GRUNDWISSEN

GRUNDWISSEN
Inhalt
5.Gleichungen.......................................................................................................................................... 2
5.1. Gleichungen und Lösungen .......................................................................................................... 2
5.2. Äquivalente Gleichungsumformungen......................................................................................... 2
5.3. Systematisches Lösen einer Gleichungen .................................................................................... 2
5.4. Lineare Gleichungen in Anwendungsaufgaben ............................................................................ 3
6.Prozentrechnung und Diagramme ....................................................................................................... 3
6.1.Analysieren von Daten-Diagramme .............................................................................................. 3
6.2.Mittelwert ..................................................................................................................................... 3
6.3.Die Grundgleichung der Prozentrechnung .................................................................................... 3
7.Kongruenz und Dreiecke ...................................................................................................................... 4
7.1.Kongruente Figuren ....................................................................................................................... 4
7.2.Kongruenz von Dreiecken ............................................................................................................. 5
7.3. Das gleichschenklige Dreieck........................................................................................................ 5
7.4. Satz und Kehrsatz ......................................................................................................................... 6
7.5. Das rechtwinklige Dreieck-der Satz des Thales ............................................................................ 7
7.6 Dreieckskonstruktionen ................................................................................................................ 7
8. Besondere Linien im Dreieck und Konstruktionen .............................................................................. 8
8.1. Mittelsenkrechten und Umkreis................................................................................................... 8
8.2. Winkelhalbierende ....................................................................................................................... 8
8.3. Höhen
9
8.4. Seitenhalbierende ........................................................................................................................ 9
8.5. Konstruktion von Vierecken ......................................................................................................... 9
[nach Lambacher Schweizer 7]
[eigene Grafiken]
1
5.Gleichungen
5.1. Gleichungen und Lösungen
Eine Gleichung besteht aus zwei Termen. Sie sind durch ein Gleichheitszeichen verbunden. In
mindestens einem Term muss eine Variable vorkommen.
Beispiele:
2x+4 = 28
-7+5x = 2x+6
Wenn man bei dem Einsetzen einer Zahl für die Variable die gleichen Termwerte auf beiden
Seiten der Gleichung erhält, heißt diese Zahl eine Lösung der Gleichung.
5.2. Äquivalente Gleichungsumformungen


Einfache Gleichung: nach x auflösen
Kompliziertere Gleichung: schrittweise in einfache Gleichungen umwandeln
Umformung: Äquivalenzumformung
 Immer auf beiden Seiten addieren, subtrahieren, multiplizieren, oder dividieren
Beispiel:
7x+3-2x= x+11
(7x+2x)+3 = x+11
/-3
5x = x+8
/-x
4x = 8
/:4
x=4
5.3. Systematisches Lösen einer Gleichungen
Oft wird die Lösung einer Gleichung dadurch bestimmt, dass man eine Reihe von
Äquivalenzumformungen durchführt und schließlich eine Gleichung der Form x=… erhält. Dort
kann man die Lösung direkt ablesen.
Wichtige Schritte: (Beispiel)
Ursprüngliche Gleichung
Klammern auflösen
Gleichartige Terme zusammenfassen
Addieren/ subtrahieren um zu sortieren
Dividieren/multiplizieren, nach x auflösen
(Probe: Einsetzen in die ursprüngliche
Gleichung)
(5x-4)•2+10= 1+2x+5
10x-8+10 = 1+2x+5
10x+2 = 6+2x
10x+2 = 6+2x
/-2
10x= 4+2x
/-2x
8x = 4
8x = 4
/:8
1
X=2
1
1
(5•2 -4)•2+10 = 1+2•2+5
5-8+10 = 1+1+5
7=7
richtig!
2
Lineare Gleichung
6x-3=x-4+6x
x=1
Das x steht am Ende alleine und hat eine einzige
mögliche Lösung
keine lineare Gleichung
3x(x-2)=4
3𝑥 2 -6x=4
das x steht nach dem ausmultiplizieren im
Quadrat
Spezialfälle:
1. Am Ende steht eine wahre Aussage, z.B. 5 = 5 oder x = x
 Es gibt unendlich viele Lösungen für die Gleichung ℒ = ℚ
2. Am Ende steht eine falsche Aussage, z.B. 5 = 3
 Es gibt keine Lösung der Gleichung ℒ = { }
5.4. Lineare Gleichungen in Anwendungsaufgaben
1.
2.
3.
4.
Variable festlegen
Gleichung aufstellen
Gleichung lösen
Ergebnis prüfen und formulieren
6.Prozentrechnung und Diagramme
6.1. Analysieren von Daten-Diagramme




