H ds - Hochschule Bremerhaven

Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven
1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
I
Einleitung
Elektrotechnik II
[ ETT2 ]
I.I
Umdruck zur Vorlesung
S Teil 1:
Elektrische Netzwerke
S Teil 2:
Wechselstromlehre
Dieser Umdruck ist der Versuch einer angemessenen Dokumentation der Vorlesung
Elektrotechnik II. Zum Beginn der Vorlesung liegt zunächst erst ein Entwurf für Umdruck
vor. Über die Homepage der Vorlesung <http://www1.hs---bremerhaven.de/kmueller/>
ist geplant, weitere Unterlagen im Verlauf der Vorlesung zur Verfügung zu stellen.
S Teil 3:
Impedanzen
S Teil 4:
Drehstrom
I.II Elektrotechnik
S Teil 5:
Schein-, Wirk- und Blindleistung
Die Elektrotechnik durchdringt unser tägliches Leben, indem wir elektrische Antriebe,
elektrisches Licht, Telekommunikations-, und Datenverarbeitungseinrichtungen nutzen.
Unterlagen zur Lehrveranstaltung
Ohne die Entwicklung elektrotechnischer Anlagen und Geräte wären die heutigen
zivilisatorischen und industriellen Forschritte undenkbar. Gleichzeitig bildet die
elektrotechnische Industrie einen bedeutenden Wirtschaftsfaktor. Für rohstoffarme
Industrieländer ist das Wissen um die moderne Eletrotechnik deshalb von ganz besonderer
Bedeutung. Die Vorlesung Gundlagen der Elektrotechnik befasst sich mit den
Gesetzmäßigkeiten und Phänomenen, die für einen späteren Einstieg in die elekrische
Digital-, Mess-, Steuerungs-, Antriebs- oder Informationstechnik benötigt werden.
Folgende Themen sollen behandelt werden:
Revision:
V0.1b
S
Physikalische Größen
Datum:
März 2005
S
Elektrischer Strom, Netzwerke, systematische Netzwerkanalyse
S
Halbleiter
S
Zeitvariantes Magnetfeld, Induktion
S
Wechselspannungen und -ströme
S
Transformator
S
Leistungen in Gleich--- und Wechselstromschaltungen
Prof. Dr.-Ing. Kai Müller
Hochschule Bremerhaven
Institut für Automatisierungs- und Elektrotechnik
An der Karlstadt 8
D---27568 Bremerhaven
Tel:
FAX:
+49 471 48 23 --- 415
+49 471 48 23 --- 418
E---Mail:
[email protected]
Ich wünsche allen Hörern der Veranstaltung “Elektrotechnik II” viel Freude an dem
Einstieg in ein faszinierendes Fachgebiet.
Bremerhaven, März 2005
Kai Müller
<kmueller@hs ---bremerhaven.de>
Tel: (0471) 4823 ---415 oder ---150
I
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Elektrotechnik II
II Inhalt
II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
4.1.3
Komplexe Zeigerdarstellung harmonischer Funktionen . . . . . .
19
4.1.4
Beispiel: Netzspannung und -strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
4.2
Übung: Bestimmung einer harmonischen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1
Elektrische Größen und Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
4.3
“Verschiebung” einer Wechselgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2
Topologie von Netzwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4.4
Addition harmonischer Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.1
Zweipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Lineare Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.3
Netzwerkgraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.3.1
5
2.4
2.5
2.6
2.7
4
5
Beispiel zur Addition von Spannungen mit
komplexen Zeigern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Kapazität und Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
5.1
Der Plattenkondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
5.1.1
Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Magnetisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.3.2
Knoten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.3.3
Spannung an einer Kante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Berechnung von Netzwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6.1
Magnetische Feldlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
6
2.4.1
Maschenstromverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6.2
Stromdurchflossene Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
2.4.2
Knotenpotenzialverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6.3
Magnetische Flussdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Kirchhoffsche Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6.4
Vektordarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
2.5.1
Kirchhoffsche Knotenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
6.5
Lorentz-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.5.2
Kirchhoffsche Maschenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
6.6
Kraft auf einen stromdurchflossenen Draht im Magnetfeld . . . . . . . . . .
36
Systematische Analyse elektronischer Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
6.7
Übung: Kraft auf eine Spule im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.6.1
Maschengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
6.8
Übung: Drehspulinstrument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.6.2
Knotengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
6.9
2.6.3
Anzahl der Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Anhang: Allgemeine Form des Vektorprodukts
(äußeres Produkt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Magnetische Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
6.10.1 Durchflutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
Übung: Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern . . . . . . . . . . .
44
6.10
Vereinfachung von elektronischen Schaltungen durch Umwandlung
von Spannungs- und Stromquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Übungsbeispiel: Netzwerkberechnung mit Hilfe des vollständigen
Baums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Einfluss der Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Signale und Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
6.12.1 Diamagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
3.1
Signalbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
6.12.2 Paramagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
Harmonische Signale (sinusförmige Signale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Ferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
4.1
Zeigerdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
6.13.1 Curie-Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4.1.1
Mittelwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
6.13.2 Magnetisierungskurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
4.1.2
Effektivwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Magnetischer Fluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.8
3
Kanten (Zweige) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1
6.11
6.12
6.13
6.14
Elektrotechnik II
III
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6.15
Magnetischer Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
6.16
Übung: Maximaler Strom für eine Spule mit Eisenkern . . . . . . . . . . . .
56
6.17
Übung: Induktion im Luftspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.18
Elektrotechnik II
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11.2.2 p-Halbleiter (p-Dotierung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
pn-Übergang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
58
11.3.1 Die Diode unter äußerer Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
Übung: Gekoppelte Spule (Transformator) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
12 Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
108
6.19
Berechnung von Magnetkreisen mit Permanentmagneten . . . . . . . . . . .
61
6.20
Lautsprecher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
6.21
Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
7.1
Beispiel: Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
7.2
Induzierte Spannung in ruhenden Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
7.2.1
Selbstinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
Lenzsche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
Komplexe Impedanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
8.1
Induktivitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
8.2
Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
8.3
Rechenregeln für komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
8.4
Netzwerke aus Widerständen, Induktivitäten und Kondensatoren . . . .
81
8.4.1
Serienschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
8.4.2
Parallelschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
Schein-, Wirk- und Blindleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
9.1
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
9.2
Drehstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
9.3
Leistungsmessung bei Drehstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
10 Drehstromverbraucher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
7
7.3
8
9
10.1
Beispiel: Induktiver Drehstromverbraucher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
10.2
Direkte Messung von Blindleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
11 Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
11.1
Eigenleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
11.2
Dotierung (Störleitung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
11.2.1 n-Halbleiter (n-Dotierung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102
11.3
1
Elektrotechnik II
1
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Elektrische Größen und Einheiten
1012
1015
1018
Basisgrößen (möglichst in SI-Einheiten, SI = Standard International)
Kleine Zahlenwerte:
10 ---1
10 ---2
10 ---3
10 ---6
10 ---9
10 ---12
10 ---15
10 ---18
Mechanik: Länge, Zeit, Masse
Thermodynamik: Temperatur, Druck
Elektrizität: Strom, Spannung
Basisgößen müssen voneinander unabhängig sein.
2
Elektrotechnik II
T
P
E
= Tera
= Peta
= Exa
d
c
m
μ
n
p
f
a
= Dezi
= Zenti
= Milli
= Mikro
= Nano
= Pico
= Femto
= Atto
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Gesetzmäßigkeiten
MKSA --- System (Erweiterung um elektrische Größe)
Beispiel: Beschleunigung eines Körpers mit Masse m
MKSA = Meter --- Kilogramm --- Sekunde --- Ampere
Weg [m] = 0.5 x Kraft [N] / Masse [kg] x Quadrat der Zeit [s]
Üblich
Definition Ampere:
F t2
s = 1m
2
(1.1)
Größen (bindend gemäß “Gesetz über Einheiten im Messwesen”)
(physikalische) Größe = Zahlenwert x Einheit
z.B. Masse
m = 5 kg,
m = {m} [m]
{m} = Zahlenwert der Masse
[m] = Einheit (Vergleichswert) der Masse
Messen einer Größe = Vergleich mit festgelegter Bezugseinheit
Einheiten vorangestellte Faktoren für große und kleine Zahlenwerte
(DIN 1301)
Große Zahlenwerte:
101
102
103
106
109
da
h
k
M
G
= Deka
= Hekto
= Kilo
= Mega
= Giga
Stärke eines konstanten Stromes, der, durch zwei im Vakuum parallel im im Abstand
von 1 Meter voneinander angeordnete, geradlinige, unendlich lange Leiter von
vernachlässigbar kleinem kreisförmigen Querschnitt fließend, zwischen den Leitern
je 1 Meter Leiterlänge elektrotynamisch die Kraft 2 . 10 ---7 Newton hervorrufen
würde.
Basisgrößen und Formelzeichen (SI --- System)
Basisgröße
Formelzeichen
Länge
Masse
Zeit
elektrische Stromstärke
absolute Temperatur
Lichtstärke
Stoffmenge
l
m
t
i
T
Iv
n
Basiseinheit Abkürzung
Meter
Kilogramm
Sekunde
Ampere
Kelvin
Candela
Mol
m
kg
s
A
K
cd
mol
Abgeleitete Einheiten
Aus den SI-Einheiten lassen sich weitere Größen ableiten, wie z.B. die Kraft
F = m a (Kraft = Masse x Beschleunigung)
3
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4
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F = [F] {F} = {m} [m] {a} [a]
2
Topologie von Netzwerken
[F] = [m] [a] = kg m / s2 = N (Newton)
Unter Netzwerk versteht man die Summe aller Bauelement, Quellen und Verbindungen
einer elektrischen oder elektronischen Schaltung. Bauelemente können passiv (nehmen
elektrische Energie auf) oder aktiv (geben elektrische Energie ab) sein. In einem Netzwerk
wird also elektrische Energie von den aktiven Bauelementen auf die passiven Bauelemente
übertragen. Dabei erfolgt in der Regel eine Umwandlung von Energie (z.B. elektrische
Energie in Wärme beim Widerstand oder mechanische Energie in elektrische Energie beim
Generator).
Einheit
Beispiele für gebräuchliche abgeleitete Einheiten
Größe
SI-Einheit
Definition / Umrechnung
Kraft F
Leistung P
Energie W
Druck p
Ladung Q
Spannung U
Widerstand R
Kapazität C
Induktivität L
magnetischer Fluss Φ
magnet. Flussdichte B
Newton N
Watt W
Joule J
Pascal Pa
Coulomb C
Volt V
Ohm Ω
Farad F
Henry H
Weber Wb
Tesla T
1 N = 1 kg m / s2
1 W = 1 Nm / s
1 J = 1 Nm
1 Pa = 1 N / m2
1 C = 1 As
1V=1W/A
1Ω=1V/A
1 F = 1 As / V
1 H = 1 Vs / A
1 Wb = 1 Vs
1 T = 1 Vs / m2
Zunächst beschränken wir uns bei den aktiven Bauelementen auf Strom- und
Spannungsquellen; die passiven Bauelemente sind Widerstände. Weiterhin betrachten wir
zunächst nur Gleichstromschaltungen, d.h. Strom und Spannung sind konstante Größen
(Gleichgrößen).
2.1
Zweipole
Ein Großteil der elektronischen Bauelemente sind sogenannte Zweipole, d.h. es handelt
sich um Bauteile mit zwei Anschlüssen
Dimensionslose Größen
I
Kreisfläche f = π r 2
π ist eine dimensionslose Größe (Faktor) π = 3,1415927...
U
Umrechnung von Größengleichungen (Einheitenwechsel)
Oft findet man Größen in gebräuchlichen Einheiten (z.B. Geschwindigkeit in km/h), die
in SI-Einheiten umzurechnen sind (bzw. umgekehrt). Amerikanische Einheiten sind häufig
nicht SI-konform.
Beispiel: Umrechnung 120 km/h in die SI-Einheit m/s.
= 33.333 m
120 km = 120 km 1000m h = 120 m
s
3.6 s
km 3600s
h
h
(1.2)
Bild 4.1:
Elektronischer Zweipol
Beispiele für Zweipole sind Spannungs- und Stromquellen, Widerstände oder
Kondensatoren. Die Richtung der Pfeile für Strom und Spannung ist zwar beliebig. Man
verwendet aber am häufigsten das in Bild 4.1 eingezeichnete Verbraucherzählpfeilsystem.
Verbraucherzählpfeilsystem: Bei positivem Strom und positiver Spannung ist die
Leistung positiv, d.h. es wird Leistung (P = U I) aufgenommen (z.B. beim
Widerstand).
Erzeugerzählpfeilsystem: KATASTROPHE! Bloß nicht verwenden! Im Sinne eine
systematischen Behandlung der Elektrotechnik darf die Definitionsrichtung von
Strom und Spannung an Zweipolen nicht umgekehrt werden. Das Erzeugerzählpfeilsystem zählt aber abgegebene Leistung positiv, d.h. unterschiedliche Richtung von
Strom und Spannung wird positiv gezählt.
5
Elektrotechnik II
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Haben an einem elektronischen Bauelement Strom und Spannung die gleiche Richtung,
so wird somit Leistung aufgenommen; bei unterschiedlicher Richtung wird Leistung
abgegeben (negative Leistung). Betrachten wir unter diesem Aspekt Schaltungen aus
Spannungsquelle und Widerständen, so erkennen wir, dass von der Spannungsquelle
Leistung abgegeben wird (Strom und Spannung haben unterschiedliche Richtung) und das
die Widerstand die betragsmäßig gleiche Leistung aufnehmen. Dies folgt auch aus der
Energieerhaltung.
Telegen-Theorem: in einer Schaltung ist die Summe aller Leistungen stets null:
N
N
k=1
k=1
 u ki k =  p k = 0 .
(4.1)
Elektrotechnik II
6
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immer das Bezugspotenzial null. Gewöhnlich ist das das Potenzial der Umgebung
(= “Erde” oder “Masse” mit der Spannung 0V).
Ein Netzwerk hat K Knoten.
2.3.3
Spannung an einer Kante
Sind die Potenziale der Knoten bekannt, so kann als Potenzialdifferenz zwischen zwei
Knoten einer Kante auch eine Spannung zugeordnet werden. Haben Spannung und Strom
die gleiche Richtung, so handelt es sich um ein passives Bauelement; anderenfalls ist das
Bauelement aktiv (z.B. eine Spannungsquelle).
Das Telegen-Theorem gilt natürlich nur, wenn ein einheitliches Zählpfeilsystem verwendet
wird.
2.4
2.2
Grundsätzlich unterscheidet man zwei Verfahren zur Analyse von Netzwerken: das
Maschenstromverfahren oder das Knotenpotenzialverfahren.
Lineare Netzwerke
Wir analysieren und entwerfen zunächst lineare Netzwerke, deren Eigenschaften nicht von
der Amplitude von Strom und Spannung abhängen. Diese Netzwerke lassen sich einfacher
berechnen, indem sich beispielsweise das
Überlagerungsprinzip
(Addition der
Auswirkungen verschiedener Spannungs- und Stromquellen. s. Kapitel NO TAG)
anwenden lässt.
2.3
Netzwerkgraph
Elektronische Schaltung ist mathematisch ein Graph mit Knoten (Punkte) und Kanten
(Linien). Dieser Graph ist nicht gerichtet, d.h. es existiert z.B. keine Wirkungsrichtung von
Strömen oder Spannungen. Die elektrischen Größen können sich prinzipbedingt in einem
Netzwerk in beliebige Richtungen auswirken.
2.3.1
Kanten (Zweige)
Die Kanten enthalten die elektrischen Bauelemente. In der Regel sind dies einzelnen
Bauelemente (aktiv oder passiv) oder evtl. Serienschaltungen von Bauelementen. Jeder
Kante kann ein Strom (Richtung beliebig) zugeordnet werden, der durch die Kante fließt.
Ein Netzwerk hat N Kanten.
2.3.2
Knoten
Die Knoten sind die Verbindungspunkte mehrerer Kanten. Jedem Knoten kann eindeutig
ein Potenzial zugeordnet werden. Ein beliebiger Knoten im Netzwerk bekommt allerdings
2.4.1
Berechnung von Netzwerken
Maschenstromverfahren
Hier werden sämtliche Ströme in den N (unabhängigen) Maschen des Netzwerks
bestimmt. Die Spannungen folgen dann aus dem Zusammenhang zwischen Strom und
Spannung in den Zweigen (z.B. über das Ohmsche Gesetz
U = R I). Das
Maschenstromverfahren wird häufig bei einer Berechnung des Netzwerks “von Hand”
angewandt. Alle abhängigen Spannungen (d.h. nicht bei Spannungsquellen) werden durch
Ströme ausgedrückt.
2.4.2
Knotenpotenzialverfahren
Wie der Name vermuten lässt, werden die Potenziale sämtlicher K---1 Knoten bestimmt
(genau ein Knoten hat ja das Potenzial null). Das Knotenpotenzialverfahren wird häufig bei
einer Berechnung des Netzwerks mit Software angewandt (z.B. bei Spice). Sind die
Potenziale bekannt, lassen sich leicht aus den Potenzialdifferenzen (Spannungen) die
Zweigströme bestimmen. Alle abhängigen Ströme (d.h. nicht bei Stromquellen) werden
durch Spannungen bzw. Potenzialdifferenzen ausgedrückt.
2.5
Kirchhoffsche Regeln
Die Kirchhoffschen Reglen erlauben die Berechnung beliebig komplexer elektronischer
Netzwerke aus Spannungs- und Stromquellen sowie Widerständen. Reale elektronische
Schaltungen können aus hunderten von Bauelementen bestehen.
7
Elektrotechnik II
I1
U2
U1
U4
U3
I2
Bezugspotenzial = 0V
Bild 4.2:
Hochschule Bremerhaven --- IAE
8
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Vollständiger Baum: Weg aufeinanderfolgender Zweige (Kanten) in einem
Netzwerk, der nicht wieder “auf sich selbst” trifft.
I3
Der vollständige Baum ist also der maschenfreie Teilgraph, der alle Verzweigungsknoten
enthält.
U5
Der vollständige Baum ist nicht eindeutig, ebensowenig wie die Menge der unabhängigen
Gleichungen in einem Netzwerk. Dies ist für eine eindeutige Lösung jedoch auch nicht
notwendig. Vollständige Bäume für die Topologie aus Bild NO TAG zeigt die folgende
Zeichnung.
U6
Elektronisches Netzwerk
Mit Hilfe der Kirchhoffschen Regeln lassen sich alle Ströme und Spannungen bzw.
Potenziale von Netzwerken --- wie in Bild 4.2 --- berechnen.
2.5.1
Kirchhoffsche Knotenregel
Die Knotenregel beschreibt das Prinzip, dass Ströme nicht “verloren” gehen können. In
Gleichungsform lautet die Knotenregel

I=0.
(4.2)
Bild 4.3:
Vollständige Bäume (Bauelemente nicht gezeichnet)
Jede Weiterführung der vollständigen Bäume würde dazu führen, dass eine geschlossenen
Masche entsteht (was nicht zulässig wäre).
Knoten
Die Summe aller Ströme in einem Knoten (Verbindungspunkte von Leitungen) sind
stets null.
2.5.2
Man findet nun alle unabhängigen Maschengleichungen, indem man eine Masche
(Anfangs- und Endknoten gleich) bildet, die über den geschlossenen Baum und einen
Zweig geht, der nicht zum vollständigen Baum gehört. Im Beispiele des linken
vollständigen Baums in Bild 4.3 erhält man die zwei Maschen von Bild 4.4.
Kirchhoffsche Maschenregel
Die Maschenregel beschreibt das Prinzip, dass auf einem geschlossenen Weg die Spannung
stets null ist (dies folgt aus

