( a x + b y = c ) , etwa a x0 + b y0 = c , dann gilt
x,y∈Z
∧ ggT(a,b) | b ⇒ ggT(a,b) | a x0 + b y0 = c
ggT(a,b) | a
⇐
O
⇒
ggT(a,b) | c
ggT(a,b) = a u + b v
(Vielfachsummendarstellung des ggT)
c
.
(a x + b y) ggT(a,b) = c
c
und y1 = v .
u und v sind ein Lösungspaar für
c
Lösungen sind also x1 = u .
ggT(a,b)
Beispiel:
8.x + 10.y =
ggT(a,b)
ggT(8,10) = 2
2 = 1.10 – 1.8
c
64
Lösungen sind dann
x1 = u . ggT(a,b) = –1 . 2 = –32
c
64
und y1 = v . ggT(a,b) = 1 . 2 = 32
64
Wie erhält man aus der einen Lösung alle weiteren?
∧ ∨
∧
Satz 8.1. 2 :
[
a,b,c,t∈Z
⇒
(
x,y∈Z
Beweis:
∧ a x0 + b y0 = c
( ax + by = c )
x,y∈Z
b
( x = x0 + ggT(a,b) t
a
∧ y = y0 – ggT(a,b)
t ) ⇒ ax + by = c ]
a x0 + b y0 = c
b
a
b
a
ggT(a,b)
⇔
a x0 + a ggT(a,b) t + b y0 – b ggT(a,b) t = c
⇔
a ( x0 + ggT(a,b) t ) + b ( y0 –
anderer Beweis:
(x0 ,y0) ist Lösung
(x ,y) ist Lösung
a
⇒
⇒
⇒
⇒
b
ggT(a,b) ) = 1
b
= ggT(a,b) . t
a x0 + b y0 = c
ax + by = c
a (x – x0) + b (y – y0) = c – c = 0
a
b
ggT(a,b) (x – x0) + ggT(a,b) (y – y0) = 0
⇒
ggT(ggT(a,b) ,
⇒ (x – x0)
t) = c
mit t ∈ZZ
b
ggT(a,b)
| (x – x0)
a
. t mit t ∈ZZ
∧ (y – y0) = – ggT(a,b)
( mit demselben t )
Also gilt für jede weitere Lösung
b
x = x0 + ggT(a,b) t
a
∧ y = y0 – ggT(a,b)
t (mit t ∈ZZ)
Anmerkung:
Die erste Lösung einer linearen diophantischen Gleichung, kann man - wenn sie existiert - häufig
durch Erraten gewinnen. Falls nicht, verwende man die Darstellung des ggT als Vielfachsumme.
Eine lösbare diophantische Gleichung a x + b y = c , also eine mit ggT(a,b) | c, kann man stets auf
eine solche a´x + b´y = c´ zurückführen, wobei ggT(a´,b´) = 1 ist, nämlich durch Division durch
ggT(a,b).
Beispiel:
15 x + 21 y = 33
| : ggT(15,21) = 3
5 x + 7 y = 11
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Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
Um eine Lösung zu gewinnen, muß 1 und dann 11 als Vielfachsumme von 5 und 7
dargestellt werden: 1 = – 4 . 5 + 3 . 7
11 = – 44 . 5 + 33 . 7
also
x0 = – 44
∧ y0 = 33
und
x = – 44 + 7 t ∧ y = 33 – 5 t (mit t ∈ZZ)
Zum Beispiel ergeben sich folgende Lösungen:
t
x
y
–3
–65
48
–2
–58
43
–1
–51
38
0
–44
33
1
–37
28
2
–30
23
3
–23
18
t
4
5
6
7
8
9
10
x
–16
–9
–2
5
12
19
26
y
13
8
3
–2
–7
–12
–17
Auch lineare diophantische Gleichungen mit mehr als zwei Variablen kann man entsprechend lösen.
Zum Beispiel gilt für drei Variable der
Satz 8.1. 3 :
∧ ∨
∨
[
a,b,c,d∈Z
⇒
O
Beweis:
( ax + by + cz = d )
⇔
ggT(a,b,c) | d ]
x,y,z∈Z
( a x + b y + c z = d ) , etwa a x0 + b y0 + c z0 = d , dann gilt
x,y,z∈Z
ggT(a,b,c) | a
⇐
O
∧ ggT(a,b,c) | b ∧ ggT(a,b,c) | c ⇒ ggT(a,b,c) | a x0 + b y0 + c z0 = d
ggT(a,b,c) | d ⇒ ggT(a,b,c) = a u + b v + c w (Vielfachsummendarstellung des ggT)
d
u, v und w sind ein Lösungstripel für (a x + b y + c z) .
= d
ggT(a,b,c)
d
d
d
Lösungen sind also x1 = u . ggT(a,b,c) , y1 = v . ggT(a,b,c) und z1 = w . ggT(a,b,c)
Beispiel:
2 x + 4 y + 6 z = 34
| : ggT(2,4,6) = 2
(weil 2 | 34)
x + 2 y + 3 z = 17
Nun kann man x zunächst als Konstante betrachten und folgende Gleichung lösen:
2 y + 3 z = 17 – x
(dabei teilt ggT(2,3) = 1 sicher 17 – x )
Lösungen sind
y = y0 + 3 t
z = z0 – 2 t
y0 und z0 hängen von der Wahl von x ab.
Zum Beispiel sind y0 = 1 + x und z0 = 5 – x mögliche Lösungen, denn
2 (1 + x) + 3(5 – x) = 2 + 2 x + 15 – 3 x = 17 – x .
Es darf also für x eine beliebige ganze Zahl eingesetzt werden: x = t1
Die Lösungen sind daher
x = t1
y = 1 + t1 + 3 t2
z = 5 – t1 – 2 t2
(mit t1, t2 ∈ZZ)
Zum Beispiel ergeben sich folgende Lösungen:
t1
t2
x
y
z
0
–3
0
–8
11
–2
0
–5
9
–1
0
–2
7
0
0
1
5
1
0
4
3
2
0
7
1
3
0
10
–1
t1
t2
x
y
z
1
–3
1
–7
10
–2
1
–4
8
–1
1
–1
6
0
1
2
4
1
1
5
2
2
1
8
0
3
1
11
–2
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Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
8.2
Quadratische diophantische Gleichungen
Definition 8.2. 1 :
Eine diophantische Gleichung, bei der mindestens eine Variable in der
zweiten Potenz und keine Variable in einer höheren als der zweiten Potenz
auftritt, heißt quadratische diophantische Gleichung.
Hier soll nur die Frage nach den pythagoräischen Zahlentripeln als ein Beispiel einer quadratischen
diophantischen Gleichung betrachtet werden.
Welche ganzzahligen Lösungen hat die Gleichung
x2 + y2 = z2 ?
Bekannte Beispiele solcher Zahlentripel sind x = 3 ; y = 4 ; z = 5 , denn 32 + 42 = 52 ;
x = 5 ; y = 12 ; z = 13 , denn 52 + 122 = 132 ;
x = 8 ; y = 15 ; z = 17 , denn 82 + 152 = 172 .
Solche pythagoräischen Zahlentripel wurden bereits von den Babyloniern berechnet und Euklid hat
eine vollständige Lösung dieses Problems angegeben.
Hat man ein pythagoräisches Zahlentripel (a, b, c), dann ist natürlich auch jedes Tripel (at, bt, ct) ein
solches Tripel. Es gibt also sicher unendlich viele Lösungen des oben genannten Problems. Wie sich
aber schon aus den oben genannten Beispielen zeigt, gibt es Tripel, die nicht durch Vervielfachung
auseinander hervorgehen. Solche teilerfremden Tripel mit Elementen aus IN sollen bestimmt werden.
Die Aufgabe heißt also:
Man bestimme alle Tripel (x, y, z) mit x, y, z ∈ IN* und x2 + y2 = z2 und ggT(x,y,z) = 1.
Da ggT(x,y,z) = 1 ist, gilt auch ggT(x,y) = ggT(y,z) = ggT(z,x) = 1 , denn wäre etwa ggT(y,z) = d ≠ 1 , so
müßte wegen x2 = z2 – y2 auch d | x sein im Widerspruch zu ggT(x,y,z) = 1.
Daraus folgt, daß höchstens ein der drei Zahlen x, y, z gerade sein darf.
Andererseits können aber nicht alle drei Zahlen ungerade sein, da, wenn zwei Zahlen, etwa y und z ,
ungerade wären, wegen x2 = z2 – y2
x gerade sein müßte.
Beweis:
y = 2m + 1 ⇒ y2 ≡ 1 (mod 4)
z = 2n + 1 ⇒ z2 ≡ 1 (mod 4)
⇒
x2 = z2 – y2 ≡ 0 (mod 4)
⇒
x ≡ 0 (mod 2)
Es ist also genau eine dieser drei Zahlen gerade.
ObdA setzt man
x = 2k
y = 2m + 1
z = 2n + 1
(k,m,n ∈ IN*)
⇒
z + y = 2 (n + m + 1) = 2 u
mit u = n + m + 1
⇒
z – y = 2 (n – m) = 2 v
mit v = n – m
Aus
x2 = z2 – y2 = (z + y) (z – y)
⇒
4 k2 = 2 u . 2 v
⇒
k2 = u v
Es ist ggT(u,v) = 1 , weil
ggT(u,v) = d ⇒
d|z+y ∧ d|z–y
⇒
d | ggT(y,z) = 1
Nun ist aber das Produkt von zwei teilerfremden Zahlen nur dann eine Quadratzahl, wenn jeder Faktor
eine Quadratzahl ist. Folglich gilt
u = a2
v = b2
mit a,b ∈ IN
Aus ggT(u,v) = 1 folgt dann auch ggT(a,b) = 1 , also insgesamt
z = u + v = a2 + b2
y = u – v = a2 – b2
x2 = 4 k2 = 4 u v = 4 a2 b2
bzw. x = 2 a b
ggT(a,b) = 1
Von den beiden Zahlen a und b muß eine gerade und eine ungerade sein. Wegen ggT(a,b) = 1
können nicht beide gerade sein; weil z ungerade ist, können nicht beide ungerade sein, da
z = a2 + b2. Also gilt
a ≡/ b (mod 2)
x = 2 a b , y = a2 – b2 und z = a2 + b2 erfüllen die Gleichung x2 + y2 = z2 .
Satz 8.2. 1 :
∧
[ x = 2 a b , y = a2 – b2 und z = a2 + b2 mit ggT(a,b) = 1 und a ≡/ b (mod 2)
a,b∈IN
sind alle teilerfremden Lösungen der Gleichung x2 + y2 = z2 . ]
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Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
Einige Beispiele:
a
2
3
4
4
5
5
6
7
b
(x, y, z)
x2 + y2 = z2
1
2
1
3
2
4
1
2
(4, 3, 5)
(12, 5, 13)
(8, 15, 17)
(24, 7, 25)
(20, 21, 29)
(40, 9, 41)
(12, 35, 37)
(28, 45, 53)
42 + 32 = 52
122 + 52 = 132
82 + 152 = 172
242 + 72 = 252
202 + 212 = 292
402 + 92 = 41z2
122 + 352 = 372
282 + 452 = 532
9. Kongruenzen mit Variablen
9.1
Lineare Kongruenzen
Neben den Gleichungen wurden in der Zahlentheorie Kongruenzen eingeführt. Wie man Gleichungen mit Variablen nach diesen auflösen kann, so kann man auch Kongruenzen nach Variablen
auflösen.
Definition 9.1. 1 :
∧ ∧ ∧
n
[ Eine Kongruenz der Gestalt
a i ,b ∈Z i∈{1,2,...,n} m∈IN*
∑ aixi ≡ b (mod m)
heißt
i=1
lineare Kongruenz in den Variablen x1, x2, . . . , xn. ]
Ein n-Tupel aus ganzen Zahlen x1, x2, . . . , xn heißt dann Lösungstupel der
linearen Kongruenz, wenn es die Kongruenz erfüllt.
Eine Kongruenz in einer Variablen ist also zum Beispiel
Durch Ausprobieren findet man eine Lösung
3 x ≡ 5 (mod 7) .
x ≡ 4 (mod 7) , weil 3.4 = 12 ≡ 5 (mod 7).
Man kann die Kongruenz aber auch in eine diophantische Gleichung umschreiben:
3 x ≡ 5 (mod 7)
⇒
7 | 3x – 5
⇒
7y = 3x – 5
⇒
3x – 7y = 5
Da ggT(3,7) = 1 ist, ist diese diophantische Gleichung lösbar:
x0 = 4
y0 = 1
und allgemein
x = 4 – 7t
y = 1 – 3t
Bei der Kongruenz geht es nur um den x-Wert. Die Lösungsmenge ist daher { 4 + 7 t | t ∈ZZ } ,
dies ist aber die Restklasse R7(4) . Man kann also auch sagen: Eine lineare Kongruenz in einer
Variablen wird - wenn sie lösbar ist - durch (mindestens) eine Restklasse gelöst. Das Lösbarkeitskriterium kann man aus dem für diophantische Gleichungen herleiten:
Satz 9.1. 1 :
∧∧ ∨
[
a,b∈Z m∈IN*
( a x ≡ b (mod m) )
⇔ ggT(a,m) | b ]
x∈Z
Beweis ergibt sich aus Satz 8.1. 1 .
Gegenbeispiel:
3 x ≡ 7 (mod 12)
Hier teilt ggT(3,12) = 3 nicht die Zahl 7. Es gibt kein Vielfaches von 3 , das bei
der Division durch 12 den Rest 7 läßt, denn die Vielfachen von 3 haben
mod 12 nur die Reste 0, 3, 6 und 9 .
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Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
Wie aber lassen sich die Lösungen einer linearen Kongruenz mit einer Variablen bestimmen? Man
kann eine solche Kongruenz stets in eine diophantische Gleichung umschreiben und wie diese
lösen:
a x ≡ b (mod m)
⇒
m | ax – b
⇒
my = ax – b
⇒
ax – my = b
Diese Gleichung ist lösbar für ggT(a,m) | b .
Ist das Lösbarkeitskriterium erfüllt, so setzt man d = ggT(a,m) und m = m´d , a = a´d , b = b´d.
Jede Lösung von a x ≡ b (mod m) ist dann auch Lösung von a´x ≡ b´(mod m´).
Da ggT(a´, m´) = 1 gibt es ganze Zahlen s und t mit 1 = a´s + m´t .
Die Lösungen von a´x ≡ b´(mod m´) sind daher dieselben wie die Lösungen von
a´x ≡ b´(a´s + m´t) (mod m´)
a´x ≡ b´a´s + b´m´t (mod m´)
a´x ≡ b´a´s (mod m´)
x ≡ b´s (mod m´)
da ggT(a´,m´) = 1
Zur Erinnerung: Nach der 2. Folgerung aus Satz 3.3. 3 gilt a ≡ b (mod m) ⇒ a.c ≡ b.c (mod m) ,
aber nicht die Umkehrung a.c ≡ b.c (mod m) ⇒ a ≡ b (mod m)
Gegenbeispiel: Es gillt 5.9 ≡ 5.3 (mod 10) , aber nicht 9 ≡ 3 (mod 10) .
Ist aber bei a.c ≡ b.c (mod m) der ggT(c,m) = 1 , so kann man durch c dividieren.
Satz 9.1. 2 :
∧ ∧
[ a.c ≡ b.c (mod m)
a,b, c ∈Z m∈IN*
∧ ggT(c,m) = 1 ⇒
a ≡ b (mod m) ]
identisch mit Satz 6.4. 1
Beweis: a.c ≡ b.c (mod m)
∧ ggT(c,m) = 1 ⇒
m | ac – bc = c(a – b)
⇒ m | (a – b) ⇒ a ≡ b (mod m)
(Denn wegen ggT(a,m) = 1 teilt m nicht c , also muß m die Differenz a – b teilen.)
Die Lösung einer linearen Kongruenz ax ≡ b (mod m) mit einer Variablen kann also stets so erfolgen:
1. Man stellt fest, ob die Kongruenz lösbar ist, d. h. ob ggT(a,m) | b ist.
2. Man dividiert die Kongruenz (einschließlich dem Modul) durch den ggT(a,m).
Man erhält eine Kongruenz a´x ≡ b´ (mod m´) mit ggT(a´,m´) = 1
3. Man stellt 1 dar als Vielfachsumme von a´ und m´ : 1 = a´s + m´t .
4. Man schreibt die Kongruenz um in a´x ≡ b´(a´s + m´t) (mod m´)
a´x ≡ b´a´s + b´m´t (mod m´)
5. b´m´t ≡ 0 (mod m´) , daher gilt
a´x ≡ b´a´s (mod m´)
6. Da ggT(a´,m´) = 1 gilt
x ≡ b´s (mod m´)
7.
x ≡ b´s + m´ r (mod m´)
(mit r ∈ZZ)
Damit hat man die Lösungen der Kongruenz gefunden.
Beispiel:
3 x ≡ 6 (mod 12)
1. ggT(3,12) = 3 | 6
Kongruenz ist lösbar.
2.
x ≡ 2 (mod 4)
ggT(1,4) = 1
3. 1 = – 3 . 1 + 1 . 4
s=–3, t=1
4.
x ≡ 2 . 1 . (–3) + 2 . 4 . 1 (mod 4)
5.
x ≡ 2 . 1 . (–3) (mod 4)
6.
x ≡ – 6 (mod 4)
x ≡ 2 (mod 4)
7.
x ≡ 2 + 4 r (mod 4)
(mit r ∈ZZ)
Die wesentlich verschiedenen Lösungen sind x ≡ 2, x ≡ 6 ,
Damit ist der Beweis für den folgenden Satz erbracht.
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x ≡ 10
Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
∧∧
Satz 9.1. 3 :
a,b ∈Z m∈IN*
[ a x ≡ b (mod m)
∧ ggT(a,m) | b ∧ ggT(a,m) = d ∧ a = a´d ∧ m = m´d
∧ 1 = a´s + m´t
⇔
x ≡ b´s + m´r (mod m´)
(mit r ∈ ZZ) ]
Ist x Lösung der Kongruenz a x ≡ b (mod m) , dann ist natürlich auch jedes x´ ≡ x (mod m) eine
Lösung dieser Kongruenz. Solche Lösungen sollen nicht als wesentlich verschieden gelten.
Wesentlich verschiedene Lösungen müssen also inkongruent zueinander sein.
Ist {a1, a2, a3, . . . , am} ein vollständiges Restsystem modulo m (zum Beispiel mit den nicht-negativen
kleinsten Resten), so sind die wesentlich verschiedenen Lösungen zu je einem dieser Reste a1, a2,
a3, . . . , am kongruent. Es gibt also höchstens m wesentlich verschiedene Lösungen einer linearen
Kongruenz.
Hat man nach dem oben angegebenen Verfahren eine Lösung x ermittelt, so ist jede Zahl
x´= x + r m´ (mit r ∈ZZ) eine Lösung; die zueinander inkongruenten Lösungen müssen zu je einem
der kleinsten nicht-negativen Reste kongruent sein.
Ist ggT(a,m) = d , so sind von den x´= x + t m´ die zueinander inkongruenten Lösungen genau die
Zahlen
x , x + m´, x + 2 m´, . . . , x + (d – 1) m´
Damit ist der folgende Satz bewiesen:
Satz 9.1. 4 :
Ist die lineare Kongruenz a x ≡ b (mod m) lösbar und ist ggT(a,m) = d , so hat die
Kongruenz genau d wesentlich verschiedene Lösungen. Ist ggT(a,m) = 1 , so
existiert zu jedem b eine mod m eindeutig bestimmte Lösung.
Folgerung:
Ist m = p eine Primzahl, so ist ggT(a,m) = 1.
Eine lineare Kongruenz nach einem Primzahlmodul besitzt genau eine Lösung.
Diese Folgerung stimmt überein mit dem Ergebnis, das in Satz 6.4. 4 festgehalten ist: Die Menge der
primen Restklassen bildet bezüglich der Multiplikation eine Gruppe. (Die Gruppenaxiome von der
eindeutigen Existenz eines neutralen Elementes und von der Existenz eines inversen Elementes zu
jedem Element kann man bekanntlich ersetzen durch das Axiom „Jede Gleichung ist eindeutig
lösbar.“)
In den Fällen, in denen ggT(a,m) = 1 ist, kann man eine formale Bruchschreibweise einführen.
Definition 9.1. 2 :
b
Ist ggT(a,m) = 1 , so bezeichnet a eine Lösung der Kongruenz
a x ≡ b (mod m).
89
Mit dieser Schreibweise ist beispielsweise x = 57 die Lösung von 57 x ≡ 89 (mod 101).
Das wesentliche bei dieser Schreibweise ist, daß
b
b + ym
≡ a + z m (mod m)
a
(mit y,z ∈ZZ)
ist.
Durch Anwendung dieser Regel kann man die Lösung der Kongruenz bestimmen:
89
x ≡ 57 ≡
89 – 101
–12
–4
–4 + 101.7
≡ 57 ≡ 19 ≡
≡ 37 (mod 101)
57
19
Oder an einem anderen Beispiel:
6 x ≡ 3 (mod 15)
1
Mit dieser Schreibweise ist beispielsweise x = 2 die Lösung von 2 x ≡ 1 (mod 5).
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Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
1
1+5
x ≡2 ≡ 2
≡ 3 (mod 5)
Wesentlich verschiedene Lösungen sind also x ≡ 3 (mod 15)
x ≡ 8 (mod 15)
x ≡ 13 (mod 15).
9.2
Simultane lineare Kongruenzen
Eine Schulleiterín wird gefragt, wieviel Schüler(innen) in ihrer Schule sind. Sie gibt zur Antwort: Wenn
ich alle Schüler(innen) sich zu Zweien, zu Dreien, zu Vieren, zu Fünfen oder zu Sechsen aufstellen
lasse, bleibt jedesmal ein(e) Schüler(in) einzeln übrig. Wenn ich aber alle zu Siebenen aufstellen
lasse, sind alle Reihen voll und niemand bleibt übrig.
Diese Frage läßt sich in Form vom Kongruenzen schreiben:
Die Anzahl der Schüler(innen) x läßt bei der Division durch 2, 3, 4, 5 und 6 jeweils den Rest 1:
x ≡1 (mod 2)
x ≡1 (mod 3)
x ≡1 (mod 4)
x ≡1 (mod 5)
x ≡1 (mod 6)
aber
x ≡0 (mod 7) , weil bei der Division durch 7 kein Rest bleibt.
Man hat also mehrere lineare Kongruenzen, die gleichzeitig gültig sein sollen. Man spricht von einem
System simultaner Kongruenzen.
Definition 9.2. 1 :
Eine Anzahl von n linearen Kongruenzen in einer Variablen x
a1 x ≡ b1 (mod m1)
a2 x ≡ b2 (mod m2)
a3 x ≡ b3 (mod m3)
................
an x ≡ bn (mod mn) ,
die alle gleichzeitig erfüllt sein sollen, heißt ein System von n simultanen
linearen Kongruenzen.
Ein System von linearen Kongruenzen mit einer Variablen kann man immer auf die Form
x ≡ c1 (mod m1)
x ≡ c2 (mod m2)
x ≡ c3 (mod m3)
................
x ≡ cn (mod mn)
reduzieren,
da man jede einzelne Kongruenz zunächst nach der Methode von Abschnitt 9.1 lösen kann, sofern
sie überhaupt lösbar ist..
Lösung der Beispielaufgabe:
Die Anzahl der Schüler(innen) x läßt durch 2, 3, 4, 5 und 6 den Rest 1, das heißt x – 1 muß durch 2, 3,
4, 5 und 6 teilbar sein, also auch durch das kgV(2,3,4,5,6) = 60. Also ist
x = 1 + 60 t mit t ∈ IN
das heißt
x ∈ {1, 61, 121, 181, 241, 301, 361, . . . } .
Die kleinste Zahl in dieser Menge, die durch 7 teilbar ist, ist 301 .
Die Angabe der Schulleiterin ist unvollständig, denn es könnten 301 Schüler(innen) sein, aber auch
jede andere Anzahl aus der Restklasse R420(301).
Tatsächlich muß man nicht alle Kongruenzen
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Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
x ≡ 1 (mod 2)
x ≡ 1 (mod 3)
x ≡ 1 (mod 4)
x ≡ 1 (mod 5)
x ≡ 1 (mod 6)
x ≡ 0 (mod 7) in Betracht ziehen, da einige in anderen schon enthalten sind:
Gilt x ≡1 (mod 4) , dann gilt auch x ≡1 (mod 2).
Gilt x ≡1 (mod 6) , dann gilt auch x ≡1 (mod 2) und x ≡1 (mod 3) .
Es genügt also, die folgenden Kongruenzen zu betrachten:
x ≡1 (mod 4)
als diophantische Gleichung umgeschrieben x – 4y = 1
x ≡1 (mod 5)
x – 5z = 1
x ≡1 (mod 6)
x – 6u = 1
x ≡0 (mod 7)
x – 7v = 0
Dies ist ein System von simultanen linearen diophantischen Gleichungen. Da es nur auf die x-Werte
ankommt, kann man zunächst die Gleichungen einzeln lösen:
x0 = 1 und y0 = 0
R4(1) = { . . . , 1, 5, 9, 13, 17, 21, . . . }
x0 = 1 und z0 = 0
R5(1) = { . . . , 1, 6, 11, 16, 21, 26, . . . }
x0 = 1 und u0 = 0
R6(1) = { . . . , 1, 7, 13, 19, 25, 31, . . . }
x0 = 0 und y0 = 0
R7(0) = { . . . , 0, 7, 14, 21, 28, 35, . . . }
Die Lösungen einer jeden linearen Kongruenz lassen sich durch je eine Restklasse Rm(a) angeben.
Die Lösungen der simultanen Kongruenzen müssen dann im Durchschnitt der einzelnen Restklassen
liegen:
Rm1(a1) ∩ Rm2(a2) ∩ Rm3(a3) ∩ Rm4(a4) ∩ Rm5(a4) ∩ . . . ∩ Rmn(an)
Der Durchschnitt ist aber gerade die Menge { . . . , 301, 721, 1141, . . . } = { 301 + 420 t
weil 420 = kgV(4,5,6,7) ist.
Ist dies wieder eine Restklasse? Ja, natürlich: Es ist R420(301).
Nicht alle simultanen linearen Kongruenzen haben eine Lösung: zum Beispiel
x ≡ 1 (mod 3)
x ≡ 2 (mod 6)
Aus x ≡ 2 (mod 6) folgt 6 | x – 2 und, da 3 ein Teiler von 6 ist, auch 3 | x – 2 ,
also x ≡ 2 (mod 3) im Widerspruch zu x ≡1 (mod 3).
|
t ∈ZZ } ,
Eine 1. Lösungsmethode ist folgende, wenn die Moduln paarweise teilerfremd sind:
x ≡ c1 (mod m1)
bedeutet x = c1 + m1t1
mit t ∈ZZ
eingesetzt in x ≡ c2 (mod m2)
ergibt dies
c1 + m1t1 ≡ c2 (mod m2)
und damit
m1t1 ≡ c2 – c1 (mod m2)
Daraus läßt sich t1 (mod m2) berechnen wegen ggT(m1,m2) = 1 :
t1 = d1 + m2t2 mit t2 ∈ ZZ
und damit
x = c1 + m1d1 + m1m2t2 .