Aufteilung eines Ganzen: Kreisdiagramm
Vergleiche von Werten: Säulendiagramm, Balkendiagramm
Sachzusammenhang mit Bild
Zuordnung zwischen zwei Größen: Punkt-/Lineardiagramm (Graph)
6.2. Mittelwert
(arithmetischer) Mittelwert: Man addiert alle Zahlen oder Größen und dividiert die Summe durch
die Anzahl der Zahlen oder Größen.
Beispiel: Notendurchschnitt
2+3+2+5+4+3+2+1+2+1+3+4 = 32
32:12 = 2,66
6.3. Die Grundgleichung der Prozentrechnung
Durch Prozentangaben kann man Angaben besser miteinander vergleichen. Man muss immer darauf
achten was die entsprechenden Größen im Sachzusammenhang bedeuten (Grundwert, Prozentwert,
Prozentsatz)
Grundgleichug der Prozentrechnung:
Prozentsatz•Grundwert = Prozentwert
3
Beispiel:
Geg.: Prozentsatz: 21% ; Grundwert: 63
Ges.: Prozentwert
Lsg.: Prozentwert = Prozentsatz•Grundwert
= 21%•63
= 0,21•63 = 13,23
Geg.: Prozentsatz: 20% ; Prozentwert: 10
Ges.: Grundwert
Lsg.: Grundwert = Prozentwert:Prozentsatz
= 10:20%
= 10:0,2 = 50
Geg.: Grundwert: 80 ; Prozentwert: 20
Ges.: Prozentsatz
Lsg.: Prozentsatz = Prozentwert:Grundwert
= 20:80 = 0,25
7.Kongruenz und Dreiecke
7.1.Kongruente Figuren
Zueinander kongruent sind zwei Figuren, wenn sie deckungsgleich sind.
Man schreibt: H≅F (lies: H ist kongruent zu F)
Zwei zueinander kongruente Figuren haben die gleiche Größe und Gestalt.
Bemerkung: Da zwei kongruente Figuren die gleichen Winkel und Seitenlängen haben und sich daran
durch Achsen-/ oder Punktspiegelung nichts ändert, kann man durch eine oder mehrere
Spiegelungen die Kongruenz nachweisen.
4
7.2.Kongruenz von Dreiecken
Kongruenzsätze von Dreiecken:
Zwei Dreiecke sind zueinander kongruent, wenn sie:
1.
2.
3.
4.
in allen drei Seiten übereinstimmen (SSS) (Dreiecksungleichungen: a+b>c, a+c>b, b+c>a)
in einer Seite und zwei gleichliegenden Winkeln übereinstimmen (WSW bzw. SWW)
in zwei Seiten du dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen (SWS)
in zwei Seiten und dem Gegenwinkel der längeren Seite übereinstimmen (SsW)
1.
2.
3.
4.
Beispiel für SSS:
1. Zeichne die Strecke c
2. Zeichne den Kreis k1 (A;b)
3. Zeichne den Kreis k2 (B;a)
Der Schnittpunkt der beiden Kreise ist der Eckpunkt C.
Eindeutige Konstruktion möglich bei:



Drei gegebenen Seitenlängen
Zwei Seitenlängen und dem eingeschlossenen Winkel
Einer Seitenlänge und zwei Winkeln
Eindeutige Konstruktion nicht möglich bei:


Drei gegebenen Winkeln
Zwei Seitenlängen und dem nicht eingeschlossenen Winkel, wenn dieser gegenüber der
kleineren Seit liegt
7.3. Das gleichschenklige Dreieck
Wenn ein Dreieck zwei gleich lange Seiten hat, nennt man es gleichschenkliges
Dreieck. Die beiden gleichlangen Seiten heißen Schenkel, die dritte
Seite nennt man Grundseite oder Basis. Den gemeinsamen Punkt der
Schenkel bezeichnet man als Spitze, die beiden Winkel, die an der
Basis anliegen nennt man Basiswinkel.
Spitze
Basiswinkel
Basis(Grundseite)
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Alle gleichschenkligen Dreiecke sind auch achsensymmetrisch, weil die Spitze C von den Punkten A
und B gleichweit entfernt und somit auf der Symmetrieachse zu A und B liegt. Daraus folgt auch, dass
die beiden Basiswinkel gleich groß sind.
Satz vom gleichschenkligen Dreieck:
Wenn eine der folgenden Aussagen zutrifft, gelten auch die zwei anderen:
1. Das Dreieck ist gleichschenklig.
2. Das Dreieck ist achsensymmetrisch.
3. Das Dreieck besitzt zwei gleich große Winkel.
Die Seiten-Winkel-Beziehung:
In jedem Dreieck liegt der größte Winkel der größten Seite gegenüber und umgekehrt.
Dreiecke mit drei gleich langen Seiten nennt man gleichseitig. Sie
haben drei Symmetrieachsen. Wegen der Winkelsumme von 180°
ist jeder Winkel 60° groß.
7.4. Satz und Kehrsatz
Man kann mathematische Sätze auf die Form „Wenn…dann…“ bringen.
Wenn-Teil: Voraussetzung, Dann-Teil: Behauptung
Man erhält den Kehrsatz, indem man Voraussetzung und Behauptung vertauscht.
!Der Kehrsatz zu einem Satz kann falsch sein!