 Eds = 0).
U=0.
M1
M2
(4.3)
Masche
Die Summe aller Spannungen in einer Masche (geschlossener Weg) ist stets null.
2.6
Systematische Analyse elektronischer Schaltungen
2.6.1
Maschengleichungen
Die vorangegangene Analyse erscheint vielleicht etwas Magisches oder gar Unverständliches an sich zu haben. Man kann jedoch auch systematisch zu einem Satz unabhängiger
Gleichungen gelangen. Dies ist möglich durch den sogenannten vollständigen Baum.
Bild 4.4:
Unabhängige Maschen
Die Richtung des Maschenumlaufs ist für das Ergebnis unerheblich.
2.6.2
Knotengleichungen
Aus den Kirchhoffschen Knotengleichungen erhält man ebenfalls unabhängige
Gleichungen für die Ströme. Da in einem geschlossenen Netzwerk kein Strom
“verschwinden” kann, sind jedoch nur K---1 Gleichungen linear unabhängig. Im Beispiel
von Bild 4.4 erhält man bei K=2 Verzweigungsknoten nur eine Gleichung für die Ströme
(oberer oder unterer Knoten).
9
Elektrotechnik II
2.6.3
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Anzahl der Gleichungen
10
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Für die Stromquelle erhält man
Anzahl unabhängiger Knotengleichungen: K---1.
Anzahl unabhängiger Maschengleichungen: Hängt von der Topologie ab, Konstruktion
durch vollständigen Baum.
Elimination von Strömen (Knotenpotenzialverfahren) oder von Spannungen (Maschenstromverfahren) mit Hilfe der Ohmschen Gesetze.
Vergleicht man (4.4) mit (4.5), so erhält man folgende Aussagen:
S
Der Innenwiderstand ändert sich bei der Umwandlung von Quellen nicht.
Anschließend ist ein lineares Gleichungssystem zu lösen.
S
Umwandlung von Spannungsquelle in äquivalente Stromquelle: I i =
S
Umwandlung von Stromquelle in äquivalente Spannungsquelle: U i = R i Ii .
Übung: Simulation der Schaltung mit einem ECAD-Programm (Electronic Computer Aided Design, z.B. Multisim, OrCAD, SPICE)
2.7
Vereinfachung von elektronischen Schaltungen
durch Umwandlung von Spannungs- und
Stromquellen
I
Ui
(1)
Bestimmen Sie alle unabhängigen Knotengleichungen.
(2)
Zeichnen Sie einen vollständigen Baum in die folgende Schaltung.
(3)
Bestimmen Sie alle unabhängigen Maschengleichungen, die zu dem
vollständigen Baum gemäß (2) gehören.
U01
Der Zusammenhang zwischen Spannung und Strom bei der realen Spannungsquelle lautet
U = Ui − Ri I .
(4.4)
I
+
--Bild 4.6:
Reale Stromquelle
U02
R1
Reale Spannungsquelle
Ii
I4
U
--Bild 4.5:
Ui
.
Ri
Übungsbeispiel: Netzwerkberechnung mit Hilfe des
vollständigen Baums
R4
+
(4.5)
Durch die sogenannten Quellentransformationen kann die Berechnung von Netzwerken oft
stark vereinfacht werden.
2.8
An den Klemmen kann eine reale Spannungsquelle von einer realen Stromquelle nicht
unterschieden werden. Es ist deshalb möglich Strom- und Spannungsquellen
umzurechnen.
Ri
U = R i I 1 = R i(I i − I) = R i I i − R i I .
Ri
U
I1
I01
I02
I1
R2
I2
R3
I3
U03
I03
11
Elektrotechnik II
3
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Signale und Systeme
Ein dynamisches System stellt eine Funktionseinheit dar zur Verarbeitung und
Übertragung von Signalen, wobei die Systemeingangsgrößen als Ursache und die
Systemausgangsgrößen als deren zeitliche Auswirkung zueinander in Relation
gebracht werden.
In der Elektronik sind Systeme die elektronischen Bauelemente oder die aus
elektronischen Bauelementen gebildeten Netzwerke.
System
elektronisches
Netzwerk
Ausgangsspannung
Signale
Bild 7.1:
Harmonische Signale (AC). Die Signale sind “sinusförmig”, d.h. sie sind periodische
Funktionen über der Zeit.
Zeiger werden durch unterstrichene Großbuchstaben gekennzeichnet.
S
Transiente, d.h. “einmalige” oder beliebige Funktionen der Zeit.
transiente Signale werden durch Kleinbuchstaben gekennzeichnet.
Praktisch vorkommende Signale können aus der Kombination dieser Signalformen
bestehen.
2.5
2
1.5
1
0.5
U1
DC
1
0.5
0
---0.5
U2
AC
u3(t)
transienter
Vorgang
2
1
0
6
u4(t) = u1(t)+u2(t)+u3(t)
4
Signalbeschreibung
u4(t)
2
Signale bestehen immer aus einem Wert und einer Einheit. Beispielsweise kennzeichnet
u 1 = 40V
S
3
Beispiel für ein System
Mit dieser Vorgehensweise lassen sich auch komplexe Schaltungen mit einem Höchstmaß
an Übersichtlichkeit entwerfen.
3.1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Gleichsignale werden durch Großbuchstaben gekennzeichnet.
In der Elektronik --- wie auch in anderen Bereichen der Ingenieurwissenschaften --- hat sich
das Denken in Signalen und Systeme etabliert. Signale im allgemeinen beschreiben
Energien, Material, Informationen oder anderen Größen. Signale können also
verschiedener Natur sein. In der Elektronik verstehen wir unter Signalen i.a. die
Spannungen und Ströme einer Schaltung. Zusätzlich können auch elektrische und
magnetische Feldstärken, Induktion oder andere Signale in der Elektronik eine Rolle
spielen.
Eingangsspannung
12
Elektrotechnik II
0
0
20
40
60
80
100
120
Zeit [s]
(7.1)
eine Spannung von 40 Volt. Große und kleine Werte werden durch einen entsprechenden
Zusatz zur Einheit beschrieben, z.B. 19μA (= 19 Mikroampere = 1,9 10 ---5A).
Bild 7.2:
Man unterscheidet im wesentlichen drei verschiedene Signale:
In Bild 7.2 ist die Überlagerung der drei Signaltypen zu einem Signal u4(t) gezeigt.
S
Gleichsignale (DC). Diese Signale sind konstant, d.h. sie ändern sich nicht über der
Zeit.
Signaltypen und Überlagerung
Kleinbuchstaben kennzeichnen Augenblickswerte.
13
Elektrotechnik II
4
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Harmonische Signale (sinusförmige Signale)
Sinusförmige Signale haben in der Elektrotechnik aus mehreren Gründen einen
besonderen Stellenwert:
S
Die Energieerzeugung und Verteilung basiert auf sinusförmigen Signalen.
S
Sinusförmige Signale spielen in der Informationsübertragung eine wesentliche Rolle
(z.B. bei der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen).
S
Jedes periodische (nicht-sinusförmige) Signal kann durch die Summe sinusförmiger
Frequenzen dargestellt werden (Fourier-Reihe)
S
Ein beliebiges transientes Signal kann ebenfalls durch Überlagerung von sinusförmigen
Signalen beschrieben werden (Fourier-Transformation, Laplace-Transformation).
Die letzten beiden Punkte erklären, warum die Behandlung harmonischer Signale
besonders wichtig ist. Kennt man nämlich das Verhalten einer Schaltung bei sinusförmigen
Signalen, so ist im Prinzip aus das Verhalten für beliebige Signale bekannt. Aus diese
Behandlung von Signalen und System im sogenannten Frequenzbereich wird später
eingegangen.
a0
+
2
∞
∞
k=1
k=1
 ak cos(kx) +  bk sin(kx) .
(7.2)
beschrieben werden. Ein periodisches Signal ist dadurch gekennzeichnet, dass es eine
Periodendauer T gibt, nach der sich das Signal wiederholt
f (x) = f (x + nT) ,
n = 0, 1, 2, 3 , 
(7.3)
T
a
π
2π
3π
Harmonische Signale werden i.a. nicht durch den Augenblickswert, sondern durch
komplexe Zeiger beschrieben.
Der große Vorteil der komplexen Darstellung besteht darin, dass alle Erkenntnisse aus der
Berechnung von Widerstands-Netzwerken mit Gleichstrom auf Schaltungen mit
Wechselstrom übertragen lassen. Gleichzeitig können elegant die Bauelemente
Kondensator und Induktivität (Spule) berücksichtigt werden. Im Unterschied zu den
Widerständen wirken Kondensatoren und Spule dann als komplexe Widerstände.
4.1
Zeigerdarstellung
Mit den sogenannten Zeigern lassen sich Kosinus- oder Sinusgrößen einer Frequenz oder
die Summe von Sinus- und Kosinus-Funktionen darstellen. Das Argument für Kosinus und
Sinus ist ωt, d.h. wir betrachten Funktionen der Form
(7.6)
Der Parameter a ist die Amplitude (auch Scheitelwert genannt); der Parameter ω ist die
Kreisfrequenz. Zu beachten ist, dass das Argument (Winkel) ωt im Bogenmaß zählt, d.h.
die Funktionen sind mit 2π periodisch
y(t) = a cos(ωt) = a cos(ωt + n2π) ,
n = 0, 1, 2, 3,  .
(7.7)
Die Kreisfrequenz ω muss so gewählt werden, dass bei t = T der Winkel 2π erreicht wird
!
(7.8)

sin(3t) sin(5t)
+
+  .
3
5
(7.9)
Mit der Frequenz
4π
f=1
T
Das Rechtecksignal in Bild 7.3 könnte damit durch die unendliche Reihe (Überlagerung
von Sinus-Funktionen) exakt beschrieben werden

(7.5)
k=1
ω = 2π .
T
Periodisches Rechtecksignal
u(t) = 4a
π sin(t) +
∞
Daraus folgt
t
---a
− 1) t 
 4aπ sin(2k
.
2k − 1
ωT = 2π .
u(t)
Bild 7.3:
n∈G.
u(t) =
Hochschule Bremerhaven --- IAE
y(t) = a cos(ωt) .
Ein beliebiges periodisches Signal kann durch die Fourier-Reihe
f (x) =
14
Elektrotechnik II
(7.4)
Man erkennt, dass nicht alle Frequenzen sowie der Kosinus nicht auftreten. Kompakter
schreibt man die Summe (7.4)
(7.10)
lässt sich (7.9) auch in der Form
ω = 2π = 2πf
T
(7.11)
schreiben.
Eine harmonische Funktion ist eindeutig durch Amplitude a (Scheitelwert),
Kreisfrequenz ω und durch die Phase Ô gekennzeichnet.
15
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
U
Allgemein lautet der Augenblickswert z.B. einer Spannung
^
u(t) = u cos ωt + Ô  .
(7.12)
1
0
π
2π
3π
4π
5π
6π
7π
---0.5
Mittelwert
Der Mittelwert ist definiert als die Fläche unter der Funktion (Integral) über eine
Periode T geteilt durch die Periodendauer
Winkel τ = ωt [rad]
Bild 7.5:
T
1
T
Hochschule Bremerhaven --- IAE
0.5
Die Amplitude kennzeichnet man bei Spannungen oder Strömen mit dem Symbol “^”
und wird auch Scheitelwert genannt.
4.1.1
16
Elektrotechnik II
 f (x)dx .
(7.13)
0
Gleichgerichtete Wechselspannung mit τ = ωt als Ordinate
Da das Signal nun eine Periode von π aufweist, kann die Integration über den Winkel π
vorgenommen werden. Der Mittelwert wird mit einem Überstrich gekennzeichnet
π
Der Mittelwert wird beispielsweise mit einem Drehspul-Messinstrument angezeigt, da
aufgrund der Trägheit des Messwerks nur der Mittelwert angezeigt werden kann. Für den
Mittelwert einer harmonischen Funktion gilt stets
1
U=π
 u sin(τ)dτ = − πu cos(τ)
^
^
π
0
2u
^
^
=π
≈ 0.6366 u
.
(7.15)
0
T
1
T
 u sin(ωt)dt = u − cos(ωt)  = u cos(0) − cos2πT T = 0 .
^
^
T
0
^
(7.14)
0
Ein Drehspulinstrument zeigt also bei Wechselspannung oder Wechselstrom den Wert null
an. Um Wechselstrom oder Wechselspannung messen zu können, wird ein Gleichrichter
(Diode) eingesetzt. Jedes Messgerät muss deshalb bei Wechselgrößen auf den Bereich
“AC” (= alternating current, Wechselstrom) umgeschaltet werden. Eine gleichgerichtete
Spannung hat dann den Verlauf in Bild 7.4.
U
Bedeutsamer als der Mittelwert ist in der Regel der Effektivwert, der für die mit einer
Spannung oder einem Strom umsetzbare Leistung bestimmend ist. Die Leistung, die mit
einer bestimmten Spannung an einem Widerstand umgesetzt wird, lautet
2
p(t) = u(t) i(t) = u u = u .
R
R
(7.16)
Die Leistung hängt also vom Quadrat der Spannung ab. Gleiches gilt auch für den Strom
(7.17)
Den Verlauf von Strom, Spannung und Leistung ist im folgenden Diagramm gezeigt.
0.5
0
T
Zeit [s]
Bild 7.4:
Effektivwert
p(t) = u(t) i(t) = Ri i = R i 2 .
1
---0.5
4.1.2
Gleichgerichtete Wechselspannung
Nun ist der Mittelwert nicht mehr null. Die Periodendauer halbiert sich. Häufig werden
Berechnungen wesentlich einfacher, wenn als Integrationsvariable nicht die Zeit t
sondern der Winkel τ = ωt benutzt wird. Die Frequenz wird damit aus der Integration
eleminiert.
17
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Es genügt, über den Winkel von π zu integrieren, da wegen u2 der Verlauf im Intervall
[π..2π] mit dem Intervall [0..π] identisch ist
Spannung
1
0.5

π
U=
0
---0.5
---1
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
Bild 7.6:
18
Elektrotechnik II
1
π
(7.21)
0
Strom
Setzt man den Augenblickswert
^
sin(τ)
u(τ) = u
Leistung
(7.22)
ein, so folgt

π
U=
0
5
10
15
20
25
Die Leistung weist die doppelte Frequenz auf und pendelt zwischen null und einem
Maximalwert.
Der Effektivwert ist die äquivalente Gleichgröße, die die gleiche Leistung an einem
Widerstand umsetzt wie die Wechselgröße.
Der Effektivwert ist damit ein synthetischer Wert, der eine Wechselgröße hinsichtlich ihrer
Leistung besser beschreibt als beispielsweise der Mittelwert oder der Scheitelwert. Der
Effektivwert wird über den Mittelwert der Leistung berechnet
U 2eff !
= 1 u 2(t) .
R
(7.18)
1
π
^
=u

π
^2
u
sin2(τ)dτ
^
=u
0
Leistung bei Wechselgrößen
R
u 2(τ)dτ .

1 τ 1
π 2 − 4 sin(2τ)
1
π
sin 2(τ)dτ
0

π
0
^
^
= u ≈ 0.7071 u
.
2
(7.23)
Der Effektivwert ist also um den Faktor 1∕ 2 kleiner als der Scheitelwert. Das Verhältnis
zwischen Scheitelwert und Effektivwert nenn man Crest-Faktor. Im Fall der harmonischen
Funktion gilt für den Crest-Faktor
^
C R = u = 2 .
U
(7.24)
Der Crest-Faktor unterscheidet sich deutlich, wenn die Kurvenform von einem Sinus stark
abweicht (z.B. bei der Dreieckfunktion, Sägezahn).
Der Effektivwert wird international mit RMS bezeichnet (root mean square).
Durch Vergleich von rechter und linker Seite folgt

T
U eff := U = u 2(t) =
1
T
u 2(t) dt .
(7.19)
0
Der Effektivwert wird i.a. ohne Index angegeben, d.h. mit U bezeichnet man den
Effektivwert der Spannung; I bezeichnet den Effektivwert des Stroms. Ersetzt man die
Integrationsvariable t durch τ = ωt, so folgt

2π
U=
1
2π
0
u 2(τ)dτ .
(7.20)
Billige Messinstrumente für Effektivwerte basieren auf einer Gleichrichtung mit
anschließender Mittelwertbildung, d.h. sie messen
2 u
^
.
U=π
(7.25)
Dieser Wert muss nun noch mit dem Faktor
1 ^
u
U = 2 = π = π ≈ 1.111
^
2
8
U
2 2
π u
(7.26)
korrigiert werden. Bessere Messgeräte (digitale Multimeter) werten direkt (7.21) aus und
können den Effektivwert auch bei beliebigen Kurvenformen in einem weiten
Frequenzbereich messen. Diese Messgeräte tragen die Bezeichnung “True RMS”.
19
Elektrotechnik II
4.1.3
Hochschule Bremerhaven --- IAE
20
Elektrotechnik II
Komplexe Zeigerdarstellung harmonischer Funktionen
jIm
ωt
Jede harmonische Funktion kann durch die drei Parameter ω, ^
a (Amplitude) und Ô
beschrieben werden
^
y(t) = a
cos(ωt + Ô) .
Hochschule Bremerhaven --- IAE
2 U
Ô
(7.27)
Wir können uns auf die Kosinus-Funktion beschränken, da der Sinus in (7.27) ebenfalls
enthalten ist
1.5
1
0.5
0
0
Wenn man sich auf Signale gleicher Frequenz ω beschränkt, verbleiben 2 Parameter
(Amplitude und Phase), die elegant als komplexer Zeiger beschrieben werden können.
Man hat sich darauf geeinigt, die Länge durch den Effektivwert anzugeben. Die Länge des
Zeigers ist um den Faktor 1∕ 2 kleiner als der Scheitelwert. Der Winkel in der komplexen
---0.5
(7.28)
---1

---1.5

a cos ωt − π .
y(t) = ^
a sin(ωt) = ^
2
Re
5
Ebene ist die Phasenverschiebung der Kosinus-Funktion. Somit wird beispielsweise die
Spannung
(τ = ωt) .
10
^
cos(τ + Ô) ,
u(τ) = u
(7.29)
durch durch den komplexen Zeiger
15
^
U = U e jÔ = u e jÔ
2
(7.30)
(7.31)
Der Faktor 2 gibt wieder den Zusammenhang zwischen Scheitelwert und Effektivwert
an, da ein komplexer Zeiger per Definition die Länge des Effektivwerts besitzt.
Bei der Bestimmung des Realteils wurde die Beziehung
e jx = cos(x) + j sin(x)
25
^
cos ωt + Ô  .
u(t) = Re2 U e jωt = 2 U cos ωt + Ô  = u
Winkel ωt
(7.32)
verwendet. Der Wert U ist der Betrag des Zeigers U und Ô sein Winkel in der komplexen
Ebene. Die Gleichung (7.31) hat auch eine einfache grafische Interpretation. Der zeitliche
Verlauf folgt aus der Projektion des mit τ = ωt umlaufenden Zeigers auf die reelle Achse.
20
eindeutig beschrieben. Man kann sich den Zeiger mit der Winkelgeschwindigkeit ω in der
komplexen Ebene rotierend vorstellen. Der Augenblickswert folgt dann aus dem Realteil
dieses Ausdrucks
Bild 7.7:
Zusammenhang zwischen komplexem Zeiger und zeitlichem Verlauf der
Spannung
Mit Zeigern werden Beträge und Phasen zueinander in Beziehung gesetzt. Für eine Größe
(Spannung oder Strom) kann die Phase beliebig gewählt werden. In der Regel ist die der
Winkel null, sodass der betreffende Zeiger in der reellen Achse liegt.
4.1.4
Beispiel: Netzspannung und -strom
An einem Verbraucher wird folgende Spannung und folgender Strom gemessen.
21
Elektrotechnik II
i [A]
u [V]
40
30
20
10
0
---10
---20
---30
---40
400
300
200
100
0
---100
---200
---300
---400
22
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
jIm
U
u
i
Re
Ô
I
Bild 7.9:
0
3.3ms
Bild 7.8:
Hochschule Bremerhaven --- IAE
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
t [s]
Verläufe von Netzspannung und Netzstrom
^
(7.34)
Zur Bestimmung der komplexen Zeiger wird die Phaseninformation benötigt. Die
Phasenverschiebung der Spannung gegenüber dem Kosinus ist null; für den Strom ermittelt
man eine zeitliche Verschiebung von ca. -3,3ms. Dies entspricht einer Phasenverschiebung
[in Grad] von
Ô = ∆t 360˚ ≈ − 60˚ .
T
(7.35)
Um die Phasenverschiebung sichtbar zu machen, werden Spannungs- und Stromzeiger in
ein Diagramm gezeichnet. Strom- und Spannung werden natürlich unterschiedlich skaliert,
da sich ein direkter Vergleich von Strom und Spannung verbietet.
Re{I} = ReIe jÔ = I cos(Ô) = 7.07A
(7.36)
Im{I} = ImIe jÔ = I sin(Ô) = − 12.25A .
(7.37)
sowie aus
(7.33)
Dies ist der Nennwert der Spannungsversorgung in Europa. Für den Strom liest man einen
Scheitelwert von 20A ab. Der Effektivwert (= Länge des Zeigers) ist damit
I = i = 20A ≈ 14.14A .
2
2
Die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung ist negativ, was gleichbedeutend
mit einer Verzögerung der Stroms gegenüber der Spannung ist. In einem Zeigerdiagramm
lassen sich leichter und genauer Phasen- und Betragsbeziehungen ablesen, als in zeitlichen
Verläufen.
Der Zeiger der Spannung ist reell. Real- und Imaginärteil des Stromzeigers folgen aus
Strom und Spannung sollen als komplexe Zeiger (Zeigerdiagramm) dargestellt werden.
Als Periodendauer liest man T = 20ms ab, d.h. die Frequenz der Schwingung beträgt
f = 50Hz. Die Kreisfrequenz ist damit ω = 2π50 1/s. Die Amplitude der Spannung ist ca.
325V. Daraus folgt
^
U = u = 325V ≈ 230V .
2
2
Zeigerdiagramm
4.2
Übung: Bestimmung einer harmonischen Funktion
Eine Sinus-Spannung habe eine Periodendauer T = 12,5ms. Die Steigung im Ursprung
sei