Wegen x ≡ c3 (mod m3) ist
c1 + m1d1 + m1m2t2 ≡ c3 (mod m3)
also
m1 m1 t2 ≡ c3 –c1 – m1d1(mod m3)
Hieraus berechnet man t2 (mod m3) , was wegen ggT(m1,m2,m3) = 1 möglich ist.
Man erhält t2 = d2 + m3t2 mit t3 ∈ZZ und damit
x = c1 + m1d1 + m1m2d2 + m1m2m3t3 .
Nach dem n-ten Schritt hat man die Lösung gefunden.
Beispiel:
Man löse das System
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 3 (mod 4)
x ≡ 1 (mod 7)
Die Moduln sind paarweise teilerfremd. Man kann also das angegebene Verfahren verwenden.
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Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
x = 2 + 3 t1
2 + 3 t1 ≡ 3 (mod 4) , also 3 t ≡ 1 (mod 4)
t1 ≡ 3 (mod 4) , also t1 = 3 + 4 t2
x = 2 + 9 + 12 t2
2 + 9 + 12 t2 ≡ 1 (mod 7) , also 12 t2 ≡ – 10 (mod 7),
5 t2 ≡ 4 (mod 7)
t2 ≡ 5 (mod 7) , also t2 = 5 + 7 t3
x = 2 + 9 + 60 + 84 t3 = 71 + 84 t3
( t3 ∈ZZ ) .
und daher
beziehungsweise
und daher
Die Lösung des Systems ist also die Restklasse R84(71),
x ≡ 71 (mod 84)
Zur Lösung simultaner Kongruenzen hatte bereits der chinesische Mathematiker SUN-TSE (etwa 250
n.Chr.) einen Satz aufgestellt, der deswegen auch chinesischer Restsatz heißt.
Satz 9.2. 1 :
∧∧ ∧
[ Es ist ein System von simultanen linearen Kongruenzen
c i ∈Z mi ∈IN* i∈{1, 2,...,n}
∧
⇒
x ≡ c1 (mod m1)
x ≡ c2 (mod m2)
x ≡ c3 (mod m3)
................
x ≡ cn (mod mn)
gegeben,
m1, m2, m3, . . . ,mn sind paarweise teilerfremd
( Rm(a) = Rm1(c1) ∩ Rm2(c2) ∩ . . .
∨
a ∈Z,m∈IN*
∩ Rmn(cn) ) ]
Das heißt: Es gibt genau eine Restklasse, deren Elemente die simultanen
Kongruenzen lösen.
n
Beweis:
∏ mi
Man setzt m =
i =1
m
und mi´ = m .
i
Dann ist ggT(m i ,m i´) = 1 und ggT(m1´ , m2´ , m3´ , . . . ,mn´ ) = 1 .
Also läßt sich 1 darstellen als 1 = d1m1´ + d2m2´ + d3m3´ + . . . + dnmn´.
Offenbar ist m i´ . d i ≡ 0 (mod mj) für i ≠ j und m i´ . d i ≡ 1 (mod m i) .
n
Setzt man a =
∑ di ⋅ mi ′ ⋅ ci
, so ist a ≡ c i (mod m i) , das heißt
i =1
a löst jede der n simultanen linearen Kongruenzen.
Ist jede Zahl aus der Restklasse Rm(a) Lösung der simultanen Kongruenzen?
Ist z ∈ Rm(a) , so gilt z ≡ a (mod m) und da m i | m ist z ≡ a (mod m i) ,
also auch z ≡ c i (mod m i).
Jede Zahl aus der Restklasse Rm(a) ist Lösung der simultanen Kongruenzen.
Liegt jede Lösung der simultanen Kongruenzen in der Restklasse Rm(a) ?
Es sei u seine Lösung der simultanen Kongruenzen, also
[ u ≡ ci (mod m i) ] ⇒
[ u ≡ a (mod m i) ]
∧
i∈{1, 2,...,n}
⇒
∧
∧
i ∈{1, 2 ,..., n}
⇒
i∈{1, 2,...,n}
∧
i∈{1, 2,...,n}
[ u ≡ a (mod kgV(m1,m2,...,mn) ]
n
[ u ≡ a (mod
∏ mi )
i =1
Seite 57
] , da die m i paarweise teilerfremd sind.
Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
⇒
∧
[ u ≡ a (mod m) ]
⇒
u ∈ Rm(a)
i∈{1, 2,...,n}
Beispiel:
Man löse das System
x ≡ 2 (mod 3)
x ≡ 3 (mod 4)
x ≡ 1 (mod 7)
ggT(3,4,7) = 1 und die Moduln sind auch paarweise teilerfremd.
Also kann der chinesische Restsatz angewendet werden.
m = 3 . 4 . 7 = 84
m1´ = 4 . 7 = 28
ggT(28,21,12) = 1
.
m2´ = 3 7 = 21
1 = 28 u + 21 v + 12 w
m3´ = 3 . 4 = 12
z. B. 1 = –5 . 28 + 5 . 21 + 3 . 12
a = –5 . 28 . 2 + 5 . 21 . 3 + 3 . 12 . 1 = 71
a ≡ 71 (mod 84)
Versucht man nun das Einstiegsproblem (mit den Schüler(innen)zahlen) zu lösen, so stellt man fest,
daß die Voraussetzungen des chinesischen Restsatzes nicht erfüllt sind, da die Moduln nicht
paarweise teilerfremd sind.
x ≡1 (mod 4)
x ≡1 (mod 5)
Die Moduln 4 und 6 sind nicht teilerfremd.
x ≡1 (mod 6)
x ≡0 (mod 7)
Wüßte man, ob die beiden Kongruenzen x ≡1 (mod 4) und x ≡1 (mod 6) simultan lösbar sind, so
könnte man sie lösen und durch eine neue Kongruenz ersetzen. Möglicherweise wären dann die
Moduln der verbleibenden Kongruenzen teilerfremd.
Satz 9.2. 2 :
∧∧ ∨
∧∧
[ (
a,b ∈Z m,n∈IN*
x ≡ a (mod m)
∧ x ≡ b (mod n) ) ⇔ ggT(m,n) | a – b ]
x ∈Z
[ Die Lösungsmenge ist eine Restklasse mod kgV(m,n). ]
a,b ∈Z m,n∈IN*
In Worten: Das System
x ≡ a (mod m)
x ≡ b (mod n)
ist genau dann lösbar, wenn ggT(m,n) | a – b ist. In diesem Fall ist die
Lösungsmenge gleich einer Restklasse mod kgV(m,n).
Beweis:
x ≡ a (mod m)
⇔
m|x–a
⇔
x = a + ms
x ≡ b (mod n)
⇔
m|x–b
⇔
x = b + nt
⇔
a + ms = b + nt
⇔
ms – nt = a – b
Ist diese diophantische Gleichung lösbar, dann ist auch die simultane Kongruenz lösbar.
Das Lösbarkeitskriterium für diese Diophant-Gleichung ist ggT(m,n) | a – b .
Damit ist der erste Teil des Satzes bewiesen.
Sind nun x1 und x2 Lösungendes Systems, dann gilt
x1 ≡ x2 (mod m)
∧
x1 ≡ x2 (mod n)
Zwei Lösungen des Systems liegen
⇒
x1 ≡ x2 (mod kgV(m,n))
in der gleichen Restklasse mod kgV(m,n).
Umgekehrt hat man eine Lösung des Systems und eine Zahl aus derselben Restklasse mod
kgV(m,n), dann ist diese zweite Zahl auch Lösung des Systems.
Ist x1 Lösung des Systems, also x1 ≡ a (mod m)
∧
x1 ≡ b (mod n),
und x2 in der gleichen Restklasse mod kgV(m,n) wie x1 , also x2 ≡ x1 (mod kgV(m,n)),
dann ist x2 ≡ x1 (mod m) und x2 ≡ x1 (mod n) , weil folgende Regel gilt:
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∧
[
a , b , m i ∈Z
∧
i ∈{1, 2 ,..., k}
Beweis:
⇒
( a ≡ b (mod mi) )
⇔
a ≡ b (mod kgV(m1, m2, . . ., mk)) ]
a ≡ b (mod mi) ⇔
mi | a – b ⇔ ti mi = a – b
( ti mi = a – b ) ⇔
t . kgV(m1, m2, . . ., mk) = a – b
∧
i ∈{1, 2 ,..., k}
Beispiel:
x ≡ 1 (mod 4)
Da ggT(4,6) = 2 | 1 – 1 = 0 , ist dieses System
x ≡ 1 (mod 6)
lösbar.
Man löst die diophantiche Gleichung 4 s – 6 t = 1 – 1 = 0
2s – 3t = 0
s0 = 3
t0 = 2
x = 1 + 4.s = 1 + 4.3k
x = 1 + 6.t = 1 + 6.2k
liefert x = 1 + k . 12 oder
s=3+3r = 3k
t =2+2r = 2k
x ≡ 1 (mod 12)
x ≡ 1 (mod 4)
x ≡ 1 (mod 5)
Die Moduln 4 und 6 sind nicht teilerfremd.
x ≡ 1 (mod 6)
x ≡ 0 (mod 7)
zurückgeführt auf das System
x ≡ 1 (mod 5)
x ≡ 0 (mod 7)
Die Moduln sind paarweise teilerfremd.
x ≡ 1 (mod 12)
Man kann das System also mit einem der oben angegebenen Verfahren lösen, zum Beispiel mit dem
chinesischen Restsatz.
m = 5 . 7 . 12 = 420
ggT(84,60,35) = 1
m1´ = 7 . 12 = 84
.
m2´ = 5 12 = 60
1 = 84 u + 60 v + 35 w
m3´ = 5 . 7 = 35
z. B. 1 = 14 . 84 – 5 . 60 – 25 . 35
a = 14 . 84 . 1 – 5 . 60 . 0 – 25 . 35 . 1 = 301
a ≡ 301 (mod 420)
Natürlich läßt sich die Zahl 1 in verschiedener Weise als Vielfachsumme von 84, 60 und 35
darstellen, zum Beispiel
1 = – 11 . 84 + 9. 60 – 11 . 35
1 = – 6 . 84 + 9. 60 – 1 . 35
1 = 4 . 84 – 5. 60 – 1 . 35
1 = – 1 . 84 + 2. 60 – 1 . 35
Im letzten Fall gilt dann entsprechend
a = –1 . 84 . 1 + 2 . 60 . 0 – 1 . 35 . 1 = – 119
a ≡ – 119 (mod 420)
a ≡ 301 (mod 420)
Damit ist das System
Umgekehrt kann man eine Kongruenz a x ≡ b (mod m) mit ggT(a,m) = 1 und
m nicht prim
nach dem zusammengesetzten Modul m auch lösen, indem man daraus ein System von Kongruenzen mit paarweise teilerfremden Moduln, deren Produkt m ist, macht.
a x ≡ b (mod m)
m = m1 . m2 . m3 . . . . . mr sei eine Zerlegung von m in paarweise teilerfremde Faktoren mi .
Man sucht x1, x2 , x3 , . . . , xr ∈ZZ mit
a x1 ≡ b (mod m1)
a x2 ≡ b (mod m2)
a x3 ≡ b (mod m3)
................
a xr ≡ b (mod mr)
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x ≡ x1 (mod m1)
x ≡ x2 (mod m2)
x ≡ x3 (mod m3)
..............
x ≡ xr (mod mr)
und löst das System
Beispiel:
17 x ≡ 9 (mod 35)
35 = 5 . 7
Nun ist das System
Es ist
x
2 + 5 t1
5 t1
t1
x
x
x
und somit
17 x ≡ 9 (mod 5)
17 x ≡ 9 (mod 7)
2 x ≡ 4 (mod 5)
3 x ≡ 2 (mod 7)
x ≡ 2 (mod 5)
x ≡ 3 (mod 7)
x ≡ 2 (mod 5)
x ≡ 3 (mod 7)
zu lösen.
= 2 + 5 t1
≡ 3 (mod 7)
≡ 1 (mod 7)
≡ 3 (mod 7)
also
t1 = 3 + 7 t2
= 2 + 5 (3 + 7 t2)
= 2 + 15 + 35t2
≡ 17 (mod 35)
Eine weitere Anwendung der Systeme linearer Kongruenzen sind die Rechenproben (z. B.
Neunerprobe, Zehnerprobe, Elferprobe). Sind nämlich R9(a), R10(b), R11(c) die Restklassen, in
denen das Ergebnis liegen muß, so ist durch das System
x ≡ a (mod 9)
x ≡ b (mod 10)
x ≡ c (mod 11)
eine Restklasse modulo 9 . 10 . 11 = 990 bestimmt. Liegt das gefundene Ergebnis in dieser
Restklasse, so kann ein möglicher Fehler nur ein Vielfaches von 990 sein.
9.3
Polynomkongruenzen
n
Ein Polynom f(x) =
∑ aixi
mit ai ∈ZZ stellt eine ganze Zahl dar, wenn die Variable x mit einer ganzen
i=0
Zahl belegt wird.
n
Definition 9.3. 1 :
Die Menge aller Polynome f(x) =
∑ aixi
mit ai ∈ZZ wird mit ZZ[x] bezeichnet.
i=0
Analog zum Problem der Lösung der algebraischen Gleichung f(x) = 0 kann man das Problem der
Lösung der Kongruenz f(x) ≡ 0 (mod m) betrachten. Eine ganze Zahl c , die diese Kongruenz
erfüllt, heißt dann Wurzel oder Lösung der Kongruenz.
Mit c ist auch jedes c´ mit c´ ≡ c (mod m) Lösung der Kongruenz, wie man leicht nachrechnen kann.
Man sieht daher solche Lösungen nicht als wesentlich verschieden an.
Definition 9.3. 2 :
∧∧ ∧
[ f(x) =
∧∧ ∧
[ Ist bei einer Polynomkongruenz f(x) =
ai ∈Z m∈IN* i∈{0,1,2,...,n}
Definition 9.3. 3 :
n
∑ aixi ≡
0 (mod m) heißt Polynomkongruenz. ]
i=0
n
ai ∈Z m∈IN* i∈{0,1,2,...,n}
∑ aixi ≡ 0 in
i=0
der Folge der ganzen Zahlen an, an–1, an–2, . . . , ar, . . . , a1, a0
die Zahl ar die erste nicht durch m teilbare Zahl, so heißt die
n
Polynomkongruenz
∑ aixi ≡ 0 (mod m)
i=0
Seite 60
vom Grade r. ]
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Man beachte, daß der Grad der Polynomkongruenz nicht mit dem Grad des Polynoms übereinstimmen muß. Ist etwa g(x) = 8 x3 + 3 x3 + 1 , so ist die Polynomkongruenz g(x) ≡ 0 (mod 3) vom
Grade 3, die Polynomkongruenz g(x) ≡ 0 (mod 2) jedoch vom Grade 2.
Definition 9.3. 4 :
Sind f(x) und g(x) zwei Polynome, so heißt f(x) identisch kongruent zu g(x)
mod m genau dann, wenn jeder Koeffizient von f(x) – g(x) durch m teilbar ist.
Bei identisch kongruenten Polynomen f(x) und g(x) wird die Kongruenz f(x) ≡ g(x) (mod m) von
jeder ganzen Zahl x erfüllt. Umgekehrt müssen zwei Polynome nicht identisch kongruent sein, wenn
die Kongruenz f(x) ≡ g(x) (mod m) von jeder ganzen Zahl erfüllt wird.
Dies wird aus folgendem Beispiel klar: Die Kongruenz
m
∏ (x + i)
≡2
i=1
m
∏ (x + 1− i)
(mod m)
i=1
ist durch alle ganzen Zahlen x erfüllt, da jede Seite durch m! , also auch durch m teilbar ist.
Erklärung:
Das Produkt von n aufeinanderfolgenden Zahlen ist durch n! teilbar, denn in der
Zahlenreihe k1, k2, k3, . . . , kn kommt sicher eine durch 2, eine durch 3, eine durch 4
usw. bis eine durch n teilbare Zahl vor. Spätestens jede zweite Zahl ist durch 2, jede
dritte Zahl durch 3 usw. teilbar. Für m ∈ IN*\{1} sind die beiden Seiten aber nicht identisch kongruent.
Definition 9.3. 5 :
Genügen die Polynome f, g, h ∈ZZ[x] der identischen Kongruenz
f(x) ≡ g(x) . h(x) (mod m) ,
so sagt man,
oder
Satz 9.3. 1 :
∧ ∧∧
f(x) ist teilbar durch g(x) mod m
g(x) ist Teiler von f(x) mod m.
f(x) heißt dann ein Vielfaches von g(x).
[ c ist Wurzel von f(x) mod m ⇔ f(x) ist durch x – c teilbar. ]
f(x)∈Z[x] m∈IN* c∈Z
O
Beweis: ⇒
c ist Wurzel von f(x) mod m
⇒
f(c) ist durch m teilbar
⇒
Es gilt die identische Kongruenz f(x) ≡ f(x) – f(c) (mod m)
n
Ist der Grad von f(x) gleich n und f(x) =
∑ aixi ,
so gilt sogar als Gleichung
i=0
n
f(x) – f(c) =
i=0
⇐
O
n
∑ a i x i – ∑ a ic i
= a0 (1 – 1) + a1 (x – c) +a2 (x2 – c2) + . . . + an (xn – cn)
i=0
= (x – c) . g(x)
mit einem Polynom g(x) ∈ZZ[x] vom Grade n – 1 , da x – c alle xi – ci teilt.
⇒
f(x) ≡ (x – c) . g(x) ist eine identische Kongruenz
⇒
f(x) ist durch x – c teilbar
f(x) ist durch x – c teilbar
⇒
[ f(x) ≡ (x – c) . g(x) (mod m) ]
∨
g ( x ) ∈Z [ x ]
⇒
f(c) ≡ (c– c) . g(c) ≡ 0 (mod m)
⇒
c ist Wurzel von f(x) mod m
Es gibt keine allgemeine Methode, um eine Polynomkongruenz zu lösen. Man kann jedoch gewisse
Reduktionen machen, die das Problem schließlich auf die Lösung einer Kongruenz mit Primzahlmodul zurückführen.
Definition 9.3. 6 :
Eine Polynomkongruenz vom Grade 2 heißt quadratische Kongruenz.
Eine quadratische Kongruenz hat also die Gestalt
a2 x2 + a1 x + a0 ≡ 0 (mod m) mit a2 ≠ 0 .
Eine solche Kongruenz läßt sich immer reduzieren auf die Gestalt
y2 ≡ D (mod m) .
Seite 61
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Definition 9.3. 7 :
Ist eine quadratische Kongruenz x2 ≡ c (mod m) lösbar, so heißt
c quadratischer Rest modulo m, andernfalls quadratischer Nichtrest.
x2 ≡ 1 (mod 3) ist mit x = 1 und x = 2 lösbar.
Beispiele:
1 ist also quadratischer Rest mod 3.
x2
≡ 2 (mod 3) ist nicht lösbar.
2 ist also quadratischer Nichtrest mod 3.
x2 ≡ 5 (mod 7) ist nicht lösbar. 5 ist also quadratischer Nichtrest mod 7.
Definition 9.3. 8 :
∧∧∧
∞
[ a heißt quadratfrei :⇔
a∈Z pi ∈P i∈IN*
Satz 9.3. 2 :
a =
∏ p iα
i
∧ αi ∈ {0,1} ]
i =1
Jede quadratische Kongruenz a2 x2 + a1 x + a0 ≡ 0 (mod m1) läßt sich reduzieren auf
die Gestalt y2 ≡ D (mod 4 a2 m1) mit D = a12 – 4 a2 a0 .
Die Kongruenz y2 ≡ D (mod m) ist genau dann lösbar, wenn mit
ggT(D,m) = d , D = D´d , m = m´d und d = e2 f mit quadratfreiem f gilt
f und m´ sind teilerfremd und f D´ ist quadratischer Rest modulo m´.
Beweis: 1. für die Reduktion
a2 x2 + a1 x + a0 ≡ 0 (mod m) (oBdA mit a > 0)
⇔
4 a22 x2 + 4 a2 a1 x + 4 a2 a0 ≡ 0 (mod 4 a2 m)
⇔
(2 a2 x + a1)2 – (a12 – 4 a2 a0) ≡ 0 (mod 4 a2 m)
⇔
y2 – D ≡ 0 (mod 4 a2 m)
mit y = 2 a2 x + a1 und D = a12 – 4 a2 a0
2. für die Lösbarkeit
⇒
y2 ≡ D (mod m) ist lösbar
d = e2 f | D ∧ d | m
⇒
d = e2 f | y2
⇒
e f | y , da f quadratfrei
.
⇒
y = e f z mit z ∈ZZ
⇒
e2 f2 . z2 ≡ D´e2 f (mod m´e2 f)
⇒
f . z2 ≡ D´ (mod m´)
Betrachtet man diese Kongruenz als lineare in z2 , so ist dies nur möglich, wenn
ggT(f,m´) = 1 ist, da andernfalls ggT(m´, D´) > 1 wäre. Mit ggT(f,m´) = 1 gilt
⇔
(f . z)2 ≡ D´f (mod m´)
⇒
D´f ist quadratischer Rest mod m´.
O
⇐
O
f und m´ sind teilerfremd ∧ f D´ ist quadratischer Rest modulo m´
⇒
z2 ≡ D´f (mod m´) ist lösbar; die Lösung heiße etwa z0.
Da ggT(f,m´) = 1 , existiert eine eindeutige Lösung w0 der Kongruenz
f w ≡ z0 (mod m´)
⇒
f2 w02 ≡ z02 ≡ D´f (mod m´)
Division durch f und Multiplikation mit e2 f = d liefert
⇒
e2 f2 w02 ≡ e2 z02 ≡ e2 f D´ (mod e2 f m´)
⇒
e2 f2 w02 ≡ D (mod m)
⇒
Es gibt ein y0 = e f w0 mit
y02 ≡ e2 f2 w02 ≡ D (mod m)
⇒
y0 ist somit eine Lösung von
y2 ≡ D (mod m)
Offen bleibt im Moment die Frage, wie man herausfindet, ob ein gegebener teilerfremder Rest a
mod m ein quadratischer Rest oder ein quadratischer Nichtrest ist.
Beispiel:
y2 ≡ 450 (mod 1150)
ggT(D,m) = ggT(450,1150) = 50 , D = 450 = D´d = 9.50 , m = 1150 = m´d = 23.50
und d = 50 = e2 f = 52 . 2 mit quadratfreiem f (2 ist quadratfrei)
f = 2 und m´ = 23 sind teilerfremd und f D´ = 2.9 ist quadratischer Rest modulo m´,
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denn z2 ≡ 18 (mod 23) hat als Lösungen z1 = 8 und
z2 = 15.
Da ggT(2,23) = 1 , existiert eine eindeutig bestimmte Lösung w0 der Kongruenz
f w ≡ z1 (mod m´)
bzw.
f w ≡ z2 (mod m´)
2 w ≡ 8 (mod 23)
2 w ≡ 15 (mod 23)
w1 ≡ 4 (mod 23)
w2 ≡ 19 (mod 23)
y1 ≡ e f w0 ≡ 5 . 2 . 4 ≡ 40 (mod 1150)
y2 ≡ 5 . 2 . 19 ≡ 190 (mod 1150)
2
2
2
y1 ≡ 40 ≡ 1600 ≡ 450 (mod 1150)
y2 ≡ 1902 ≡ 36100 ≡ 450 (mod 1150)
Die Kongruenz hat also zwei wesentlich verschiedene Lösungen.
10.
10.1
Die Sätze von Fermat und Euler
Voraussetzungen
Zur Erinnerung:
Aus Kapitel 6.4 werden folgende Definitionen und Sätze benötigt:
Definition 6.4. 1 :
∧∧
∧ ℜ
a ∈Z m ∈IN *
Definition 6.4. 2 :
[
[ Rm(a) heißt prim
*
m
={ a ∈
ℜm
|
:⇔
ggT(a,m) = 1 ]
(ggT(a,m) = 1 } heißt Menge der primen
m∈IN*
Restklassen modulo m. ]
Satz 6.4. 2 :
∧∧
∧∧
∧ ℜ
[ ggT(a,m) = 1
∨
⇒
a ∈Z m ∈IN *
Satz 6.4. 3 :
( a x ≡ 1 (mod m) ) ]
x ∈Z
[ a ≡ b (mod m)
⇒
ggT(a,m) = ggT(b,m) ]
a , b ∈Z m ∈IN *
Satz 6.4. 4 :
[ (
*,⊗
m
) ist eine kommutative Gruppe. ]
m∈IN*
Aus der Algebra (z. B. Mathematik II - Algebra: Satz von Lagrange) werden folgende Definitionen und
Sätze benötigt:
Definition A. 1 :
Die Anzahl der Elemente einer Gruppe heißt ihre Ordnung
(Gruppenordnung).
Definition A. 2 :
Ist ( G , * ) eine Gruppe und a ∈ G, so heißt k die Ordnung von a , wenn k
die kleinste Zahl aus IN* ist, für die ak = e gilt.
e neutrales Element von ( G , * ) .
Schreibweise: k = Ord(a)
Satz A. 1 :
Ist ( G , * ) eine endliche Gruppe und a ∈ G, so bildet die Menge {e, a, a2, a3, . . . ,ak–1}
mit der Verknüpfung * eine Untergruppe von ( G , * ) .
Satz A. 2 :
Satz von Lagrange
Ist ( U , * ) eine Untergruppe einer endlichen Gruppe ( G , * ) ,
so ist | U | ein Teiler von | G | .
Folgerungen aus dem Satz von Lagrange:
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Satz A. 3 :
Die Ordnung jedes Elementes a einer endlichen Gruppe ( G , * ) ist ein Teiler der
Gruppenordnung.
Satz A. 4 :
Für jedes Element a einer endlichen Gruppe ( G , * ) gilt: a|G| = e .
Satz A. 5 :
Ist die Ordnung | G | einer Gruppe ( G , * ) eine Primzahl, so ist G zyklisch, und jedes
vom neutralen Element verschiedene Element erzeugt die Gruppe ( G , * ) .
Anders formuliert: Eine Gruppe von Primzahlordnung besitzt nur die trivialen
Untergruppen.
Die Eulersche Funktion ϕ (m)
10.2
Definition 10.2. 1 :
Die Anzahl der primen Restklassen (mod m) bezeichnet man mit
ϕ heißt die Eulersche Funktion.
ϕ(m).
ϕ(m) ist die Anzahl derjenigen a ∈ IN*, für die gilt
1 ≤ a ≤ m
∧
ggT(a,m) = 1 .
Die Eulersche Funktion ϕ ist also auf der Menge IN* definiert und stellt eine Funktion in IN* dar.
Anders ausgedrückt:
ϕ(m) zeigt die folgenden Tabelle.