Kann man zeigen, dass die Behauptung in allen denkbaren Beispielen erfüllt ist, bei denen
auch die Voraussetzung zutrifft, hat man belegt, dass die Aussage wahr ist.
Beispiel: „Wenn eine natürliche Zahl durch 2 und 5 teilbar ist, ist sie auch durch 10 teilbar.“
Kehrsatz „Wenn eine natürliche Zahl durch 10 teilbar ist, ist sie auch durch 2 und 5 teilbar.“ trifft
zu.

Ein einziges Gegenbeispiel, bei dem die Voraussetzung zutrifft, aber die Behauptung nicht
erfüllt ist, reicht, um eine Aussage zu widerlegen.
Beispiel: „Wenn eine Zahl durch 4 teilbar ist, ist sie auch durch 2 teilbar.“ Kehrsatz „Wenn eine
Zahl durch 2 teilbar ist, ist sie auch durch 4 teilbar.“ trifft nicht zu.
Gegenbeispiel: Die Zahl 10 ist durch 2 teilbar aber nicht durch 4.
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7.5. Das rechtwinklige Dreieck-der Satz des Thales
Hypotenuse
Satz des Thales:
Ein Dreieck ABC hat genau dann bei C einen rechten
Winkel, wenn die Ecke C auf dem Halbkreis über [AB]
liegt.
7.6 Dreieckskonstruktionen
Beispiel: eindeutig konstruierbar nach SsW
b=4,4cm; c=3,8cm; 𝛽=65°
Planfigur: (Skizze)
Konstruktionsplan:
(1) A und B sind durch c gegeben.
(2) C liegt 1. auf.dem Kreis k(A;b) und
2. auf dem freien Schenkel des Winkels 𝛽, angetragen in B an [AB].
Konstruktion:
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8. Besondere Linien im Dreieck und Konstruktionen
8.1. Mittelsenkrechten und Umkreis
Satz von den Mittelsenkrechten im Dreieck:
In jedem Dreieck schneiden sich die
Mittelsenkrechten der drei Dreiecksseiten in
einem Punkt U. Dieser Punkt U hat von den drei
Ecken des Dreiecks den gleichen Abstand, er ist
der Umkreismittelpunkt des Dreiecks.
Beachte:
Umkreismittelpunkt liegt beim


rechtwinkligen Dreieck innerhalb des Dreiecks
stumpfwinkligen Dreieck außerhalb des Dreiecks
8.2. Winkelhalbierende
Satz von der Winkelhalbierenden:
Ein Punkt P liegt genau dann auf einer
Winkelhalbierenden zweier sich schneidender
Geraden, wenn er von beiden Geraden den
gleichen Abstand hat.
Schnittpunkte der Winkelhalbierenden in einem gleichseitigen Dreieck:
Alle Winkelhalbierenden schneiden sich in dem Punkt S. Dieser
ist auch der Umkreis- und Inkreis- Mittelpunkt des Dreiecks.
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8.3. Höhen
In jedem Dreieck gibt es drei Höhen. Man erhält diese
indem man z.B. vom Eckpunkt B das Lot auf die
gegenüberliegende Seite b fällt, dort ist dann der
Lotfußpunkt L. Die Strecke [BL] nennt an Höhe hb .
Satz von den Höhen im Dreieck:
In jedem Dreieck schneiden sich die drei Höhen (oder deren Verlängerungen) in einem Punkt.
(In einem stumpfen Dreieck liegt dieser außerhalb des Dreiecks.)
8.4. Seitenhalbierende
Jedes Dreieck hat drei Seitenhalbierende. Jede
Seitenhalbierende ist die Verbindung von einer
Ecke mit deren gegenüberliegenden Seitenmitte.
In jedem Dreieck schneiden sich die drei Seitenhalbierenden in einem Punkt. Dieser Punkt wird
auch Schwerpunkt des Dreiecks genannt.
8.5. Konstruktion von Vierecken
Durch fünf geeignete Stücke kann ein Viereck eindeutig
festgelegt werden:
Eine Diagonale zerlegt das Viereck in zwei Dreiecke. ->
Dieses kann mit drei Stücken nach den Kongruenzsätzen
eines der Dreiecke eindeutig festlegen.(hier Dreieck ABC:
SWS) -> Für das zweite Dreieck werden nun noch zwei
Stücke benötigt.
Achtung: Nur weil zwei Vierecke in fünf oder mehr Stücken übereinstimmen müssen sie nicht gleich
kongruent sein. Es müssen fünf geeignete Stücke sein.
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Beispiel: fünf ungeeignete Stücke
(erstellt von Sandra Graßnick)
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