dU
= 12.566 kV
s .
dt t=0
(7.38)
Lösung:
Die Lösung besitzt die Form
^
u=u
sin(ωt) .
(7.39)
Die Kreisfrequenz ist durch die Angabe der Periodendauer bekannt:
ω = 2π = 2π = 502.7 1s .
T
12.5ms
(7.40)
Die Steigung im Ursprung ist

dU
^
^
=u
ω cos(ωt)  t=0 = u
ω
dt t=0
(7.41)
23
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
4.4
Das Auflösen nach der Amplitude führt auf
^
=
u

dU
dt t=0
ω
=
12.566 kV
s
502.7 1s
= 25V .
(7.42)
Der Effektivwert ist dann
^
U = u = 25V = 17.68V .
2
2
4.3
(7.43)
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Addition harmonischer Größen
Die Addition von Sinus-/Kosinus-Größen unterscheidet sich von der Addition von
Gleichgrößen dadurch, dass die Phasenlage zu berücksichtigen ist. Es ist ein wesentlicher
Vorteil der komplexen Zeiger, dass dies durch Real- und Imaginärteil automatisch richtig
erfolgt. Bedingung hierfür ist natürlich, dass die Größen gleiche Frequenz aufweisen (was
bei Zeigern aber immer vorausgesetzt wird).
Die Summe zweier Spannungen u1+u2 mit
^
u1 = u
1 cos(τ + Ô 1) ,
“Verschiebung” einer Wechselgröße
^
Die Verschiebung einer Wechselspannung oder eines Wechselstroms gegenüber der
Kosinus-Funktion wird durch die Phase Ô beschrieben. Eine positive Phase bewirkt eine
Verschiebung nach “links”, d.h. in die Richtung “frühere” Zeiten
y(t) = cos(ωt + Ô) .
(7.44)
y
cos(τ+Ô)
24
Elektrotechnik II
(7.45)
u 2 = u 2 cos(τ + Ô 2)
(7.46)
^
u3 = u1 + u2 = u
3 cos(τ + Ô 3) .
(7.47)
ergibt
Es muss folglich die Amplitude für u3 sowie die resultierende Phase für u3 bestimmt
werden. Die direkte Addition der Zeitfunktionen erweist sich als sehr schwer lösbar; wir
werden es dennoch mit Hilfe des Additionstheorems
cos(x  y) = cos x cos y  sin x sin y
cos(τ)
(7.48)
versuchen. Man erhält für die Summe
τ
^
^
^
^
u3 = u
1 cos τ cos Ô 1 − u 1 sin τ sin Ô1 + u 2 cos τ cos Ô 2 − u 2 sin τ sin Ô 2 . (7.49)
Sortiert man nach cos τ und sin τ, so folgt
Ô=π
4
Bild 7.10:
^
^
^

^

u 3 = u
1 cos Ô 1 + u 2 cos Ô 2 cos τ − u 1 sin Ô 1 + u 2 sin Ô 2 sin τ .
Positive Phase Ô
Durch Koeffizientenvergleich mit [aus (7.47)]
Negative Werte der Phase bedeuten eine Verschiebung hin zu “späteren” Zeiten,
entsprechen also einer Verzögerung des Signals.
^
^
u3 = u
3 cos τ cos Ô 3 − u 3 sin τ sin Ô3
!
^
^
^
u
3 cos Ô 3 = u 1 cos Ô 1 + u 2 cos Ô 2
cos(τ---Ô)
cos(τ)
!
τ
Negative Phase Ô
(7.52)
sowie
^
^
^
u
3 sin Ô 3 = u 1 sin Ô 1 + u 2 sin Ô 2 .
Ô=−π
4
(7.51)
folgt
y
Bild 7.11:
(7.50)
(7.53)
Durch Division beider Gleichungen lässt sich der Phasenwinkel Ô3 bestimmen
^
^
^
u
sin Ô 3
u
sin Ô 1 + u
2 sin Ô 2
= ^1
.
tan Ô 3 = ^3
^
u 3 cos Ô 3
u 1 cos Ô 1 + u
2 cos Ô 2
Die Amplitude folgt wegen
(7.54)
25
Elektrotechnik II
sin 2 x + cos 2 x = 1 ,
Hochschule Bremerhaven --- IAE
∀x
(7.55)
15
^2
2
2
u 3 = u 1 cos Ô 1 + u 2 cos Ô 2 + u 1 sin Ô 1 + u 2 sin Ô 2 .
^
^
^
^
5
u1
0
Die Berechnung der Summe mit komplexen Zeigern ergibt
u2
---5
u 3 = Re2 U 3e jτ = u 1 + u 2 = Re2 U1e jτ + Re2 U 2e jτ
---10
(7.57)
---15
Die Gleichung (7.57) gilt auch für den Imaginärteil, sodass man --- nach Kürzung durch
2 e jτ --- einfach die (komplexe) Summe der Zeiger gebildet werden kann
U3 = U1 + U2 .
u3
10
(7.56)
Mit (7.54) und (7.56) lassen sich also Amplitude und Phasenwinkel der Summe bestimmen.
= Re2 U 1e jτ + 2 U 2e jτ .
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Den zeitlichen Verlauf der Spannungen zeigt Bild .
zu
4.4.1
26
Elektrotechnik II
(7.58)
0
Bild 7.12:
2
4
6
8
10
12
14
16
20
τ [rad]
Summe zweier Spannungen
Der Scheitelwert der Summenspannung u3 ist
Beispiel zur Addition von Spannungen mit komplexen Zeigern
^

u
3 = U 3 2 = 14.8V .
Die Summe der Funktionen
u 1 = 10V cos(τ)
18
(7.66)
(7.59)
und

u 2 = 7V cos τ − π
3

(7.60)
soll bestimmt werden. Zunächst bestimmt man die zugehörigen komplexen Zeiger zu
diesen Funktionen
U 1 = 10V e j0 = 7.071V (reell) ,
2

(7.61)

U 2 = 7V e jπ∕3 = 4.95V cos π + j4.95V sin π = 2.475V + j4.287V . (7.62)
2
3
3
Der Summe wird dann
U 3 = U 1 + U 2 = 9.546V + j4.287V .
(7.63)
Die resultierende Phasenverschiebung folgt aus der Umwandlung in Polarkoordinaten,
d.h. der Darstellung in Betrag und Phase
U := |U| =
Re2U3 + Im2U3 = 10.46V ,
ImU 3
^
Ô 3 = arctan
24˚ .
= 0.4221 =
ReU 3
5
Kapazität und Kondensator
Die im elektrischen Feld gespeicherte Energie wird in einem elektronischen Bauteil --- dem
Kondensator --- genutzt. Ohne dieses Bauteil wäre keine Schaltung denkbar.
Kondensatoren können Energie aufnehmen und abgeben, ohne dabei Leistung zu
verbrauchen.
Ein Kondensator ist ein (idealer) Speicher für elektrische Energie.
Die in dem Kondensator gespeicherte Energie wird beispielsweise in der Digitaltechnik zur
Speicherung von Informationen (DRAM = Dynamic Random Access Memory)
verwendet. Weiterhin werden Kondensatoren für elektronische Filter und für
Spannungsversorgungen benötigt.
(7.64)
5.1
Der Plattenkondensator
(7.65)
Die einfachste Bauform ist der Plattenkondensator.
27
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
i
+
Spannung U
bzw. für die Ladung auf einer Platte (Satz von Gauss)
Q=
C=
(Plattenkondensator, Luft)
(3.5)
[Q]
= As = F ,
V
[U]
(Farad) .
(3.6)
Die erzielbare Kapazität von Plattenkondensatoren ist jedoch nur sehr klein.
+
Schaltzeichen für Kondensatoren (links ungepolt, rechts gepolte Ausführung)
Für A = 10cm2 und d = 1mm erhält man nur eine winzige Kapazität von
C=
As
10 −2m 2 8.854 ⋅ 10 −12 Vm
AÁ 0
=
= 8.854 pF .
d
10 −3m
(3.7)
Wesentlich günstigere Verhältnisse ergeben sich für die sogenannten Metall-KunststoffKondensatoren (MKS). Hier wird eine Folie (z.B. MKC/MKM Polycarbonat) mit Metall
bedampft (0,02---0,05μm) und zwei dieser Folien zu Rund- oder Flachwickeln gerollt. Auf
diese Weise lassen sich hohe Kapazitäten bei geringem Volumen erzeugen.
Verwendet man ein geeignetes Dielektrikum (mit εr > 1), so lässt sich die Kapazität bei
gleicher Baugröße beträchtlich steigern
C=
Á0 Ár A
.
d
(3.8)
Weitere Bauformen:
Kapazität
Wenn die Fläche A der Platten groß gegenüber dem Abstand d ist, entsteht ein homogenes
Feld zwischen den Platten. Legt man eine Spannung U an die Platten, so ist die Feldstärke
zwischen den Platten
Man erhält für die Verschiebungsdichte
Á0 A
d
[C] =
Die einfachste Bauform: Plattenkondensator
E=U .
d
(3.4)
Die Einheit der Kapazität ist gemäß (3.4)
Elektronenüberschuss
Plattenkondensatoren wie in Bild 3.1 mit Vakuum als Dielektrikum (Raum zwischen den
Anode und Kathode) sind nahezu ideale Bauelemente. Kondensatoren werden anhand der
Kennwerte Kapazität und Spannungsfestigkeit ausgewählt. Diese Größen, die auf den
Kondensatoren üblicherweise aufgedruckt sind, lassen sich aus dem elektrischen Feld
berechnen. Das Schaltzeichen für den Kondensator leitet sich aus dem Plattenkondensator
ab.
5.1.1
Á0 A
U := C U .
d
Der Faktor zwischen Spannung U und Ladung Q heißt Kapazität C.
Kathode
--
(3.3)
(A ist die Fläche der Platte). Setzt man (3.1) in (3.3) ein, so erhält man den Zusammenhang
zwischen Spannung U und Ladung Q
Fläche A
elektrisches
Feld
Dielektrikum
(3.2)
Q = DA = Á 0 E A
Anode
Abstand d
Bild 3.2:
Hochschule Bremerhaven --- IAE
D = Á0 E
Elektronenmangel
Bild 3.1:
28
Elektrotechnik II
(3.1)
S
Keramikkondensator
S
MKP (Metall-Papier-Kondensator, Wickelkondensator)
S
Styroflexkondensator (Dielektrikum besteht aus Polystyrol)
S
Tantal-Elektrolytkondensator (Tantalfolie, Sinteranode mit flüssigem oder festem
Elektrolyt)
S
Aluminium-Elektrolytkondensator
Elektrotechnik II
6
29
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Magnetisches Feld
Das Vorhandensein eines Feldes kann man aus einer Kraftwirkung herleiten. Sowohl bei
dem elektrischen Feld als auch bei dem Schwerefeld können Kräfte auf bestimmte Körper
nachgewiesen werden. Die Kraftwirkung des magnetischen Feldes ist uns vertraut, da
magnetische Materialien in der Natur vorkommen und die Kräfte in einem Magnetfeld
außerordentlich groß werden können. Der Erde besitzt ebenfalls ein Magnetfeld, das sich
über einen sehr langen Zeitraum jedoch stark ändert.
30
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
und magnetischer Pol weichen allerdings etwas voneinander ab). Der geografische Nordpol
ist also der magnetische Südpol der Erde.
Die magnetischen Feldinien (Richtung der Kraftwirkung) sind stets geschlossen.
Definitionsgemäß treten die Feldlinien aus dem Nordpol eines Magneten aus und münden
in den Südpol. Innerhalb des Magneten verlaufen die Feldlinien entgegengesetzt.
Es besteht auch ein enger Zusammenhang zwischen einem Magnetfeld und dem
elektrischen Strom.
Jeder Strom erzeugt ein magnetisches Feld.
N
So wie eine Spannung immer ein elektrisches Feld erzeugt, erzeugt der elektrische Strom
ein Magnetfeld. Die Wechselwirkung zwischen Strom und Magnetfeld bezeichnet man als
Elektromagnetismus. Magnetische Felder entstehen aber auch ohne elektrischen Strom
durch sogenannte Permanentmagnete. Diese Werkstoffe sind für die Elektrotechnik
bedeutsam, da sie zum Aufbau von elektrischen Antrieben und Generatoren verwendet
werden.
Treten elektrische und magnetisches Felder in eine Wechselwirkung, so können
elektromagnetische Wellen entstehen, die sich gänzlich ohne Materie im Raum als Energie
ausbreiten können. Auf diese Weise lassen sich Informationen mit Lichtgeschwindigkeit
ohne Materie übertragen (Radio, Fernsehen, Mobiltelefonie).
Zu fast allen Größen des elektrischen Feldes existieren entsprechende Größen des
magnetischen Feldes.
6.1
Magnetische Feldlinien
Das Magnetfeld übt eine Kraft auf Körper aus, die wiederum das Magnetfeld beeinflussen
bzw. verändern. Dies sind magnetische Materialien wie z.B. Eisen oder Nickel. Sind diese
Körper selbst magnetisch, so kann eine Kraftrichtung festgestellt werden.
Ein magnetischer Körper besitzt einen Nord- und einen Südpol (Dipol).
Eine magnetische “Einzelladung” wie bei dem elektrischen Feld existiert bei einem
Magneten nicht. Bricht man beispielsweise einen Stabmagneten in der Mitte durch, so
erhält man wieder zwei Magneten mit Nord- und Südpol. Man stellt fest, dass sich gleiche
Pole anziehen und ungleiche Pole abstoßen. Das Erdmagnetfeld bewirkt deshalb eine
Ausrichtung des Nordpols der Kompassnadel zum geografischen Nordpol (geografischer
Bild 9.1:
S
Feldlinien eines Permanentmagneten
Die Feldlinien außerhalb des Magneten können beispielsweise durch Eisenfeilspäne
sichtbar gemacht werden, die sich sich in Richtung der Kraft (=Feldlinien) ausrichten.
Magnetische Feldlinien sind stets geschlossen.
6.2
Stromdurchflossene Leiter
Jeder stromdurchflossene Leiter erzeugt ebenfalls ein Magnetfeld, was durch seine
Kraftwirkung nachweisbar ist (z.B. Ausrichtung einer Kompassnadel). Man stellt den
folgenden Verlauf der Feldlinien fest.
Elektrotechnik II
31
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Bild 9.2:
32
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Magnetfelder jeder einzelnen Wicklung addieren. Oberhalb und unterhalb eines Leiters
haben die Feldlinien in den Bildern 9.2 und 9.3 eine unterschiedliche Richtung. Aufgrund
der Anordnung “übereinander” heben sich die Felder zwischen des Wicklungen auf.
Leiter
Stromflussrichung aus
der Bildebene hinaus
Elektrotechnik II
Stromflussrichung in
die Bildebene hinein
Verlauf der magnetischen Feldlinien bei einem stromdurchflossenen Leiter
Auch hier findet man bestätigt, dass die Feldlinien grundsätzlich geschlossen sind. Die
Richtung des Magnetfelder folgt aus der “rechte-Hand-Regel”:
Rechte-Hand-Regel: Zeigt der Daumen in die Richtung des Stromes, so geben die
übrigen Finger die Richtung des Magnetfelds an (auch “Rechtsschraubenregel”
gannant).
Für das Bild 9.2 haben wir angenommen, dass die Leiter sehr weit auseinanderliegen.
Gewöhnlich liegen Hin- und Rückleiter der Stroms jedoch so dicht beieinander, dass sich
die Magnetfelder beider Leiter beeinflussen.
Bild 9.4:
Zylinderspule
Die Richtung des Magnetfeldes folgt wieder aus der “rechte-Hand-Regel”, die in diesem
Falls auch in etwas anderer Form angewandt werden kann: Zeigt der Daumen in die
Richtung der Feldlinien im Innern der Spule, so geben die übrigen Finger die
Stromrichtung an.
6.3
Magnetische Flussdichte
Die Zylinderspule in Bild 9.4 hat den Nachteil, dass die Feldlinien sich außerhalb der Spule
schließen. Dies lässt sich mit eine Ringspule vermeiden. Hier können sich die Feldlinien
innerhalb des Ringes schließen. Ringspulen sind sehr hochwertige Spulen. Aufgrund der
komplizierten Fertigung sind sie jedoch recht teuer.
Bild 9.3:
Magnetische Feldlinien bei benachbarten Leitern
Es lassen sich sehr starke Magnetfelder erzeugen, wenn man Leiter beispielsweise
zylinderförmig aufwickelt. Es entsteht eine sogenannte Spule (Induktivität), bei der sich die
Elektrotechnik II
33
Hochschule Bremerhaven --- IAE
34
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Querschnitt der Spule
Richtung des
Magnetfelds
Elektron
v
I
Austrittsbahn
F
Bild 9.5:
Eintrittsbahn
Ringspule (Torus)
Lässt man einen kleinen Spalt in der Wicklung, so kann an dieser Stelle ein starkes und
homogenes Magnetfeld gemessen werden.
Das Magnetfeld übt eine Kraft auf bewegte Ladungsträger aus.
Wird ein Elektron in den Luftspalt geschossen, so wird aufgrund des Magnetfelds das
Elektron aus seiner Bahn abgelenkt. Das Elektron beschreibt dann eine Kreisbahn bzw. ein
Kreissegment.
homogenes Magnetfeld
(in Bildebene hinein)
Bild 9.6:
Bahn eines Elektrons unter dem Einfluss eines konstanten Magnetfelds
Eine Kreisbahn entsteht, wenn eine Kraft stets senkrecht zur Bewegungsrichtung des
Teilchens wirkt. In Experimenten stellt man fest, dass diese Kraft proportional zur
Geschwindigkeit der Ladung und proportional zur Ladung des Teilchens ist
F~v,
(9.1)
F~Q.
(9.2)
Weiterhin hängt die Kraft natürlich auch von Magnetfeld ab. Man definiert die “Stärke”
des Magnetfeldes als den Proportionalitätsfaktor zwischen der Kraft und dem Produkt aus
Geschwindigkeit und Ladung
|F| = |vQB| .
(9.3)
B ist die (magnetische) Induktion oder auch (magnetische) Flussdichte. Sie ist ein
Maß für die Stärke des Magnetfeldes.
Die Einheit von B folgt aus (9.3)
[B] =
vQF  = 
m
s
  As =  As = mVs .
N
=
As
Ws
m
m
s
VAs
m
m
s
2
(9.4)
Die Term m2 im Nenner erklärt die Bezeichnung Flussdichte. Diese Einheit wird auch
als Tesla bezeichnet
1T = 1 Vs2 .
m
(9.5)
35
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
36
Elektrotechnik II
Früher war auch die Einheit Gauss = 10 ---4 T gebräuchlich. Ein Gauss entspricht etwa der
Stärke des Erdmagnetfelds. In technischen Systemen (elektrische Maschinen, Kernspintomograf) sind liegen die Werte im Bereich 1-5 T.
6.4
Hochschule Bremerhaven --- IAE
z
F
Vektordarstellung
Die Gleichung (9.3) beschreibt einen Sonderfall, bei dem die Richtung von
Geschwindigkeit v und Induktion B senkrecht aufeinander stehen. Eine genaue
mathematische Beschreibung erfordert die Darstellung der Größen als vorzeichen- und
richtungsbehaftet.
Die Ladung Q besitzt eine positives oder negatives (z.B. Elektron) Vorzeichen.
Geschwindigkeit v und die Induktion B sind Größen mit einem Betrag und einer
Richtung, d.h. sie sind Vektoren. Wir wollen uns an folgende übliche Konventionen halten
B = Betrag der Induktion,
B = Vektor der Induktion,
v = Betrag der Geschwindigkeit,
v = Vektor der Geschwindigkeit,
F = Betrag der Kraft,
F = Vektor der Kraft.
α
v
Bild 9.7:
(9.6)
Der Term in Klammern ist das sogenannte Vektorprodukt (sprich: v kreuz B) zwischen
Geschwindigkeits- und Induktionsvektor. Legt man beispielsweise v und B in die
x-y-Ebene eines dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems, so folgt für das
Vektorprodukt

