1. Übungsblatt - Theoretische Informatik @ Universität Konstanz

Mathematische Grundlagen der Informatik
Universität Konstanz
Fachbereich Informatik & Informationswissenschaft
WS 2016/2017
Prof. Dr. Sven Kosub / Michael Strecke, Nadja Willenborg
1. Übungsblatt
Ausgabe: 28.10.2016
Abgabe: 04.11.2016, bis spätestens 12:00 per Mail an den Tutor
Für einen Teil der Aufgaben benötigen Sie folgende Definitionen und Regeln.
Für ganze Zahlen n und natürliche Zahlen m > 0 und 0 ≤ r < m sagen wir, dass m die Zahl
n mit Rest r teilt, falls es eine ganze Zahl t gibt mit n = t · m + r. Wir führen dafür die
zweistellige Modulo-Funktion mod ein:
mod(n, m) =def r.
Es gilt z.B. mod(25, 9) = 7 und mod(−25, 9) = 2.
Für die Modulo-Funktion und beliebige ganze Zahlen a, b und eine beliebige natürliche Zahl
m gelten folgende Regeln:
mod(a + b, m) = mod(mod(a, m) + mod(b, m), m)
mod(a · b, m) = mod(mod(a, m) · mod(b, m), m)
Hinweis: Konsultieren Sie das Kapitel Arithmetik im Skriptum Brückenkurs Mathematik.
Aufgabe 1: Modulare Arithmetik
10 Punkte
(a) Bestimmen Sie mod(41, 13).
(b) Bestimmen Sie mod(−18, 13).
(c) Bestimmen Sie die kleinste natürliche Zahl k > 0 mit mod(4k , 13) = 1.
(d) Bestimmen Sie mod(4111 , 13).
(e) Bestimmen Sie mod(457 · 17113 , 13).
Aufgabe 2: RSA-Verfahren
10 Punkte
Sie wollen Textbotschaften mit dem in der Vorlesung beschriebenen RSA-Verfahren für k =def
2773 verschlüsseln. Für Textbotschaften sind dabei lediglich Großbuchstaben (ohne Umlaute)
sowie _ als Trennsymbol zwischen Wörtern erlaubt. Um das Verfahren anzuwenden, werden
zunächst die Buchstaben gemäß
_ = 00, A = 01, B = 02, . . . , Z = 26
durch zwei Ziffern ersetzt und dann je vier Ziffern mit dem RSA-Verfahren verschlüsselt, d.h.
es wird jeweils mod(m3 , n) berechnet, wobei die Dezimaldarstellung von m aus jeweils vier
Ziffern besteht.
(a) Verschlüsseln Sie die Botschaft NOCH_EIN_GEHEIMER_TEXT.
(b) Entschlüsseln Sie die Zahlenfolge (534, 510, 15).
Aufgabe 3: Induktion
10 Punkte
Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion über n folgende Aussagen:
!2
n
n
X
X
3
(a)
k =
k
für alle natürlichen Zahlen n.
k=0
n
X
k=0
(n + 1)! − 1
k
=
für alle natürlichen Zahlen n.
(k + 1)!
(n + 1)!
k=0
n Y
1
1
= für alle natürlichen Zahlen n ≥ 2.
(c)
1−
k
n
(b)
k=2
(d) Für alle natürlichen Zahlen n ist n3 − n durch 6 teilbar.
(e) Für alle natürlichen Zahlen n ist 23n + 13 durch 7 teilbar.
Hinweis: Konsultieren Sie das Kapitel Induktion im Skriptum Brückenkurs Mathematik.