Einige Werte von
m
ϕ(m)
1
1
2
1
Satz 10.2. 1 :
3
2
∧
p ∈P
4
2
[
5
4
6
2
7
6
8
4
9
6
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
4 10 4 12 6
8
8 16 6 18 8
ϕ(p) = p – 1 ]
Beweis: Die Zahlen zwischen 1 und p, die zu p teilerfremd sind, sind genau die Zahlen
1, 2, 3, . . . , p – 2, p – 1 .
Satz 10.2. 2 :
∧∧
ϕ(pr) = pr – pr–1 ]
[
p ∈P r ∈IN *
Beweis: Mögliche Reste mod pr sind 1, 2, 3, . . . , p, p+1, . . . , 2p, 2p+1, . . . , p2, . . . . . . , pr–1, pr .
Jede p-te Zahl ist durch p teilbar. Dies sind aber genau pr–1 Zahlen aus dieser Folge.
Wie berechnet man die Anzahl der teilerfremden Reste mod m, also die Eulersche Funktion ϕ(m)? Es
läßt sich eine Formel herleiten, mit deren Hilfe man ϕ(m) berechnen kann, wenn man die Primfaktorzerlegung von m kennt. Dazu sind aber noch einige Vorarbeiten nötig.
Satz 10.2. 3 :
∧
a ∈IN *
[ Ist Ta = {d1, d2, d3, . . . ,dr} mit r = τ(a) die Teilermenge von a
∑ ϕ (d )
⇒
= ϕ(d1) +
ϕ(d2) + ϕ(d3) + . . . + ϕ(dr) = a ]
d|a
Beweis: Für d ∈ Ta sei
Kd = { x ∈ IN | 1 ≤ x ≤ a
r
Dann ist
UK
i =1
di
= Kd1
∧ ggT(x,a) = d }
∪ Kd2 ∪ Kd3 ∪ . . . ∪ Kdr = {1, 2, 3, . . . ,a}
und
Kdi ∩ Kdj = ∅ für i ≠ j ,
denn jede natürliche Zahl zwischen 1 und a gehört genau einer der Mengen Kdi an.
Die Anzahl der Elemente von Kdi ist
ϕ(da ) , weil ggT(x,a) = di gleichbedeutend mit
i
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Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
x a
ggT(d ; d ) = 1 .ist. Die obige Formel ergibt sich aus der Tatsache, daß die Menge der
i
i
Komplementärteiler von a mit Ta übereinstimmt.
Definition 10.2. 2 :
Eine Menge {a1, a2, a3, . . . , aϕ(m)} aus
ϕ(m) verschiedenen ganzen
∧
Zahlen heißt ein primes Restsystem (mod m), wenn
[ ggT(ai,m) = 1 ∧ ai ≠ aj für 1 ≤ i < j ≤ ϕ(m) ]
i ∈{1, 2 , 3,...,ϕ ( m )}
Ein primes Restsystem (mod m) enthält also aus jeder der ϕ(m) primen Restklassen (mod m) genau
einen Vertreter.
Beispiele:
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ist ein primes Restsystem (mod 11).
{2, 4, 6, 8} ist ein primes Restsystem (mod 5)
{1, 17, –23, 41} ist kein primes Restsystem (mod 12), weil 1 ≡ –23 (mod 12)
und 17 ≡ 41 (mod 12).
Satz 10.2. 4 :
∧ ∧
a , a i ∈Z i ∈(1, 2 ,...,ϕ ( m )}
[ {a1, a2, a3, . . . , aϕ(m)} ist primes Restsystem (mod m)
∧ ggT(a,m) = 1
⇒ {aa1, aa2, aa3, . . . ,aaϕ(m)} ist primes Restsystem (mod m) ]
Beweis:
ggT(a,m) = 1
∧
∧
i ∈(1, 2 ,...,ϕ ( m )}
[ ggT(ai,m) = 1 ]
⇒
∧
i ∈(1, 2 ,...,ϕ ( m )}
[ ggT(aai,m) = 1 ]
Also sind die aai prim zum Modul m. Noch zu zeigen bleibt, daß die aai alle
teilerfremden Reste durchlaufen, d. h. daß aai ≡/ aaj (mod m) für i ≠ j .
Statt i ≠ j ⇒ aai ≡/ aaj (mod m) wird die Kontraposition gezeigt:
aai ≡ aaj (mod m)
⇒
i = j. Es gilt nämlich
aai ≡ aaj (mod m)
⇒
ai ≡ aj (mod m) ⇒
i=j
Ist {a1, a2, a3, . . . , a ϕ(m) }
ein primes Restsystem (mod m), so ist
ℜ m* = { Rm(a1), Rm(a2), Rm(a3), . . . , Rm( a ϕ(m) ) }.
Der Satz 10.2. 4 besagt also
ℜ m* = { a1, a2, a3, . . . , a ϕ(m) }
⇒
∧
[
a ∈ℜ *m
ℜ m* = {a ⊗ a1, a ⊗ a2, a ⊗ a3, . . . , a ⊗ a ϕ(m) } ]
Diese Eigenschaft besitzt jede endliche Gruppe, wie aus der Algebra bekannt ist.
10.3
Die Sätze von Euler und Fermat
Wendet man nun den Satz A. 4 auf die Gruppe (
Satz 10.3. 1 :
∧∧
[ ggT(a,m) = 1
ℜ m* , ⊗ ) an, so ergibt sich der Satz von Euler
⇒
aϕ (m) ≡ 1 (mod m) ]
a ∈Z m∈IN*
Anders formuliert:
Ist Rm(a) ∈
ℜ m* , so ist (Rm (a))ϕ(m) = Rm(1).
Dabei ist natürlich (Rm (a))ϕ(m) = Rm(a) ⊗ Rm(a) ⊗ . . . ⊗ Rm(a)
mit ϕ (m) Faktoren Rm(a)
Hat man als Modul eine Primzahl p, so gilt natürlich der Satz von Euler auch. In diesem Fall ist bekanntlich ϕ (m) = p – 1 . Aus dem Satz von Euler folgt dann der Satz von Fermat, den dieser im Jahre
1640 festgestellt hat.
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Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
Satz 10.3. 2 :
∧∧
⇒
[ ggT(a,p) = 1
ap–1 ≡ 1 (mod p) ]
a ∈Z p ∈P
Beispiele:
Es sei p = 7.
Es sei p = 11.
Es ist ggT(17,7) = 1.
Es ist ggT(9,7) = 1.
Es ist ggT(2,11) = 1
17 ≡ 3 (mod 7)
9 ≡ 2 (mod 7)
2 ≡ 2 (mod 11)
176 ≡ 36 (mod 7)
96 ≡ 26 (mod 7)
210 ≡ 24.24.22 (mod 11)
6
3
6
3
.
3
17 ≡ 9 (mod 7)
9 ≡ 2 2 (mod 7)
210 ≡ 16.16.4 (mod 11)
6
3
6
.
17 ≡ 2 (mod 7)
9 ≡ 8 8 (mod 7)
210 ≡ 5.5.4 (mod 11)
6
6
.
17 ≡ 8 (mod 7)
9 ≡ 1 1 (mod 7)
210 ≡ 3.4 (mod 11)
176 ≡ 1 (mod 7)
96 ≡ 1 (mod 7)
210 ≡ 1 (mod 11)
Die Definition der Ordnung eines Gruppenelementes kann man speziell auf Zahlen in Kongruenzen
übertragen:
Definition 10.3. 1 :
∧∧
[ Ist ggT(a,m) = 1 , so heißt die kleinste natürliche Zahl k mit der
a∈Z m∈IN*
Eigenschaft ak ≡ 1 (mod m) die Ordnung von a (mod m),
in Zeichen k = Ordm(a). ]
Aus dem Satz von Lagrange folgt dann speziell
Satz 10.3. 3 :
∧∧
[ ggT(a,m) = 1
⇒
Ordm(a) | ϕ(m) ]
a∈Z m∈IN*
Beispiele:
m = 12
Die primen Restklassen von 12 sind 1 , 5 , 7 , 11 .
ϕ(12) = 4
Es sollen die Ordnungen der primen Restklassen bestimmt werden. Nach Satz 10.3. 3
kommen dafür nur die Teiler von ϕ(12) = 4 in Frage, also 1, 2 und 4.
Ord12(1) = 1 ,
denn 11 ≡ 1 (mod 12)
Ord12(5) = 2 ,
denn 52 ≡ 1 (mod 12)
Ord12(7) = 2 ,
denn 72 ≡ 1 (mod 12)
Ord12(11) = 2 ,
denn 112 ≡ 1 (mod 12)
Tatsächlich treten nur die Ordnungen 1 und 2 auf; die maximal mögliche Ordnung 4 ist
nicht vertreten.
m=7
Die primen Restklassen von 7 sind 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 .
ϕ(7) = 6
Es sollen die Ordnungen der primen Restklassen bestimmt werden. Nach Satz 10.3. 3
kommen dafür nur die Teiler von ϕ(7) = 6 in Frage, also 1, 2, 3 und 6.
Ord7(1) = 1 ,
denn 11 ≡ 1 (mod 7)
Ord7(2) = 3 ,
denn 23 ≡ 1 (mod 7)
Ord7(3) = 6 ,
denn 36 ≡ 1 (mod 7)
Ord7(4) = 3 ,
denn 43 ≡ 1 (mod 7)
Ord7(5) = 6 ,
denn 56 ≡ 1 (mod 7)
Ord7(6) = 2 ,
denn 62 ≡ 1 (mod 7)
Tatsächlich treten alle möglichen Ordnungen auf, d. h. alle Teiler von ϕ(7) .
Für m = 1 gibt es nur die prime Restklasse 1 mit Ord1(1) = 1, denn 11 ≡ 1 (mod 1).
Für m = 2 gibt es nur die prime Restklasse 1 mit Ord2(1) = 1, denn 11 ≡ 1 (mod 2).
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Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
Für m ≥ 3 gilt
∧
∧
( Ordm(a) = 1 ) , denn a1 ≡ 1 (mod m).
a∈Rm (1)
( Ordm(a) = 2 ) , denn a2 ≡ (–1)2 ≡ 1 (mod m).
a∈Rm (m−1)
Aus der Tatsache, daß für m ≥ 3 stets gilt Ordm(m–1) = 2 kann man schließen, daß dann dieTeilbarkeitsbeziehung
2 | ϕ(m)
gelten muß. Das heißt: Die Eulersche Funktion nimmt für
m ≥ 3 nur gerade Werte an.
* und Rm(b) ∈ ℜ m ist die Gleichung Rm(a) ⊗ Rm(x) = Rm(b) stets lösbar, da zu
Für Rm(a) ∈ ℜ m
Rm(a) ein Inverses Rm(a´) existiert, also Rm(x) = Rm(a´) ⊗ Rm(b) ist.
Als Kongruenz ausgedrückt bedeutet dies
[ ggT(a,m) = 1 ⇒
a x ≡ b (mod m) ] ,
∧∧
∨
a,b∈Z m∈IN*
x∈Z
ein Satz, der bereits in Kapitel 9 auf anderem Wege gewonnen wurde.
Die Lösung einer Kongruenz a x ≡ b (mod m) mit ggT(a,m) = 1 kann man auf verschiedenen
Wegen erhalten:
1. Bei nicht zu großen Moduln läßt sich die Lösung durch Ausprobieren finden.
2. Man verschafft sich eine Vielfachsummendarstellung von ggT(a,m) = 1 = u a + v m.
Multiplikation mit b ergibt b = u a b + v m b, also b ≡ u a b (mod m) und somit x ≡ u b (mod m).
3. Mit Hilfe des Satzes von Euler, indem man die Kongruenz mit a ϕ(m)−1 multipliziert:
a x ≡ b (mod m)
ϕ(m)−1
a
a x ≡ a ϕ(m)−1 b (mod m)
ϕ(m)
a
x ≡ a ϕ(m)−1 b (mod m)
1 . x ≡ a ϕ(m)−1 b (mod m)
x ≡ a ϕ(m)−1 b (mod m)
4. Kennt man die Ordnung k = Ordm(a) , so kann man auch mit ak–1 multiplizieren und erhält dann
die Lösung
x ≡ ak–1 b (mod m)
Beispiele:
5 x ≡ 7 (mod 12)
53 . 5 x
54 . x
1 .x
x
x
x
x
≡
≡
≡
≡
≡
≡
≡
3x ≡
≡
36 . x ≡
1 .x ≡
x ≡
x ≡
x ≡
x ≡
35 . 3 x
53 . 7
(mod 12)
53 . 7 (mod 12)
52 .51 . 7 (mod 12)
25 .5 . 7 (mod 12)
1 .5 . 7 (mod 12)
– 1 (mod 12)
11 (mod 12)
ϕ (12) = 4
ggT(5,12) = 1
bzw.
51 . 5 x
52 . x
25 . x
1.x
x
5 (mod 7)
ggT(3,7) = 1
5
.
3 5 (mod 7)
35 . 5 (mod 7)
32 .32 .3 . 5 (mod 7)
2 .2 . 3 . 5 (mod 7)
12 . 5 (mod 7)
5 . 5 (mod 7)
4 (mod 7)
≡
≡
≡
≡
≡
Ord12(5) = 2
51 . 7
(mod 12)
51 . 7 (mod 12)
5 . 7 (mod 12)
35 (mod 12)
11 (mod 12)
ϕ (7) = 6
Ord7(3) = 6
Hinweis:
Bei der Lösung von linearen Kongruenzen a x ≡ b (mod m) mit ggT(a,m) = 1 kann auch von
folgendem Gebrauch gemacht werden:
a
b
1. Ist d = ggT(a,b), so folgt aus a x ≡ b (mod m) die Kongruenz d x ≡ d (mod m) .
d ist als Teiler von a zu m teilerfremd. Man kann also kürzen.
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2. Gilt a x ≡ b (mod m) , so gilt ebenfalls
∧
( a + u m ) x ≡ b + v m (mod m) .
u , v ∈Z
Es sind ja nur Summanden aus der Restklasse Rm(0) hinzugekommen.
Mit Hilfe dieser beiden Hinweise lassen sich manche Kongruenzen einfacher lösen, zum Beispiel
36 x ≡ 17 (mod 41)
4 x ≡ 7 (mod 11)
⇔
36 x ≡ 17 + 3 . 41 (mod 41)
⇔
4 x ≡ 7 + 3 . 11 (mod 11)
⇔
36 x ≡ 140 (mod 41)
⇔
4 x ≡ 40 (mod 11)
⇔
9 x ≡ 35 + 2 . 41 (mod 41)
⇔
x ≡ 10 (mod 11)
⇔
9 x ≡ 117 (mod 41)
⇔
x ≡ 13 (mod 41)
11.
Primitive Restklassen
1 1 . 1 Begriffe der primitiven Kongruenzwurzel bzw. der primitiven Restklasse
Begriffe aus der Gruppentheorie:
( M , * ) sei eine Gruppe. a ∈ M
e sei das neutrale Element in ( M , * ).
a´ sei das (in einer Gruppe eindeutig bestimmte) inverse Element zu a.
Es gelten folgende Potenzschreibweisen:
an = a * a * a * . . . * a
(mit n Faktoren a)
a–n = a´ * a´ * a´ * . . . * a´
(mit n Faktoren a´)
0
a = e
<a> = { ar | r ∈ZZ } bildet eine Untergruppe von ( M , * ) , und zwar eine zyklische Untergruppe.
Gilt <a> = M , so ist ( M , * ) eine zyklische Gruppe und a heißt erzeugendes Element.
Beispiele für eine zyklische Gruppe ist (ZZ , + ) mit dem erzeugenden Element 1 (und auch – 1 )
Ist ( M , * ) endlich , a ∈ M und Ord(a) = k , so ist <a> = {e, a, a2, . . . , ak–1} eine Untergruppe von M.
Ist <a> = M , dann ist k = |M| .
Eine endliche Gruppe ( M , * ) ist genau dann zyklisch, wenn in M ein Element a existiert mit
Ord(a) = |M| .
* , ⊗ ) ? Ist jede prime Restklassengruppe
Frage: Gibt es zyklische prime Restklassengruppen ( ℜ m
*
( ℜ m , ⊗ ) zyklisch?
* , ⊗ ) ein Element der
Zur Beantwortung dieser Frage muß untersucht werden, ob es in ( ℜ m
Ordnung ϕ(m) gibt.
Definition 11.1. 1 :
∧∧
[ a heißt primitive Kongruenzwurzel (mod m) :⇔
a ∈Z m∈IN*
ggT(a,m) = 1
∧∧
a ∈Z m∈IN*
∧ Ordm(a) = ϕ(m) ]
[ a = Rm(a) heißt primitive Restklasse (mod m) :⇔
a ist primitive Kongruenzwurzel (mod m) ]
Da für a ≡ b (mod m) gilt Ordm(a) = Ordm(b) , das heißt da alle Elemente einer Restklasse die
gleiche Ordnung modulo m haben, ist jedes Element einer primitiven Restklasse eine primitive
Kongruenzwurzel.
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Aus den Beispielen zu Satz 10.3. 3 ergibt sich, daß nicht zu jedem Modul primitive Restklassen
existieren:
Ord12(1) = 1 ≠ ϕ(12) ; Ord12(5) = Ord12(7) = Ord12(11) = 2 ≠ ϕ(12)
Weiterhin ergibt sich daraus, daß es zu manchen Moduln mehrere primitive Restklassen gibt:
Ord7(1) = 1 ≠ ϕ(7) ; Ord7(6) = 2 ≠ ϕ(7) ; Ord7(2) = Ord7(4) = 3 ≠ ϕ(7) ;
Ord7(3) = Ord7(5) = 6 = ϕ(7) . Es gibt in diesem Fall zwei primitive Restklassen: 3 und 6 .
Ein weiteres Beispiel mit einem Primzahlmodul: m = 5
Ord5(1) = 1 ≠ ϕ(5) ; Ord5(4) = 2 ≠ ϕ(5) ; Ord5(2) = Ord5(3) = 4 = ϕ(5) .
Man könnte vermuten, daß zu einem Primzahlmodul eine oder mehrer primitive Restklassen
existieren. Dazu gibt der folgende Satz 11.2. 1 Auskunft.
11.2
Die Anzahl der primitiven Restklassen modulo einer Primzahl p
∧
Satz 11.2. 1 :
[ Es gibt
a ∈Z
ϕ(p–1) primitive Restklassen (mod p). ]
Der Beweis dieses Satzes verlangt einige Vorbereitungen.
Hilfssatz 11.2 A :
∧ ∧
[ ggT(a,m) = 1
a , x , y ∈Z m , k ∈IN *
∧ k = Ordm(a) ⇒
( ax ≡ ay (mod m)
Beweis:
x ≡ y (mod k) ) ]
⇒
O
ggT(a,m) = 1 ∧ k = Ordm(a) ∧ ax ≡ ay (mod m)
OBdA kann x > y angenommen werden.
Da ggT(a,m) = 1 kann aus der Kongruenz ax ≡ ay (mod m)
ay gekürzt werden.
ax–y ≡ 1 (mod m)
Aus x – y = s k + r mit s ∈ IN und 0 ≤ r < k folgt
ar ≡ 1 (mod m)
und da k die Ordnung von a ist und damit minimal folgt
r = 0
und damit
k|x–y
also
x ≡ y (mod k)
⇐
O
Ist x ≡ y (mod k) , also k | x – y und damit x – y = k s mit einem s ∈ IN,
so ist ax–y ≡ (ak)s ≡ 1s ≡ 1 (mod m) , also
ax ≡ ay (mod m) .
Hilfssatz 11.2. B :
∧∧
a∈Z m∈IN*
Beweis:
⇔
[ ggT(a,m) = 1
∧ Ordm(a) = ϕ(m)
{1, a1, a2, . . . , a ϕ (m)–1} ist ein primes Restsystem (mod m). ]
Der Beweis ergibt sich aus Hilfssatz 11.2. A , weil gilt
r /≡ s (mod k =ϕ(m))
⇒
ar ≡| as (mod m)
∧
⇒
[ k < 0 ∨ k ≥ ϕ(m)
⇒
ak
≡
an
∧
(mod m) mit n ∈ {0, 1, 2, . . . , ϕ(m)} ],
k∈Z
da in diesem Falle k ≡ n (mod ϕ(m)) mit n ∈ {0, 1, 2, . . . , ϕ(m)} ist.
Hilfssatz 11.2. C :
∧∧ ∧
[ d = Ordp(a)
⇒
p∈P a∈Z k∈IN*
( Ordp(ak) = Ordp(a) = d
Beweis:
⇐
O
⇔ ggT(k,d) = 1 ) ]
ggT(k,d) = 1
mit t = Ordp(ak) ist dann
(ak)0 ≡ 1 ≡ (ad)k ≡ (ak)d (mod p)
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⇒
d ≡ 0 (mod t)
nach Hilfssatz 11.2. A
⇒
t|d
Andererseits ist
(ak)t ≡ akt ≡ 1 ≡ a0 (mod p)
⇒
k t ≡ 0 (mod d) nach Hilfssatz 11.2. A
⇒
O
⇒
⇒
⇒
d|kt
d|t
t=d
Ordp(ak) = Ordp(a) = d
k
dr
1 ≡ ad ≡ (a )
Hilfssatz 11.2. D :
wegen ggT(d,k) = 1
0
d
r
k
≡ (a )
d
kr
⇒
(ak) ≡ (a )
⇒
⇒
d
≡ 0 (mod d)
r
d
d|r
⇒
r=1
∧∧
∧∧
Setzt man r = ggT(k,d), dann ist
(mod p)
(mod p)
weil d = Ordp(ak)
nach Hilfssatz 11.2. A
[ Die Kongruenz xn ≡ 1 (mod p) hat höchstens n Lösungen. ]
p∈P n∈IN*
[ n|p–1
⇒
Die Kongruenz xn ≡ 1 (mod p) hat genau n
p∈P n∈IN*
Lösungen. ]
Beispiele:
1. Wenn der Modul keine Primzahl ist, gilt diese Aussage nicht, denn etwa
x2 ≡ 1 (mod 12) hat die vier Lösungen
x ≡ 1 (mod 12) , x ≡ 5 (mod 12) , x ≡ 7 (mod 12) , x ≡ 11 (mod 12) .
Es ist also wichtig, daß der Modul eine Primzahl ist.
2. Für xn ≡ 1 (mod 7) gilt
n = 1 : Es gibt genau 1 Lösung: 1
n = 2 : Es gibt genau 2 Lösung: 1, 6
n = 3 : Es gibt genau 3 Lösung: 1, 2, 4
n = 4 : Es gibt genau 2 Lösung: 1, 6
n = 5 : Es gibt genau 1 Lösung: 1
n = 6 : Es gibt genau 6 Lösung: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Weitere Fälle mod 7 braucht man nicht zu betrachten, da für n ≡ r (mod 6) gilt
xn ≡ xr (mod 7) .
Beweis:
1. induktiv nach dem Grad des Polynoms
Ind.Anf.: n = 1
x1 ≡ 1 (mod p) besitzt höchstens 1 Lösung.
Ind.Vor.: n ≤ k
xn ≡ 1 (mod p) besitzt höchstens k Lösungen.
Ind.Beh.: n = k+1
xk+1 ≡ 1 (mod p) besitzt höchstens k+1 Lösungen.
Ind.Schluß:
Besitzt xk+1 –1 ≡ 0 (mod p) die Lösung r , so gilt
rk+1 –1 ≡ 0 (mod p) und
xk+1 –1 ≡ (x – r) g(x) (mod p) nach Satz 9.3. 1
und g(x) ist ein Polynom mit einem Grad ≤ k, besitzt also
höchstens k Lösungen.
Jede Lösung von xk+1 –1 ≡ 0 (mod p) ist entweder gleich r oder
eine Lösung von g(x) ≡ 0 (mod p).
Nach der Ind.Vor. hat g(x) ≡ 0 (mod p) höchstens k Lösungen,
also hat xk+1 –1 ≡ 0 (mod p) höchstens k+1 Lösungen.
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2. Anwendung des Teils 1 und des Satzes von Fermat
Da n | p – 1 ist, gilt xp–1 –1 = (xn –1) h(x) (mod p),
weil zn – 1 stets durch z – 1 teilbar ist.
h(x) ist vom Grade p – 1 – n.
Nach Teil 1 hat h(x) höchstens p – 1 – n Lösungen.
Nach dem Satz von Fermat hat xp–1 –1 ≡ 0 (mod p) genau p – 1 Lösungen,
also muß h(x) genau p – 1 – n Lösungen
und xn –1 ≡ 0 (mod p) genau n Lösungen (mod p) haben.
Beweis von Satz 11.2. 1 :
∧
[ Es gibt
a ∈Z
ϕ (p–1) primitive Restklassen (mod p). ]
Es sei Tp–1 = { d1, d2, . . ., ds} mit s = τ(p–1) die Menge aller Teiler von p–1.
Die Ordnung einer Restklasse (mod p) ist ein Teiler von ϕ (p) = p–1 , kommt also
unter den Zahlen di vor.
Es sei definiert:
[ ψ(di) = Anzahl der primen Restklassen (mod p) mit der
∧
i∈{1,2,...,s}
Ordnung di. ]
Da es genau p – 1 prime Restklassen (mod p) gibt, ist demnach
∑
s
ψ(d) =
d|p–1
∑ ψ(di )
= p–1
i=1
Andererseits gilt nach Satz 10.2. 3 :
∧
[ Ist Tp–1 = {d1, d2, d3, . . . ,ds} mit s = τ(p–1) die Teilermenge von p–1
a ∈IN *
⇒
∑ ϕ(d)
= ϕ(d1) +
ϕ(d2) + ϕ(d3) + . . . + ϕ(ds) = p–1 ]
d|p–1
∧
Ist d irgendein Teiler von p–1, so läßt sich die Ungleichung beweisen:
[ ψ(d) ≤ ϕ(d) ]
d|p−1
Für ψ(d) = 0 ist dies offensichtlich richtig, da ϕ(d) > 0 .
Ist ψ(d) ≠ 0 , so gibt es eine ganze Zahl a mit der Ordnung d.
Die Kongruenz xd ≡ 1 (mod p) hat dann nach Hilfssatz 11.2. D genau d Lösungen.
d zueinander inkongruente Lösungen sind beispielsweise a, a2, a3, . . . , ad .
Dies sind auch alle Lösungen.
Andererseits hat eine Potenz ak nach Hilfssatz 11.2. C genau dann die Ordnung d,
wenn ggT(k,d) =1 ist.
Also sind unter den obigen Potenzen genau ψ(d) von der Ordnung d, also ist
ψ(d) = ϕ(d)
und damit
[ ψ(d) ≤ ϕ (d) ].
∧
d|p−1
Da
∑ ψ(d) = ∑ ϕ(d)
d|p–1
gilt, muß dann aber
d|p–1
und insbesondere
ψ(p–1) =
ϕ(p–1) .