vx
B x  00   00 
v × B = v y ×B y=
= 
.
0
 0  vxB y − vyBx (v × B)z
(9.7)
Die allgemeine Form des Vektorprodukts findet sich in Abschnitt 6.9.
Die grafische Darstellung dieser Beziehung zeigt Bild 9.7. Hierfür existiert ebenfalls eine
“rechte-Hand-Regel”: Daumen = Richtung des Geschwindigkeitsvektors, Zeigefinger =
Richtung des Vektors der magnetischen Induktion ⇒ Mittelfinger = Richtung der Kraft.
x
Vektorprodukt von v und B
Die Kraft F steht senkrecht auf der Ebene, die durch die Vektoren v und B gebildet
werden. Die Länge des Kraftvektors ist proportional zu der aus v und B gebildeten Fläche
(gestrichelt in Bild 9.7 gekennzeichnet)
F = QvB sin(α) .
(9.8)
Der Winkel α ist der Winkel zwischen v und B. Nur wenn die Geschwindigkeit eines
geladenen Teilchens senkrecht auf der magnetischen Induktion steht, gilt
F = QvB .
Der Kraftvektor folgt dann zu
F = Q (v × B) .
y
B
6.5
(9.9)
Lorentz-Gleichung
Die durch das Magnetfeld entstehende Kraft (9.6) bzw. (9.8) nennt man
Lorentz-Kraft:
F = Q (v × B)
(benannt nach dem niederländischen Physiker Hendrik Antoon Lorentz). Fasst man die
Kraft auf eine Ladung im elektrischen Feld und die Kraft auf eine bewegte Ladung im
magnetischen Feld zusammen, so folgt die
Lorentz-Beziehung:
F = Q E + Q (v × B) .
Der erste Term der Lorentz-Beziehung ist die bekannte Coulomb-Kraft QE.
6.6
Kraft auf einen stromdurchflossenen Draht im
Magnetfeld
In einem Leiter bewegen sich Elektronen und bewirken auf diese Weise den Stromfluss.
Befindet sich ein stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld, so wirkt auf die Elektronen
37
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
die Lorentz-Kraft. Die Summe aller dieser Kräfte wird als Kraft auf den Draht wirksam.
Dieses Prinzip gestattet den Aufbau von Elektromotoren, die elektrische Leistung in
mechanische Leistung umsetzen.
F = n I B l cos(α).
A
-----
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Die Kraft auf einen einzelnen Leiter ist auch bei großen Strömen nicht besonders hoch.
Man kann den Leiter jedoch zu einer Spule wickeln. Die resultierende Kraft vervielfacht
sich dann mit der Windungszahl n
B
I
38
Elektrotechnik II
6.7
-----
---
(9.17)
Übung: Kraft auf eine Spule im Magnetfeld
Die Kraft auf die Spule im Magnetfeld in der Anordnung gemäß Bild 9.9 soll berechnet
werden.
---
I
dl
F
Bild 9.8:
Leiter im Magnetfeld
l
Wir nehmen an, dass der Geschwindigkeitsvektor und der Feldvektor senkrecht
aufeinander stehen, so dass wir mit den Beträgen von Geschwindigkeit und Induktion
rechnen können
F = QvB .
(9.10)
Ist die Dichte der Ladungsträger ρ, so folgt für die Ladung in dem kleinen Drahtstück dl
dQ = Ã A dl .
(9.11)
Der Strom ist durch die Änderung der Ladung in diesem Abschnitt gegeben
à A dl
dQ
=
= Ã A dl = Ã A v .
I=
dt
dt
dt
(9.12)
Multipliziert man beide Seiten mit dl, so folgt
I dl = Ã A dl v = dQ v .
(9.13)
Für die gesamte Länge des Drahtes folgt dann
Il=ÃAlv=Qv.
(9.14)
B
Bild 9.9:
Die Spule habe n = 2000 Windungen, der Strom sei I = 10A. Die Induktion betrage
B = 0,8T. Die Länge der Leiter im Magnetfeld ist l = 0,1m.
a)
In welche Richtung wirkt die Kraft F?
b)
Wie groß ist diese Kraft?
c)
Weisen Sie nach, dass sich tatsächlich die Einheit für die Kraft ergibt.
Lösung:
F = n I B l = 2000 10A 0.8 Vs2 0.1m = 1600 VAsm
m
m2
Ws
Nm
= 1600 m = 1600 m = 1600N .
Die Gleichung (9.10) kann somit auch in der Form
F=IBl.
(9.15)
Diese Kraft weist nach oben.
geschrieben werden.
Falls der Leiter und die Induktion nicht senkrecht aufeinander stehen, muss der Winkel α
zwischen der Induktion und der Richtung des Leiters berücksichtigt werden
F = I B l cos(α).
Spule im Magnetfeld
(9.16)
6.8
Übung: Drehspulinstrument
Zur genauen Messung von Strömen dient das Drehspulinstrument (Bild 9.10).
(9.18)
39
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
40
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
z
T
r
ez
1
y
ey
1
1
B
ex
B
Bild 9.11:
N
Bild 9.10:
x
Einheitsvektoren
Die Einheitsvektoren im kartesischen Koordinatensystem lauten
S
1
e x =0,
0
Drehspulinstrument
Die Spule habe n = 4000 Windungen, der Radius sei r = 10mm (Abstand Drehpunkt zur
Spulenmitte), die Induktion betrage B = 0,2T. Die Spule hat eine rechteckige Form. Die
Länge der Spule im Magnetfeld sei l = 8mm.
a)
Wie lautet der Zusammenhang zwischen der Kraft auf die Schenkel der Spule und
dem Drehmoment T?
b)
Berechnen Sie den Zusammenhang zwischen Strom I in der Spule und den
Kräften bzw. dem Drehmoment T.
c)
Wie groß muss der Strom I gewählt werden, damit sich ein Drehmoment von
125μNm ergibt?
Lösung:
0
e y =1,
0
0
e z =0.
1
(9.20)
Das Vektorprodukt
c =a×b
(9.21)
liefert wieder einen Vektor c, der senkrecht auf der durch a und b gebildeten Fläche steht.
Seine Länge (Betrag) ist identisch mit der Fläche, die durch a und b aufgespannt wird.
Das Vektorprodukt kann als Determinante eine Matrix aufgefasst werden, die die Vektoren
a und b enthält sowie die Einheitsvektoren der Koordinatenachsen
aexx
c = a × b =
bx