∧
[ ψ(d) =
ϕ(d) ] gelten,
d|p−1
Mit diesem Beweis ist allerdings kein Berechnungsverfahren für primitive Kongruenzwurzeln (mod p)
gegeben. Man muß ausprobieren, bis man eine Zahl von der Ordnung p – 1 gefunden hat. Die übrigen primitiven Restklassen (mod p) lassen sich dann ausrechnen, wie es der folgende Satz angibt.
1 1 . 3 Sätze über primitive Restklassen
Satz 11.3. 1 : g ist eine primitive Kongruenzwurzel (mod p)
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Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
G = { gi | 1 ≤ i ≤ p – 1 ∧ ggT(i,p–1) = 1 } ist ein Vertretersystem für die
Menge aller primitiven Restklassen (mod p).
⇒
ggT(i,p–1) = 1 ⇒
Beweis:
Ordp(gi ) = Ordp(g) = p – 1 nach Hilfssatz 11.2. C
Die Menge G enthält also lauter primitive Kongruenzwurzeln (mod p).
Diese sind paarweise inkongruent, denn wäre gi ≡ gj (mod p), so wäre nach
Hilfssatz 11.2. A i ≡ j (mod p–1) und wegen 1 ≤ i,j ≤ p–1 also i = j.
Da es nach Satz 11.2. 1 genau
ϕ(p–1) primitive Restklassen gibt, enthält G also
Vertreter von allen primitiven Restklassen.
1. 3 ist eine primitive Kongruenzwurzel (mod 7).
Beispiele:
G = { gi | 1 ≤ i ≤ p – 1 ∧ ggT(i,p–1) = 1 } = { 3i | 1 ≤ i ≤ 6 ∧ ggT(i,6) = 1 }
= { 31, 35 } = { 3, 5 } . Die primitiven Restklassen (mod 7) sind 3 und 5.
2. Bestimmung aller primitiven Kongruenzwurzeln (mod 31).
Durch Ausprobieren findet man
25 = 32 ≡ 1 (mod 31)
⇒
2 ist keine primitive Kongruenzwurzel
33 = 27 ≡ –4 (mod 31)
35 = –4 . 9 ≡ –36 ≡ –5 (mod 31)
315 = (35)3 ≡ (–5)3 ≡ –5 . 25 ≡ (–5) . (–6) ≡ 30 ≡ –1 (mod 31)
330 = (315)2 = (–1)2 ≡ 1 (mod 31)
Ord31(3) = 30 und damit gilt: 3 ist primitive Kongruenzwurzel (mod 31)
G = { gi | 1 ≤ i ≤ p – 1 ∧ ggT(i,p–1) = 1 } = { 3i | 1 ≤ i ≤ 30 ∧ ggT(i,30) = 1 }
= { 31, 37 , 311, 313, 317, 319, 323, 329} = { 3, 17, 13, 24, 22, 12, 11, 23 } .
Die primitiven Restklassen (mod 31) sind 3 , 11 , 12 , 13 , 17 , 22 , 23 und 24.
Es muß ja 8 primitive Restklassen geben, da ϕ(30) = 8 ist.
Satz 11.3. 2 : Ist m eine natürliche Zahl, so gibt es genau dann primitive Restklassen (mod m),
wenn m eine der folgenden Zahlen ist:
1, 2, 4, pr, 2pr, wobei p eine ungerade Primzahl ist.
Ist m eine dieser Zahlen, so gibt es genau ϕ(ϕ(m)) primitive Restklassen.
Ist g irgendeine primitive Kongruenzwurzel (mod m), so erhält man ein
Vertretersystem der primitiven Restklassen in der Form
G = { gi | 1 ≤ i ≤ ϕ(m) ∧ ggT(i,ϕ(m)) = 1 }
ohne Beweis
Tabelle der Anzahlen der primitiven Restklassen (mod m) nach Satz 11.3. 2 :
m
Anzahl
1
1
2
1
3
1
4
1
5
2
6
1
7
2
8
0
9
2
10
2
11
4
12
0
13
4
14
2
15
0
Tabelle der jeweils kleinsten natürlichen Zahl gp , die primitive Kongruenzwurzel (mod p) ist.
p
gp
2
1
3
2
5
2
7
3
11
2
Satz 11.3. 3 : Satz von Wilson
13
2
∧
17
3
19
2
23
5
29
2
31
3
37
2
41
6
43
3
47
5
[ (p – 1)! ≡ –1 (mod p) ]
p∈P
Beweis:
Es sei g eine primitive Kongruenzwurzel (mod p).
Dann ist { g, g2, g3, . . . , gp–1 } ein primes Restesystem (mod p),
also gilt 1 . 2 . 3 . . . . . (p – 1) ≡ g . g2 . g3 . . . . . gp–1 (mod p) .
(p–1)p
Da 1 + 2 + 3 + . . . + (p – 1) = 2
ist, gilt
Seite 72
(p – 1)! ≡
p–1
p
(g ) 2
(mod p) .
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p–1
2
Wegen gp ≡ g (mod p) folgt
p–1 2
2
((g) )
Es ist
p–1
2
das heißt (g)
(p – 1)! ≡ (g)
(mod p) .
= gp–1 ≡ 1 (mod p) ,
erfüllt die Kongruenz
p–1
2
x2 ≡ 1 (mod p),
p–1
also gilt entweder (g)
≡ 1 (mod p) oder (g) 2 ≡ –1 (mod p).
Die erste Kongruenz kann nicht gelten, da g primitive Kongruenzwurzel ist, also die
Ordnung p – 1 hat.
Also gilt sicher
p–1
2
(g)
≡ –1 (mod p). Oben eingesetzt ergibt sich die Behauptung
p–1
2
(p – 1)! ≡ (g)
(p – 1)! ≡ –1
(mod p)
(mod p)
Eine weitere Anwendung der primitiven Kongruenzwurzeln liegt bei der Lösung von quadratischen
Kongruenzen mit Primzahlmodul.
x2 ≡ a (mod p)
mit p ∈ P und a ∈ ZZ
Für a = 0 ist
x2 ≡ 0 (mod p) und die einzige Lösung x = 0 .
Setzt man a ≡/ 0 (mod p), so ist ggT(a,p) = 1.
Ist g eine primitive Kongruenzwurzel (mod p), so ist
a ≡ gi (mod p)
mit i ∈ {1, 2, 3, . . . , ϕ(p))
Für eine Lösung x muß demnach gelten
x ≡ gξ (mod p)
mit ξ ∈ {1, 2, 3, . . . , ϕ(p))
2ξ
i
und damit
g ≡ g (mod p)
und
2 ξ ≡ i (mod p–1) nach Hilfssatz 11.2. A
Diese Kongruenz ist eindeutig (mod p–1) lösbar, wenn ggT(2,p–1) | i ist.
Für p = 2 ergibt sich ggT(2,1) = 1, also stets ein Teiler von i. Dieser Fall ist aber uninteressant, da die
Lösungen der quadratischen Kongruenzen x2 ≡ a (mod 2) bekannt sind.
Es sei also p ≥ 3. Dann ist p–1 gerade und ggT(2,p–1) = 2. 2 muß also ein Teiler von i sein und ein
solches i ist gerade. In diesem Fall sind
i
i+p-1
ξ ≡ 2 (mod p–1) und
ξ ≡ 2 (mod p–1)
die einzigen Lösungen von 2 ξ ≡ i (mod p–1) und deshalb
i
i+p–1
2
x ≡ g2 (mod p)
und
x ≡ g
die einzigen Lösungen von x2 ≡ a (mod p) .
Dieses Ergebnis läßt sich als Satz formulieren:
Satz 11.3. 4 :
∧∧ ∧
p ∈P a ∈Z i ∈{1, 2 ,...,ϕ ( p )}
[ p≥3
∧ 2|i
Beispiele:
(mod p)
∧ g primitive Kongruenzwurzel (mod p) ∧ a ≡ gi (mod p)
i
⇒
i+p–1
x ≡ g2 (mod p)
und
x ≡ g 2 (mod p)
sind die einzigen Lösungen von x2 ≡ a (mod p) ]
p = 11
Für welche a ist die Kongruenz x2 ≡ a (mod 11) lösbar? Welche a sind
quadratische Reste modulo 11?
Dies sind alle Zahlen, die sich durch eine Potenz einer primitiven Kongruenzwurzel g
(mod 11) mit einem geraden Exponenten darstellen lassen.
2 ist eine primitive Kongruenzwurzel (mod 11). Also sind die Zahlen
22, 24 , 26, 28 , 210
oder ausgerechnet 4, 5, 9, 3, 1
quadratische Reste (mod 11).
Seite 73
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Die übrigen Zahlen, 2, 6, 7, 8, 10 sind quadratische Nicht-Reste (mod 11).
x2 ≡ 1 (mod 11) hat die Lösungen
10
x1
x1
x1
x1
≡
≡
≡
≡
22
25
32
10
10+11–1
(mod
(mod
(mod
(mod
11)
11)
11)
11)
und
und
und
und
x2
x2
x2
x2
x2
≡
≡
≡
≡
≡
2 2
210
25 . 25
10 . 10
1
x2
x2
x2
x2
x2
≡
≡
≡
≡
≡
2 2
29
25 . 24
10 . 5
6
x2
x2
x2
x2
≡
≡
≡
≡
2
26
64
9
x2
x2
x2
x2
x2
≡
≡
≡
≡
≡
2 2
27
25 . 22
10 . 4
7
x2
x2
x2
x2
x2
≡
≡
≡
≡
≡
2 2
28
25 . 23
10 . 8
3
(mod 11)
(mod 11)
(mod 11)
(mod 11)
(mod 11)
x2 ≡ 3 (mod 11) hat die Lösungen
8
x1
x1
x1
x1
≡
≡
≡
≡
22
24
16
5
8+11–1
(mod
(mod
(mod
(mod
11)
11)
11)
11)
und
und
und
und
(mod 11)
(mod 11)
(mod 11)
(mod 11)
(mod 11)
x2 ≡ 4 (mod 11) hat die Lösungen
2
x1 ≡ 22
x1 ≡ 21
x1 ≡ 2
(mod 11) und
(mod 11) und
(mod 11) und
und
2+11–1
2
(mod 11)
(mod 11)
(mod 11)
(mod 11)
x2 ≡ 5 (mod 11) hat die Lösungen
4
4+11–1
x1 ≡ 22 (mod 11) und
x1 ≡ 22 (mod 11) und
x1 ≡ 4 (mod 11) und
(mod 11)
(mod 11)
(mod 11)
(mod 11)
(mod 11)
x2 ≡ 9 (mod 11) hat die Lösungen
6
6+11–1
x1 ≡ 22 (mod 11)
x1 ≡ 23 (mod 11)
x1 ≡ 8 (mod 11)
Anmerkung:
und
und
und
(mod 11)
(mod 11)
(mod 11)
(mod 11)
(mod 11)
p–1
2
Aus dem Beweis des Satzes von Wilson weiß man, daß g
also ist
i+p–1
g 2
=
i
g2
p–1
2
.g
≡
i
g2
≡ –1 (mod p) ist,
. (–1) (mod p) .
Hat man eine Lösung der quadratischen Kongruenz, so ist die zweite Lösung
das Negative dieser ersten Lösung. Die Summe der beiden Lösungen ist 0.
Unter Ausnutzung dieser Tatsache wird das zweite Beispiel gerechnet:
p=7
Für welche a ist die Kongruenz x2 ≡ a (mod 7) lösbar? Welche a sind
quadratische Reste modulo 7?
Dies sind alle Zahlen, die sich durch eine Potenz einer primitiven Kongruenzwurzel g
(mod 7) mit einem geraden Exponenten darstellen lassen.
Seite 74
Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
3 ist eine primitive Kongruenzwurzel (mod 7). Also sind die Zahlen
32, 34 , 36
oder ausgerechnet 2, 4, 1
quadratische Reste (mod 7).
Die übrigen Zahlen, 3, 5, 6 sind quadratische Nicht-Reste (mod 7).
x2 ≡ 1 (mod 7) hat die Lösungen
6
x1 ≡ 32 (mod 7)
x1 ≡ 33 (mod 7)
x1 ≡ 6
(mod 7)
und
2
x ≡ 2 (mod 7) hat die Lösungen
x2 ≡ 1
(mod 7)
x2 ≡ 4
(mod 7)
x2 ≡ 5
(mod 7)
2
x1 ≡ 32
x1 ≡ 31
x1 ≡ 3
(mod 7)
(mod 7)
(mod 7)
und
x2 ≡ 4 (mod 7) hat die Lösungen
4
x1 ≡ 32
x1 ≡ 32
x1 ≡ 2
(mod 7)
(mod 7)
(mod 7)
und
Eine weitere Frage: Für welche Primzahlen p ist –1 quadratischer Rest?
Für welche Primzahlen p ist die Kongruenz x2 ≡ –1 (mod p) lösbar?
Nach Satz 11.3. 4 ist diese Kongruenz genau dann lösbar, wenn
–1 ≡ gi (mod p) mit 2 | i
gilt, wobei g eine primitive Kongruenzwurzel sein muß.
Dann ist aber
p–1
i
(–1) 2 ≡ (gp–1)2 ≡ 1 (mod p)
Offenbar gilt also die Bedingung für die Lösbarkeit, daß
p–1
2
eine gerade Zahl
ist, das heißt daß p–1 durch 4 teilbar ist.
Dies formuliert der
Satz 11.3. 5 :
∧
[ p ≡ 1 (mod 4)
∨
⇔
p ∈P
Satz 11.3. 6 :
∧∧
[ p≥3
p ∈P a ∈Z
⇒
∧∧
( x2 ≡ –1 (mod p) ) ]
x ∈Z
∧
∨
ggT(a,p) = 1
∧
∧
p ∈P a ∈Z
a
≡ 1 (mod p)
( x2 ≡ a (mod p) ) ]
x ∈Z
[ p≥3
p–1
2
⇒
p–1
ggT(a,p) = 1
¬
∨
∧
a2
≡ –1 (mod p)
( x2 ≡ a (mod p) ) ]
x ∈Z
Beweis:
1. Fall
Es sei g eine primitive Kongruenzwurzel (mod p).
Dann gibt es eine Zahl i mit 1 ≤ i ≤ p–1 derart, daß
a ≡ gi (mod p) .
Diese Kongruenz ist gemäß Satz 11.3. 4 genau dann lösbar, wenn i gerade ist.
i sei gerade
p–1
2
p–1
i
(g ) 2
Dann ist
a
≡
nach dem Satz von Fermat.
I p–1
≡ (g2)
Seite 75
≡ 1 (mod p)
Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
2. Fall
i sei ungerade
p–1
2
p–1
i
(g ) 2
(
p–1 i
)
Dann ist
a
≡
≡ g2
≡ (–1)i ≡ –1 (mod p)
unter Beachtung des Beweises des Satzes von Wilson.
Mit Hilfe der hier hergeleiteten Sätze läßt sich jetzt für jede quadratische Kongruenz
a x2 + b x + c ≡ 0 (mod p)
entscheiden, ob sie lösbar ist, und es läßt sich gegebenenfalls die Lösung bestimmen.
Beispiel:
+ 5 x – 7 ≡ 0 (mod 11)
.
Es ist 6 2 ≡ 1 (mod 11). Man multipliziert die obige Kongruenz mit 6 .
6 . 2 x2 + 6 . 5 x – 6 . 7 ≡ 6 . 0 (mod 11)
1 x2 + 30 x – 42 ≡ 0 (mod 11)
x2 + 8 x – 9 ≡ 0 (mod 11)
x2 + 8 x + 2 ≡ 0 (mod 11)
(x + 4)2 – 3 ≡ 0 (mod 11)
und mit y = x + 4
2
y – 3 ≡ 0 (mod 11)
y2 ≡ 3 (mod 11)
Diese quadratische Kongruenz ist nach Satz 11.3. 6 lösbar, weil
2 x2
11–1
2
3
= 35 ≡ 1 (mod 11) ist. 2 ist eine primitive Kongruenzwurzel (mod 11)
und 3 = 28 (mod 11). Also lassen sich die Lösungen nach Satz 11.3. 4 berechnen.
8
y1 ≡ 22 (mod 11)
y1 ≡ 24 (mod 11)
y1 ≡ 16 (mod 11)
y1 ≡ 5 (mod 11)
und
y2 ≡ 6 (mod 11)
(Dabei ist y2 gemäß der Anmerkung zu Satz 11.3. 4 berechnet worden.)
x1 ≡ 1 (mod 11)
und
x2 ≡ 2 (mod 11)
Beispiel:
+ 12 x + 11 ≡ 0 (mod 19)
Es ist 13 . 3 ≡ 1 (mod 19). Man multipliziert die obige Kongruenz mit 13 .
13 . 3 x2 + 13 . 12 x + 13 . 11 ≡ 13 . 0 (mod 19)
3 x2
1 x2 + 4 x – 10 ≡ 0 (mod 19)
x2 + 4 x + 10 ≡ 0 (mod 19)
(x + 2)2 + 6 ≡ 0 (mod 19)
und mit y = x + 2
y2 + 6 ≡ 0 (mod 19)
y2 ≡ – 6 (mod 19)
y2 ≡ 13 (mod 19)
Diese quadratische Kongruenz ist nach Satz 11.3. 6 nicht lösbar, weil
19–1
2
13
Beispiel:
x2
= 139 ≡ –1 (mod 19) ist.
+ x + 1
≡
0
(mod 19)
+ x + 1 ≡ 0 (mod 19)
Man multipliziert mit 18
–1 . x2 + 18 x + 18 ≡ 0 (mod 19)
Man multipliziert mit –1
2
x – 18 x – 18 ≡ 0 (mod 19)
(x – 9)2 – 99 ≡ 0 (mod 19)
und mit y = x – 9
y2 – 4 ≡ 0 (mod 19)
y2 ≡ 4 (mod 19)
Diese quadratische Kongruenz ist nach Satz 11.3. 6 lösbar, weil
x2
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19–1
4 2 = 49 ≡ 1 (mod 19) ist. 2 ist eine primitive Kongruenzwurzel (mod 19)
und 4 = 22 (mod 19). Also lassen sich die Lösungen nach Satz 11.3. 4 berechnen.
2
22
y1 ≡
(mod 19)
y1 ≡ 21 (mod 19)
y1 ≡ 2 (mod 19)
und
y2 ≡ 17 (mod 19)
(Dabei ist y2 gemäß der Anmerkung zu Satz 11.3. 4 berechnet worden.)
x1 ≡ 11 (mod 19)
und
x2 ≡ 7 (mod 19)
Auch lineare Kongruenzen lassen sich mit Hilfe von primitiven Kongruenzwurzeln bestimmen,
natürlich nur wenn nach den vorgegebenen Moduln primitive Kongruenzwurzeln existieren.
Beispiel:
6 x ≡ 5
(mod 11)
Die Kongruenz ist lösbar, da ggT(6,11) = 1 ist.
2 ist eine primitive Kongruenzwurzel (mod 11) und
6 ≡ 29 (mod 11)
∧
5 ≡ 24 (mod 11)
Die Lösung x läßt sich auch als Potenz der primitiven Kongruenzwurzel 2 schreiben.
Es gilt also x ≡ 2ξ (mod 11). Aus 6 x ≡ 5 (mod 11) wird dann
29 . 2ξ ≡ 24 (mod 11)
29+ξ ≡ 24
(mod 11) und damit
9+ξ ≡ 4
(mod 10), also ξ ≡ 5 (mod 10) und schließlich
x ≡ 25 (mod 11)
x ≡ 10 (mod 11)
In der Regel kommt man allerdings mit den bereits bekannten Lösungsmethoden schneller ans Ziel,
da man bei diesem Verfahren zunächst eine primitive Kongruenzwurzel und die entsprechenden
Potenzen dieser Kongruenzwurzel bestimmen muß.
12.
Zahlentheoretische Funktionen
1 2 . 1 Begriff und Multiplikativität zahlentheoretischer Funktionen
Zwei zahlentheoretische Funktionen wurden bereits eingeführt, nämlich die τ-Funktion und die
ϕ-Funktion. Die τ-Funktion gibt zu einer Zahl aus IN* die Anzahl der Teiler dieser Zahl an und die
ϕ-Funktion gibt zu einer Zahl aus IN* die Anzahl der teilerfremden kleinsten positiven Reste an.
Jedesmal handelt es sich also um eine Abbildung (oder Funktion) von IN* in IN*. Zahlentheoretische
Funktionen werden allgemein etwas umfassender definiert.
Definition 12.1. 1 :
[ f heißt eine zahlentheoretische Funktion :⇔
f ist eine Abbildung von IN* in IR. ]
Nach dieser Definition sind also die τ-Funktion und die ϕ --Funktion zahlentheoretische Funktionen,
da IN* ⊂ IR ist. Hier werden weitere zahlentheoretische Funktionen eingeführt, deren Zielmenge die
Menge IN* oder ZZ ist.
Eine große Bedeutung hat eine spezielle Eigenschaft von (manchen) zahlentheoretischen
Funktionen, die Multiplikativität.
Definition 12.1. 2 :
[ Eine zahlentheoretische Funktion f heißt multiplikativ
f ist nicht die Nullfunktion
∧
∧
( ggT(a,b) = 1 ⇒
:⇔
f(a.b) = f(a). f(b) ) ]
a,b ∈IN*
Die Nullfunktion ist bekanntlich die Funktion, die jedem Argument den Wert 0 zuordnet. Diese
Funktion wurde hier ausgeschlossen.
Seite 77
Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
Warum ist die Multiplikativität einer zahlentheoretischen Funktion so bedeutsam? Dies wird durch den
folgenden Satz deutlich:
Satz 12.1. 1 : Ist f eine multiplikative zahlentheoretische Funktion, denn gilt
(1)
(2)
f(1) = 1
∧
∞
[ a=
a ∈IN*
Beweis:
∏
∞
p iα i
⇒
f(a) =
∏ f (p
i
αi
) ].
i =1
i =1
Da f nicht die Nullfunktion ist, gibt es ein b ∈ IN* mit f(b) ≠ 0 und es ist ggT(b,1) = 1.
Beweis von (1):
f(b) = f(1.b) = f(1) . f(b)
| : f(b) ≠ 0
1 = f(1)
∞
Beweis von (2):
Ist a =
∏
piα i , so gilt
α
∏ p iα ) = 1 ,
i =1
also speziell
ggT( p1 1,
α
ggT( p2 2,
α
ggT( p3 3,
∧
α
[ ggT( pj j),
i,j∈IN*
i=2
∞
∏
∏ p iα ) = 1
i
],
i=1
i≠ j
∞
α
f(a) = f(p1 1) f(
also
i
∞
∞
∏ p iα )
i
i=2
∞
p i αi ) = 1 ,
also
f(
i=3
∞
∏
α
piαi ) = f(p2 2) f(
i=2
∞
∏ p iα ) = 1 ,
also
i
f(
i=4
α3
∏ piα ) = f(p3
i
) f(
i=2
∞
∏ p iα )
i
i=2
∞
∏ p iα )
i
i=4
undsoweiter.
Man beachte dabei, daß von einem gewissen Index k an alle αi (mit i ≥ k) Null sind.
Setzt man nacheinander ein, so folgt
∞
α
∏ p iα ) =
f(a) = f(p1 1) f(
i
f(a) =
α
i=2
∞
insgesamt
α
f(p1 1) f(p2 2) f(
∞
∏ p iα ) = . . .
i
i=2
∏ f(piα )
i
i =1
α
dabei ist von einem bestimmten Index k an wegen αi = 0 (mit i ≥ k) pi i = 1 , also
nach Teil (1)
α
f(pi i) = 1 .
Mit dem Satz 12.1. 1 ist also die Berechnung von multiplikativen zahlentheoretischen Funktionen
auf die Berechnung dieser Funktionen von Primzahlpotenzen zurückgeführt, was vielfach einfacher
ist als für beliebige natürliche Zahlen.
Nun läßt sich die Frage stellen, ob die bisher bekannten zahlentheoretischen Funktionen τ(m) und
ϕ(m) multiplikativ sind, ihre Werte sich also mit Hilfe des Satzes 12.1. 1 berechnen lassen.
1 2 . 2 Das Faltprodukt zahlentheoretischer Funktionen
Definition 12.2. 1 :
Sind f und g zahlentheoretische Funktionen, so heißt f*g das Faltprodukt von
f mit g , wenn gilt
∧
[ ( f*g) (a) =
a∈IN*
∑ f(d)g( d )
a
].
d|a
Die Bildung des Faltprodukts f*g heißt die Faltung von f mit g .
Berechnung des Faltprodukts:
( f*g) (1) = f(1)g(1)
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Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
( f*g) (2) = f(1)g(2) + f(2)g(1)
( f*g) (3) = f(1)g(3) + f(3)g(1)
( f*g) (4) = f(1)g(4) + f(2)g(2) + f(4)g(1)
( f*g) (5) = f(1)g(5) + f(5)g(1)
( f*g) (6) = f(1)g(6) + f(2)g(3) + f(3)g(2) + f(6)g(1)
( f*g) (7) = f(1)g(7) + f(7)g(1)
( f*g) (8) = f(1)g(8) + f(2)g(4) + f(4)g(2) + f(8)g(1)
( f*g) (9) = f(1)g(9) + f(3)g(3) + f(9)g(1)
Die Werte des Faltproduktes von Primzahlen sind also besonders schnell zu bestimmen.
Man kann das Faltprodukt f*g zweier zahlentheoretischen Funktionen f und g auch so definieren:
∧
Definition 12.2. 1´ :
a∈IN*
Dabei bedeutet
∑
[ (f*g)(a) =
∑ f(x)g(y)
]
xy=a
die Summation über alle Paare (x,y) von komplementären Teilern von a.
xy=a
Definition 12.2. 2 :
Die Menge aller zahlentheoretischen Funktionen heiße
F.
Satz 12.2. 1 : (1) ( F , * ) ist ein algebraisches Verknüpfungsgebilde.
(2) Das Gebilde ( F , * ) ist kommutativ, das heißt
∧
∧
[ (f*g) = (g*f) ].
f,g∈F
(3) Das Gebilde ( F , * ) ist assoziativ, das heißt
[ (f*g)*h = f*(g*h) ].
f,g,h∈F
(4) Das Gebilde ( F , * ) besitzt ein neutrales Element ε, das heißt
[ f*ε = ε*f = f ]..
ε∈F f∈F
∨∧
Beweis:
(1) Aus der Definition des Faltproduktes zweier zahlentheoretischer Funktionen
ergibt sich, daß das Faltprodukt wieder eine Abbildung von IN* in IR , also eine
zahlentheoretische Funktion ist.
(2) Aus der Definition 12.2. 1´ läßt sich die Symmetrie des Faltproduktes direkt
ablesen. Da die Produktbildung natürlicher Zahlen kommutativ ist, ist auch die
Faltproduktbildung zahlentheoretischer Funktionen kommutativ.
(3)
[ ((f*g)*h) (a) =
(f∗ g)(x)h(y) =
((
f(u)g(v)) h(y) ) =
f(u)g(v)h(y)
∧
a∈IN*
∑
∑ ∑
∑
xy=a uv =x
xy=a
uvy=a
Es wird also über alle Tripel summiert, deren Produkt gleich a ist.
Andererseits gilt
[ (f*(g*h)) (a) =
f(x)(g∗h)(y) =
(f(x) (
g(u)(h)(v))) =
∧
a∈IN*
∑
∑
xy=a
xy=a
∑
uv =y
∑ f(x)g(u)h(v)
xuv =a
Auch in dieser letzten Summe wird über alle Tripel summiert, deren Produkt gleich
a ist. Demnach sind diese beiden Summen gleich und es gilt
[ ((f*g)*h) (a) = (f*(g*h)) (a) ] und somit
[ (f*g)*h = f*(g*h) ]
a∈IN*
f,g,h∈F
1 für a=1
(4) Man definiert eine zahlentheoretische Funktion ε durch ε (a) = 0 f ü r a > 1
a
[ (f*ε) (a) =
f(d)ε( ) = f(a)ε(1) = f(a) . 1 = f(a) ]
∧
∧∧
a∈IN* f∈F
∧
{
∑
d
d|a
Wegen der Kommutativität also
∧
f∈F
Den Satz 12.2. 1 kann man auch so formulieren:
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[ f*ε = ε*f = f ].
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oder
( F , * ) ist ein kommutatives, assoziatives algebraisches Gebilde mit Einselement.
( F , * ) ist eine kommutative Halbgruppe mit Einselement.
Es liegt daher nahe zu fragen, ob ( F , * ) auch eine Gruppe darstellt. Bevor dies untersucht wird, soll
einer anderen Frage nachgegangen werden, nämlich ob die Faltung zweier multiplikativer zahlentheoretischen Funktionen wieder eine multiplikative zahlentheoretische Funktion ergibt.
Definition 12.2. 3 :
Die Menge aller multiplikativen zahlentheoretischen Funktionen heiße
M.
Man untersucht also, ob ( M , * ) ein algebraisches Gebilde ist.
Zuvor aber noch folgendes Beispiel und ein Hilfssatz.
Beispiel:
Es ist 210 = 10 . 21 und ggT(10,21) = 1 .
T10 = { 1, 2, 5, 10 }
T21 = { 1, 3, 7, 21 }
Alle möglichen Produkte eines Teilers von 10 mit einem Teiler von 21 sind dann
1, 3, 7, 21, 2, 6, 14, 42, 5, 15, 35, 105, 10, 30, 70 und 210.
Dies sind aber alle möglichen Teiler von 210, denn
T210 = { 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35, 42, 70, 105, 210 }
∧
∧
Hilfssatz 12.2. A :
a , b ∈IN *
a , b ∈IN *
Beweis:
[ M1 = { d ∈ IN*
| d|ab } ∧
⇒
M2 ⊂ M1 ]
[ M1 = { d ∈ IN* | d | a b }
∧ ggT(a,b) = 1
⇒
M2 = { u v ∈ IN*
| u|a ∧
v|b}
∧ M2 = { u v ∈ IN* | u | a ∧ v | b }
M2 = M1 ]
Zu zeigen ist zunächst, daß jedes Element von M2 auch Element von M1 ist.
x ∈ M2
⇒
x = u v mit u | a ∧ v | b
⇒
a = u u´ ∧
b = v v´ mit u´, v´ ∈ IN*
⇒
a b = u v u´ v´ = x u´ v´
⇒
x|ab
⇒
x ∈ M1
Nun ist noch zu zeigen, daß unter der Voraussetzung ggT(a,b) = 1 sogar
M2 = M1 gilt, also auch jedes Element von M1 ein Element von M2 ist.
x ∈ M1
⇒
x |ab
Setzt man u = ggT(a,x) und v = ggT(b,x) , so gilt
ggT(u,v) = ggT(ggT(a,x),ggT(b,x)) = ggT(a,b,x,x) = ggT(a,b,x) =
= ggT(ggT(a,b),x) = ggT(1,x) = 1
⇒
uv|x
x
x
Andererseits ist a = u a´ und b = v b´ mit ggT(uv,a´) = ggT(uv,b´) = 1 .
x
uv | a´b´
x
⇒
uv = 1
Also ist x = u v
mit u | a und v | b
Satz 12.2. 2 :
( M , * ) ist ein algebraisches Gebilde.
⇒
x ∈ M2
Das heißt: Sind f und g multiplikative zahlentheoretische Funktionen, so ist
auch ihr Faltprodukt f * g eine multiplikative zahlentheoretische Funktion.
Beweis:
f und g seien multiplikative zahlentheoretische Funktionen
und a,b ∈ IN* mit ggT(a,b) = 1 .
( f * g) (ab) =
∑ f(d)g(
d|ab
a ⋅b
)
d
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=
a ⋅b
∑ f(uv)g( u ⋅ v )
nach Hilfssatz 12.2. A
∑ f(u)g( u )
wegen ggT(u,v) = 1
u|a
v|b
=
a
u|a
v|b
b
f(v)g( )
v
∧ ggT(au,bv) = 1 aus der
Multiplikativität von f und g.
In der letzten Summe durchläuft u alle Teiler von a und - unabhängig davon v alle Teiler von b. Es ist dann
a
b
( f * g) (ab) = ( f(u)g( )) ⋅ ( f(v)g( )) = ( f * g) (a) . ( f * g) (b)
∑
∑
u
u|a
v|b
v
Das bedeutet aber die Multiplikativität.
Da
M⊂F
und die Einsfunktion
ε multiplikativ ist, gilt also der
( M , * ) ist eine kommutative Halbgruppe mit Einselement.
Satz 12.2. 3 :
Ob ( M , * ) oder sogar ( F , * ) eine Gruppe ist, hängt davon ab, ob zu jedem Element ein inverses
Element existiert.
Es muß daher untersucht werden, unter welcher Bedingung eine zahlentheoretische Funktion f eine
inverse Funktion f´ besitzt, das heißt eine Funktion f´ mit f * f´ = ε .
Da das Faltprodukt definiert ist durch
∧
[ (f*g)(a) =
a∈IN*
a = 1
und g = f´
(f*f´)(1) =
∑ f(x)g(y)
] , gilt für
xy=a
∑ f(x)f′ (y) = f(1) * f´(1) = ε(1) = 1
xy=a
Diese Gleichung kann nicht bestehen, wenn f(1) = 0 ist.
f(1) ≠ 0 ist demnach eine notwendige Bedingung für die Existenz einer inversen Funktion f´.
Diese Bedingung ist auch hinreichend für die Existenz eines Inversen, denn aus den Gleichungen
(f*f´)(1) = f(1) f´(1)
= ε(1) = 1
(f*f´)(2) = f(1) f´(2) + f(2) f´(1)
= ε(2) = 0
(f*f´)(3) = f(1) f´(3) + f(3) f´(1)
= ε(3) = 0
(f*f´)(4) = f(1) f´(4) + f(2) f´(2) + f(4) f´(1)
= ε(4) = 0
(f*f´)(5) = f(1) f´(5) + f(5) f´(1)
= ε(5) = 0
(f*f´)(6) = f(1) f´(6) + f(2) f´(3) + f(3) f´(2) + f(6) f´(1) = ε(6) = 0
.....
kann man sukzessive die Werte für f´(1), f´(2), f´(3), f´(4), . . . . ausrechnen, da man wegen f(1) ≠ 0
durch f(1) dividieren kann.
Satz 12.2. 4 :
∧
∧
⇔
[ f besitzt ein Inverses f´
f(1) ≠ 0 ]
f∈F
[ f besitzt ein Inverses f´ ]
f∈M
Beweis: Die erste Behauptung wurde oben bewiesen.
Die zweite Behauptung folgt aus Satz 12.1. 1 (1).
( F , * ) ist keine Gruppe, denn man kann beliebig viele zahlentheoretische Funktionen bilden, für die
f(1) = 0 gilt.
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Da aber jede multiplikative zahlentheoretische Funktion eine inverse Funktion besitzt, muß für die
Aussage, daß ( M , * ) eine Gruppe ist, nur noch gezeigt werden, daß jede zu f ∈ M inverse
Funktion auch wieder zu M gehört.
( M , * ) eine kommutative Gruppe.
Satz 12.2. 5 :
Nach Satz 12.2. 3 ist ( M , * ) eine kommutative Halbgruppe.
Beweis:
Nach Satz 12.2. 4 gilt
∧
[ f besitzt ein Inverses f´ ].
f∈M
Zu zeigen bleibt: f´ ∈ M
Zu einem gegebenen f ∈ M definiert man ein f´ ∈ F folgendermaßen:
1.
f´ ist multiplikativ, d. h. insbesondere f´(1) = 1
2.
sei f´(pα) für α = 1, 2, 3, 4, . . . nacheinander durch die Gleichungen
∧
p∈P
(f*f´) (pα) = 0 für α = 1, 2, 3, 4, . . . bestimmt.
Es ist also 0 = (f*f´) (p) = f(1) f´(p) + f(p) f´(1) = f´(p) + f(p) ⇒ f´(p) = – f(p)
0 = (f*f´) (p2) = f(1) f´(p2) + f(p) f´(p) + f(p2) f´(1) = f´(p2) – f(p) f(p) + f(p2)
⇒ f´(p2) = (f(p))2 – f(p2)
0 = (f*f´) (p3) = f(1) f´(p3) + f(p) f´(p2) + f(p2) f´(p) + f(p3) f´(1)
= f´(p3) + f(p) ((f(p))2 – f(p2)) – f(p2) f(p) + f(p3)
⇒ f´(p3) = – f(p) ((f(p))2 – f(p2)) + f(p2) f(p) – f(p3)
usw.
Da f´ per definitionem multiplikativ ist ist nur noch zu zeigen, daß f´ das Inverse von f
ist: (1) ⇒ f(1) f´(1) = 1 = ε(1)
(2)
∧
a∈IN*\{1}
∞
[ a=
∏ p iα
i
⇒ (f*f´) (a) =
i=1
∞
∏ (f∗ f′ )(piα )
i
= 0 = ε(a) ]
i=1
f*f´ ∈ M ist.
[ (f*f´) (a) = ε(a) ] und damit f*f´ =
da wegen Satz 12.2. 2
Folglich ist
∧
ε
a∈IN*
1 2 . 3 Die Möbiusfunktion
Definition 12.3. 1 :
ν heißt ν-Funktion
:⇔
∧
[
ν(a) = 1 ]
a∈IN*
Die ν-Funktion ist multiplikativ und besitzt ein Inverses.
Satz 12.3. 1 :
Beweis:
(1)
(2)
ν(1) = 1
ν(ab) = 1 = 1.1 = ν(a) ν(b) für alle a, b ∈ IN* , also erst recht wenn
ggT(a,b) = 1
Wegen Satz 12.2. 5 besitzt jede multiplikative Funktion ein Inverses.
Definition 12.3. 2 :
Die zur ν-Funktion inverse Funktion heißt Möbiusfunktion µ.
nach A. F. Möbius 1790 - 1868)
Satz 12.3. 2 :
Die Möbiusfunktion
µ ist multiplikativ.
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Beweis:
nach Satz 12.2. 4 ist die Möbiusfunktion als Inverses zu einer multiplikativen Funktion
selbst multiplikativ.
Berechnung der Werte der Möbiusfunktion:
µ(1) = 1
(µ*ν) (pα) =
Folglich ist
und
µ(1) + µ(p) + µ(p2) + . . . + µ(pα) = 0
1 + µ(p) = 0
⇒
µ(p) = – 1
µ(pα) = 0 für α = 2, 3, 4, . . .
Satz 12.3. 2 :
∧
∞
[ a=
a∈IN*
Folgerung:
i
⇒
i=1
µ (a) =
Definition 12.3. 3 :
∏ p iα
für α = 1, 2, 3, 4, . . .
0, wenn ein α ≥ 2
{(–1)
, wenn kein α ≥ 2 und genau k der Exponenten gleich 1 sind.]
i
k
i
ω(a) ist die Anzahl der verschiedenen Primteiler von a.
 1 fur a = 1
ω (a )
, wenn a keine Pr imzahl mehrfach enthalt
 0 sonst

µ(a) =  ( −1)
Die Werte der Möbiusfunktion für die Zahlen von 1 bis 20 sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt.
a
µ(a)
1
1
2
3
–1 –1
4
5
0 –1
6
7
1 –1
8
0
9
0
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1 –1
0 –1
1
1
0 –1
0 –1
0
Die ϕ-Funktion ist aus Definition 10.2. 1 bekannt. Nach Satz 10.2. 3 gilt
∧
a ∈IN*
[
∑ ϕ(d) = a ]
d|a
Definiert man die identische Funktion als ρ(a)
∧
Definition 12.3. 4 :
[ Die identische Funktion heiße ρ-Funktion.
ρ(a) := a ]
a ∈IN*
so ist
(ϕ * ν) (a) =
∑ ϕ(d) ⋅ ν( d ) = ∑ ϕ(d) = a = ρ(a)
a
d|a
Bildet man nun das Faltprodukt
so ergibt sich
oder ausführlich geschrieben
, also
ϕ*ν = ρ .
d|a
(ϕ * ν) * µ = ρ * µ ,
ϕ * (ν * µ) = ρ * µ
ϕ*ε = ρ*µ
ϕ = ρ*µ
∧[ ϕ
(a) =
a ∈IN*
∑ ρ(d) ⋅ µ( d ) = ∑ d ⋅ µ( d ) ] ,
a
d|a
a
d|a
also ein Zusammenhang zwischen der Eulerfunktion und der Möbiusfunktion .
Nach Satz 12.2. 2 gilt dann der
Satz 12.3. 3 :
Die zahlentheoretische Funktion
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ϕ ist multiplikativ.
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Die ϕ-Funktion einer Primzahlpotenz pα ergibt sich dann als
ϕ(pα) =
pα
∑ d ⋅ µ( d ) = 1.µ(pα) + p.µ(pα–1) + p2.µ(pα–2) + . . . + pα–1.µ(p) + pα .µ(1)
d|a
1
= 0 + 0 + 0 + . . . – pα–1 + pα = pα – pα–1 = pα (1 – p )
Daraus ergibt sich der
Satz 12.3. 4 : Für alle Primzahlpotenzen pα gilt:
∞
∏ pi
a =
αi
⇒
i=1
Anders geschrieben, heißt dies
ϕ(a) =
∞
∏ pi
αi
1
(1 – pi )
i=1
ϕ(a) = a ∏ ( 1 – 1p ) .
Damit hat man eine Formel zur
p|a
Berechnung der primen Restklasse (mod m) für jede natürliche Zahl m.
Ist etwa m = 88200 = 23 . 32 . 52 . 72 , so ist
ϕ(m) = 88200 (1 – 12 ) (1 – 31 ) (1 – 51 ) (1 – 71 ) = 88200 . 12 . 32 . 54 . 76 = 23 . 32 . 52 . 72 . 21 . 32 . 54 . 76
= 26 . 32 . 5 . 7 = 20160
Beispiele:
Es gibt also genau 20160 prime Restklassen (mod 88200).
1
1
1 2
Ist m = 12 , so ist ϕ(m) = 12 (1 – 2 ) (1 – 3 ) = 12 . 2 . 3 = 4 . Es gibt 4 prime Restklassen (mod 12).
Auch für die τ-Funktion, die Funktion, die die Anzahl der Teiler einer Zahl a angibt, läßt sich jetzt eine
Formel herleiten.
Es ist ja
∧
[ τ(a) =
a∈IN*
∑ 1 = ∑ ν(d)ν( d )
a
d|a
= ν*ν (a) ] .
d|a
Also gilt τ = ν * ν und da ν multiplikativ ist, ist auch τ multiplikativ. Nun ist τ(pα) = α + 1 und damit
gilt der
Satz 12.3. 5 : Für alle Primzahlpotenzen pα gilt:
∞
a =
∏ pi
αi
⇒
i=1
Beispiele:
Ist etwa a = 88200 = 23 . 32 . 52 . 72 , so ist
∞
τ(a) = ∏ τ (piαi) =
i=1
∞
∏ ( αi + 1)
i=1
τ(a) = 4 . 3 . 3 . 3 = 108
Die Zahl 88200 besitzt also 108 Teiler.
Ist etwa a = 12 = 22 . 3 , so ist
τ(a) = 3 . 2 = 6 .
Die Zahl 12 besitzt 6 Teiler.
1 2 . 4 Befreundete und vollkommene Zahlen
Nachdem eine Formel für die Bestimmung der Anzahl der Teiler einer Zahl a gefunden ist, interessiert
man sich auch für eine Formel, die es gestattet, die Summe aller Teiler einer Zahl a zu bestimmen. Auf
Grund solcher Teilersummen haben die Zahlenmystiker im Altertum und im Mittelalter den Zahlen
besondere Eigenschaften und magische Bedeutungen zugeschrieben.
Definition 12.4. 1 :
Die zahlentheoretische Funktion, die einer Zahl a die Summe ihrer Teiler
zuordnet, heiße
σ(a) .
σ(a) =
∑d
d|a
Offensichtlich gilt
σ(1) = 1
σ(2) = 1+2 = 3
σ(3) = 1+3 = 4
σ(6) = 1+2+3+6 = 12
σ(7) = 1+7 = 8 σ(1) = 1
Seite 84
σ(5) = 1+5 = 5
usw.
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σ(p) = 1 + p
Allgemein gilt
σ(pα) = 1 + p + p2 + p3 + . . . + pα–1 + pα =
∧
Nun ist
pα+1 – 1
p – 1
(wegen der Summen-
formel für die geometrische Reihe)
a
[ σ(a) =
d =
ρ (d) . ν (d ) = (ρ * ν) (a) ] , also σ = ρ * ν .
∑
a∈IN*
∑
d|a
d|a
Da ρ und ν multiplikativ sind, ist auch σ multiplikativ, und man kann weiter schließen
∞
Satz 12.4. 1 :
a=
∏ pi
αi
i=1
Beispiele:
⇒
∞
σ(a) = ∏ σ (piαi) =
i=1
∞
∏
i=1
p iα i+1 – 1
pi – 1
Ist etwa a = 88200 = 23 . 32 . 52 . 72 , so ist
23+1 – 1 . 3 2 +1 – 1 . 5 2 +1 – 1 . 7 2 +1 – 1
3 – 1
5 – 1
7 – 1
4
3
3
3
2 – 1 . 3 – 1 . 5 – 1 . 7 – 1
26 . 124 . 342
=
= 15 .
= 15 .13 . 31 . 57
1
2
4
6
2
4
6
= 344565
Die Zahl 88200 besitzt also die Teilersumme 344565 .
Ist etwa a = 12 = 22 . 3 , so ist
σ(a) = 7 . 4 = 28 .
σ (a) = 2 – 1
σ´(a) = σ(a) – a heißt Summe der echten Teiler von a.
Definition 12.4. 2 :
Beispiele:
a = 220 = 22 . 5 . 11
22+1 – 1 . 5 1 +1 – 1 . 11 1+ 1 – 1
– 220 = 7 . 6 . 12 – 220 = 504 – 220 = 284
5 – 1
11 – 1
b = 284 = 22 . 71
22+1 – 1
71 1 +1 – 1
σ´(b) = 2 – 1 . 7 1 – 1 – 284 = 7 . 72 – 284 = 504 – 284 = 220
σ´(a) = 2 – 1
An diesem Beispiel erkennt man, daß die Summe der echten Teiler von 220 gleich ist der Zahl 284
und die Summe der echten Teiler von 284 gleich der Zahl 220.
σ´(a) = b
und
σ´(b) = a
oder
σ(a) – a = b
und
σ(b) – b = a
oder
σ(a) = a + b
und
σ(b) = a + b
Zwei Zahlen, die diese Eigenschaft besitzen, nennt man befreundete Zahlen.
Definition 12.4. 3 :
∧
[ a und b heißen befreundet
:⇔
σ(a) = σ(b) = a + b ]
a,b∈IN*
a = 23 . 19 . 41 = 6232 und b = 25 . 199 = 6368
Beispiel:
3 +1
1 +1
sind befreundet.
1+ 1
2
– 1 19
– 1 41
– 1
σ´(a) = 2 – 1 . 1 9 – 1 . 4 1 – 1 – 6232 = 15 . 20 . 42 – 6232 = 12600 – 6232 = 6368
25+1 – 1 . 199 1 +1 – 1
– 6368 = 63 . 200 – 6368 = 12600 – 6368 = 6232
199 – 1
σ´(b) = 2 – 1
Wie findet man befreundete Zahlen? Dies ist nicht einfach. Immer wieder haben sich Mathematiker mit
dieser Frage befaßt. So hat der arabische Mathematiker ABU-L-HASAN THABIT BEN KORRAH im 14.
Jahrhundert n. Chr. folgende Regel aufgestellt:
Seite 85
Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
Für n ∈ IN* schreibt man die Zahlen an = 3 . 2n – 1 auf. Jede dieser Zahlen entsteht aus der
vorangehenden durch Verdoppeln und Addition von 1 , denn
an+1 = 3 . 2n+1 – 1 = 2 (3 . 2n – 1 ) + 1 = 2 an + 1 .
Die Tabelle der an ist
n
an
1
5
2
11
3
23
4
47
5
95
6
191
7
383
8
767
9
1535
10
3071
11
6143
....
....
Satz 12.4. 2 : Gilt mit an = 3 . 2n – 1 für einen Index n
1. an–1 und an sind beide Primzahlen.
und
.
2n–1
2. Die Zahl bn = 9 2
– 1 ist Primzahl.
dann sind die Zahlen a = 2n an–1 an und b = 2n bn befreundet.
Um diese Regel zu beweisen, muß man σ(a) und σ(b) bilden und zeigen, daß σ(a) = σ(b) = a + b ist.
Beweis: Die Zahlen an sind alle ungerade; sind an–1 und an beide prim, so sind 2n , an–1 und an
paarweise teilerfremd. Da σ multiplikativ ist, gilt
σ(a) = ( 2n+1 – 1) ( an–1 + 1 ) ( an + 1 ) = ( 2n+1 – 1) 3.2n–1 . 3.2n
= 9 . 22n–1 ( 2n+1 – 1)
σ(b) = ( 2n+1 – 1) ( bn + 1 ) = ( 2n+1 – 1) . 9 . 22n–1
= 9 . 22n–1 ( 2n+1 – 1)
a + b = 2n ( an–1 an + bn ) = 2n (( 3 . 2n–1 – 1 ) (3 . 2n – 1 ) + 9 . 22n–1 – 1 ) = 9 . 22n–1 ( 2n+1 – 1)
Beispiele:
n=2
Für n = 2 sind die beiden Bedingungen 1. und 2. erfüllt; es ist nämlich
a1 = 5
a2 = 11
b2 = 9 . 23 – 1 = 71 prim
a = 2n an–1 an = 22 . 5 . 11 = 220
b = 2n bn = 22 . 71 = 284
a und b sind also befreundet, wie schon oben gezeigt wurde.
n=3
Für n = 3 sind die Bedingungen 1. und 2. nicht beide erfüllt; es ist nämlich
a2 = 11
a3 = 23 beide prim, aber
b3 = 9 . 25 – 1 = 287 = 7 . 41 nicht prim
Für n = 4 sind die beiden Bedingungen 1. und 2. erfüllt; es ist nämlich
a3 = 23
a4 = 47
b4 = 9 . 27 – 1 = 1151 prim
a = 2n an–1 an = 24 . 23 . 47 = 17296
b = 2n bn = 24 . 1151 = 18416
a und b sind also befreundet.
n=4
Das nächste Paar befreundeter Zahlen erhält man für n = 6 : 9 363 584 und 9 437 056 .
Dieses Paar hat auch DESCARTES (auf anderem Wege) gefunden.
Mit der Methode des arabischen Mathematikers lassen sich aber nicht alle Paare befreundeter Zahlen
gewinnen.
EULER fand um 1750 mehr als 60 Paare befreundeter Zahlen, darunter
a
b
.
.
.
.
2 5 7 19 107
2 . 5 . 47 . 359
23 . 19 . 41
25 . 199
2
.
.
2 5 251
22 . 13 . 107
24 . 47 . 89
24 . 53 . 79
4
.
.
2 23 479
24 . 89 . 127
23 . 17 . 79
23 . 23 . 59
1866 fand der damals 16jährige Nicolo Paganini das Paar (relativ kleiner) befreundeter Zahlen
25 . 37 = 1184
und 2 . 5 . 112 = 1210
Bis 1970 waren etwa 400 Paare befreundeter Zahlen bekannt.
Kann eine Zahl mit sich selbst befreundet sein? Gibt es also eine Zahl a , für die gilt
Seite 86
σ(a) = a + a ?
Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
Eine solche Zahl war für die Zahlenmystiker in ganz besonderer Weise vollkommen.
Definition 12.4. 4 :
∧
[ a heißt vollkommene Zahl
a ∈IN*
:⇔
σ(a) = 2 a . ]
Eine natürliche Zahl heißt vollkommen, wenn sie gleich der Summe ihrer
echten Teiler ist.
Die kleinste vollkommene Zahl ist 6 , denn es gilt 6 = σ´(6) = 1 + 2 + 3 .
Die darauf folgende vollkommene Zahl ist 28 , denn 28 = σ´(28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 .
(Für die Zahlenmystiker bestand ein Zusammenhang mit solchen Aussagen wie: „Gott erschuf die
Welt in 6 Tagen.“ „Der Mond umkreist die Erde in 28 Tagen.)
Wie lassen sich vollkommene Zahlen finden? Schon bei EUKLID in seinem neunten Buch der
Elemente findet sich ein Verfahren:
Satz 12.4. 3 :
Beweis:
Ist die Zahl an = 2n – 1 eine Primzahl, so ist die Zahl
vn = 2n–1 . an = 2n–1 . (2n – 1) eine vollkommene Zahl.
Es muß gezeigt werden: σ(vn) = 2 vn .
σ(vn) = σ(2n–1) σ(2n – 1) = (2n – 1) . 2n = 2 . 2n–1 . (2n – 1) = 2 vn
Diese Rechnung ist nur richtig, wenn 2n – 1 eine Primzahl ist, was aber im Satz 12.4. 3
vorausgesetzt ist. Die Suche nach vollkommenen Zahlen ist also reduziert auf die Suche nach
Primzahlen der Form 2n – 1 .
2n – 1 kann nur Primzahl sein, wenn n eine Primzahl ist. Ist nämlich n zusammengesetzt, also etwa
n = r . s mit r,s ∈ IN* und 1 < r,s < n , so folgt aus
2r ≡ 1 (mod 2r – 1)
r
durch Potenzieren mit s
(2 )s ≡ 1s (mod 2r – 1)
und damit
2n ≡ 1 (mod 2r – 1) ,
also
2r – 1 | 2n –1
Vollkommene Zahlen nach der Regel von Euklid können also nur in der Gestalt 2p–1 . (2p – 1) mit
p aus der Menge der Primzahlen auftreten.