ey ez

a y a z
b y b z

(9.22)
Die Determinante lautet ausgeschrieben
I = 977μA .
(9.19)
c = e xa ybz − b ya z + e y(a zb x − b za x) + e za xb y − b xa y .
(9.23)
Mit (9.20) kann (9.23) wieder als Vektor geschrieben werden
6.9
Anhang: Allgemeine Form des Vektorprodukts
(äußeres Produkt)
Das Vektorprodukt zweier Vektoren in einem kartesischen Koordinatensystem
(rechtwinkliges Koordinatensystem mit den Richtungen x, y und z sowie den
Einheitsvektoren ex , ey und ez ) liefert wieder einen Vektor.
aybz − byaz
c =a zb x − b za x.
axby − bxay
(9.24)
Für den Sonderfall, dass man das Koordinatensystem in die a / b-Ebene legt, entsteht die
einfachere Beziehung (9.7).
Elektrotechnik II
6.10
41
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Magnetische Feldstärke
Der Strom in einem Leiter verursacht ein magnetisches Feld, das beispielsweise durch
Kraftwirkung auf Permanentmagnete oder andere stromdurchflossene Leiter nachgewiesen werden kann. Die magnetische Induktion B wurde ja auch durch die Kraftwirkung auf
bewegte Ladungsträger (9.3) definiert.
Der Strom ist nicht Träger der magnetischen Kraft sondern das magnetische Feld.
42
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Man kann nun die magnetische Feldstärke über ein Linienintegral um den Leiter
definieren. Wir wollen zunächst entlang eines konzentrischen Kreises um den Leiter
integrieren. Diese Integral lässt sich sehr einfach lösen, da die Feldstärke stets in Richtung
des Integrationswegs zeigt und darüber hinaus die Feldstärke auch noch einen konstanten
Betrag aufweist
2π
 Hr dÔ = 2πrH .
(9.25)
0
Man kann dies anhand der Ausbreitung eines magnetischen Feldes zeigen, das sich mit
Lichtgeschwindigkeit um einen stromdurchflossenen Leiter ausbildet. Die Kraft wirkt
dann durch das an der betreffende Stelle lokal existierende Feld.
Zur Berechnung der magnetischen Induktion ist es außerordentlich hilfreich, eine reine
Rechengröße zu verwenden, die als magnetische Feldstärke bezeichnet wird.
Diesem Integral wollen wir den Strom durch den Leiter zuordnen
2π
 Hr dÔ = 2πrH = I .
(9.26)
0
Daraus folgt die (Rechengröße)
H = magnetische Feldstärke, nicht messbare Rechengröße zur Berechung von B.
H bezeichnet man auch als magnetische Erregung, da man H als Ursache für die
magnetische Induktion B auffassen kann.
Die Feldstärke H ist wie die Induktion eine vektorielle Größe, d.h. sie besitzt einen Betrag
und eine Richtung. Die Richtungen von H und B sind stets identisch.
Der Grund für die Verwendung von H liegt in der Möglichkeit, die Eigenschaften
unterschiedliche Materialien zu berücksichtigen. Das magnetische Feld wird durch
Material (z.B. Eisen, Nickel) sehr stark beeinflusst.
Betrachten wir noch einmal das magnetische Feld um einen stromdurchflossenen Leiter.
H= I .
2πr
(9.27)
Die Einheit der Feldstärke ergibt sich damit zu
[H] =
[I]
A .
=m
[r]
(9.28)
In Luft oder Vakuum findet man einen konstanten Zusammenhang zwischen der
Feldstärke und der Induktion (z.B. durch Kraftwirkung)
B~H.
(9.29)
Der Proportionalitätsfaktor zwischen diesen Größen im Vakuum oder Luft ist
μ 0 = 1.256671 ⋅ 10 −6 Vs
Am
(9.30)
und wird Permeabilität (des Vakuums) genannt. Die Gleichung (9.29) lautet mit (9.30) dann
Leiter
B = μ 0H .
(9.31)
Durch Versuche stellt man fest, dass (9.26) unabhängig vom Weg des Integrals ist, sofern
nur der stromführende Leitern sich im Innern des Weges befindet.
Bild 9.12:
Verlauf der magnetischen Feldlinien bei einem stromdurchflossenen Leiter
(aus der Bildebene heraus, “rechte-Hand-Regel”)
Elektrotechnik II
43
Hochschule Bremerhaven --- IAE
44
Elektrotechnik II
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B = μ 0H .
Gleichung (9.34) gilt nur in Vakuum oder Luft. Allgemein gilt in Materie
Leiter
B = μ0 μr H .
W2
 H ds = 0
W2
Bild 9.13:
(9.35)
Die dimensionslose Konstante μr ist die realitve Permeabilität.
W1
Für Luft und Vakuum gilt μr = 1. Die relative Permeabilität variiert in weiten Bereichen,
d.h. mit der gleichen magnetischen Erregung lassen sich unterschiedliche Induktionen
erzeugen (durch unterschiedlichen Materialien in der Spule).
 H ds = I
W1
Integration der magnetischen Feldstärke entlang eines geschlossenen Weges
Das Integral über den rechten Weg W1 liefert den Strom I durch den Leiter. Das Integral
über den linken Weg W2 ist null, da der Weg den Leiter nicht einschließt.
6.10.1
(9.34)
Durchflutung
6.11
Übung: Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen
Leitern
Zwei parallel laufenden Leiter, die von Strom durchflossen werden, erzeugen eine Kraft
zwischen den Leitern. Jeder Leiter erzeugt ja ein Magnetfeld, das eine Kraft auf den jeweils
anderen Leiter ausübt. Eine Kraftwirkung auf einen Leiter durch das eigene Magnetfeld
ist ausgeschlossen, da sich das Magnetfeld symmetrisch um den Leiter aufbaut und somit
alle Kräfte stets im Gleichgewicht sind.
Wenn in dem Umlauf für das Integral mehrere Windungen eine Spule liegen, so zählt das
Produkt aus Strom und das Anzahl n der Windungen
 H ds = nI .
(9.32)
l
Zu beachten ist die Darstellung von H und ds als Vektoren. Es muss also für jedes
Wegstück ds das Vektorprodukt mit H gebildet werden. Die rechte Seite ist die
Durchflutung.
a
Das Produkt nI ist die Durchflutung Θ.
Das Ringintegral (9.32) ist also identisch mit der Durchflutung, die vom Weg
eingeschlossen wird
 H ds = Θ .
Bild 9.14:
Magnetfeld zweier paralleler Leiter
Nach der “rechte-Hand-Regel” entstehen die Kräfte gemäß Bild 9.15 an den Leitern.
(9.33)
H1, B1
F2
Da die Anzahl n dimensionslos ist, gilt für die Einheit [Θ] = A.
H2, B2
I1
I2
Die Gleichung (9.33) ist der Durchflutungssatz.
Aus (9.33) lässt sich in vielen Fällen die Feldstärke bestimmen. Ist H bekannt, so folgt B
gemäß
a
Bild 9.15:
Magnetfeld zweier paralleler Leiter
F1
45
Elektrotechnik II
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Das Magnetfeld, das ein Leiter am Ort des anderen Leiters verursacht, kann mit dem
Durchflutungssatz (9.33) ermittelt werden. Die Durchflutungen sind einfach (nur eine
Windung)
Θ1 = I1 ,
Θ2 = I2 .
(9.36)
Man erhält für die Feldstärke H1 am Ort des Leiters 2
Elektrotechnik II
1
1
1
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Verständnis dieser Eigenschaften ist es wesentlich, auf die eigentliche Ursache von
Magnetismus in Materie einzugehen.
Es könnte der Eindruck entstehen, als wenn Magnetismus auch ohne elektrischen Strom
möglich wäre. Tatsächlich sind aber Bahnbewegungen von Elektronen am Zustandekommen der Magnetfelder verantwortlich.
2π
 H ds =  H a dr = I .
46
H Vektor der magnetischen Feldstärke
(9.37)
0
Da die Feldstärke auf einem Kreis um den Leiter 1 konstant ist, kann H1 vor das Integral
gezogen werden
Bahn des
Elektrons
2π
H1 a
 dr = 2πaH = I .
1
1
(9.38)
Bild 9.16:
0
Daraus folgt
I
H1 = 1 .
2πa
(9.39)
In Luft gilt der Zusammenhang zwischen der Feldstärke und der magnetischen Induktion
B 1 = μ 0H 1 = μ 0
I1
.
2πa
(9.40)
Da Strom und Induktion senkrecht aufeinander stehen, ergibt sich nach (9.15)
F2 = I2 B1 l = μ 0l
I1 I2
.
2πa
(9.41)
Rechnet man die Kraft F1 entsprechend aus, so erhält man den gleichen Wert (warum?).
Mit den Zahlenwerten l = 1m, a = 1mm, I1 = I2 = 100A erhält man die Kräfte
F 1 = F 2 = 1.2566 ⋅ 10 −6 Vs 1m 100A 100A = 2 Ws
m = 2N .
Am
2 π 0.001m
Natürlich gilt auch hier die “rechte-Hand-Regel” zur Bestimmung der Richtung des
Magnetfeldes. Diese Regel gilt allerdings für die positive Richtung des Stromes. Die
Elektronenbewegung ist aber der positiven Stromrichtung entgegengesetzt.
Die magnetischen Materialien unterscheiden sich durch die mehr oder wenige
gleichmäßige Anordnung bzw. Ausrichtung der sogenannten Dipolmomente.
Magnetisches Dipolmoment: magnetisches Feld aufgrund einer oder mehrer
Windungen eines Leiters oder von Elektronenbahnen.
Die folgenden Abschnitte behandeln Stoffe mit unterschiedlichen magnetischen
Eigenschaften. Einzig der Ferromagnetismus besitzt große technische Bedeutung (die
Werkstoffkundler mögen mir verzeihen). Es soll deshalb nur der Ferromagnetismus
ausführlich behandelt werden.
(9.42)
Die Kräfte zwischen Leitern können bei Wechselstrom zu hörbaren Schwingungen führen
(z.B. Trafobrummen). Bei einer Frequenz des Wechselstroms von 50Hz treten dann
Schwingungen von 100Hz auf, da in (9.41) das Produkt von Strömen die Kraft bildet.
6.12
Elektronenbahn und magnetische Feldstärke
Einfluss der Materie
Wie man schon an den Permanentmagneten erkennen konnte, besitzen bestimmte
Materialien mit magnetischen Eigenschaften eine große technische Bedeutung. Zum
6.12.1
Diamagnetismus
Der Effekt ist jedoch so schwach, dass er nur schwer nachweisbar ist. Seine technische
Bedeutung ist gering. Bringt man ein paramagnetisches Material in ein Magnetfeld, so
findet eine Abstoßung statt. Dieser Effekt ist unabhängig von der Richtung des
Magnetfeldes.
Die Ursache für die abstoßende Kraft liegt in atomaren Vorgängen (Änderung von
Elektronenbahnen). Diamagnetische Werkstoffe sind:
Wismut, Kupfer, Silber und Glas.
Elektrotechnik II
47
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Elektrotechnik II
48
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Für diamagnetische Stoffe gilt μr < 1.
6.12.2
Paramagnetismus
Paramagnetische Stoffe verhalten sich entgegengesetzt zu den diamagnetischen Stoffen,
d.h. sie werden durch den Einfluss von Magnetfeldern zu jedem Pol mit beliebiger Polarität
angezogen. Man kann sich das Verhalten durch Elektronenbahnen vorstellen, die ein Feld
erzeugen, welches die Richtung des äußeren Feldes aufweist.
Paramagnetische Werkstoffe sind:
Aluminium, Silizium und Platin.
Für paramagnetische Stoffe gilt μr > 1.
6.13
Anordnung der Weißschen Bezirke in einem Stoff ohne äußeres Magnetfeld
Wird der Stoff einem Magnetfeld ausgesetzt, so führt dies zu einer Vergrößerung oder
Ausrichtung der Weißschen Bezirke. Eine genaue Herleitung der Theorie ist nur mit Hilfe
der Quantenmechanik möglich. Wir wollen uns an dieser Stelle nur für das Verhalten dieser
Stoffe im Magnetfeld interessieren.
6.13.1
Curie-Temperatur
Ab einer bestimmten stark materialabhängigen Temperatur wird jeder ferromagnetische
Stoff schlagartig paramagnetisch, d.h. der Wert μr sinkt um mehrer Zehnerpotenzen auf
etwa den Wert 1.
Ferromagnetismus
Für diamagnetische und paramagnetische Stoffe bewegt sich die relative Permeabilität in
dem Bereich
0.9998 ≤ μ r ≤ 1.004 .
Bild 9.17:
(9.43)
An diesem Wertebereich erkennt man auch die geringe technische Bedeutung dieser
Stoffe.
Ferromagnetische Werkstoffe weisen einen hohen Wert für μr auf (> 10.000).
Maximale Werte für μr liegen bei etwas 106. Wichtige Vertreter dieser Stoffe sind:
Eisen, Kobalt, Nickel sowie viele Legierungen.
Ferromagnetismus entsteht durch eine Wechselwirkung zwischen den einzelnen Atomen
in einen Stoff. Diese Wechselwirkung ist auf kleine Bereiche beschränkt.
Curie-Temperatur: Übergang ferromagnetisch ⇒ paramagnetisch.
Durch Legierung unterschiedlicher Metalle kann die Curie-Temperatur in einem weiten
Bereich eingestellt werden. Für Eisen beträgt die Curie-Temperatur TC = 1033K.
Beispiel für eine technische Anwendung: Magnastatt-Lötkolben der Fa. Weller. Es wird
eine Legierung mit einer Curie-Temperatur von 2600C verwendet. Die Änderung der
magnetischen Eigenschaften mit der Temperatur wird benutzt, um einen Magnetschalter
bei der Curie-Temperatur schalten zu lassen. Wird die Curie-Temperatur überschritten,
fällt der Schalter ab und die Stromzufuhr für das Heizelement wird unterbrochen. Kühlt
der Lötkolben wieder unter die Curie-Temperatur ab, schaltet der Schalter wieder ein.
Man erhält einen geschlossenen Wirkungskreis (Regelkreis) mit einem Magnetschalter als
Stellglied und Regler.
6.13.2
Weißsche Bezirke: Gebiete mit starker magnetischer Wechselwirkung zwischen den
Atomen.
Ohne äußeres Magnetfeld sind die Weißschen Bezirke über die Materie völlig regellos
verteilt. Der Stoff erscheint damit nach außen unmagnetisch.
Magnetisierungskurve
Alle ferromagnetischen Werkstoffen lassen sich durch ihre
charakterisieren.
Magnetisierungskurve
Magnetisierungskurve: Induktion B als Funktion der Feldstärke H.
49
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Das Diagramm weist die in Bild dargestellte typische Form auf.
B [Vs/m2]
2
BS
3
1
BR
5
---HC
---BR
4
Bild 9.18:
0
HC
H [A/m]
50
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Die prinzipielle Form der Magnetisierungskurve in Bild 9.18 ist für alle ferromagnetischen
Materialien unterhalb der Curie-Temperatur gleich. Man unterscheidet jedoch zwei
Ausprägungen der Kurve, die man weich- (Bild 9.19) bzw. hartmagnetischen (Bild 9.20)
Materialien zuordnet.
Kurven dieser Art werden als Hysteresekurven bezeichnet. Dies sind Verläufe, die von der
Vorgeschichte abhängen. Je weiter die Äste der Kurven auseinanderliegen, desto größer
ist die Hysterese der Kurve. Die Hysterese wird anhand der Größen HC sowie BR
angegeben. Charakteristisch ist außerdem die Sättigungsinduktion BS .
In Deutschland ist der bedeutendste Hersteller für magnetische Stoffe die “Vacuumschmelze Hanau” (VAC, Siemens-Tochter zu 100%).
B [Vs/m2]
Sättigungsinduktion BS
---BS
Magnetisierungskurve
BR
Eine Messung der Kurve kann durch Bestimmung der Induktivität (folgt später) einer Spule
(beispielsweise mit einem Eisenkern) erfolgen. Auf diese Weise lässt sich B als Funktion
des Stromes, d.h. der Feldstärke H, bestimmen.
---HC
HC ---BR
Beginnt man im Punkt 0, d.h. im Ursprung und steigert die Feldstärke H, so steigt die
magnetische Induktion B gemäß des Kurvenabschnitts 1 an. Die Kurve 1 nennt man
Neukurve. Die maximal erreichbare Induktion ist begrenzt (Sättigungsinduktion). Der
Proportionalitätsfaktor μr ist somit nicht konstant und nimmt mit steigender Feldstärke
ab.
Steigert man die Feldstärke H weiter (z.B. durch einen höheren Strom), so erhöht sich die
Induktion nicht mehr oder nur noch sehr gering (Kurvenabschnitt 2).
Durch Umkehr des Feldes (Kurvenabschnitt 3) kehrt man auch die Induktion um.
Allerdings verläuft die Kurve auf einem anderen Weg als die Neukurve 1.
Der Abschnitt 4 zeigt ein gleiches Verhalten wie der Abschnitt 2 für negative Werte von
Feldstärke und Induktion. Läßt man die Feldstärke wieder ansteigen, so verläuft die Kurve
auf dem Abschnitt 5.
Ferromagnetisches Material hat also ein “Gedächtnis”, da der Verlauf der Kurve von
der Vorgeschichte abhängt.
Diese Eigenschaft macht man sich zunutze, indem sich Informationen auf Magnetbändern,
Floppys oder Festplatten speichern lassen.
Bild 9.19:
weichmagnetisches Material (Eisen)
H [A/m]
51
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52
Elektrotechnik II
B [Vs/m2]
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[B] = Vs2
m
(9.44)
erkennt. Man bezeichnet B ja auch als magnetische Flussdichte. Multipliziert man die
Induktion mit der Fläche, durch die diese Induktion hindurchtritt, so erhält man den
magnetischen Fluss
BR
ΦM =
 BdA .
(9.45)
A
HC
---HC
H [A/m]
Hier ist wieder eine Vektordarstellung erforderlich, da sowohl die Induktion B als auch
die Fläche A gerichtete Größen sind. Im Fall der Fläche ist dies der Normalenvektor A,
der auf der Fläche senkrecht steht. Seine Länge entspricht der Größe der Fläche.
---BR
Bild 9.20:
A
Hartmagnetisches Material (AlNiCo, Neodym-Eisen-Bor)
Die Schnittpunkte der Kurve mit den Achsen kennzeichnen die einzelnen Materialien. Die
Größen heißen
ΦM =
HC = Koerzitivfeldstärke
A
B
und
BR = Remanenzinduktion.
Sieht man einmal von der “Neukurve” ab, so ist die Koerzitivfeldstärke die Feldstärke, bei
der die Induktion B null wird. Bei der Feldstärke H = 0 zeigt der Stoff immer noch eine
Restinduktion, die sogenannte Remanenz. Beide Größen sind bei hartmagnetischen
Materialien deutlich größer.
Hartmagnetische Stoffe, werden für Permanentmagnete sowie für magnetische
Speichermedien (z.B. Festplatten, Magnetbänder usw.) verwendet. Weichmagnetische
Materialien sind geeignet für den Bau sogenannter Transformatoren. Beide Materialien
sind technisch außerordentlich bedeutsam.
Neue Materialien wie Neodym-Eisen-Bor weisen eine sehr hohe Remanenzinduktion (im
Tesla-Bereich) auf. Leider ist die Curie-Temperatur mit ca. 1500C ebenso bemerkenswert
klein, so dass sich dieser Werkstoff in elektrischen Maschinen verbietet.
6.14
 BdA
Magnetischer Fluss
Die Induktion B ist eine flächenbezogene Größe, wie man auch anhand der Einheit
Bild 9.21:
Magnetischer Fluss
Die Einheit des magnetischen Flusses folgt zu
Φ M = Vs m 2 = Vs = Wb .
2
m
(9.46)
Die Einheit Wb nenn man Weber (benannt nach dem Physiker Wilhelm Weber).
Treten die Feldlinien senkrecht durch eine Fläche, so kann man mit Beträge rechnen
Φ M = BA .
(9.47)
Für die Wirkung (Kraft, später induzierte Spannung) ist der Fluss ΦM und nicht die
Flussdichte B verantwortlich. Beide Größen lassen sich über die Fläche A jedoch leicht
ineinander umrechnen.
Sofern die Feldlinien homogen verlaufen, lässt sich über den magnetischen Fluss wieder die
Induktion für unterschiedliche Querschnitte eines Körpers bestimmen.
53
Elektrotechnik II
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A2
54
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Als Beispiel könne wir wieder die Ringspule heranziehen. Das Feld verläuft ausschließlich
im Innern der Spule. Wenn wir annehmen, dass die Breite der Windungen relativ klein
gegenüber dem Radius der Ringspule ist, so können wir mit einem mittleren Radius r die
Länge der Feldlinien in der Spule angeben
A1
B2
l = 2πr .
A3
B1
ΦM
Elektrotechnik II
B3
(9.50)
ΦM
Feldstärke H
Induktion B
I
Fläche A
r
Bild 9.22:
Bestimmung der Induktion
Querschnitten Ai
B
aus
Fluss
ΦM
und verschiedenen
Der magnetische Fluss ΦM ist natürlich über gesamte Länge konstant. Jedoch ergeben sich
je nach Querschnitt unterschiedliche Induktionen Bi aufgrund der verschiedenen
Querschnittsflächen.
B1 =
ΦM
,
A1
B2 =
ΦM
,
A2
B3 =
ΦM
.
A3
(9.48)
Die Induktion B3 ist aufgrund der kleinsten Querschnittsfläche A3 am größten. Zu
beachten ist natürlich, dass die Induktion nicht größer als die Sättigungsinduktion BS in
Bild 9.18 werden kann. Man muss also die Querschnitte so groß wählen, dass die
Sättigungsinduktion in keinem Querschnitt überschritten wird. Der erklärt die oft
beachtliche Baugröße von Transformatoren in der Energieversorgung.
6.15
Bild 9.23:
Ringspule (Torus)
Die Feldstärke ist innerhalb der Spule konstant, so dass sich das Integral (9.49) zu einer
einfachen Multiplikation von Feldstärke und Weg vereinfacht (konstante Größen dürfen
vor das Integral gezogen werden)
 H ds = Hl = nI = Θ .
(9.51)
Daraus folgt für die magnetische Feldstärke
Magnetischer Kreis
Magnetische Feldlinien sind stets geschlossen. Der Durchflutungssatz (9.32) besagt, dass
das Produkt von Feldstärke H und Weg s auf einem geschlossenen Weg die
Durchflutung nI ergibt
 H ds = nI = Θ .
Anzahl Windungen n
(9.49)
Die Formel wird in dieser Form fast ausschließlich in numerischen Berechnungsprogrammen verwendet. In technischen Systemen ist die Feldstärke H entlang eines Wegstückes
häufig konstant, so dass (9.49) durch ein einfaches Produkt ersetzt werden kann.
H = nI = Θ .
l
l
(9.52)
Der Zusammenhang zwischen B und H ist durch (9.35) gegeben, so dass wir auch
unmittelbar die Induktion (= magnetische Flussdichte) in der Spule bestimmen können
B = μ 0 μ r H = μ 0μ r nI = μ 0μ r Θ .
l
l
(9.53)
Schließlich können wir den gesamten magnetischen Fluss in der Spule bestimmen, der sich
aus dem Produkt der Fläche A mit der magnetischen Flussdichte B ergibt (9.45)
Φ = BA = μ 0μ rA nI = μ 0μ rA Θ .
l
l
(9.54)
55
Elektrotechnik II
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56
Elektrotechnik II
Auch hier vereinfacht sich das Integral (9.45) zu einer Multiplikation.
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Φ
Den Term
l
μ 0μ rA
Θ
Rm
bezeichnet man als den magnetischen Widerstand Rm .
∆
Rm =
l
.
μ 0μ rA
(9.55)
Die Gleichung (9.54) kann mit dem magnetischen Widerstand (9.55) dann als
Φ= Θ
Rm
(9.56)
geschrieben werden. Die Bezeichnung “magnetischer Widerstand” ist in Analogie zum
Ohmschen Gesetz entstanden, da (9.56) formal identisch mit
I=U
R
Bild 9.24:
Der Vorteil dieser Vorgehensweise ist eine einfache Behandlung komplexer magnetischer
Kreise, die aus unterschiedlichen Geometrien und Materialien bestehen können.
6.16
Übung: Maximaler Strom für eine Spule mit
Eisenkern
(9.57)
ist. Wir können also die Berechnung magnetischer Kreise in gleicher Weise wie die
Berechnung von Stromkreisen durchführen. Der magnetische Widerstand wird
gemäß (9.55) größer, je länger der Weg ist, der vom Fluss zurückgelegt wird. Gleichzeitig
verkleinert sich der magnetische Widerstand mit einer großen Querschnittsfläche A.
Durch den Einfluss der relativen Permeabilität
μr
erkennt man die große
Materialabhängigkeit des magnetischen Widerstands.
Magnetischer Kreis
Aus fertigungstechnischen Gründen werden Spulen häufig auf Kunststoffkörper gewickelt,
die dann auf einen Eisenkern gesteckt werden. Den Aufbau zeigt Bild 9.25.
I
Φ
A2
Da man bei technischen Systemen einen kleinen Widerstand anstrebt, verwendet man
ferromagnetisches Material mit einem sehr großen
μr -Wert (z.B. Eisen im
Transformatorbau). Die Forderung nach einer kleinen Länge l bei einem großem
Querschnitt A lässt sich natürlich nur bedingt erfüllen, da diese geometrischen Größen
nicht unabhängig voneinander sind.
n
B1
A1
Die folgenden elektrischen und magnetischen Größen entsprechen sich.
elektrisch
Größe
l1
B2
magnetisch
Einheit
Größe
Einheit
Spannung U
V
Durchflutung Θ
A
Strom I
A
Fluss Φ
Wb = Vs
Widerstand R
Ω=V
A
magn. Widerst. Rm
A
Vs
Magnetische Kreises lassen sich dann wie elektrische Kreise zeichnen (Bild 9.24).
l2
Bild 9.25:
Spule mit Eisenkern
Es soll der Strom Imax bestimmt werden, für den eine maximale Induktion Bmax = 1,2T
nicht überschritten wird.
Die Werte der Spule seien: n = 2000, l1 = 2cm, l2 = 4cm, A1 = 1cm2, A2 = 3cm2,
μr = 12.500. Hinweis: Setzen Sie die Zahlenwerte erst im Aufgabenteil e) ein.
57
Elektrotechnik II
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a)
Zeichnen Sie eine Schaltung mit magnetischen Widerständen.
b)
Wie groß sind die magnetischen Widerstände?
c)
Welchen Wert hat der magnetische Fluss Φ?
d)
Wie groß sind die Induktionen in den einzelnen Eisenschenkeln?
e)
Berechnen Sie den Strom Imax ?
58
Elektrotechnik II
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Auflösen nach von (9.61) nach dem Strom liefert
I max = 2
A 1l 2 + A 2l 1
B max .
μ 0μ rA 2n
(9.62)
Mit den Zahlenwerten aus der Aufgabenstellung erhält man
I max = 2
Lösung:
10 −4m 2 0.04m + 3 ⋅ 10 −4m 2 0.02m
1.2 Vs2
Vs
m
12.500 3 ⋅ 10 −4m 2 2000
1.25667 ⋅ 10 −6 Am
(9.63)
= 2.546mA .
a)
Rm1
Φ
Schenkel
links
6.17
Rm2
Schenkel
oben
Rm1
Θ = nI
Rm2
Bild 9.26:
b)
l1
,
μ 0μ rA 1
Φ
Schenkel
unten
I
δ
l
R m2 =
l2
.
μ 0μ rA 2
n
B
nI
.
2R m1 + 2R m2
(9.59)
(9.60)
(9.61)
Spule mit Eisenkern und Luftspalt der Länge δ
Die Werte der Spule seien: n = 2000, l = 3cm, A = 2cm2, μr = 12.500, δ = 5mm.
Auch hier soll die Induktion im Luftspalt 1,2T betragen.
a)
Da A1 kleiner als A2 ist, wird folglich die Induktion B1 größer als B2.
Der Zusammenhang zwischen B1 und dem Strom I folgt durch Einsetzen der
bisherigen Ergebnisse in (9.60)
μ 0μ rA 2nI
B1 = 1
.
2 A 1l 2 + A 2l 1
l
Bild 9.27:
Da der Fluss in allen Schenkeln identisch ist, folgt für die Induktionen
B2 = Φ .
A2
B
(9.58)
Der Fluss folgt aus der Summe der Widerstände und der Durchflutung
B1 = Φ ,
A1
e)
A
Die magnetischen Widerstände für den linken und rechten Schenkel sowie für den
oberen und unteren Schenkel sind gleich, da alle geometrischen Daten und das
Material gleich sind. Man erhält für die Widerstände
Φ=
d)
Häufig möchte man eine definierte Induktion in einem Luftspalt erzeugen. Eine typische
Anordnung zeigt Bild 9.27.
Schenkel
rechts
Schaltung mit magnetischen Widerständen
R m1 =
c)
Übung: Induktion im Luftspalt
Berechnen Sie den Strom I für die Induktion B = 1,2T
Lösung:
a)
Der Kreis besteht aus zwei magnetischen Widerständen: ein Widerstand für den
Weg im Eisen; ein Widerstand für den Luftspalt
R mE =
lE
,
μ 0μ rA
R mL = δ
μ 0A
Die “Eisenlänge” lE ist dabei
(9.64)
59
Elektrotechnik II
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l E = 4l − δ .
nI
R mE + R mL
Φ1
Φ2
I
(9.66)
l
n1
I2
δ
Φ3
sowie die Induktion im Luftspalt (mit μr = 1)
nI
.
B=Φ= 1
A R mE + R mL
A
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A
(9.65)
Daraus folgen der Fluss
Φ=
60
Elektrotechnik II
n2
B
(9.67)
Auflösen nach dem Strom führt auf
I=
BA R mE + R mL
n
(9.68)
l
bzw. mit (9.64) bis (9.67)
I=B
l E + μ rδ
μ 0μ rn .
(9.69)
115 ⋅ 10 −3m + 12500 5 ⋅ 10 −3m
I = 1.2 Vs2
Vs
m 1.25667 ⋅ 10 −6 Am
12500 2000
(9.70)
Anmerkung: Man rechnet in der Praxis gerne mit der Näherung μr → ∞. Die
Formel (9.69) vereinfacht sich dann zu
I = B μδn .
0
n2 = 500,
l = 3cm,
A = 2cm2,
Zeichnen Sie ein magnetisches Ersatzschaltbild.
b)
Wie groß sind die magnetischen Widerstände?
b)
Berechnen Sie den Fluss Φ3 (Hinweis: Überlagerungssatz).
c)
Welche Ströme werden für eine Induktion B3 = 1,2T benötigt? Wählen Sie dabei
Θ1 = Θ2.
Lösung:
(9.72)
a)
Bild 9.29
Φ1
Die Näherung ist offensichtlich zulässig. Weiterhin ist anzumerken, dass sich die
Weglängen im Eisen und in der Luft nicht exakt bestimmen lassen, da sie ja nur einen
Mittelwert der Längen vieler Feldlinien darstellen.
Übung: Gekoppelte Spule (Transformator)
Transformatoren sind wichtige Bauelemente für alle Bereiche der Elektrotechnik. Ein
Transformator kann Ströme und Spannungen nach Bedarf vergrößern oder verkleinern
(transformieren). Das Prinzip erfordert Kenntnisse aus der Wechselstromlehre und wird
erst im folgenden Abschnitt erläutert. Der magnetische Kreis kann jedoch jetzt schon
analysiert werden. Den Aufbau zeigt das Bild 9.28.
Rm1
Schenkel
links
Θ1 = n1I
6.18
n1 = 2000,
a)
(9.71)
Mit den Zahlenwerten ergibt sich
5 ⋅ 10 −3m
= 2.387A .
I = 1.2 Va2
Vs
m 1.25667 ⋅ 10−6 Am
2000
Beispiel für den Aufbau eines Transformators
Die Werte des Transformators seien:
μr = 12.500, δ = 1mm.
Mit den Zahlenwerten der Aufgabenstellung erhält man
= 2.392 A .
Bild 9.28:
Schenkel
mitte
Rm2
Rm3
Schenkel
rechts
Φ 3, B 3
Bild 9.29:
b)
Φ2
Schaltung mit magnetischen Widerständen
Θ2 = n2I
61
Elektrotechnik II
R m1 =
3l ,
μ 0μ rA
R m2 = R m1 =
Hochschule Bremerhaven --- IAE
δ
(9.73)
Polschuhe
(9.74)
Entsprechend folgt für Θ1 = 0
R m1
Φ 32 =
Θ .
R m1Rm2 + R m1R m3 + R m2R m3 2
N
(9.75)
Die Summe (Überlagerung) ergibt
2R m1Θ 1
+ 2R m1R m3
=
2R m1Θ 1
R m1R m1 + 2R m3
.
Φ
2R m1Θ 1
.
B3 = 3 =
A
A R m1R m1 + 2R m3
(9.77)
(9.78)
Löst man diese Gleichung nach dem Strom auf, so erhält man als Zahlenwert
I 1 = 241mA .
(9.79)
sowie
I 2 = 964mA .
lp
Bild 9.30:
Die Induktion folgt aus der Division durch die Fläche
6.19
Fläche AP
S
(9.76)
Mit Θ1 = Θ2. sowie Rm1 = Rm2 folgt
R 2m1
HP
Permanentmagnet
R m2Θ 1 + R m1Θ 2
.
Φ 3 = Φ 31 + Φ 31 =
R m1R m2 + R m1R m3 + R m2R m3
Φ3 =
Fläche AL
HL
Anwendung des Überlagerungssatzes. Zunächst wird Θ2 null gesetzt.
R m2
Φ 31 =
Θ .
R m1Rm2 + R m1R m3 + R m2R m3 1
d)
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Eine typische Anordnung einer Anlage mit Permanentmagneten ist in Bild 9.30 gezeigt.
3l ,
μ 0μ rA
R m3 = l − δ + δ .
μ 0μ rA μ 0A
c)
62
Elektrotechnik II
(9.80)
Berechnung von Magnetkreisen mit
Permanentmagneten
Obwohl sich Magnetfelder über Spulen und elektrischen Strom erzeugen lassen, wäre dies
für viele Anwendungen wenig ökonomisch. Man setzt deshalb häufig Permanentmagneten
zur Erzeugung von magnetischen Feldern ein (z.B. in elektrische Maschinen,
Lautsprechern). Inzwischen existieren neue Materialien für Permanentmagnete, die eine
sehr hohe magnetische Induktion aufweisen (Samarium-Kobalt, Neodym-Eisen-Bor). Die
Verwendung dieser Stoffe ermöglicht eine erhebliche Verkleinerung von Geräten bei
gleichen Leistungen.
Magnetischer Kreis mit Permanentmagnet
Diese magnetischen Kreise lassen sich leicht analysieren, da in den einzelnen Bereichen
(Permanentmagnet, Polschuhe, Luftspalt) das Feld als homogen angenommen werden
darf. Die Berechnungen vereinfachen dadurch erheblich.
Da in dem magnetischen Kreis kein elektrischer Strom fließt (zumindest kein äußerer
elektrischer Strom), muss der Durchflutungssatz null ergeben
 Hds = 0 .
(9.81)
Der magnetische Widerstand in den Polschuhen kann aufgrund des großen Wertes der
relativen Permeabilität μr meist vernachlässigt werden. Daraus folgt, dass die Feldstärke
HFE in den Polschuhen nahezu verschwindet.
B
H FE = μFE ≈ 0 .
r
(9.82)
Die Polschuhe leiten also den magnetischen Fluss vergleichbar mit einem Leiter aus
Kupfer, der den elektrischen Strom führt. Für die verbleibenden Wegstücke muss gelten
 Hds ≈ H l + H δ = 0 .
PP
L
(9.83)
Daraus folgt, dass die Feldstärke im Permanentmagnet eine andere Richtung als im
Luftspalt aufweisen muss
HL = −
lP
H ,
δ P
(9.84)
63
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
während die Induktion B aufgrund des magnetischen Flusses in die gleiche Richtung weist
Φ = B PA P = B LA L .
(9.85)
64
Elektrotechnik II
Natürlich ist die eigentlich interessierende Größe die Induktion im Luftspalt. Aus (9.88)
folgt
Folglich gilt
BL = − μ0
BL =
AP
B .
AL P
(9.86)
B 2L = − μ 0
(9.87)
Die Gleichungen (9.84), (9.86) und (9.87) liefern einen Zusammenhang zwischen Hp und
Bp . Setzt man (9.87) in (9.84) ein, so folgt
lP
BL
μ0 = − δ HP ,
(9.88)
BL wiederum kann durch (9.86) ersetzt werden
l
AP
B = − P HP .
AL μ0 P
δ
(9.89)
Auflösen nach BP führt auf
BP = − μ0
AL lP
H .
AP δ P
(9.90)
Diese “Geradengleichung” liefert zusammen mit der Magnetisierungskennlinie den
Arbeitspunkt des Permanentmagneten.
A l
BP = − μ0 L P HP .
AP δ
Bp [Vs/m2]
lP
H .
δ P
(9.91)
Multipliziert man diese Gleichung mit (9.86), entsteht
Im Luftspalt gilt weiterhin der Zusammenhang
B L = μ 0H L .
Hochschule Bremerhaven --- IAE
lP
A
H PM B
δ P AL P
(9.92)
bzw.
BL =