Primzahlen der Form Mp = 2p – 1 heißen nach dem Mathematiker MERSENNE (1588 - 1648)
Mersennesche Primzahlen. Nicht alle Zahlen der Form 2p – 1 sind Primzahlen; man vermutet jedoch,
daß es unendlich viele Mersennesche Primzahlen gibt, was jedoch noch nicht bewiesen ist.
Entsprechend gäbe es dann unendlich viele vollkommene Zahlen. Man weiß aber nicht, ob man mit
der Regel von Euklid alle vollkommenen Zahlen erfaßt hat. Die Euklidischen vollkommenen Zahlen
sind alle gerade. EULER (1707 - 1783) hat bewiesen, daß jede gerade vollkommene Zahl durch die
Formel von Euklid geliefert wird. Unbekannt ist, ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt. Jedenfalls
hat man unterhalb von 2 000 000 noch keine ungerade vollkommene Zahl gefunden.
Tafel der ersten Mersenneschen Primzahlen und der zugehörigen vollkommenen Zahlen:
p
2
3
5
7
11
2p – 1
22 – 1 = 3
23 – 1 = 7
25 – 1 = 31
7
2 – 1 = 127
211 – 1 = 2047
Primzahl
ja
ja
ja
ja
nein 23 . 89
2p–1 . (2p – 1)
21 . (22 – 1) = 6
2
2 . (23 – 1) = 28
24 . (25 – 1) = 496
6
2 . (27 – 1) = 8128
vollkommen
ja
ja
ja
ja
nein
Mit Hilfe eines Computer-Algebra-Systems (z. B. MAPLE) lassen sich die Mersenneschen Primzahlen
bis zu einer gewissen Größe ermitteln.
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Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
Definition 12.4. 5 :
∧
∧
[ a heißt abundante Zahl
:⇔
σ(a) > 2 a . ]
[ a heißt defiziente Zahl
:⇔
σ(a) < 2 a . ]
a ∈IN*
a ∈IN*
Eine natürliche Zahl heißt abundant, wenn sie größer als die Summe ihrer
echten Teiler ist.
Eine natürliche Zahl heißt defizient, wenn sie kleiner als die Summe ihrer
echten Teiler ist.
Auch abundanten und defizienten Zahlen wurden in der Zahlenmystik Bedeutungen beigelegt. So
schrieb der Lehrer Karls des Großen, der Mönch ALKUIN (735 - 804), zum Beispiel, daß die ganze
Menschheit von den 8 Seelen in der Arche Noah abstammt, diese zweite Schöpfung aber weniger
vollkommen ist als die erste, die Gott in 6 Tagen tätigte. 8 ist als defiziente Zahl eben nicht so vollkommen wie 6 als vollkommene Zahl.
13.
Die Verteilung der Primzahlen
1 3 . 1 Primzahllücken
Anschaulich läßt sich formulieren: In der Folge der natürlichen Zahlen werden die Primzahlen immer
seltener. Dies kann man etwa dem Sieb des Eratosthenes entnehmen. Man wird also, je weiter man in
der Folge der natürlichen Zahlen aufsteigt, auf immer größere Primzahllücken stoßen. Welche
Abstände können Primzahlen voneinander haben?
Die beiden ersten Primzahlen 2 und 3 haben den Abstand 1 . Der Abstand 1 kann aber sonst nicht
mehr auftreten, da von zwei Zahlen > 3 mit dem Abstand 1 eine gerade sein muß, also keine Primzahl
sein kann. Der Abstand 2 kann zwischen zwei Primzahlen durchaus auftreten, wie die Beispiele der
Primzahlpaare 3 und 5 , 5 und 7 , 11 und 13 , 17 und 19 , 29 und 31 , 41 und 43 zeigen. Aber auch
bei großen Zahlen tauchen solche Paare auf, z. B. 1 000 000 009 649 und 1 000 000 00 9651 .
Definition 13.1. 1 :
∧
[ Die Zahlen p und q heißen Primzahlzwillinge
p, q∈IN*
:⇔
p,q ∈ P
∧ |p–q| = 2 ]
Man vermutet, daß es unendliche viele Primzahlzwillinge gibt. Ein Beweis dafür steht noch aus. Das
bis 1970 bekannte größte Zwillingspaar ist das in der letzten Zeile der vorhergehenden Seite genannte.
Umgekehrt kann man fragen, ob der Abstand zwischen zwei Primzahlen beliebige groß werden kann.
Dies ist tatsächlich der Fall, wie im folgenden Satz bewiesen wird.
Satz 13.1. 1 :
Für n ≥ 2 sind die n – 1 aufeinanderfolgenden Zahlen
n! + 2, n! + 3, n! + 4, . . . , n! + n – 1, n! + n
alle zusammengesetzt.
Beweis:
Für alle i mit 2 ≤ i ≤ n gilt die Beziehung i | n! + i = 1.2.3.4. . . . .i. . . . .(n–1).n + i .
Beispiel: 20 aufeinanderfolgende zusammengesetzte Zahlen sind also
21! + 2 , 21! + 3 , 21! + 4 , . . . , 21! +21 .
1 3 . 2 Relative Häufigkeit der Primzahlen
Betrachtet man die relative Häufigkeit der Primzahlen in der Menge der natürlichen Zahlen, so findet
man mit der π-Funktion, der Anzahlfunktion für die Primzahlen:
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Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
n
10
100
1000
10000
100000
10000
π(n)
π(n)
n
4
25
168
1229
9592
78498
0,4
0,25
0,168
0,1229
0,09592
0,078498
Trägt man die relativen Häufigkeiten in einem Koordinatendiagramm auf, so ergibt sich:
π(10 i)
____
10i
relative Häufigkeit der Primzahlen
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
i
Die relative Häufigkeit der Primzahlen geht vermutlich gegen Null. Die Mathematiker J. HADAMARD
(1865 - 1963) und DE LA VALLéE POUSSIN (1866 - 1962) konnten zeigen, daß
π(n) .
1
loge n = 1 ist (mit e =
(1 + n )n = 2,718...) .
n
n→∞
n→∞
Diese Ausage wird in der zahlentheoretischen Literatur Primzahlsatz genannt. Er wird meistens dem
Bereich der analytischen Zahlentheorie zugeordnet, das heißt dem zahlentheoretischen Arbeitsgebiet, das Methoden der Analysis verwendet.
lim
14.
lim
Ganze Gaußsche Zahlen
1 4 . 1 Der Ring ZZ [i]
Bei den Zahlbereichserweiterungen (vgl. Algebra) ergibt sich die Notwendigkeit der Schaffung neuer
Zahlbereiche aus der Tatsache, daß bestimmte Gleichungen in einem Zahlbereich nicht stets lösbar
sind. Bei der Erweiterung von IN auf ZZ sind das die Gleichungen a + x = b mit a > b , deren Lösung
negative Zahlen erforderlich macht; bei der Erweiterung von ZZ auf Q| sind es die Gleichungen
a . x = b mit a |/ b , deren Lösung gebrochene Zahlen erfordert; bei der Erweiterung von Q| auf IR sind
es u. a. Gleichungen der Art x2 = a mit a ≥ 0, aber kein Quadrat einer rationalen Zahl, so daß z. B.
Wurzeln gebraucht werden. Aber auch in IR sind nicht alle algebraischen Gleichungen lösbar, z. B. gilt
dies für x2 + 1 = 0 . Zur Lösung dieser Gleichung kann man eine neue Zahl i mit der Eigenschaft
Seite 89
Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
i2 = –1 einführen und zum Körper IR adjungieren. IR adjungiert i schreibt man dann als IR[i] und
n
∑ a ν ⋅ iν
meint damit die Menge aller Polynomausdrücke
mit n ∈ IN und aν ∈ IR. IR[i] bildet einen
ν=0
| . Addition und Multiplikation komplexer Zahlen sind hier
Körper, den Körper der komplexen Zahlen C
also auf die Addition und Multiplikation von Polynomen zurückgeführt. Die komplexen Zahlen lassen
sich in der Form a + bi darstellen, da jede Potenz von i mit geradem Exponenten zu einer reellen
Zahl (nämlich zu – 1 oder + 1) und jede Potenz von i mit ungeradem Exponenten i oder – i ergibt.
Adjungiert man entsprechend i mit i2 = –1 zur Menge ZZ der ganzen Zahlen, so erhält man die
n
Menge aller Polynome
∑ a ν ⋅ iν
mit n ∈ IN und aν ∈ ZZ. Man schreibt ZZ adjungiert i als ZZ[i] .
ν=0
Die Zahlen dieser Menge lassen sich schreiben als a + b i mit a,b ∈ ZZ (aus den oben genannten
Gründen). Nach C. F. GAUSS (1777 - 1855) werden sie ganze Gaußsche Zahlen genannt.
ZZ[i] = { a + bi | a,b ∈ ZZ
Definition 14.1. 1 :
∧ i2 = –1 } heißt Menge der ganzen Gaußschen
Zahlen.
Addition und Multiplikation in ZZ[i] sind durch die Polynomaddition und -multiplikation vorgegeben.
Es ist also
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d) i
und
( a + b i ) . ( c + d i ) = ( a. c – b. d) + ( a. d + b. c ) i
Die ganzen Gaußschen Zahlen kann man auch als Zahlenpaare ganzer Zahlen schreiben, z. B. (a,b).
Dann kann man Z[i] = { (a,b) | a,b ∈ ZZ } schreiben. Addition und Multiplikation sehen dann so aus
(a,b) + (c,d) = ( a + c , b + d )
(a,b) . (c,d) = ( a. c – b. d , a. d + b. c )
Die ganzen Gaußschen Zahlen lassen sich im
5
(2|5)
Koordinatensystem als Gitterpunkte, also als
i
die Punkte mit ganzzahligen Koordinaten
4
(-2|4)
darstellen. Hier rechts sind einige ganze
3
(-5|3)
2
Gaußsche Zahlen in das Koordinatensystem
(5|2)
1
eingetragen.
(0|0)
Die Addition der ganzen Gaußschen Zahlen
0
-5
5
erfolgt wie die Vektoraddition durch Hinterein-1 0
-2
anderabtragen der gerichteten Strecken, die
(3|-2)
-3
vom Nullpunkt bis zur jeweiligen ganzen
-4
Gaußschen Zahl gehen.
-5
Die Multiplikation beruht auf der Polarkoordina(-3|-5)
tendarstellung der Zahlen durch
Winkeladdition und zentrische Streckung.
Satz 14.1. 1 :
Beweis:
zu 1.
( ZZ[i] , + , • ) ist ein kommutativer, nullteilerfreier, unitärer Ring.
Zu zeigen ist
∧
1.
2.
3.
4.
(ZZ[i] , + ) ist eine kommutative Gruppe.
(ZZ[i] , . ) ist eine kommutative Halbgruppe mit Einselement.
(ZZ[i] , . ) besitzt keine Nullteiler.
Es gilt in (ZZ[i] , + , • ) das Distributivgesetz.
[ (a + b i) + ( c + d i) ∈ ZZ[i] ]
a+bi,c+di∈Z[i]
denn
(a + c) + (b + d) i ∈ ZZ[i]
Seite 90
Abgeschlossenheit,
Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
∧
[ ((a + b i) + (c + d i)) + ( e + f i) = (a + b i) + ((d + d i) + (e + f i)) ]
a+bi,c+di,e+fi∈Z[i]
denn
∧
Assoziativgesetz,
((a + b i) + (c + d i)) + ( e + f i) = ( (a + c) + (b + d) i) + (e + f i)
= ((a + c) + e) + ((b + d) + f) i = (a + (c + e)) + (b + (d + f)) i
= (a + b i) + ((c + e) + (d + f) i) = (a + b i) + ((c + d i) + (e + f i))
[ (a + b i) + (c + d i) = (c + d i) + (a + b i) ]
Kommutativgesetz,
a+bi,c+di∈Z[i]
denn
(a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i = (c + a) + (d + b) i = (c + d i) + (a + b i)
∨ ∧
[ (n + m i) + (a + b i) = (a + b i) + (n + m i) = a + b i ]
n+mi∈Z[i] a+bi∈Z[i]
Existenz eines neutralen Elementes,
denn 0 + 0 i ist neutral, da (0 + 0 i) + (a + b i) = (0 + a) + (0 + b) i = a + b i
(Wegen der Kommutativität genügt es, die Existenz eines Linksneutralen zu zeigen.)
∧ ∨
[ (a + b i) + (c + d i) = (c + d i) + (a + b i) = 0 + 0 i ]
a+bi∈Z[i] c+di∈Z[i]
Existenz eines inversen Elementes zu jedem Element,
denn zu a + b i ∈ ZZ[i] ist –a + (–b) i ∈ ZZ[i] invers: (a + b i) + (–a + (–b) i) = 0 + 0 i
(Wegen der Kommutativität genügt es, die Existenz eines Linksinversen zu zeigen.)
zu 2.
∧
[ (a + b i) . ( c + d i) ∈ ZZ[i] ]
Abgeschlossenheit,
a+bi,c+di∈Z[i]
denn
(a.c – b.d) + (a.d + b.c) i ∈ ZZ[i]
∧
[ ((a + b i) . (c + d i)) . ( e + f i) = (a + b i) . ((c + d i) . (e + f i)) ]
a+bi,c+di,e+fi∈Z[i]
denn
∧
Assoziativgesetz,
((a + b i) . (c + d i)) . ( e + f i) = ( (a.c – b.d) + (a.d + b.c) i) . (e + f i)
= (a.c.e – b.d.e) – (a.d.f + b.c.f) + ((a.c.f – b.d.f) + (a.d.e + b.c.e)) i
= (a + b i) . ((c.e – d.f) + (c.f + d.e) i ) = (a + b i) . ((c + d i) . (e + f i))
[ (a + b i) . (c + d i) = (c + d i) . (a + b i) ]
Kommutativgesetz,
a+bi,c+di∈Z[i]
denn
(a + b i) . (c + d i) = (a.c – b.d) + (a.d + b.c) i
= (c.a – d.b) + (d.a + c.b) i = (c + d i) . (a + b i)
∨ ∧
[ (e + f i) . (a + b i) = (a + b i) . (e + f i) = a + b i ]
e+fi∈Z[i] a+bi∈Z[i]
Existenz eines Einselementes,
denn 1 + 0 i ist neutral, da (1 + 0 i) . (a + b i) = (1.a – 0.b) + (0.a + 1.b) i = a + b i
(Wegen der Kommutativität genügt es, die Existenz einer Linkseins zu zeigen.)
zu 3.
Zu zeigen ist, daß (a + b i) . (c + d i) = 0 + 0 i ⇔ (a + b i) = 0 + 0 i ∨ (c + d i) = 0 + 0 i
⇒ oBdA sei c + d i = 0 + 0 i ⇒ (a + b i) . (0 + 0 i) = (a.0 – b.0) + (a.0 + b.0) i = 0 + 0 i
O
⇐ (a + b i) . (c + d i) = 0 + 0 i
O
∧ oBdA (a + b i) ≠ 0 + 0 i
.
.
.
⇒ (a + b i) (c + d i) = (a c – b d) + (a.d + b.c) i = 0 + 0 i
⇒ (a.c – b.d) = 0 ∧ (a.d + b.c) = 0
Man hat also folgendes Gleichungssystem zu lösen
Seite 91
a•c – b•d
a•d + b•c
a2•c – a•b•d
a•b•d + b2•c
=
=
=
=
0 | .a
0 | .b
0
0
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(a2 + b2)•c = 0
Da der Ring der ganzen Zahlen nullteilerfrei ist und
+ > 0 gilt c = 0 .
Entsprechend ergibt sich
a•c – b•d = 0 | . (–b)
a•d + b•c = 0 | . a
–a•b•c + b2•d = 0
a2d + a•b•c = 0
(a2 + b2)•d = 0
Da der Ring der ganzen Zahlen nullteilerfrei ist und a2 + b2 > 0 gilt d = 0 .
Damit ist die Nullteilerfreiheit von ZZ[i] bewiesen.
a2
∧
zu 4.
b2
[ (a + b i) . ((c + d i) + (e + f i)) = (a + b i) . (c + d i) + (a + b i) . (e + f i) ]
a+bi,c+di,e+fi∈Z[i]
Distributivgesetz,
(a + b i) . ((c + d i) + (e + f i)) = (a + b i) . ((c + e) + (d + f) i)
= (a.(c + e) – b.(d + f)) + (a.(d +f} + b.(c + e)) i
= (ac + ae – bd – bf) + (ad + af + bc + be) i
= ((ac – bd) + (ad + bc) i) + ((ae – bf) + (af + be) i)
= (a + b i) . (c + d i) + (a + b i) . (e + f i)
Wegen der Kommutativität braucht nur ein Distributivgesetz bewiesen zu werden.
denn
Die Menge der ganzen Gaußschen Zahlen mit der oben festgelegten Addition und Multiplikation ist
 a b
isomorph zu der Menge der (2,2)-Matrizen ganzer Zahlen der Gestalt
mit der Matrizenaddition
 −b a
und -multiplikation.
Satz 14.1. 2 :
Beweis:
( ZZ[i] , + , • ) ist isomorph zu ( {
a
 −b
b
a
| a,b ∈ ZZ } , + , • )
b
 a b
, ψ–1
= a+bi .
a

 −b a
ψ ist eine eineindeutige Abbildung: Jeder ganzen Gaußschen Zahl a + b i entspricht
Es gibt einen Isomorphismus ψ :
eindeutig eine Matrix
a
 −b
b
a
a
ψ(a + b i) =  −b
und umgekehrt.
a+c
ψ((a + b i) + (c + d i)) = ψ((a + c) + (b + d) i) =  −(b + d)
ψ ist additionstreu:

=
 a b
 −b a
+
 c d
 −d c 
b + d
a + c
= ψ(a + b i) + ψ(c + d i)
ψ ist multiplikationstreu: ψ((a + b i) . (c + d i )) = ψ((ac – bd) + (ad + bc) i)
=
 ac − bd
 −(bc + ad)
ad + bc 
ac − bd
=
a
 −b
b
a
.c
 −d
d
c
=
ψ(a + b i) . ψ(c + d i)
1 4 . 2 Teilbarkeit in ZZ [i]
( ZZ[i] , + , . ) ist kein Körper, denn die Division ist nicht stets ausführbar. Zum Beispiel läßt sich (2 + 3 i)
nicht durch (2 + i) teilen, denn dafür müßte es eine Zahl (x + y i) geben, so daß
bzw.
(2 + i) . (x + y i)
2x – y
x + 2y
4x – 2y
x + 2y
5x
=
=
=
=
=
=
(2 + 3 i)
2
| .2
3
4
3
7
Seite 92
Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
7
5
x =
y =
4
5
Die Lösungen x und y sind aber keine ganzen Zahlen.
Da also die Multiplikation in ( ZZ[i] , + , . ) wie in ( ZZ , + , . ) nicht unbeschränkt umkehrbar ist, also nicht
jede Zahl durch jede teilbar ist, läßt sich in ( ZZ[i] , + , . ) ebenso wie in ( ZZ , + , . ) eine Teilbarkeitslehre aufbauen. Für die ganzen Gaußschen Zahlen sollen im folgenden zur Abkürzung kleine griechische Buchstaben (α, β, γ, δ, ε, η, . . . , ξ, ζ) als Variable geschrieben werden.
∧
Definition 14.2. 1 :
[ α| β
∨
:⇔
α,β∈Z[i]
Beispiele:
aber
Spezialfall:
( α.γ = β) ]
γ ∈Z[i]
1 + i | 2 + 0 i , denn es gibt 1 – i , so daß (1 + i)(1 – i) = (2 + 0 i)
1 + i | 1 – i , denn es gibt 0 – i , so daß (1 + i)(0 – i) = (1 – i)
6 + 3 i | –9 + 48 i , denn es gibt 2 + 7 i , so daß (6 + 3 i)(2 + 7 i) = (–9 + 48 i)
2 + i |/ 2 + 3 i (vgl. oben)
a+0i | b+0i ⇔ a|b
Beweis: a + 0 i | b + 0 i ⇒ es gibt c + d i , so daß (a + 0 i) (c + d i) = (ac + ad i) = b + 0 i
⇒ ac = b ∧ ad = 0 ⇒ es gibt ein c mit ac = b ⇒ a | b
a | b ⇒ es gibt ein c , so daß a c = b
⇒ es gibt c + 0 i mit (a + 0 i) (c + 0 i) = ac + 0 i = b + 0 i ⇒ a + 0 i | b + 0 i
Wegen der Isomorphie zwischen den ganzen Gaußschen Zahlen und den speziellen Matrizen (vgl.
Satz 14.1. 2 ) kann man entsprechende Aussagen über die Teilbarkeit auch für diese Matrizen aus
der Matrizenmenge M = {
Definition 14.2. 1´ :
a
 −b
b
a
∧
| a,b ∈ ZZ } machen.
[
 a b   c d

 ,
 ∈M
 −b a   −d c 
Beispiele:
 1 1  2
|
 −1 1  0
 1 1  1
|
 −1 1  1
6
 −3
3
6
0
,
2
−1
1
−9
|
−
 48
a
 −b
b
a
|
c
 −d
d
c
:⇔
∨
a
 −b
(
 e f

 ∈M
 −f e
denn es gibt
1
1
−1
, so daß
1
 1 1  1
 −1 1  1
, denn es gibt
0
1
−1
, so daß
0
 1 1  0
 −1 1  1
48
,
−9
2
denn es gibt 
−
 7
7
, so daß
2
6
 −3
3
6
−1
1
−1
0
2
 −7
b
a
.e
 −f
=
2
0
0
2
=
1
1
−1
1
7
2
f
e
−9
=
−
 48
=
c
 −d
d
c
)]
48
−9
 2 1 |/  2 3 (vgl. oben)
 −1 2  −3 2
Gibt es auch sonst Zusammenhänge zwischen der Teilbarkeit von ganzen Zahlen und ganzen Gaußschen Zahlen? Für die Untersuchung dieser Frage wird für ganze Gaußsche Zahlen eine Norm eingeführt.
aber
Definition 14.2. 2 :
∧
[ N(α) = (a + b i) (a – b i) = a2 + b2 heißt die Norm von α . ]
α = a + bi∈Z[i]
Man schreibt auch N(α) = || α || = || a + b i ||
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Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
N(α) kann man im Koordinatensystem als das Quadrat der
Entfernung des Punktes α = (a + b i) vom Nullpunkt
interpretieren.
(a|b)
 a b
In der Menge der (2,2)-Matrizen 
 ist die Norm
 − b a
2
a +b
definiert als die Determinante der Matrix.
a b
 a b
= a2 + b2 .
N(α) = det 
 =
−b a
 − b a
∧
b
(0|0)
Für die Norm lassen sich einige Eigenschaften
beweisen.
Satz 14.2. 2 :
2
a
[ N (α•β) = N(α) • N(β) ]
α,β ∈Z[i]
Beweis:
α = a+bi
∧
β = c+di
⇒ αβ = (ac – bd) + (ad + bc) i
.
2
2
N(α β) = (ac – bd) + (ad + bc)
= (ac)2 – 2 a c b d + (bd)2 + (ad)2 + 2 a d b c + (bc)2
= a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2
= (a2 + b2) (c2 + d2)
= N(α) . N(β)
∧
Satz 14.2. 3 :
[ α| β
⇒ N(α) | N(β) ]
α,β ∈Z[i]
Beweis:
Gibt es für α , β ∈ZZ[i] ein γ ∈ ZZ[i] mit α γ = β , so gilt α | β .
Nach Satz 14.2. 2 gilt dann die Gleichung
N (α•γ) = N(α) • N(γ) = N(β) , also N(α) | N(β) .
Satz 14.2. 4 :
Beweis:
Die Teilbarkeitsrelation in ZZ[i] ist reflexiv und transitiv, aber nicht
antisymmetrisch. Sie ist daher keine Ordnungsrelation in ZZ[i] .
1. α | α , denn es gibt (1 + 0 i) mit α . (1 + 0 i) = α
2. α | β ∧ β | γ ⇒
[ αδ = β ] ∧
[ βη = γ ]
⇒
∨
∨
∨
δ∈Z[i]
[ αδη = γ ]
η∈Z[i]
⇒
α|γ
δη∈Z[i]
3. Gegenbeispiel für die Antisymmetrie
1 + i | –1 – i ∧ –1 – i | 1 + i ,
denn
(1 + i) (–1 + 0 i) = –1 – i
und (–1 – i) (–1 + 0 i) = 1 + i ,
aber (1 + i) ≠ (–1 – i)
i
1+i
1
-1-i
Ist α ≠ (0 + 0 i) ∧ β ≠ (0 + 0 i) ∧ α | β ∧ β | α , so gibt es ein γ und ein δ
mit α γ = β und ∧ β δ = α.
α γ δ = αα
Demnach folgt
und damit γ δ = 1 + 0 i .
γ und δ müssen nicht gleich dem Einselement 1 + 0 i sein, sie müssen nur Teiler von 1 + 0 i sein.
In ZZ sind die einzigen Teiler von 1 die Zahlen 1 und –1 . Wie ist es in ZZ[i], welche ganzen
Gaußschen Zahlen sind Teiler von 1 + 0 i ?
Seite 94
Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
Definition 14.2. 3 :
Eine ganze Gaußsche Zahl
ε mit der Eigenschaft ε | 1 + 0 i heißt eine Einheit
von ZZ[i].
Ist
ε eine Einheit von ZZ[i] , also ε | 1 + 0 i , so muß wegen Satz 14.2. 3 N(ε) | N(1 + 0 i) sein, das
x2 + y2 | 1 , und da die Summe zweier Quadrate ganzer Zahlen stets positiv ist
x2 + y2 = 1
Diese Gleichung hat die folgenden Lösungen in ZZ :
x = 1
y = 0
x = –1
y = 0
x = 0
y = 1
x = 0
y = –1
heißt
Die Menge aller Einheiten in ZZ ist demnach
oder kurz geschrieben
ε1 = 1
ε3 = –1
Es wird gesetzt
E = { 1 + 0 i, –1 + 0 i, 0 + 1 i, 0 – 1 i }
E = { 1 , –1 , i , –i }
ε2 = i
ε4 = –i
ε2= i
Die Menge der Einheiten bildet bezüglich der Multipliklation eine
Gruppe.
Satz 14.2. 5 :
( { 1 , –1 , i , –i } , • ) bildet eine Gruppe.
ε3 = -1
Beweis: Die Verknüpfungstafel zeigt die Abgeschlossenheit, die
Existenz eines Einselementes, nämlich ε1 , und die eindeutige
Lösbarkeit einer jeden Gleichung.
•
ε1
ε2
ε3
ε4
ε1
ε2
ε3
ε4
ε1
ε2
ε3
ε4
ε2
ε3
ε4
ε1
ε3
ε4
ε1
ε2
ε4
ε1
ε2
ε3
Folgerung:
Beweis:
Definition 14.2. 4 :
ε1 =1
ε4 = -i
α und β heißen zueinander assoziiert.
:⇔
ε ist Einheit ∧ α = ε • β .
α = ε1 • α , ε2 • α , ε3 • α , ε4 • α sind alle zu α assoziierten
Elemente aus ZZ[i] .
Alle zueinander assoziierten ganzen Gaußschen Zahlen haben dieselbe Norm.
∧
ν∈{1, 2, 3, 4}
[ N(εν • α) = N(εν) . N(α) = 1 . N(α) = N(α) ] wegen Satz 14.2. 2
Die zueinander assoziierten ganzen Gaußschen Zahlen liegen im
Koordinatensystem jeweils auf einem Kreis um den Nullpunkt. Sie
entstehen aus einer ganzen Gaußschen Zahl durch wiederholte
Multiplikation mit i . Das heißt: Da i den Betrag 1 hat (bzw. nach der obigen
Folgerung) ist der Abstand der vier zueinander assoziierten ganzen
Gaußschen Zahlen vom Nullpunkt der gleiche und zum Winkel ϕ der
ganzen Gaußschen Zahl wird jeweils 90° dazu addiert.
ε2 α
α
ϕ
ε3α
ε4 α
1 4 . 3 Primzahlen in ZZ [i]
Jede ganze Gaußsche Zahl ist durch jede Einheit und durch jede ihrer Assoziierten teilbar. Deswegen
muß die Definition von Primelementen von ZZ[i] etwas anders erfolgen als bei der Menge IN.
Definition 14.3. 1 :
∧
[ α heißt Gaußsche Primzahl
α∈Z[i]
:⇔
Tα = { ε1 , ε2 , ε3 , ε4 , ε1α , ε2α , ε3α , ε4α } ]
Seite 95
Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
Man könnte dies auch so formulieren: Eine ganze Gaußsche Zahl heißt Gaußsche Primzahl, wenn sie
genau 8 Teiler hat.
Einen Zusammenhang zwischen Gaußschen Primzahlen und der Primzahleigenschaft ihrer Norm
stellt der folgende Satz her:
∧
Satz 14.3. 1 :
[ N(α) prim in IN
⇒
α prim in ZZ[i] ]
α∈Z[i]
N(α) prim in IN ∧ α = β γ mit β,γ ∈ZZ[i] ⇒ N(α) = N(β) . N(γ)
⇒ N(β) = 1 ∨ N(γ) = 1
⇒
β ∈ { ε1 , ε2 , ε3 , ε4 } ∨ γ ∈ { ε1 , ε2 , ε3 , ε4 }
Beweis:
Es gilt jedoch nicht
∧
[ α prim in ZZ[i]
⇒ N(α) prim in IN ] , wie ein Gegenbeispiel zeigt:
α∈Z[i]
α = 3 + 0 i ist prim in ZZ[i] , denn wäre α = 3 + 0 i = β γ = (b1 + b2 i ) (c1 + c2 i ) zerlegbar, dann müßte
N(α) = N(3 + 0 i ) = 9 = N(β) . N(γ) und, da weder β noch γ eine Einheit sein soll, es müßte gelten
N(β) = 3 ∨ N(γ) = 3 sein, also b12 + b22 = 3 ∨ c12 + c22 = 3 . Die Summe zweier Quadrate ganzer Zahlen kann aber nie 3 sein. Das heißt: Es gibt keine Zerlegung von 3 + 0 i außer in Einheiten
und Assoziierte. Folglich ist 3 + 0 i prim inZZ[i]. Es ist aber N(α) = 9 nicht prim in IN.
Ist ( p + 0 i ) eine Gaußsche Primzahl, wenn p eine Primzahl in IN ist? Das ist offensichtlich nicht der
Fall, denn es ist zum Beispiel 5 + 0 i = ( 2 + i ) ( 2 – i ) , wobei 2 + i und 2 – i keine Einheiten oder
Assoziierte von 5 + 0 i sind. Für bestimmte Primzahlen p aus IN ist jedoch p + 0 i eine Gaußsche
Primzahl.
Satz 14.3. 2 :
∧
[ p ≡ 3 (mod 4)
⇒ p + 0 i prim in ZZ[i] ]
p∈P
Beweis: durch Kontraposition
α = p + 0 i nicht prim in ZZ[i]
⇒
α = β γ mit β,γ ∉ { ε1 , ε2 , ε3 , ε4 }
p2 = N(p + 0 i ) = N(α) = N(β) . N(γ)
⇒
N(β) = p ∧ N(γ) = p ,
also oBdA etwa b12 + b22 = p
Nun gilt aber
[ x2 ≡ 0 (mod 4) ∨ x2 ≡ 1 (mod 4) ] ,
∧
x∈Z
also b12 + b22 ≡ 0 (mod 4) ∨ b12 + b22 ≡ 1 (mod 4) ∨ b12 + b22 ≡ 2 (mod 4)
und damit p = b12 + b22 ≡| 3 (mod 4).
Man kann zeigen, daß es in der Restklasse R4(3) unendlich viele Primzahlen gibt. Dann folgt der
Satz 14.3. 3 :
Es gibt unendlich viele Gaußsche Primzahlen.
Wie schon oben verwendet, gibt es keine ganze Gaußsche Zahl α mit N(α) ≡ 3 (mod 4) . es muß
aber auch zu anderen Zahlen a ≡| 3 (mod 4) keine ganzen Gaußschen Zahlen α mit N(α) = a
geben. So gibt es beispielsweise keine ganzen Gaußschen Zahlen mit den Normen 6, 12, 14, 15, weil
sich diese Zahlen nicht als Summe von Quadraten zweier ganzer Zahlen darstellen lassen. Von den
Zahlen zwischen 2 und 15 können also nur die Zahlen 2, 4, 5, 8, 9, 10 und 13 als Normen auftreten.
Zu jeder dieser Normen lassen sich alle zugehörigen ganzen Gaußschen Zahlen bestimmen, wie die
folgende Tabelle zeigt, in der immer nur eine der vier Assoziierten aufgenommen ist.
N(α)
α
Gaußsche Primzahl
Begründung
2
1+i
ja
N(α) prim in IN
4
2+0i
nein
2 = (1 + i) (1 – i)
5
2+i
ja
N(α) prim in IN
1+2i
ja
8
2+2i
nein
2 + 2 i = (1 + i) (2 + 0 i)
9
3+0i
ja
nach Satz 14.3. 2
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Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
10
3+i
1+3i
3+2i
2+3i
13
nein
nein
ja
ja
3 + i = (1 + i) (2 – i)
1 + 3 i = (1 + i) (2 + i)
N(α) prim in IN
Kann man die ganzen Gaußschen Zahlen in Produkte von Gaußschen Primzahlen zerlegen und wenn
ja, sind diese Zerlegungen eindeutig? Gibt es also in ZZ[i] einen Satz, der dem Fundamentalsatz der
Zahlentheorie entspricht?
Zunächst Beispiele dazu:
2 + 0 i = (1 + i) (1 – i)
2 + 0 i = (1 – i) (1 + i)
(1 + i) und (1 – i) sind Gaußsche Primzahlen.
Diese Zerlegung unterscheidet sich von der obigen nur durch die
Reihenfolge der Faktoren.
Diese Faktoren sind Gaußsche Primzahlen; sie entstehen aus den
obigen durch Multiplikation mit einer der Einheiten 1, –1, i, –i.
2 + 0 i = (–1 – i) (–1 + i)
2 + 2 i = (1 + i) (2 + 0 i) = (1 + i) (1 + i) (1 – i)
3 + i = (1 + i) (2 – i)
Auch bei diesen Primfaktorzerlegungen kann man andere finden, die
1 + 3 i = (1 + i) (2 + i)
sich von der ersten durch die Reihenfolge unterscheiden oder die aus
aus der ersten durch Multiplikation der Faktoren mit einer Einheit
hervorgehen.
Satz 14.3. 4 :
∧
[ Ist N(α) > 1 , so läßt sich α als Produkt von endlich vielen Gaußschen
α∈Z[i]
Primzahlen darstellen. Diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge und bis auf
Faktoren aus { ε1 , ε2 , ε3 , ε4 } eindeutig. ]
Der Beweis dieses Satzes, der analog zum Beweis das Fundamentalsatzes in ZZ geführt werden
kann, erfordert noch den Begriff des ggT in ZZ[i] und dessen Eigenschaften.
Satz 14.3. 5 :
∧
[ α≠0+0i
∧ β ≠0+0i ⇒
α,β,γ ∈Z[i]
(1)
∧
∧
Definition 14.3. 2 :
∧
∨
( δ|α
∧ δ | β)
δ∈Z[i]
(2)
(3)
γ|α ∧ γ|β ⇒ γ|δ
Haben δ1 und δ2 die Eigenschaften (1) und (2),
so sind δ1 und δ2 zueinander assoziiert. ]
[ δ heißt ein größter gemeinsamer Teiler von α und β
α,β,δ∈Z[i]
:⇔
δ besitzt die Eigenschaften (1) und (2) aus Satz 14.3. 5 . ]
Mit einer Zahl δ ist auch jede zu ihr assoziierte Zahl ein größter gemeinsamer Teiler von α und β .
Man kann aus den vier größten gemeinsamen Teilern einen auszeichnen und als den größten
gemeinsamen Teiler bezeichnen.
Definition 14.3. 3 :
∧
[ δ = d1 + d2 i heißt der größte gemeinsame Teiler von α und β
α,β,δ∈Z[i]
:⇔
δ = d1 + d2 i ist ein größter gemeinsamer Teiler von α und β
∧ d1 > 0 ∧ d2 ≥ 0 ]
Mit Hilfe einer Division mit Rest und eines Euklidischen Algorithmus läßt sich in ZZ[i] genau wie in ZZ
die Berechnung des größten gemeinsamen Teilers durchführen.
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Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
Beispiel:
ggT( (3 + 5 i), (7 + 11 i) )
7 + 11 i = (2 + 0 i) (3 + 5 i) + (1 + i)
3 + 5 i = (4 + i) (1 + i)
ggT( (3 + 5 i), (7 + 11 i) ) = 1 + i
Mit der Division mit Rest läßt sich der Satz 14.3. 5 beweisen.
Mit dem Satz 14.3. 2 ist klar, daß eine Primzahl p mit p ≡ 3 (mod 4) sich nicht als Summe von zwei
Quadratzahlen schreiben läßt. Anders ist es mit Primzahlen p mit p ≡ 1 (mod 4) . Mit Hilfe der ganzen
Gaußschen Zahlen kann man zeigen, daß diese Primzahlen als Summe zweier Quadratzahlen geschrieben werden können.
∧
Satz 14.3. 6 :
[ p ≡ 1 (mod 4)
⇒
p + 0 i ist nicht prim in ZZ[i] ]
p ∈P
Beweis:
p ≡ 1 (mod 4)
∧ g sei eine primitive Kongruenzwurzel (mod p)
p–1
4 ,
Setzt man a = g
a2 ≡
p–1
g2
p–1
2
a2 = g
so ist
≡ – 1 (mod p)
und es gilt die Kongruenz
nach dem Beweis von Satz 11.3. 3 (von Wilson)
⇒
und
= (a + i) (a – i)
⇒ p + 0 i | (a + i) (a – i)
Weitere Beweisführung indirekt
Angenommen p + 0 i wäre eine Gaußsche Primzahl
⇒ 1. Fall:
p + 0 i | (a + i) ∨ 2. Fall: p + 0 i | (a – i)
⇒ im 1. Fall
(p + 0 i ) ( u + v i ) = p u + p v i = (a + i)
p | a2 + 1
a2 + 1 +0 i
∨
∨
u + vi∈Z[i]
⇒
⇒
pv = 1 ⇒
im 2. Fall
p = ±1 Widerspruch zur Primzahleigenschaft von p
(p + 0 i ) ( u + v i ) = p u + p v i = (a – i)
u + vi∈Z[i]
⇒
⇒
Satz 14.3. 7 :
p v = –1 ⇒
p = ±1 Widerspruch zur Primzahleigenschaft von p
p + 0 i ist keine Gaußsche Primzahl
∧
[ p ≡ 1 (mod 4)
p ∈P
Beweis:
∨
( p = a12 + a22 ) ]
a1 , a 2 ∈IN
p ≡ 1 (mod 4)
⇒
⇒
⇒
⇒
∨
⇒ p + 0 i ist keine Gaußsche Primzahl (nach Satz 14.3. 6
[ α ist keine Einheit ∧ β ist keine Einheit ∧ p + 0 i = α . β ]
α,β ∈Z[i]
p2 = N(p + 0 i)
= N(α . β) = N(α) . N(β)
mit N(α) ≠ 1 ∧ N(β) ≠ 1
N(α) = p ∧ N(β) = p
(was bedeutet, daß α und β prim in ZZ[i] sind.)
[ α = a1 + a2 i ∧ N(α) = a12 + a22 = p ]
∨
α∈Z[i]
Beispiele:
⇒
5 ≡ 1 (mod 4) ⇒
∨
∨
( 5 = a12 + a22 ) , nämlich 5 = 22 + 12
a1 , a 2 ∈IN
13 ≡ 1 (mod 4) ⇒
( 13 = a12 + a22 ) , nämlich 13 = 32 + 22
a1 , a 2 ∈IN
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Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
Anhang 1: Übungsaufgaben
Zur Lösung der Aufgaben können Sie stets MAPLE zu Hilfe nehmen, wenn es nicht ausdrücklich
anders vermerkt ist. Soweit Beweise gefordert sind (Zeigen Sie . . ., Beweisen Sie . . .), genügt
natürlich die Berechnung mit MAPLE nicht.
1. Prüfen Sie, ob p = n2 + n + 41 für n = 38 oder für n = 43 Primzahl ist.
n
2. Berechnen Sie Fn = 22 + 1 (Fermatsche Zahlen) für n = 6 und n = 7 und prüfen Sie, ob F6
bzw. F7 eine Primzahl ist.
3. Wie groß ist π(n) (die Anzahl der Primzahlen) unterhalb von 8000 ?
Es ist π(1) = 0; π(10) = 4; π(100) = 25; π(1000) = 168; π(1010) = 455 052 512.
Skizzieren Sie in einem geeigneten Koordinatensystem ein Schaubild der Funktion x →
π(x)
x
.
Suchen Sie eine Ihnen aus der Schulmathematik bekannte Funktion, deren Graph einen
ähnlichen Verlauf hat.
4. Bestimmen Sie für die folgenden Werte von a die Teilermenge Ta und zeichnen Sie jeweils das
Teilerdiagramm.
a = 55, 95, 198, 1095912791.
5. Bestimmen Sie für die folgenden Werte von a unter Ausnutzung des Satzes “Ist d | a , dann ist
d≤ 
√ a oder ad ≤ √a ” die Teilermenge Ta und zeichnen Sie jeweils das Teilerdiagramm.
a = 2048, 3100, 672.
a
6. Bestimmen Sie alle Paare komplementärer Teiler von a, also alle Paare ( d , d ) mit d | a für die
Zahlen in Aufgabe 4.
7. Mit τ(a) wird die Anzahl der verschiedenen positiven Teiler von a (für a ∈ IN) bezeichnet.
Beweisen Sie, daß τ(a) genau dann ungerade ist, wenn a eine Quadratzahl ist. Hinweis:
Betrachten Sie die Paare komplementärer Teiler.
8. Beweisen Sie:
∧
[d|a ∧
∧
[a|b
a,b,d∈Z
9. Beweisen Sie:
a,b,n∈IN*
10. Beweisen Sie:
∧
ai,bi∈IN
[
∧
{
d | b ⇒ d2 | ab ]
⇒ an | bn ]
i∈ 1, 2,..., k }
ai | bi ⇒
k
k
i=1
i=1
∏ ai | ∏ bi ]
11. Welche der folgenden Behauptungen sind falsch?
a)
[ a > b ⇒ a |/ b ]
b)
∧
∧
a,b∈Z
c)
a,b∈Z
[ a|b
12. Untersuchen
a) a vor b
b) a vor b
c) a vor b
d) a vor b
⇒ a≤b
]
d)
∧
∧
a,b∈Z
a,b∈Z
[ a≤b
⇒ a|b
[ a|b ∧
]
a≤b ⇒ a =b
]
Sie, ob eine Ordnungsrelation “vor” vorliegt.
⇔ a≤b ∧ 2|a–b
⇔ Stellenzahl von a höchstens gleich Stellenzahl von b
⇔ | a – b | ≤ 1000
⇔ 10 < | a + b |
13. Die Summe Q(a) der Ziffern der natürlichen Zahl a (im Dezimalsystem geschrieben) heißt
Quersumme von a. In IN wird eine Relation R erklärt durch
a R b ⇔ Q(a) = Q(b)
Zeigen Sie, daß R eine Äquivalenzrelation ist.
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Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
14. Zeigen Sie: Die ganzen Zahlen sind archimedisch geordnet, daß heißt
∧ ∨
a,b∈IN* n∈IN*
[
na > b
]
Hinweis: Man betrachte die Differenzen b – na und verwende den Wohlordnungssatz.
15. Beweisen oder widerlegen Sie:
a)
[ ac | bc ⇒ a | b ]
∧
∧
∧
∧
e)
a,b,c∈Z
b)
a,b,c∈Z
c)
a,b,c∈Z
d)
a,b,c∈Z
∧
∧
∧
∧
a,b,c,d∈Z
[ a|b ∧
a | c ⇒ a2 | b c ]
f)
[ a|b ∧
a | c ⇒ 2a | b c ]
g)
[ a|b ∧
3a | c ⇒ 3a | b c ]
h)
a,b,c∈Z
[ a|c ∧
b|d ⇒ a+b| b+c]
[ a | bc ∧
a |/ b ⇒ a | c ]
[ a|c ∧
b | c ⇒ ab | c ]
[ a|c ∧
b|c ⇒ a–b| c]
a,b,c∈Z
a,b,c∈Z
16. Beweisen oder widerlegen Sie:
[ q ≠ 0 ∧ ggT(p,q) = 1 ⇒ ggT(q–p,q) = 1 ]
∧
p,q∈Z
Dies bedeutet: Wenn
p
q
ein ausgekürzter Bruch ist, dann ist auch
q–p
q
ein ausgekürzter Bruch.
17. Läßt sich der Beweis des Satzes von Euklid auch durchführen, wenn man a definiert durch
a) a = p1 . . . . . pr – 1
b) a = p1 . . . . . pr + 2
?
Wenn ja, führe man die Beweise durch. Wie sehen jeweils die “ersten fünf gebildeten Zahlen”
aus?
( p1 – 1, p1 . p2 – 1, . . . , p1 . p2 . . . . . p5 – 1
bzw.
.
.
.
.
p1 + 2, p1 p2 + 2, . . . , p1 p2 . . . p5 + 2
)
18. Bestimmen Sie mit Hilfe des Siebes des Eratosthenes alle Primzahlen p mit p < 500.
19. Zeigen Sie, daß es außer ( 3 , 5 , 7 ) keine Primzahldrillinge ( p , p+2 , p +4 ) mit p, p+2, p+4 aus
der Menge der Primzahlen geben kann. Hinweis: Untersuchen Sie für p > 3 die Teilbarkeit des
Tripels durch 3.
20. Beweisen Sie:
∧
a,b,n∈IN*
[
a | b ⇔ an | bn
]
21. Beschreiben Sie jeweils die Menge aller Zahlen a, deren Teilerfunktion τ(a) den angegebenen
Wert hat: a) τ(a) = 1
b) τ(a) = 2
c) τ(a) = 3
d) τ(a) = 5
e) τ(a) = 7
f) τ(a) = 8
22. Bilden Sie die Menge aller Zahlen mit genau 8 Teilern, deren größter Primfaktor
a) höchstens gleich 3 ist.
b) höchstens gleich 7 ist.
c) höchstens gleich 11 ist.
d) höchstens gleich 13 ist.
23. Beweisen Sie, daß es keine natürliche Zahl mit genau 20 Teilern und genau 4 verschiedenen
Primfaktoren gibt.
24. Zeigen Sie: Für n ≥ 2 sind alle n – 1 Zahlen
n! + 2 , n! + 3 , n! + 4 , . . . , n! + n nicht prim.
n−1
(Definition für n-Fakultät: n! =
∏ (1+ i)
). Es gibt also beliebig große Primzahllücken in der Liste
i=0
der natürlichen Zahlen. Geben Sie eine solche Lücke der Länge 8 an.
25. Zeigen Sie: Für alle ungeraden natürlichen Zahlen gilt 8 | m2 – 1 .
m
26. Zeigen Sie: Für alle ungeraden natürlichen Zahlen m gilt
a) m |
∑i
i=1
Seite 100
m
b)
m2 |
∑ i3 .
i=1
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27. Zeigen Sie: Für alle natürlichen Zahlen n gilt 23 | 852n – 1 .
28. Zeigen Sie: Für alle ungeraden natürlichen Zahlen n gilt 671 | 77777n + 59n .
29. Welche Primzahlen muß man höchstens kennen, um zu entscheiden, ob 23 456 789 eine
Primzahl ist?
30. Bis zu welcher oberen Schranke muß man die Teiler von 5000 bestimmen, um mit Hilfe der
Komplementärteiler alle Teiler zu bestimmen?
∧
31. Beweisen Sie:
a,p,n∈IN*
∧
32. Zeigen Sie:
[
a,b∈IN*
[
p ist Primteiler von a ⇔ p ist Primteiler von an
√a + √ b ∈ ZZ
∧
33. Zeigen Sie:
∨
[
a,b∈IN*
(p|a
p∈P
√a + √ b ∈ IR \ Q| ] .
∨
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, daß die Zahl
erfüllt und wenden dann den Satz an.
]
√ a + √ b die Gleichung x4 - 2 (a + b) x2 + (a - b)2 = 0
∧ p |/ b ) ⇒ logb a ∈ IR \ Q| ] .
34. Es sei H = { 4 n + 1 | n ∈ IN } . Eine Zahl aus H heiße Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler hat.
Bestimmen Sie die ersten 12 zusammengesetzten Zahlen in H. (Zum Beispiel: Man bildet die
Produkte der ersten Primzahlen in H.)
|
35. Es sei G = { 5 n + a
n ∈ IN }. Für welche a ∈ { 0, 1, 2, 3, 4 } ist G multiplikativ abgeschlossen?
36. In der Menge G = { 5 n + a | n ∈ IN } heißt eine Zahl Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler hat.
Bestimmen Sie die ersten 15 Primzahlen in G, die nicht auch Primzahlen in IN sind.
∧
37. Beweisen Sie:
a,b∈Z
38. Zeigen Sie:
∧
a,b∈IN*
39. Beweisen Sie:
∧
∧
∧
[ 10 | a + b ⇒ a2 ≡ b2 (mod 10) ]
[ a=
/ b ⇒ 3|a+b ∨ 3|a -b ∨ 3|a.b ]
[ 9 |/ n2
n∈IN*
40. Beweisen Sie:
u∈IN*
41. Beweisen Sie:
[
⇒
n2 ≡ 1 (mod 3) ]
u ≡ 1 (mod 2)
⇒
8 | u2 - 1 ]
[ 6 | n (n + 1 ) (2n + 1) ]
n∈IN*
Hinweis zu den Aufgaben 40 und 41: Beweisen Sie durch vollständige Induktion oder mit Hilfe
von Kongruenzen.
42. Stellt die Durchschnittsmenge D = R5(1)
Wenn ja, welche, wenn nein warum nicht?
∩ R6(1) eine Restklasse zu irgendeinem Modul dar?
43. Welche der folgenden Mengen sind Restsysteme modulo 7 ?
A = { 2, 12, 17, 56, 84, 102, 110 } , B = { 19, 11, 24, - 5, 36, 70, 146 } , C = { 0, 3, 5, 7, 9, 11, 13 }
44. In welche Restklassen modulo 15 zerfallen die Restklassen R2(0), R3(2), R5(1) ?
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∧
45. Zeigen Sie:
a,b,c,d,e,f,g,h∈Z
[ a ≡ e (mod m)
⇒
46. Beweisen oder widerlegen Sie:
∧ b ≡ f (mod m) ∧ c ≡ g (mod m) ∧ d ≡ h (mod m)
ab + cd ≡ ef + gh (mod m) ]
∧
a,b,c∈Z
[ ac ≡ bc (mod m) ⇒ a ≡ b (mod m) ]
Falls der Satz nicht gilt, geben Sie eine einschränkende Bedingung an, so daß die Gültigkeit
gegeben ist.
47. Beweisen oder widerlegen Sie:
∧
a∈Z
[ a2 ≡ 0 (mod 4) ∨ a2 ≡ 1 (mod 8) ]
48. Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgabe 47, daß es keine Zahl aus R8(7) gibt, die gleich einer Summe
von drei Quadratzahlen ist.
49. Beweisen oder widerlegen Sie:
∧
a∈Z
50. Zeigen Sie:
∧
[ d|m
a,b,d,m∈IN*
[ a3 ≡ a (mod 3)
∧ a5 ≡ a (mod 5) ]
∧ a ≡ b (mod m) ⇔ ( d | b ⇒ d | a ) ]
51. Bei dem Abzählvers “ich und du, Müllers Kuh, Müllers Esel, das bist du” endet der Vers bei d im
Kreis stehenden Kindern genau dann bei dem Kind, bei dem er angefangen hat, wenn d | 12 ist.
Beweisen oder widerlegen Sie diese Aussage.
52. Suchen Sie eine Gewinnstrategie für das folgende Steichholzspiel: “Von n Streichhölzern nehmen zwei Spieler abwechselnd 1, 2 oder 3 Stück weg. (Man muß mindestens ein Streichholz
und darf höchstens drei Streichhölzer nehmen.) Wer das letzte Streichholz nehmen muß, verliert.” Beweisen Sie ihre Gewinnstrategie.
53. Bestimmen Sie jeweils die letzte Ziffer der Zahlen 7255 und 91617 .
54. In ( IN , + , . ) sei eine Quersummenrelation Q erklärt durch:
Q(a,b) :⇔ Quersumme von a = Quersumme von b.
a) Zeigen Sie:
Q(a,b) ist eine Äquivalenzrelation in IN.
b) a bezeichne die Äquivalenzklasse von a ∈ IN.
. für Äquivalenzklassen
Untersuchen Sie, ob die Addition ⊕ und die Multiplikation O
unabhängig vom Vertreter sind (d. h. wohldefiniert sind), wenn
. b := a.b .
a ⊕ b := a+b
a O
55. Bestimmen Sie alle vierelementigen Teilmengen von { 2, 3, 4, 6, 9 } , welche
a) aus teilerfremden Zahlen
b) aus paarweise teilerfremden Zahlen
bestehen.
56. Berechnen Sie mit dem Euklidischen Algorithmus den ggT(r,s) für
a) r = 230 , s = 86 b) r = 86 , s = 321 c) r = 1479 , s = 2574 d) r = 10353 , s = 18018
57. Berechnen Sie
a) ggT( 57, 86, 230, 1456 )
b) ggT( 1479, 2574, 10353, 18018 )
58. Geben Sie für die in Aufgabe 57 berechneten ggT jeweils eine Vielfachsummendarstellung an.
59. Geben Sie mehrere Vielfachsummendarstellungen für a) ggT(299,247) b) ggT(352,105)
60. Beweisen oder widerlegen Sie:
∧
a∈Z
[ ggT(a,6) = 1 ⇒ a2 ≡ 1 (mod 24) ]
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an.