− μ0
lP AP
H B .
δ AL P P
(9.93)
Die Induktion im Luftspalt wird somit von den Abmessungen des Permanentmagneten und
dem Arbeitspunkt bestimmt. Die Luftspalt-Induktion wird maximal, wenn des Betrag des
Produktes HP mit BP maximal wird. Der Arbeitspunkt sollte deshalb etwa wie in Bild 9.31
gewählt werden.
6.20
Lautsprecher
Lautsprecher sind elektroakustische Wandler (Umwandlung von elektrischer Energie in
Schallenergie). Die Wirkungsweise beruht auf dem Prinzip der Kraftwirkung
stromdurchflossener Leiter in einem Magnetfeld. Das Magnetfeld wird durch einen
Permanentmagneten erzeugt. Einen typischen Aufbau zeigt das Bild 9.32.
Sicke
BR
Membane
Luftspalt
BP 0
Arbeitspunkt
Anschluss
Chassis
---HC
HP 0
HC
Spule
Hp [A/m]
Ringmagnet
N
S
N
S
---BR
Pole
Bild 9.31:
Arbeitspunkt des Permanentmagneten
Bild 9.32:
Schnitt durch einen Lautsprecher
Aluträger
65
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Aufgrund der Anordnung der Pole (aus ferromagnetischem Material) herrscht im Luftspalt
ein starkes, homogenes Feld. Die stromdurchlossenen Leiter (Spule) in diesem Magnetfeld
erzeugen Kräfte, die die Membrane nach oben bzw. unten auslenken. Die Membrane ist
an der Sicke federnd mit dem Chassis verbunden. Die genaue Analyse der Eigenschaften
eines Lautsprechers erfordert fundierte Kenntnisse aus der Mechanik und der
Elektrotechnik. Man nennt Konstruktionen dieser Art elektromechanische Systeme. In
neuerer Zeit befasst sich das Fachgebiet Mechatronik mit Systemen, deren Funktion erst
durch das Zusammenwirken von elektrischen, elektronischen und mechanischen
Komponenten gegeben ist.
Hall-Effekt
Zur Messung von Magnetfeldern (genauer der magnetischen Induktion B) nutzt man den
Hall-Effekt. In einem Magnetfeld werden Kräfte auf bewegte Ladungsträger ausgeübt.
Bringt man einen Streifen leitfähiges Material (stromdurchlossen) in ein Magnetfeld, so
werden die Elektronen aufgrund des Magnetfelds senkrecht zur Bewegungsrichtung und
senkrecht zum magnetischen Feld abgelenkt (Lorentz-Kraft).
B
I
v
Elektron
Man stellt weiterhin fest, dass die Hall-Spannung umgekehrt proportional zur Dicke d des
Hall-Sensors ist (Dimension des Hall-Sensors in Richtung des Magnetfeldes)
U H ~ BI .
d
Mit der materialabhängigen Hall-Konstanten RH entsteht die Gleichung
U H = R H BI .
d
7
UH
Induktionsgesetz
i
U0
Hall-Sensor
Die Elektronen werden im Magnetfeld nach unten abgelenkt. Es entsteht somit ein
Elektronenmangel an dem oberen Anschluss und ein Elektronenüberschuss am unteren
Anschluss. Dies bewirkt den Aufbau eines elektrischen Feldes, das als Potenzialdifferenz
(Spannung) zwischen dem oberen und unteren Anschluss nachweisbar ist.
Diese Spannung nennt man Hall-Spannung UH . Sie ist der Stärke dem magnetischen Feld
und dem Strom proportional
U H ~ BI .
(9.96)
Besonders geeignet sind Halbleiter, da deren Hall-Konstante deutlich größer als bei
Metallen ist. Im Interesse einer möglichst großen Hall-Spannung verwendet man äußerst
dünne Halbleiterschichten, die im Bereich von 0,1mm bis ca. 5μm liegen. Schichtdicken im
Mikrometerbereich erzeugt man durch Bedampfen von Glas mit einem Halbleitermaterial.
Elektronenüberschuss
Bild 9.33:
(9.95)
Die Spule (bzw. Induktivität) ist ein Bauelement, das dynamische Übertragungseigenschaften aufweist, d.h. Strom und Spannung an der Induktivität besitzen nicht die gleiche
Kurvenform. Ein Widerstandsnetzwerk ist beispielsweise nicht dynamisch, da sich der
Verlauf des Stromes immer --- bis auf einen konstanten Faktor --- mit dem der Spannung
deckt. Man bezeichnet diesen Zusammenhang als statisch.
Elektronenmangel
I
F
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Messung der Induktion B: Betrieb des Hall-Sensors mit konstantem Strom I.
Mechatronik = Mechanik + Elektrotechnik + ggf. Informatik.
6.21
66
Elektrotechnik II
(9.94)
Üblicherweise betreibt man den Hall-Sensor mit konstantem Strom. Die Hall-Spannung
ist dann nur noch proportional zur Induktion B.
R1
u1
R2
u2
u1
U0
u2
t
Bild 7.13:
Beispiel für ein statisches Netzwerk
Der Maschenumlauf führt auf
U0 = u1 + u2 ,
(7.67)
67
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
d.h. beide Spannungen ergänzen sich stets zu u0. Mit Hilfe des Stroms
i=
di = U 0 e −Tt .
RT
dt
(7.68)
u2 =
R2
U .
R1 + R2 0
(7.69)
Die Ausgangsspannungen haben also stets den gleichen Verlauf wie die Eingangsspannung U0. Ersetzt man R2 durch eine Induktivität, so misst man folgenden Verlauf der
Spannungen.
U0
uR
L
uL
Die Ableitung (Stromänderung) ist proportional der Spannung an der Induktivität
di ~ U .
L
dt
Diese Aussage gilt allgemein für Induktivitäten (vergleiche mit Widerstand).
Ein anderes Experiment scheint zunächst wenig mit dem ersten Versuch zusammenzuhängen, jedoch wirken auch hier die gleichen physikalischen Gesetzmäßigkeiten.
i
R
(7.72)
Man stellt fest:
oder durch die Spannungsteiler-Regel findet man
R1
U ,
R1 + R2 0
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Leitet man den Strom ab, so folgt
U0
R1 + R2
u1 =
68
Elektrotechnik II
B
uR
U0
uL
a
v
t
Bild 7.14:
u
RL-Schaltung (dynamisches System)
Ein dynamisches System stellt eine Funktionseinheit dar zur Verarbeitung und
Übertragung von Signalen, wobei die Systemeingangsgrößen als Ursache und die
Systemausgangsgrößen als deren zeitliche Auswirkung zueinander in Relation
gebracht werden.
Der Verlauf der Ausgangsgrößen ist eine Folge der Eingangsgröße U0. Die Kurvenformen
unterscheiden sich jedoch deutlich von der Eingangsgröße. Der Grund liegt in der sich
aufbauenden magnetischen Energie in der Spule.
Man kann einen exponentiellen Verlauf der Spannungen uL und uR feststellen. Die
Gleichungen lauten

t

u R = U 0 1 − e −T ,
t
u L = U 0 e −T .
(7.70)
Der Strom folgt aufgrund der Proportionalität von Strom und Spannung am Widerstand zu
U
t
i = 0 1 − e −T .
R


(7.71)
x
Bild 7.15:
l
Versuch zum Nachweis induzierter Spannung
Ein elektrisch leitfähiger Stab liegt auf einer Leiterschleife auf. Von oben wirkt ein
magnetisches Feld mit der Induktion B. Erfahrungsgemäß wird hier keine Spannung u
gemessen. Bewegt man den Stab mit einer Geschwindigkeit v auf der Leiterschleife, so
wird eine Spannung u gemessen. Die Spannung ist proportional zur Geschwindigkeit v.
Das gefundene Prinzip ist die Grundlage der elektrischen Energieversorgung. Alle
Generatoren (elektromechanische Energiewandler) basieren auf diesem Phänomen.
Die Spannung entsteht durch eine Änderung des magnetischen Flusses Φ.
Der Fluss ist das Produkt aus Flussdichte B mit der Fläche A = a(l---x)
Φ = BA = B(l − x) .
(7.73)
69
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
70
Elektrotechnik II
→
Die Änderung ist
u i = dΦ = d (BA) = d  Ba(l − x)  = − Ba dx = − Bav .
dt
dt
dt
dt
→
F el = − F mag ,
(7.74)
→
→
→
E=− v ×B.
Der Fluss kann nicht nur durch Änderung der Fläche, sondern auch durch Änderung der
Induktion B verursacht werden (Kettenregel)
(7.75)
Beide Effekte können sich natürlich auch überlagern.
Die Spannung lässt sich auch über die Kraft auf bewegte Ladungsträger bestimmen, da bei
Bewegung des Stabes Ladungsträger senkrecht zur magnetischen Induktion transportiert
werden.
E = − vB .
Bild 7.16:
E=u
a .
u i = − vBa .
→
v
→
(7.83)
ergibt natürlich Volt (V).
E
Üblicher ist aber die Bestimmung der induzierten Spannung über eine Änderung des
Flusses, was zu dem gleichen Ergebnis [s. (7.74)] führt. Wenn nicht eine Windung, sondern
N Windungen verwendet werden, erhöht sich die induzierte Spannung einfach um diesen
Faktor

→
→

F mag = Q v × B .
u i = − N dΦ = − d NΦ .
dt
dt
F el = QE .
(7.84)
Das Produkt
Ψ := NΦ
(7.76)
Aufgrund der “Rechte-Hand-Regel” wirkt auf die Elektronen eine Kraft “nach unten”, da
die Ladung Q bei Elektronen negativ ist. Die Verschiebung bewirkt ein elektrisches Feld
(durch Trennung von Ladungen). Dieses elektrische Feld erzeugt ebenfalls eine Kraft auf
die Elektronen
→
(7.82)
Die Überprüfung der Einheit
Die Kraft auf die Elektronen im Leiter ist
→
(7.81)
Fasst man beide Gleichungen zusammen, so erhält man die Gleichung für die induzierte
Spannung
Induzierte Spannung durch Kraft auf bewegte Ladungsträger
→
(7.80)
Die Richtung der Spannung folgt aber nur aus der Vektor-Darstellung. Die elektrische
Feldstärke folgt aus der Spannung an den Enden des Stabes sowie aus dem Abstand
Vs
[vBa] = m
s m2 m = V
a
(7.79)
Da alle Größen hier senkrecht aufeinander stehen, kann das Kreuzprodukt (7.79) auch als
Multiplikation geschrieben werden
→
B
(7.78)
bzw.
Die auf diese Weise erzeugt Spannung nennt man induzierte Spannung ui .
dΦ = d (BA) = B dA + A dB .
dt
dt
dt
dt
Hochschule Bremerhaven --- IAE
(7.77)
Da kein Strom fließt, befinden die Elektronen in einem Kräftegleichgewicht, d.h. die
Kräfte müssen entgegengesetzt sich und gleichen Betrag aufweisen
(7.85)
nennt man den verketteten Fluss. Damit lautet die induzierte Spannung einfach
u i = − dΨ .
dt
7.1
(7.86)
Beispiel: Generator
Über 99% unserer elektrischen Energie wird mit Generatoren (elektromechanische
Energiewandler) erzeugt. Ein Generator basiert auf dem Prinzip der Flussänderung durch
eine rotierende Spule.
71
Elektrotechnik II
N Windungen
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Elektrotechnik II
r
7.2
72
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Induzierte Spannung in ruhenden Leitern
Damit eine Spannung induziert werden kann, muss sich die Spule nicht bewegen. Es genügt,
wenn sich der Fluss in der Spule ändert.
l
ω
α
ui
Φ
B
Bild 7.17:
Ui
B
Bild 7.18:
Generatorprinzip
Eine Spule rotiert in einem Magnetfeld B. Daraus ergibt sich ein Fluss
Φ = BA .
(7.87)
Der Fluss Φ durch die Spule ändert sich nun dadurch, dass sich die effektive Fläche
(Fläche, durch die die magnetische Induktion strömt) mit dem Winkel α ändert. Diese
Fläche lautet
A = 2lr cos α = 2lr cos(ωt) .
(7.88)
Induzierte Spannung aufgrund sich änderten Flusses
Im Jahre 1833 wurde dieses Prinzip von Gauss und Weber in Göttingen zum ersten Mal
technisch genutzt, indem sie über eine ca. 3 km lange Leitung Telegrafiesignale übertrugen.
Zur Änderung der Induktion setzten sie Permanentmagnete ein, die in Spulen getaucht
wurden und auf diese Weise eine Änderung des Flusses in der Spule bewirkten.
7.2.1
Selbstinduktion
Ändert sich der Strom in einer Spule, so ändert sich dadurch ebenfalls der Fluss. Da der
Spulenfluss durch die Spule selbst erzeugt wird, nennt man die dadurch induzierte
Spannung Selbstinduktion.
Der verkettete Fluss wird somit
Ψ = NΦ = 2NBlr cos(ωt) .
(7.89)
i
Für die induzierte Spannung gilt nun [s. (7.86)]
u i = − dΨ = − 2NBlr d cos(ωt) = 2NBlrω sin(ωt) .
dt
dt
Für die Zahlenwerte N = 1000, B = 10
einen Verlauf der Spannung von


u i = 6.28V sin 314
s t .
mVs/m2,
(7.90)
U0
uR
uL
ui
l = 5 cm, r = 2 cm, 50 U/s erhält man
Φ
(7.91)
Der Generator erzeugt also Wechselspannung. Große Generatoren zur Energieversorgung
besitzen natürlich höhere Induktionen und natürlich eine größere Fläche, sodass induzierte
Spannungen bis typisch 30kV auftreten.
Bild 7.19:
Selbstinduktion
Das Bild 7.19 zeichnet man kompakt in der Form gemäß Bild 7.20.
73
Elektrotechnik II
U0
uL
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Lenzsche Regel
Die durch Induktion erzeugten Spannungen sind stets ihrer Entstehung
entgegengerichtet.
L
ui
74
Elektrotechnik II
7.3
i
R
uR
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Ändert sich beispielsweise der Strom in einer Spule, so wird eine Spannung induziert, die
dem Strom entgegenwirkt.
Bild 7.20:
R
Selbstinduktion, Schaltbild
Die Induktivität in Bild 7.20 wird als ideale Induktivität angenommen, d.h. die Spule weist
keinen ohmschen Widerstand auf. Der ohmsche Widerstand der Spule wird dann einfach
dem Widerstand R zugeschlagen. Die Spannung an der Induktivität wird umgekehrt zur
Richtung der induzierten Spannung angesetzt, sodass man nun die Beziehung
u L = − u i = dΨ
dt
Φ = μ 0μ r A ni ,
l
Bild 7.21:
(7.93)
Lenzsche Regel
U0 − uR − uL = 0 .
Ψ = nΦ = μ 0μ r A n 2i ,
l
(7.94)
Den Zusammenhang zwischen dem verketteten Fluss und dem Strom nennt man
Induktivität L.
Dieser Wert wird für Spulen gewöhnlich angegeben. In unserem Beispiel beträgt die
Induktivität
L = μ 0μ r A n 2 .
l
(7.95)
Die Einheit der Induktivität ist
(7.98)
Mit
u R = Ri ,
u L = L di
dt
(7.99)
folgt
U 0 − Ri − L di = 0 .
dt
(7.100)
Man erhält eine Differenzialgleichung 1. Ordnung. Auflösung nach di / dt ergibt
di = U 0 − Ri .
L
dt
(7.101)
Es gilt ebenfalls der Zusammenhang
(Henry) .
(7.96)
In der Induktivität werden alle Größen einer Spule zusammengefasst, die sich nicht mit der
Zeit ändern. Die Spannung uL an der Spule ist damit
(die Ableitung dL / dt ist null).
uL
Die Spannung uL wirkt als Gegenspannung zur Spannung U0. Der Spannungsumlauf in
der Masche führt auf
bzw. für den verketteten Fluss
u L = dLi = L di + i dL = L di
dt
dt
dt
dt
L
(7.92)
erhält. Für den Fluss durch die Spule erhält man aus Bild 7.19
[A ]
2
[ L ] = μ 0
= Vs m
= Vs = H
[l ]
Am m
A
uR
U0
i
(7.97)
di
= dt ,
U 0 − Ri
L
(7.102)
wobei die linke Seite nur von i und die rechte Seite nur von t abhängt (“Trennung der
Veränderlichen” mit der Annahme U0 = const.). Wir können nun auf beiden Seiten
integrieren, um den Verlauf des Stromes auszurechnen
 U di− Ri =  dtL + k .
0
1
(7.103)
75
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Die Konstante k1 wird benötigt, da jedes k1 die Differenzialgleichung (7.102) erfüllt. Die
linke Seite folgt aufgrund von