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61. Zeigen Sie:
a)
b)
62. Zeigen Sie:
∧
63.
a,b∈Z
a)
∧
ai∈Z
¬
∧
i,j∈{1,2,3,...,n}
∧
ai∈Z
∧
ai∈Z
∧
[ Es gibt mindestens ein Paar (ai,aj) mit ggT(ai,aj) = 1
⇒ ggT( a1, a2, a3, . . . , an ) = 1 ]
[ n ≥ 3 ∧ ggT( a1, a2, a3, . . . , an ) = 1 ⇒ ggT(ai,aj) = 1 ]
i,j∈{1,2,3,...,n}
∧
∧
i,j∈{1,2,3,...,n} d∈IN*
[ ggT(da1,da2,da3, . . . ,dan) = d.ggT( a1, a2, a3, . . . , an ) ]
[ a heißt genauer Teiler von b (in Zeichen a || b ) : ⇔ a | b
∧ ggT( a, ba ) = 1 ]
Bestimmen Sie alle genauen Teiler von 360 .
64. Beweisen Sie für die genaue Teilbarkeit in IN* (vgl. Aufgabe 63):
(1)
[ a || a ]
(2)
[ a || b ∧ b || a ⇒ a = b ] (3)
∧
∧
a∈IN*
a,b∈IN*
∧
[ a || b
a,b,c∈IN*
∧ b || c ⇒ a || c
]
65. Zeigen Sie: Ist a2 x + b x = a mit x,y ∈ZZ und ggT(a,y) = 1 , so ist a || b .
66. ( a, b ) bezeichne den größten Teiler von a, der genauer Teiler von b ist. Zeigen Sie, daß im
*
allgemeinen ( a, b ) ≠ ( b, a ) .
*
*
67. Es sei definiert:
∧
a,b∈IN
[ a € b = ggT(a,b) ] .
Prüfen Sie, ob diese Verknüpfung € in IN assoziativ oder kommutativ ist. Hat die Verknüpfung
ein neutrales Element, wenn ja, welches? Gibt es bezüglich der Verknüpfung € invertierbare
Elemente, wenn ja, welche? Ist ( IN , + , € ) ein Ring, ein Körper?
68. Die vier Stockwerke eines Hauses sind 3,04 m, 2,72 m, 2,56 m und 2,40 m hoch. Die Treppe,
die alle vier Stockwerke miteinander verbindet, soll Treppenstufen von gleicher und zugleich
maximaler Höhe haben. Wieviele Stufen hat jeweils die Treppe zwischen den Stockwerken?
69. Für alle a,b ∈ IN* gilt (mit den Bezeichnungen wie beim Euklidischen Algorithmus, vgl. Definition
4.2. 1 ):
a
r
1
1
= n+
= n+
= n+
= ....
b
b
r1
1
n1 +
n1 +
r
r
n2 + 2
r1
Setzt man diese Entwicklung bis zum Rest rn fort, so erhält man die Kettenbruchentwicklung der
17
757
rationalen Zahl ab . Bestimmen Sie die Kettenbruchentwicklung für 10 und 61 .
70. Bestimmen Sie:
a) kgV(210,78)
b) kgV(1369,2497)
c) kgV (123456,987654432)
71. Bestimmen Sie:
a) kgV(6,9,15,21)
b) kgV(11,12,13,14)
c) kgV(31,42,54,65,76)
72. Zeigen Sie: Im allgemeinen ist kgV(a,b,c) . ggT(a,b,c) ≠ a.b.c (für a,b,c ∈ IN*).
73. Bestimmen Sie unter der Annahme, daß p, q, r und s voneinander verschiedene Primzahlen
sind:
a) kgV( pq, p2 )
b) kgV( pq, rs )
c) kgV( p3 q2 r, p q2 r3 )
74. Beweisen Sie:
a)
∧
[ kgV( a, ggT(a,b) ) = a ]
a,b∈IN*
b)
∧
a,b∈IN*
Seite 103
[ ggT( a, kgV(a,b) ) = a
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75. Beweisen Sie:
a)
∧
∧
[
kgV( a, ggT(b,c) ) = ggT(kgV(a,b),kgV(a,c)
]
[ ggT( a, kgV(b,c) ) = kgV(ggT(a,b),ggT(a,c)
]
a,b,c∈IN*
b)
a,b,c∈IN*
∧
76. Es sei definiert:
a,b∈IN
[ a € b = kgV(a,b) ] .
Prüfen Sie, ob diese Verknüpfung € in IN assoziativ oder kommutativ ist. Hat die Verknüpfung
ein neutrales Element, wenn ja, welches? Gibt es bezüglich der Verknüpfung € invertierbare
Elemente, wenn ja, welche? Ist ( IN , + , € ) ein Ring, ein Körper?
77. Beweisen Sie: m ist genau dann eine Primzahl, wenn in ℜm gilt: i ⊗ j = 0 ⇒ i = 0 ∨ j = 0 .
78. Für welche m ∈ IN* gilt:
a) In ℜm ist 6 ⊕ 9 = 3
79. Zeigen Sie: In ℜ3 gilt ( i ⊕ j )3 = i
3 ⊕j 3
b) In ℜm ist 6 ⊗ 9 = 3
mit der Definition der Potenz
x
3
= x ⊗ x ⊗x .
80. Beweisen Sie:
a)
[ ( Rm(0), + ) ist eine Untergruppe von (ZZ , + ) ]
∧
b) ∧
c) ¬ ∨
m∈IN*
m∈IN*
[ ( Rm(a), + ) ist genau dann eine Untergruppe von (ZZ , + ) , wenn a ≡ 0 (mod m). ]
m∈IN*
[ ( IN* ∩ Rm(0), + ) ist eine Untergruppe von (ZZ , + ) ]
∧
81. Zeigen Sie:
[ Die Multiplikation . ist genau dann eine algebraische (oder innere)
m∈IN*
82. Beweisen Sie:
Verknüpfung in Rm(a), wenn a2 ≡ a (mod m) ist. ]
∧
m∈IN*
[ ( Rm(0) , + , . ) ist ein kommutativer Ring. ]
Besitzt dieser Ring ein Einselement?
83. Schreiben Sie die Zahl 10010 in b -adischer Darstellung für b = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 100.
84. Geben Sie die folgenden Zahlen in dekadischer Schreibweise an: 758, 7812 und 7220.
85. Geben Sie die folgenden Zahlen in dekadischer Schreibweise an: 111112, 111100 und 11114.
86. Berechnen Sie das Produkt 21α812 . β47012 im Zwölfersystem. ( α Ziffer 10, β Ziffer 11)
87. Wieviele neunstelligen Zahlen in 4-adischer Darstellung gibt es? (Begründung!) Nennen Sie die
größte und die kleinste dieser Zahlen im Zehnersystem.
88. Bestimmen Sie alle Zahlen b ∈ IN*\{1}, so daß die b-adische Zifferndarstellung von 117256
genau sechsstellig wird. Geben Sie dann alle diese b-adischen Zifferndarstellungen an.
89. a) Berechnen Sie
(1) 44356 . 2346
(2) 1057358 : 258
b) Bestimmen Sie x ∈ IN so, daß gilt 216 . 4x26 = 135126
(3) 374βα12 + ααα12
90. a) Beweisen oder widerlegen Sie
(1) 126 | 5021343046
(2) 126 | 30423246
b) Bestimmen Sie alle Zahlen (a2a1a0)6 derart, daß gilt (213)6 | (52044a2a1a0 )6.
91. Geben Sie zwei verschiedene Basen b an, so daß aufgrund einer Endstellenregel gilt:
a) 6b | 123456b
b) 4 | αββb
c) 7b | 1234680b
d) 16b | 75903200b
92. Zeigen Sie:
∧
a∈IN*
n
[ a=
∑ ai 10i
⇒ a ≡ Q2´(a) (mod 101)
∧ a ≡ Q3(a) (mod 999) ∧ a ≡ Q3´(a) (mod 1001) ]
i=0
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Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
n
93. Gegeben sei eine beliebige mehrstellige natürliche Zahl im Zehnersystem a =
∑ ai 10i . Man bilde
i=0
durch beliebige Umstellung ihrer Ziffern eine zweite Zahl. Zeigen Sie , daß die Differenz dieser
beiden Zahlen stets durch 9 teilbar ist. Gilt dies auch für ihre Summe, ihr Produkt, die Differenz
ihrer Quadrate?
94. Beweisen Sie: Ist eine positive ganze Zahl z durch 99 teilbar, so ist ihre Quersumme nicht kleiner
als 18.
95. Wahr oder falsch? Begründen Sie mit Teilbarkeitskriterien.
a) 11 | 17635422761
b) 7 | 632779004697
c) 13 | 48361325689
96. Welche Ziffer muß an Stelle von “ _ ” ergänzt werden, damit gilt:
a) 9 | 246_53
b) 11 | 53_24
c) 7 | 14_656
d) 9 | 127_8171
97. Ersetzen Sie in (12345xy)10 die unbekannten Ziffern x und y so, daß die entstehende Zahl
gleichzeitig durch 2, 3, 5 und 7 teilbar ist.
98. Zeigen Sie, daß die sechsstellige Zahl (abcabc)10 durch 7, 11 und 13 teilbar ist.
99. Zeigen Sie: Es gibt nur eine vierstellige Quadratzahl der Form aabb mit a,b ∈ IN und 11 | aabb.
100. Aus den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 lassen sich 7! = 5040 verschiedene siebenstellige Zahlen mit
lauter verschiedenen Ziffern bilden. Alle diese Zahlen haben denselben Neunerrest. Beweisen
Sie, daß keine dieser Zahlen ein andere dieser Zahlen teilt.
101. Beweisen Sie:
∧
a,b∈IN
[ m|a
∧ n | a ∧ ggT(m,n) = 1 ⇒ m.n | a ]
102. Definieren Sie für eine Zahl a ∈ IN die Quersumme 4. Stufe Q4(a) . Bestimmen Sie alle Zahlen,
für die ein Quersummenkriterium 4. Stufe gilt (Begründung?). Aus welcher Kongruenz
resultieren diese Quersummenkriterien?
Berechnen Sie die Quersumme 4. Stufe der Zahl a = 9 834 694 234 956 99910 und stellen Sie
auf Grund des Kriteriums fest, welche der von Ihnen genannten Zahlen Teiler von a sind.
103. Bestimmen Sie alle möglichen Ziffernpaare (x,y) so, daß die Zahl a = 4y 322 52x gleichzeitig
durch 4, 9 und 13 teilbar ist. Begründen Sie, daß es keine weiteren Paare geben kann.
104. Untersuchen Sie die folgenden Zahlen auf Teilbarkeit durch 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 18, 21, 22:
2684521, 18425600, 1234321, 18744432156, 105336, 245784.
105. Bildet man von einer natürlichen Zahl die Quersumme 1. Stufe und von dieser wieder die
Quersumme usw., so erhält man schließlich eine einstellige Zahl, die “letzte Quersumme” heißen
soll. (Die Quersumme einer einstelligen Zahl ist die Zahl selbst.)
Wieviele natürliche Zahlen von 1 bis 5555 haben die letzte Quersumme 9 (die letzte Quersumme 3)?
n
106. Jede natürliche Zahl a sei b-adisch dargestellt als a =
∑ aibi
mit b ∈ IN* \{1} .
i=0
a) Definieren Sie für die b-adische Darstellung von a eine (alternierende) Quersumme Q(a) bzw.
Q´(a) erster Stufe.
b) Beweisen Sie: a ≡ Q(a) (mod b–1)
und
a ≡ Q´(a) (mod b+1)
c) Welche Quersummenkriterien für das b-adische System kann man aus b) folgern?
(Begründung!)
d) Welche Quersummenkriterien gelten für b = 13 ?
107. Welche Ziffern kann man für ♦ setzen, so daß gilt:
a) 67 | (123♦4)7
b) 118 | (76540216♦4)8
α steht für die Ziffer 10; β steht für die Ziffer 11.
Seite 105
c) β12 | (39α8♦71)12
Vorlesung „Zahlentheorie“ - Wintersemester 1996/97
108. Welches ist das kleinste b ∈ IN* \{1} , so daß es im b-adischen Stellenwertsystem Quersummenkriterien 1. Stufe für 3, 4 und 6 gleichzeitig gibt?
Für welche weiteren Zahlen gelten dann auch Quersummenkriterien?
8
109. Aus den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 soll eine neunstellige natürliche Zahl a =
∑ ai 10i
gebildet
i=0
werden, in der jede dieser Ziffern genau einmal auftritt. ( ai ∈ {1,2,3, . . . , 9}, ai ≠ aj für i ≠ j )
∧
Gibt es eine solche Zahl a mit
k −1
[ k|
k∈{2,3,4,...,9}
∑ a 9−i 10k −1−i
]
i=0
110. Bestimmen Sie alle ganzzahligen Lösungen der folgenden Gleichungen:
a) x + y = 7
b) 13 x + 16 y = 20
c) 3 x + y = 6
d) 13 x + 14 y = 15
111. Bestimmen Sie alle natürlichzahligen Lösungen von
a) x + y = 3
b) 3 x + 2 y = 3
c) 6 x + 5 y = 5
d) 8 x + 15 y = 51
112. Man bestimme alle Tripel (x, y, z) von natürlichen Zahlen, die die beiden Gleichungen
x + y + z = 31
und
x + 2 y + 3 z = 41
gleichzeitig erfüllen.
113. Bestimmen Sie alle Lösungen der diophantischen Gleichung
6x + 7y + 8z = 1 .
114. Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden diophantischen Gleichungen:
a) 30 x + 36 y = 35
b) 30 x + 32 y = 36
c) 56 x + 120 y = 408
d) 122 x + 74 y = 110
e) 4081 x + 2585 y = 121
f) 561 x – 968 y = 1755
115. Verlängert man in einem rechtwinkligen Dreieck beide Katheten um 4 cm , so nimmt der
Flächeninhalt um 19 cm2 zu. Wieviele solcher Dreiecke gibt es, bei denen die Länge beider
Katheten natürliche Zahlen sind?
116. Ein Landwirt verkauft Schafe und Kühe. Für ein Schaf erlöst er 720 DM, für eine Kuh 1160 DM.
Insgesamt nimmt er 11 560 DM ein. Wieviele Schafe und wieviele Kühe hat er verkauft?
117. Beweisen Sie:
∧
a,b,c,d∈Z
[
∨
( ax + by + cz = d )
x,y,z∈Z
⇔
ggT(a,b,c) | d ]
118. Hundert Maß Korn werden unter hundert Leute so verteilt, daß jeder Mann drei Maß, jede Frau
zwei Maß und jedes Kind ein halbes Maß erhält. Wieviele Männer, Frauen und Kinder sind es?
(Nach einem mittelalterlichen Text, vermutlich von ALCUIN von York (735 - 804), dem Lehrer Karls
des Großen.)
119. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des diophantischen Gleichungssystems
7 x1 + 8 x2 + 9 x3 + 10 x4 = 4
8 x1 + 9 x2 + 10 x3 + 7 x4 = 0
9 x1 + 10 x2 + 7 x3 + 8 x4 = – 4 .
120. Zeigen Sie: Besitzt die diophantische Gleichung x4 + y4 = z2 keine Lösung, so besitzt auch
die diophantische Gleichung x4 + y4 = z4 keine Lösung.
121. Lösen Sie die folgenden Kongruenzen (wenn möglich):
a) 6 x ≡ 8 (mod 12) b) 17 x ≡ 23 (mod 101) c) 12 x ≡ 15 (mod 30)
d) 10 x ≡ 11 (mod 25)
122. Bestimmen Sie die größte natürliche Zahl zwischen 17 624 und 17 800 , so daß sie bei der
Division durch 3, 4, 5, bzw. 6 den Rest 2, 3, 4 bzw. 5 läßt. (Brahmegupta, ca. 700 v. Chr.)
123. Lösen Sie die folgenden Systeme linearer Kongruenzen (auf zwei verschiedene Arten):
a) x ≡ 1 (mod 4)
b) x ≡ 1 ( mod 3)
c) 2 x ≡ 1 (mod 5)
x ≡ 3 (mod 5)
x ≡ 3 ( mod 7)
3 x ≡ 2 (mod 7)
x ≡ 2 (mod 7)
x ≡ 3 ( mod 10)
4 x ≡ 1 (mod 11)
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124. Lösen Sie die folgenden Kongruenzen mit Hilfe von Systemen linearer Kongruenzen:
a) 19 x ≡ 11 (mod 42)
b) 10 x ≡ –3 (mod 12)
c) 35 x ≡ 87 (mod 105)
d) 74 x ≡ – 1 (mod 77)
125. Bestimmen Sie die kleinste natürliche Zahl n ∈ IN* \{1,2} mit den Eigenschaften
a) 5 | 2 n – 1 ∧ 7 | 3 n – 2 ∧ 11 | 4 n – 1
b) 2 | n ∧ 3 | n + 1 ∧ 4 | n + 2 ∧ 6 | n + 4
b) 6 | n – 3 ∧ 7 | n + 6 ∧ 8 | n – 5 ∧ 20 | n + 2
126. Bestimmen Sie die kleinste natürliche Zahl, welche bei der Division durch 3 den Rest 2, bei
Division durch 5 den Rest 3 und bei Division durch 7 den Rest 2 läßt.
127. Bestimmen Sie drei wesentlich verschiedene pythagoräische Zahlentripel, deren kleinste Zahl
größer als 100 ist.
128. Lösen Sie die Kongruenz 17 x ≡ 5 (mod 22) mit der formalen Bruchschreibweise.
* ist eine kommutative Gruppe (prime Restklassengruppe mod m). Bestimmen Sie für m = 7,
129. ℜm
9, 12 die Ordnungen aller Elemente.
130. Zeigen Sie, daß für alle m ≥ 3 gilt 2 | ϕ (m) .
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, daß für 1 ≤ a < m mit ggT(a,m) = 1 auch ggT(m–a,m) = 1 ist, und
sodann, daß für ggT(a,m) = 1 und m ≥ 3 immer a ≠ m – a ist.
131. Beweisen Sie: Ist p eine Primzahl, so gilt
a) Die quadratische Kongruenz x2 ≡ 1 (mod p) hat für p ≥ 3 stets genau zwei Lösungen.
b) Wie lauten diese Lösungen?
c) Die quadratische Kongruenz x2 ≡ – 1 (mod p) hat für p ≥ 3 entweder keine oder genau zwei
Lösungen.
d) Geben Sie für beide Fälle von c) Beispiele an.
132. Bestimmen Sie die Lösungen der folgenden quadratischen Kongruenzen:
a) 3 x2 + 12 x + 11 ≡ 0 (mod 19)
b) x2 + x + 1 ≡ 0 (mod 19)
133. Zeigen Sie: Ist f ∈ZZ ein Polynom vom Grade n mit der Eigenschaft, daß n + 1 aufeinanderfolgende Werte von f(x) durch eine feste Primzahl p teilbar sind, dann gilt
( p | f(x) ) .
134. Zeigen Sie:
∧
∧∧ ∧
x∈Z
[ (a1 + a2 + a3 + . . . + an)p ≡ a1p + a2p + a3p + . . . + anp (mod p) ]
p∈P ai ∈Z i∈{1,2,...,n}
135. Zeigen Sie: Für jede zusammengesetzte Zahl n außer der Zahl 4 gilt (n – 1)! ≡ 0 (mod n).
136. Zeigen Sie:
∧
[ p >2
⇒
2 (p – 3)! + 1 ≡ 0 (mod p) ]
p ∈P
137. Bestimmen Sie alle primitiven Restklassen (mod 23).
138. Beweisen Sie: Ist g eine primitive Kongruenzwurzel (mod m), so ist genau dann
ga ≡ gb (mod m), wenn a ≡ b (mod ϕ (m)) ist.
139. Zeigen Sie durch vollständige Induktion nach dem Grad des Polynoms f(x), daß die Polynomkonn
gruenz f(x) ≡ 0 (mod p) mit p ∈ P und f(x) =
∑ aixi
höchstens n verschiedene Lösungen
i= 0
(mod p) hat.
(Hinweis: Der Induktionsschritt enthält folgende Überlegungen: Ist f(r) ≡ 0 (mod p), so ist f(x) ≡
(x – r) g(x) (mod p) und g(x) ein Polynom vom Grade n–1. Ist weiter f(s) ≡ 0 (mod p), so ist
entweder s ≡ r (mod p) oder g(s) ≡ 0 (mod p).)
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140. Zeigen Sie: Ist n | p – 1 , so hat die Kongruenz xn ≡ 1 (mod p) mit p ∈ P genau n Lösungen.
(Hinweis: xp–1 ≡ 0 (mod p) hat nach dem Satz von Fermat genau p – 1 Lösungen. Benutzen
Sie die Zerlegung xp–1 – 1 = (xn – 1) h(x) und wenden Sie auf das Polynom h(x) die Lösung
der vorhergehenden Aufgabe an.
141. Zu den Moduln m = 8, 12, 15, 16, 20 gibt es keine primitiven Restklassen. Verifizieren Sie
diesen Satz, indem Sie die Ordnungen aller Restklassen zu diesen Moduln bestimmen.
* , ⊗ ) an.
142. Geben Sie ein erzeugendes Element der primen Restklassengruppe ( ℜ27
∧
∧
143. Beweisen Sie:
[
a ∈IN*
144. Beweisen Sie:
∑ σ(d)µ( d )
=a ]
∑ σ(d)ϕ( d )
= a.τ(a) ]
a
d|a
[
a ∈IN*
a
d|a
∧ ∧∧
145. Beweisen Sie:
[ ( a ist primitive Wurzel mod p ⇒ a ist primitive Wurzel
p∈P\{2} n∈IN*\{1} a∈Z
⇔
mod pn )
p2 |/ ap–1 – 1 ]
146. Ist die Funktion ω multiplikativ? Gibt es eine zahlentheoretische Funktion derart, daß ihr
Faltprodukt mit ω multiplikativ ist?
147. Es sei f(n) =
 1 f ü r n = 4
– 1 f ü r n = 5
 0 sonst
∧
148. Zeigen Sie:
und g(n) =
 1 f ü r n = 3
– 2 f ü r n = 6 . Bestimmen Sie f*g.
 0 sonst
[ f(n) = ggT(a,n) ist multiplikativ. ]
a,n∈IN*
149. Bestimmen Sie die kleinste natürliche Zahl n, für die gilt
a) ϕ (n) = 6
b) τ(n) = 6
c) σ(m) = n keine Lösung m besitzt.
150. Zeigen Sie, daß für jede natürliche Zahl n > 1 die Summe der natürlichen Zahlen kleiner als n
n. ϕ (n)
und prim zu n gleich
ist.
2
151. Es sei definiert:
∧
[ σk(a) =
a,k∈IN*
∑ dk
].
d|a
a) Ist σk multiplikativ?
b) Zeigen Sie:
∧
[ σk(a) =
a,k∈IN*
∏
p(a+1)k − 1
p|a
pk − 1
]
152. Zeigen Sie für die Möbiusschen Umkehrformeln:
∧ ∧
[(
f,g∈F
( f(a) =
a∈IN*
∑ g(d) )
⇔ (
∧
( g(a) =
a∈IN*
d|a
∑ f(d)µ( d ) )
a
]
d|a
153. Beweisen Sie, daß die Menge der f ∈ F mit f(1) ≠ 0 eine Gruppe bezüglich der Faltung bildet.
154. Zeigen Sie: Ist p eine Primzahl, so hat die Zahl a = p2 keinen Freund.
155. Bestimmen Sie alle abundanten und alle defizienten Zahlen zwischen 1 und 20.
156. Zeigen Sie:
∧
[ p≠q
⇒
p.q ist defizient. ]
p,q∈P\{2,3}
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157. Zeigen Sie:
∧∧
[ pn ist defizient. ]
p∈P n∈IN*
158. Bestimmen Sie unter Verwendung der Ergebnisse der beiden vorhergehenden Aufgaben sowie
der Defizienz aller Primzahlen alle abundanten Zahlen zwischen 1 und 50.
159. Zeigen Sie: ( F , ⊕ , * ) ist ein Ring.
Dabei ist die Addition ⊕ definiert durch
(f ⊕ g)(n) = f(n) + g(n)
und die Multiplikation * als Faltung der Funktionen.
160. Bestimmen Sie in der Menge der ganzen Gaußschen Zahlen alle Teiler von a) (5+0i) , b) (2+4i)
161. Bestimmen Sie alle ganzen Gaußschen Zahlen (a,b) mit der Eigenschaft (1+i) | (a+bi).
162. Beweisen Sie, daß jede gerade vollkommene Zahl von der Form a = 2(p–1) (2p – 1) ist, wobei p
und 2p – 1 Primzahlen sind.
163. Beweisen oder widerlegen Sie:
∧
[ N(α) | N(β)
⇒
α| β ]
α,β ∈Z[i]
164. Beweisen oder widerlegen Sie: 1 + 2 i und 2 + i sind zueinander assoziiert.
 a b
165. Untersuchen Sie die folgenden Matrizen aus M = { 

 − b a
|
a, b ∈ ZZ } auf
Primelementeigenschaft bzw. geben Sie alle Teiler der Matrizen an.
 7 0
 4 2
 19 3 
a) 
b) 
c) 



 0 7
 −2 4
 −3 19
166. Beweisen oder widerlegen Sie:
∧
[ ggT(N(α),N(β)) = 1 ⇒ ggT(α,β) = 1 + 0 i ]
α,β ∈Z[i]
 a b
167. Geben Sie aus der Menge M = { 

 − b a
|
a, b ∈ ZZ } alle Matrizen an, deren Norm < 25 ist
und nennen Sie die darunter auftretenden Primelemente.
168. Wie lassen sich alle die natürlichen Zahlen kennzeichnen, die als Summe von zwei
Quadratzaheln darstellbar sind?
Lösen Sie die folgenden Aufgaben mit der Hilfe eines Computer-Algebra-Systems, z. B. MAPLE.
169. Lösen Sie, soweit möglich, die Diophantischen Gleichungen.
a) 234 x + 473 y = 971
b) 8461 x + 593 y = 6953
170. Lösen Sie, soweit möglich, die linearen Kongruenzen.
a) 538 x ≡ 941 (mod 739)
b) 1491 x ≡ 41 (mod 1009)
171. Lösen Sie, soweit möglich, die quadratischen Kongruenzen.
a) 263 x + 817 x + 709 ≡ 0 (mod 1091)
b) 517 x + 2 x + 189 ≡ 0 (mod 9129
172. Bestimmen Sie die primitiven Kongruenzklassen (mod 87).
173. Bestimmen Sie die Ordnungen der Restklassen 4 , 17 , 22 , 51 , 67 und 100 (mod 119).
174. Bestimmen Sie die Werte der Möbiusfunktion von 4, 17, 22, 51, 67, 100.
175. Bestimmen Sie die Werte der Eulerfunktion von 14, 37, 52, 351, 867, 1000.
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