1 = 1 ln(ax + b) + k
a
ax + b
(7.104)
T := L .
R
Rt
U 0 − Ri = e − L −Rk1 = k 2 e − L ,
k 2 := e −Rk1 .
(7.106)
Nun lässt sich die Gleichung nach i auflösen
U
U 0 k 2 −Rt
Rt
− e L = 0 − k 3e − L ,
R
R
R
k 3 :=
k2
.
R
(7.107)
Die Konstante k3 folgt aus der Randbedingung für den Strom zu einem bestimmten
Zeitpunkt, z.B. zum Zeitpunkt t = 0. Nehmen wir an, dass der Strom zu Beginn null ist
i(t = 0) = 0 ,
(7.108)
so folgt
U
k3 = 0
R


(7.112)
Komplexe Impedanz
Um Netzwerke aus Widerständen, Induktivitäten und Kondensatoren bei Wechselstrom
auf einfache Weise berechnen zu können, verwendet man die sogenannte komplexe
Impedanz.
8.1
Induktivitäten
Für den Zusammenhang zwischen Strom und Spannung gilt allgemein
uL = L
di L
.
dt
(7.113)
Die Spannung an einer Induktivität ist proportional zu Änderung des Stroms durch die
Induktivität.
U0
Rt
1 − e− L .
R

8
(7.109)
und damit
i=
U0
t
1 − e −T .
R
(7.105)
Bilden wir die Exponenzialfunktion auf beiden Seiten, so folgt
i=
(7.111)
Damit schreibt man (7.110) endgültig
i=
Rt
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Der Wert L / R hat die Bedeutung einer Zeitkonstanten
zu
− 1 ln(U 0 − Ri) = t + k 1 .
R
L
76
Elektrotechnik II

(7.110)
iL (t), IL
Der Strom hat somit den exponenziellen Verlauf gemäß Bild 7.22.
i
L
U0
R
Bild 7.23:
uL (t), UL
Strom und Spannung an einer Induktivität
Ein Wechselstrom
t
Bild 7.22:
Zeitlicher Verlauf des Stroms i
^
i L(t) = i L cos(ωt)
kann durch den (komplexen) Zeiger I in der Form
(7.114)
77
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
i L(t) = Re2 I Le jωt
uL = L
di L
^
= − ωLi L sin(ωt) .
dt
X L := ωL .
t
Q
uC = = 1
C
C


(7.125)
Die Ableitung auf beiden Seiten führt auf die allgemeine Beziehung zwischen Strom und
Spannung am Kondensator
du C
= 1 iC ,
C
dt
Gleichzeitig stellt man eine Phasenverschiebung von 90˚ fest [cos(ωt), -sin(ωt)].
di
u L(t) = Re2 U Le jωt = L L = L d Re2 ILe jωt .
dt
dt
 i(τ)dτ .
0
(7.117)
Sehr viel einfachere Beziehungen erhält man zwischen den komplexen Wechselstromzeigern.
(7.124)
Die Ladung ist das Integral über den Strom. Gilt für die Ladung Q(t=0) = 0, so erhält man
(7.116)
Die Spannung ist ebenfalls sinusförmig (mit gleicher Frequenz). Der “Widerstand” der
Spule wird als Impedanz bezeichnet und beträgt
bzw.
iC = C
du C
.
dt


(7.118)
iC (t), IC
(7.119)
C
bzw.
Re2 U Le jωt = Re2 I L jωL e jωt .
Bild 7.24:
(7.121)
Zwischen den Zeigern gilt bei komplexer Darstellung also das “erweiterte ohmsche
Gesetz” U = RI. Der “Widerstand” ist nun allerdings komplex und wird als Impedanz
bezeichnet. Die komplexe Impedanz einer Induktivität ist somit
Z L := jωL .
(7.122)
Man spricht auch vom komplexen ohmschen Gesetz
U=ZI,
das für Widerstände, Induktivitäten und Kondensatoren (s. Abschnitt ) gilt.
8.2
Kondensatoren
Für einen Kondensator gilt die Proportionalität von Ladung und Spannung
uC (t), UC
(7.120)
Durch Koeffizientenvergleich erhält man
U L = jωL I L = jX LI L = Z LI L .
(7.126)
Der Strom durch einen Kondensator ist proportional zur Änderung der Spannung an
dem Kondensator.
Führt man die Ableitung auf der rechten Seite aus, so folgt
Re2 U Le jωt = L Re2 I L jω e jωt
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Q = Cu C .
(7.115)
beschrieben werden (IL ist in diesem Fall eine reelle Größe). Man erhält dann für die
Spannung an einer Induktivität aus (7.113) und (7.114)
78
Elektrotechnik II
(7.123)
Strom und Spannung an einem Kondensator
Eine angenommene Spannung am Kondensator
^
u C(t) = u
C cos(ωt)
(7.127)
kann mit dem komplexen Spannungszeiger UC wie folgt geschrieben werden
u C(t) = Re2 U Ce jωt
(7.128)
beschrieben werden (UC ist hier wieder eine reelle Größe). Nach (7.126) erhält man für den
Strom durch einen Kondensator
iC = C
du C
^
= − ωCu
C sin(ωt) .
dt
(7.129)
Den “Widerstand” des Kondensators bezeichnet man ebenfalls als Impedanz. Diese
Impedanz beträgt (Verhältnis Spannungsamplitude / Stromamplitude)
X C := 1 .
ωC
(7.130)
79
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Auch hier stellt man eine Phasenverschiebung von 90˚ fest [cos(ωt), -sin(ωt)].
du C
= C d Re2 UCe jωt .
dt
dt


(7.131)
Führt man die Ableitung auf der rechten Seite aus, so folgt


(7.132)
Re2 I Ce jωt = Re2 U C jωC e jωt .
(7.133)
bzw.
Durch Koeffizientenvergleich erhält man
(7.134)
(7.135)
Z = Z e jÔ .
(7.139)
In den folgenden Beispielen wird jeweils
(7.140)
angenommen.
Umrechnung kartesisch → polar
Z 1 = a 2 + x 2 , Ô 1 = arctanax  .
(7.141)
Umrechnung polar → kartesisch
(7.142)
Konjugiert komplexer Wert
Z 1 *= a − jx .
(7.143)
Betragsquadrat
Der Kehrwert der Impedanz ist die Admittanz Y.
2
Die Admittanz ist somit die Verallgemeinerung des reellen Leitwertes bei Widerständen.
Der Begriff der Admittanz findet sich gelegentlich bei Berechnungen mit Kondensatoren
oder bei der Bestimmung von Parallelschaltungen (= Addition von Admittanzen). Die
Admittanz eines Kondensators ist
Y C = jωC .
oder in Polarkoordinaten (Betrag Z und Phase Ô)
a = Z 1 cos(Ô 1) , x = Z 1 sin(Ô 1) .
Zwischen den Zeigern gilt bei komplexer Darstellung also wieder das “erweiterte ohmsche
Gesetz” I = U / R. Der “Widerstand” ist nun allerdings komplex und wird als Impedanz
bezeichnet. Die komplexe Impedanz eines Kondensators ist somit
Z C := 1 .
jωC
(7.138)
Z 1 = a + jx = Z 1e jÔ 1 , Z 2 = b + jy = Z 2e jÔ 2
Re2 I Ce jωt = C Re2 U C jω e jωt
I C = jωC U C := 1 U C .
ZC
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Z = a + jx
Wie auch bei der Induktivität, führt die Berechnung mit Wechselstromzeigern wieder auf
eine dem ohmschen Gesetz gleichwertigen Darstellung. Mit Zeigern geschrieben,
lautet (7.126)
i C(t) = Re2 I Ce jωt = C
80
Elektrotechnik II
Z 1 Z 1 *= Z 1 .
(7.144)
Addition (polar nicht möglich)
Z 1 + Z 2 = a + b + j(x + y) .
(7.145)
(7.136)
Subtraktion (polar nicht möglich)
8.3
Rechenregeln für komplexe Zahlen
Z 1 − Z 2 = a − b + j(x − y) .
Die Berechnung von Netzwerken erfordert den Umgang mit komplexen Zahlen, d.h. die
Impedanzen, Admittanzen, Ströme und Spannungen (als Zeiger) sind komplexe Größen
Z, Y, U, I ∈ 7 .
(7.137)
Die komplexen Zahlen haben eine Darstellung in kartesischen Koordinaten (Real- und
Imaginärteil), z.B.
(7.146)
Multiplikation kartesisch
Z 1 Z 2 =  a + jx  b + jy  = ab − xy + j(ay + bx) .
Multiplikation polar
(7.147)
81
Elektrotechnik II

Hochschule Bremerhaven --- IAE

Z 1 Z 2 = Z1 Z 2 e j Ô 1+Ô2 .
(7.148)
82
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Beweis:


U = Ue jÔU = ZI = Ze jÔ Z Ie jÔI = ZIe j ÔZ+Ô I .
Inversion kartesisch
a − jx
a − jx
1 = 1 = 1
= 2
.
a + jx
a + jx a − jx
Z1
a + b2
Für die Phasenwinkel gilt somit
(7.155)
ÔU = ÔZ + ÔI
(7.149)
bzw.
Ô UI := Ô U − Ô I = Ô Z
Inversion polar
1 = 1 e −jÔ1 .
Z1
Z1
(7.154)
(7.150)
8.4.1
qed.
(7.156)
Serienschaltungen
R
L
Division kartesisch
 a + jx  b − jy 
Z1
a + jx
ab + xy + j(bx − ay)
=
=
=
.
 b + jy  b − jy 
Z2
b + jy
b2 + y2
(7.151)
Serienschaltung R und L
Die gesamte Impedanz ist die Summe der Impedanzen von Widerstand und Induktivität
Z ges = Z R + Z L = R + jωL .
Division polar
Z 
Z1

= 1 e j Ô1−Ô 2 .
Z2
Z2
Bild 7.25:
Die Phase zwischen Strom und Spannung ist (Spannung eilt dem Strom voraus)
(7.152)
 
Ô UI = arctan ωL .
R
R
8.4
Netzwerke aus Widerständen, Induktivitäten und
Kondensatoren
Mit den Definition für die komplexen Impedanzen für Induktivitäten und Kondensatoren
lassen sich nun beliebige Netzwerke mit exakt den gleichen Methoden wie bei
Widerstandsnetzwerken bei Gleichstrom berechnen. Die “Impedanz” eines Widerstands
ist natürlich einfach
Z R := R
(7.157)
(7.153)
Bild 7.26:
Der Phasenwinkel Ô zwischen Strom und Spannung ist der Winkel der Impedanz Z.
C
Serienschaltung R und C
Die Gesamtimpedanz lautet
1 + jωRC
.
Z ges = R + 1 =
jωC
jωC
(7.159)
Für tiefe Frequenzen nimmt die Impedanz unbeschränkt zu. Für hohe Frequenzen liegt die
geht die Impedanz gegen
und ist natürlich ein reeller Wert. Man verwendet den verallgemeinerten Begriff Impedanz
aber nicht bei Widerständen.
Die Impedanz (bzw. die Admittanz) besitz einen Realteil (= der ohmsche Widerstand)
sowie einen Imaginärteil. Der Imaginärteil kommt durch die frequenzabhängigen
Widerstände von Induktivitäten oder Kondensatoren zustande.
(7.158)
lim Z ges = R .
(7.160)
ω→∞
L
Bild 7.27:
C
Serienschaltung L und C
Die Schaltung nach Bild 7.27 nennt man Serienresonanz
83
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
2
Z ges = jωL + 1 = 1 − ω LC
jωC
jωC
84
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
(7.161)
R
C
Sowohl für sehr tiefe als auch für sehr hohe Frequenzen ist der Betrag der Impedanz
unendlich. Eine besondere Bedeutung hat die sogenannte Resonanzfrequenz f0, für die der
Gesamtwiderstand null wird
!
Z ges(ω 0) = 0 ,
ω0 = 1 .
LC
⇒
(7.162)
Bild 7.29:
Die Impedanz gemäß Bild 7.29 lautet
Die Resonanzfrequenz wird damit
Z ges =
ω
1
.
f0 = 0 =
2π
2π LC
8.4.2
Parallelschaltung R und C
(7.163)
1
ZR
1
R
=1 1
=
.
1 + jωRC
+ Z1
+
jωC
R
Der Phasenwinkel beträgt
Ô Z = 0 − arctan(ωRC) = − arctan(ωRC) .
Parallelschaltungen
Die folgenden Schaltungen werden nicht im Detail analysiert. Bestimmen Sie zur Übung
für jede Schaltung Betrag und Phasenwinkel jeweils für hohe und tiefe Frequenzen.
R
Parallelschaltung R und L
Z ges =
jωRL
jωL
1
=1 1 1 =
=
.
R + jωL
1
+
jω LR
+ Z1
+
R
jωL
(7.164)
L
Der Phasenwinkel zwischen Strom und Spannung kann aus Zähler und Nenner getrennt
bestimmt werden [s. (7.152)]
 
Ô Z = Ô Zähler − Ô Nenner = π − arctan ωL .
R
2
(7.165)
Auch der Betrag von Z lässt sich getrennt aus Zähler und Nenner herleiten
Z=
ωL
1 + 
ωL
R

2
.
Parallelschaltung L und C
Die sogenannte Parallelresonanzschaltung besitzt die Impedanz
Die Gesamtimpedanz lautet
1
ZR
C
L
Bild 7.30:
Z ges =
(7.168)
Die Spannung eilt damit dem Strom nach.
L
Bild 7.28:
(7.167)
C
jωL
1
= 1 1
=
.
1
2
+Z
1 − (ωLC)
jωL + jωC
(7.169)
C
Sowohl für sehr tiefe als auch für sehr hohe Frequenzen ist der Widerstand sehr klein. Bei
der sogenannten Resonanzfrequenz ω0 wird der Widerstand unendlich. Dies tritt auf, wenn
der Nenner in (7.169) null wird
2 !
1 −  ω0LC  = 0
⇒
ω0 = 1 .
LC
(7.170)
Die Resonanzfrequenz ist damit
f0 =
(7.166)
1
ZL
ω0
1
=
.
2π
2π LC
(7.171)
Die Parallelresonanz verhält sich dual zur Serienresonanz, d.h. die Eigenschaften sind
gegensätzlich.
85
Elektrotechnik II
9
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Schein-, Wirk- und Blindleistung
(1.3)
p(t) = u(t) i(t) .
Sofern U und I Gleichgrößen sind entsteht eine konstante Leistung P. Bei Wechselgrößen
entsteht eine schwankende Leistung.
was man auch aus dem Diagramm 7.31 ablesen kann. Wenn Strom und Spannung nicht in
Phase sind, entsteht neben Wirkleistung auch Blindleistung, d.h. Leistung die zwischen
Erzeuger und Verbraucher pendelt (mit der doppelten Frequenz). Wie man am Verlauf der
Leistung in Bild 7.31 sieht, nimmt die Leistung auch negative Werte an.
0.5
0
---0.5
0.5
0
Strom
Bild 7.32:
Leistung
0
5
10
15
20
25
Der Mittelwert der Leistung wird als Wirkleistung bezeichnet. Er ist das Produkt der
Effektivwerte von Strom und Spannung. In unserem Beispiel beträgt die Effektivwert der
Spannung
^
U= u = 1 V
2
2
(1.4)
und der Effektivwert des Stromes beträgt
^
Leistung
0
5
(1.5)
10
15
20
25
Leistung bei phasenverschobenem Strom gegenüber der Spannung
Die Leistung phasenverschobener Spannungen und Ströme berechnet man zweckmäßigerweise komplex. Dazu werden Spannung und Strom als (Effektivwert-) Zeiger dargestellt.
Ein komplexer Zeiger beschreibt Amplitude und Phasenlage eines harmonischen Signals
einer bestimmten Frequenz (meist 50Hz). Der Zusammenhang zwischen dem Zeiger und
dem zeitlichen Verlauf ist gegeben durch
u(t) = Re2 U cos ωt + Ô  .
Leistung bei Wechselgrößen
I = i = 0.8 A .
2
2
Strom
0.8
0.6
0.4
0.2
0
---0.2
1
Bild 7.31:
Spannung
1
---1
Spannung
(1.6)
P = UI = 0.4W ,
Grundsätzlich gilt immer, dass sich die elektrische Leistung aus dem Produkt aus Spannung
und Strom ergibt (Augenblickswert)
---1
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Daraus folgt für die Wirkleistung
Bei Wechselströmen sind nicht allein die Amplitude bzw. Effektivwerte Maß für die
umsetzbare Leistung. Die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung spielt eine
entscheidende Rolle bei der Bestimmung der Leistung. Die aus der Gleichstromlehre
bekannte Leistung als Produkt von Spannung und Strom entspricht der Wirkleistung bei
Wechselstrom. Eine sogenannte Blindleistung tritte bei Gleichströmen nicht auf.
---0.5
86
Elektrotechnik II
(1.7)
Dabei ist U der Betrag des Zeigers U und Ô sein Winkel in der komplexen Ebene. Die
Gleichung (1.7) hat auch eine einfache grafische Interpretation. Der zeitliche Verlauf folgt
aus der Projektion des mit τ = ωt umlaufenden Zeigers auf die reelle Achse.
87
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
jIm
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Mit den Zeigergrößen lässt sich sehr elegant die elektrische Leistung beschreiben, die dann
komplexe Werte annehmen kann
ωt
2 U
88
Elektrotechnik II
*
(1.11)
S=UI .
Ô
Die Größe S ist die (komplexe) Scheinleistung. Für den Betrag gilt
(1.12)
S = UI .
Re
1.5
1
0.5
0
---0.5
---1
---1.5
Die Definition (1.11) bringt zum Ausdruck, dass die Leistung nur vom Differenzwinkel
zwischen Spannung und Strom abhängt
*


0
S = U I = Ue jÔ u Ie −jÔi = UI e j Ôu−Ô i = UI e jÔ ui .
(1.13)
Der Realteil von S ist die Wirkleistung P, der Imaginärteil von S ist die Blindleistung Q
*
5
S = U I = P + jQ .
10
9.1
(1.14)
Beispiele
Bei einem Ohmschen Widerstand gilt
(1.15)
15
U = RI .
Daraus folgt
*
Zusammenhang zwischen komplexem Zeiger und zeitlichem Verlauf der
Spannung
Für den Strom gilt natürlich der gleiche Zusammenhang zwischen dem Zeiger und dem
zeitlichem Verlauf des Stroms. Ist der Zeiger
(1.8)
I = I e jÔ ,
so gilt für den konjugiert komplexen Zeiger
*
(1.9)
I = I e −jÔ .
Bei einem konjugiert komplexen Zeiger wird der Winkel negativ. Gleichbedeutend ist die
Aussage, dass der Imaginärteil sein Vorzeichen wechselt
 * = Re{I} ,
Re I
(1.16)
Die Scheinleistung in einem Widerstand ist stets reell, also entsteht nur reine
Wirkleistung P.
25
Bild 7.33:
*
S = UI = RI I = RI 2 = P .
20
Winkel ωt
 * = − Im{I} .
Im I
(1.10)
Ein Spule mit der Induktivität L besitzt die komplexe Impedanz
(1.17)
Z L = jωL .
Man erhält für die Scheinleistung an einer Induktivität folglich
*
*
S = UI = Z L I I = jωLI 2 = jQ .
(1.18)
Die Scheinleistung ist rein imaginär. Damit tritt positive Blindleistung auf. Die Definition
einer positiven Blindleistung für Induktivitäten ist eine Konvention. Eine Induktivität
nimmt folglich keine Leistung auf, sondern tauscht nur Leistung mit der Spannungs- oder
Stromquelle aus.
Bei einem Kondensator erhalten wir für die komplexe Impedanz
j
ZC = 1 = −
.
jωC
ωC
(1.19)
89
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Für die Scheinleistung gilt
*
*
S = U I = ZC I I = −
j 2
I = − jQ .
ωC
u [V]
400
200
0
---200
---400
i [A]
20
10
0
---10
---20
(1.20)
Die Scheinleistung ist rein imaginär. Damit tritt negative Blindleistung auf.
Aufgabe: Bestimmen Sie Wirk- und Blindleistung für folgende Last (f = 50Hz).
I
Bild 7.34:
R = 12Ω
UR
U = 230V
p [W]
L = 80mH
UL
90
Elektrotechnik II
Ohmsch-induktive Belastung
3000
2000
1000
0
---1000
---2000
0
5
Hochschule Bremerhaven --- IAE
10
15
(1.21)
Z ges = R + Z L = R + jωL .
 
U
S=UI =U
Z ges
*
Bild 7.35:
2
U2
= U* =
.
R
−
jωL
Z ges
(1.22)
R + jωL
= 2
+j 2
.
R + ω 2L 2
R + ω 2L 2
R 2 + ω 2L 2
U 2R
U 2ωL
(230V) 2 12 Ω
(12Ω) 2
+ (2 π
50 1s
80mH) 2
+j
U
.
Z ges
(1.23)
(230V)2 2 π 50 1s 80 mH
mit
R
U,
R + jωL
U L = jωLI =
jωL
U.
R + jωL
(1.27)
Mit Zahlenwerten erhält man
(12Ω) 2 + (2 π 50 1s 80mH) 2
Den Verläufe von Spannung, Strom und Leistung zeigt Bild 7.35.
(1.26)
U = UR + UL ,
U R = RI =
= 818W + 1.714kVar .
(1.25)
Der Spannungsumlauf in der Masche in Bild 7.34 ergibt
Mit den Zahlenwerten für R und L erhält man
S=
Verläufe von Spannung, Strom und Leistung bei ohmsch-induktiver Last
I=
Nach konjugiert komplexer Erweiterung erhält man
S = U2
25
Die Zusammenhänge lassen sich auch gut im Zeigerdiagramm wiedergeben. Es gilt
Damit folgt für die komplexe Scheinleistung
*
20
ωt
Die gesamte Impedanz der Last ergibt sich zu
U R = 42.7V − j 89.4V ,
(1.24)
U L = 187.3V + j 89.4V .
(1.28)
bzw.
I = 3.56A − j 7.45A .
(1.29)
91
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Im
US =
U
Re
Bild 7.36:
9.2
Hochschule Bremerhaven --- IAE
U∆
= 400V ≈ 230V .
3
3
(1.30)
Betrachten wir nun die Leistung, die an einer symmetrischen Drehstromlast umgesetzt
wird. Drehstromverbraucher können über 4 Leiter oder 3 Leiter angeschlossen werden.
Ôui
UR
92
Elektrotechnik II
I1
I
I2
UL
I3
U1
Zeigerdiagramm bei ohmsch-induktiver Last
U2
Z2
U3
Z1
I0
Drehstrom
Für große Leistungen setzt man aus verschiedenen Gründen Drehstrom ein. Ein
symmetrisches Drehstromsystem besteht aus 3 um jeweils 2π/3
gegeneinander
phasenverschobenen Spannungen. Bei ebenfalls symmetrischer Last ist die Leistung im
Gegensatz zum einphasigen System konstant.
U
u1 --- u2
400
u1
u2
Bild 7.38:
Anschluss eines Drehstromverbrauchers in Y-Schaltung
Da die Summe aller Spannungen im symmetrische Drehstromsystem stets null ergibt, kann
der untere Leiter für den Sternpunkt auch entfallen. Sofern alle Impedanzen Z1 ---Z3 gleich
sind, wird der Strom I0 ebenfalls null, so dass der Leiter für den Sternpunkt nicht benötigt
wird.
u3
200
Eine alternative Schaltung, die zu größeren Spannungen am Verbraucher führt, ist die
Dreieckschaltung (∆-Schaltung). Da ein Sternpunkt nicht existiert, wird der Verbraucher
immer mit 3 Leitungen angeschlossen.
0
---200
---400
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
τ
Bild 7.37:
Z3
Spannungen im Drehstromsystem
Bild 7.37 zeigt die Phasenspannungen eines symmetrischen
Drehstromsystems.
Gleichzeitig ist noch eine sogenannte Leiter-Leiter-Spannung zwischen den Phasen u1 und
u2 eingezeichnet. Diese Spannung ist ebenfalls sinusförmig und besitzt den Effektivwert
von 400V. Auf diesen Wert hat man sich europaweit geeinigt. Die Phasenspannungen sind
um den Faktor 3 kleiner
93
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
I1
Z1
Bild 7.39:
P = P1 + P2 + P3 = 3
9.3
Z3
Z2
I3
U2
(1.31)
p(t) = u 1i 1 + u 2i 2 + u 3i 3 .
15000
2
1.5
Summe der
1
Leistungen
0.5
0
x
3
 pk(t)
Bild 7.40:
3
4
5
6
7
8
9
τ
10
Leistung im Drehstromsystem
P1 =
R
,
P2 =
U 22
R
U2
,
DrehstromLast
U3
Dreiphasige Leistungsmessung
S 1 = U 1I 1 ,
Q 1 = S 21 − P21 ,
(1.34)
S 2 = U 2I 2 ,
Q 2 = S 22 − P22 ,
(1.35)
S 3 = U 3I 3 ,
Q 3 = S 23 − P23 .
(1.36)
P3 =
U 23
R
.
Q ges = Q 1 + Q 2 + Q 3 ,
S ges = P 2ges + Q 2ges .
(1.37)
(1.38)
Häufig wird auf den Anschluss des Nullleiters verzichtet. In diesem Fall werden nur zwei
Leistungsmesser benötigt. Der Augenblickswert der Leistung ist
Bei einer ohmschen Belastung mit gleichen Widerstanden gilt
U 21
U1
P ges = P 1 + P 1 + P 3 ,
2
I3
L3
Für die Summenleistungen erhält man
k=1
1
I2
Es ergibt sich folgende Bilanz für Wirk-, Blind- und Scheinleistung
p3
104
0
I1
u3
p2
(1.33)
Leistungsmesser
I0
5000
0
(230V) 2
= 15.87kW .
10Ω
L2
Bild 7.41:
Leistungen 10000 p1
=3
L1
Die gesamte Leistung eines Drehstromverbrauchers folgt aus der Summe der Leistungen
in allen Phasen. Nehmen wir ohmsche Verbraucher an, so kann nur Wirkleistung auftreten.
Die gesamte Leistung ist dann
u2
R
Leistungsmessung bei Drehstrom
Anschluss eines Drehstromverbrauchers in ∆-Schaltung
u1
U 2S
Bei beliebigen Drehstromlasten muss die Leistung (Wirk- und Scheinleistung) in allen
Phasen gemessen werden. Falls die Drehstromlast symmetrisch ist, genügt die Messung in
einer Phase. Die gesamte Leistung ist dann das dreifache der in einer Phase gemessenen
Leistung.
U3
400
Phasen200
Spannungen 0
---200
---400
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Die gesamte Leistung beträgt
I2
U1
94
Elektrotechnik II
p(t) = u 1i 1 + u 2i 2 + u 3i 3
(1.32)
= u 1 − u 3i 1 + u 2 − u 3i 2 + u 3i 1 + i 2 + i 3 .
(1.39)
95
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Wenn der Verbraucher nur über 3 Leitungen angeschlossen ist, so ist gilt aufgrund von
i1 + i2 + i3 = 0
p(t) = u 1 − u 3i 1 + u 2 − u 3i 2 = u 13i 1 + u23i 2 .
(1.40)
Es müssen also nur zwei Leistungen ausgewertet werden. Für die Leistungsmessung
benötigt man die Phasenspannungen zwischen Phase 1 und 3 sowie zwischen den Phasen
2 und 3.
96
Elektrotechnik II
U
Hochschule Bremerhaven --- IAE
u1 --- u2
400
u2
u1
u3
200
0
---200
---400
10
0
Drehstromverbraucher
2
3
4
5
j Im
U31 = U3-U1
Bild 7.43:
− 2π
3
U2
Bild 7.42:
8
9
10
Als Zeiger liest man aus Bild 7.42 ab:
U 1 = U Y = 230V ,
(7.172)
U2 = UY e
−j2π
3
= − 115V − j199.19V ,
(7.173)
U3 = UY e
−j4π
3
= − 115V + j199.19V .
(7.174)
Die verketteten Spannungen lauten:
U 12 = U ∆ ej6 = 346.4V + j200V ,
U1
− 2π
3
− 2π
3
7
Strangspannungen U1, U2 und U3 sowie Leiter-Leiter-Spannung
U12 (verkettete Spannung)
π
U23 = U2-U3
6
τ
Drehstromverbraucher haben den Vorteil, dass bei symmetrischer Last eine konstante
Leistung dem Netze entnommen wird (ohne 100Hz-Schwankungen wie bei den
einphasigen Verbrauchern). Die einphasigen Verbraucher belegen eine Phase des
Drehstromsystems (z.B. die Phase U1).
U3
1
Re
U 23 = U ∆ e
−jπ2
U 31 = U ∆ e
j5π
6
= − j400V ,
= − 345.4V + j200V .
(7.175)
(7.176)
(7.177)
Das dreiphasige System besteht in der Regel aus vier Leitungen. Die Verbraucher werden
entweder als Stern (Y-Schaltung) oder Dreieck (∆-Schaltung) angeschlossen.
U12 = U1-U2
Drehstromspannungen im Zeigerdiagramm
Auch die sogenannten Leiter-Leiter-Spannungen U1-U2, U2-U3 sowie U3-U1 bilden ein
dreiphasiges Spannungssystem, die Spannung ist allerdings um den Faktor 3 größer (in
Europa U∆ = 400V Effektivwert).
97
Elektrotechnik II
U1
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Z1
I1 =
L1
U2
2π
10.1
U1
4π
(7.182)
Beispiel: Induktiver Drehstromverbraucher
Z = 50Ω e j 9 .
(7.183)
Die komplexe Scheinleistung beträgt
*
S = 3U 1I 1 *= 3U 1
Z12
UZ  = 3 ZU* = 3 230V
e
50Ω
2
1
1
2
jπ9
.
(7.184)
In Real- und Imaginärteil aufgelöst erhält man
L1
U2
 
j Im
N
U3
∆-Schaltung
Bei symmetrischer Belastung (alle Impedanzen sind gleich) ergeben sich folgende Ströme
U
U
U
I 1 = 1 , I 2 = 2 , I3 = 3 .
Z
Z
Z
U1
(7.178)
Ô UI = − 20˚
Die gesamte Drehstromleistung ist damit
S = U 1I 1 * + U 2I 2 * + U 3I 3 * .
Re
(7.179)
U2
Mit
2π
4π
U 1 = U Y , U 2 = U Y e −j 3 , U 3 = U Y e −j 3
(7.185)
Aufgrund der positiven Blindleistung ist der Verbraucher induktiv. Im Zeigerdiagramm
erkennt man die Symmetrie der Leistungen.
Z31
L3
  = 2.9826kW + j1.0856kVar .
S = 3174 VA cos π + j sin π
9
9
Z23
L2
sowie
4π
π
Der Nullleiter N wird gewöhnlich nicht angeschlossen. Die Verwendung des Nulleiters
beschränkt sich auf den Anschluss von mehreren einphasigen Verbrauchern (z.B.
elektrische Verteilung in Gebäuden).
Bild 7.45:
2π
Ein ohmsch-induktiver Verbraucher werde in Y-Schaltung mit dem Netz verbunden
(s. Bild 7.44). Die Impedanz sei
Y-Schaltung
U3
(7.181)
Es genügt somit, die Leistung nur in einer Phase zu messen und mit dem Faktor 3 zu
multiplizieren.
N
Bild 7.44:
UY
U
U
2π
2π
4π
4π
, I 2 = Y e −j 3 = I 1 e −j 3 , I 3 = Y e −j 3 = I 1 e −j 3 .
Z
Z
Z
S = U 1I 1 * + U 1 e −j 3 I 1 * e j 3 + U 1 e −j 3 I 1 * e j 3 = 3U1I 1 * .
Z3
L3
Hochschule Bremerhaven --- IAE
folgt schließlich für die Leistung (7.179)
Z2
L2
U3
98
Elektrotechnik II
(7.180)
Bild 7.46:
Symmetrischer Drehstromverbraucher mit induktiver Blindleistung
99
Elektrotechnik II
10.2
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Direkte Messung von Blindleistung
100
Elektrotechnik II
Die eigentliche Blindleistung folgt definitionsgemäß aus der komplexen Scheinleistung
Q = Im{S} = Im3U YI 1 * = Im3U YI 1e −jÔ .
Blindleistung kann aus einer Messung der Scheinleistung
S = UI
(7.186)
sowie einer Messung der Wirkleistung P mit einem Wattmeter bestimmt werden
Q = S 2 − P 2 .
(7.187)
Man kann bei symmetrischer Last jedoch auch die Blindleistung unmittelbar mit einem
Wattmeter bestimmen, indem man Strom und Spannung für das Wattmeter aus
entsprechenden Phasen ableitet. Misst man den Strom in Phase 1 und die Spannungen
zwischen den Phasen 3 und 2, so ermittelt ein Wattmeter den Anteil des Stromes, der in
Richtung der Spannung zeigt.
Q = − 3U YI 1 sin(Ô) .
(7.191)
Vergleicht man nun (7.189) mit (7.191), so erkennt man, dass mit P23_1 bis auf den
Faktor 3 die Blindleistung bestimmt werden kann
Q = 3 P 23_1 .
(7.192)
j Im
Strom in Richtung
des Zeigers U23
U23 = U2-U3
U1
Ô UI = − 20˚
Re
U2
Bild 7.47:
Symmetrischer Drehstromverbraucher mit induktiver Blindleistung
Die Messung ergibt somit das Produkt aus der verketteten Spannung U23 und dem
Blindstrom in Phase 1


π
P 23_1 := Re− j 3 U Y I 1 * = Re 3 U Y I 1e −jÔ+ 2 .
(7.188)
Der Realteil ist


P 23_1 := 3 U Y I 1 cos Ô + π = − 3 U Y I 1 sin(Ô) .
2
(7.189)
(7.190)
Der Imaginärteil folgt über den Sinus zu
Betrachten wir das vorige Beispiel, so wird die “Wirkleistung” aus dem Produkt von I1 und
U3-U3 ermittelt (s. Bild 7.47).
U3
Hochschule Bremerhaven --- IAE
:::
101
Elektrotechnik II
11
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Halbleiter
Mit der Entwicklung der Halbleitertechnologie wurden die Nachrichten-, ComputerAutomatisierungstechnik in der heutigen Form erst möglich. Elektronische Bauelemente
auf der Basis von Halbleitern lassen sich billig herstellen, besitzen nahezu unbegrenzte
Lebensdauer und ermöglichen eine Miniaturisierung und damit fast beliebige
Komplexität.
Halbleiter gehören zur 4. Gruppe im Elementensystem. Es existieren jedoch auch
Verbindungen zwischen der 3. und der 5. Gruppe (III-V-Halbleiter), die die gleichen
elektronischen Eigenschaften aufweisen. Alle Halbleiter bilden sehr große Kristallgitter,
in denen die Elektronen best eingebunden sind. Es existieren also keine freien Elektronen
wie in Metallen. Reine Halbleiter gehören damit eher zu den Nichtleitern und haben
technisch keine Bedeutung.
Erst mit zunehmender Temperatur lösen sich einzelne Elektronen aus dem Gitter und
bewirken eine (schlechte) Leitfähigkeit des Materials. Bei Metallen stellt sich eine
gegenteilige Wirkung ein, da mit zunehmender Temperatur durch eine vermehrte
Bewegung der Elektronen im Metall die Leitfähigkeit behindert wird.
Der technisch wichtigste Halbleiter ist Silizium. Vereinzelt finden sich auch noch
Anwendungen mit Germanium bzw. sogenannte Hybridhalbleiter aus Germanium und
Silizium. In neuerer Zeit hat der Verbindungshalbleiter GaAs (Galliumarsenid) viel
Bedeutung erlangt (schnelle HF-Schaltungen, Optoelektronik).
11.1
Zu dem vierwertigen Kern gehören jeweils 4 Elektronen. Das Kristallgitter entsteht nun
dadurch, dass Elektronenpaare bilden, die gewissermaßen von zwei Atomkernen
gleichermaßen genutzt werden. Unter dem Einfluß thermischer Energie können
Elektronen aus dem Verband entfernt werden, die sich dann vergleichbar mit freien
Elektronen bewegen können. Es bleibt eine Elektronenfehlstelle zurück.
Eine Elektronenfehlstelle bezeichnet man als Loch.
In einem eigenleitenden Halbleiter existieren gleich viele bewegliche Elektronen und
Löcher.
Ein Loch kann man als “positiven Ladungsträger” auffassen, da das Ladungsgleichgewicht
nicht mehr besteht. Unter dem Einfluss eines elektrischen Feldes bewegen sich die
Elektronen entgegen der Feldrichtung. Gleichzeitig entsteht ein Löcherstrom in
Feldrichtung.
11.2
11.2.1
4+
4+
n-Halbleiter (n-Dotierung)
4+
4+
4+
5+
4+
4+
4+
4+
4+
4+
4+
Bild 6.2:
Bild 6.1:
Dotierung (Störleitung)
Die Eigenschaften eines Halbleiters lassen sich technisch nutzen, wenn in dem reinen
Halbleiter gezielt Atome von 5- bzw. 3-wertigen Elementen eingebracht werden. Diese
Elemente nehmen im Kristallgitter die Plätze der Halbleiteratome ein.
Die Eigenleitung ist --- wie gesagt --- technisch bedeutungslos. Für das Verständnis der
Halbleiterbauelemente ist das Prinzip der Eigenleitung jedoch wesentlich. Halbleiter
bilden ein regelmäßiges (dreidimensionales) Gitter, das jedoch zum Erläuterung der
Halbleitereigenschaften auch zweidimensional gezeichnet werden kann.
4+
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Bringt man 5-wertige Atome (durch Diffusion) in den Halbleiter ein, so entstehen freie
Elektronen. Die Elektronen sind nicht in das Kristallgitter eingebaut.
Eigenleitung
4+
102
Elektrotechnik II
4+
Kristallgitter eines Halbleiters (z.B. Silizium, Selen, Germanium)
n-Dotierung eines Halbleiters
Dieses Prozess nennt man Dotierung. Der Halbleiter wird damit zu einem Leiter. Die
Leitfähigkeit hängt von Grad der Dotierung ab.
5-wertige Atome in einem Halbleiter nennt man Donatoren. Sie führen auf einen
n-Halbleiter, bei dem die Elektronen in der Überzahl sind.
103
Elektrotechnik II
Hochschule Bremerhaven --- IAE
In einem n-dotierten Halbleiter sind die Elektronen Majoritätsladungsträger und die
Löcher sind Minoritätsladungsträger.
11.2.2
p-Halbleiter (p-Dotierung)
Bringt man 3-wertige Atome (durch Diffusion) in den Halbleiter ein, so entstehen Löcher
(Elektronenfehlstellen).
4+
4+
Bild 6.3:
3+
4+
4+
Hochschule Bremerhaven --- IAE
Es entsteht um Übergang herum eine Raumladungszone durch die Abwanderung der
jeweiligen Majoritätsladungsträger. Dadurch sind die Zonen um den pn-Übergang nicht
mehr elektrisch neutral. Aufgrund der Trennung der Ladungsträger entsteht ein
elektrisches Feld. Die folgenden prinzipiellen Verläufe zeigt das Bild 6.5.
Der letzte Verlauf (Wegintegral über die Feldstärke) offenbart, dass sich über dem
pn-Übergang eine Spannung aufbaut.
Die Zone um den pn-Übergang ist elektrisch geladen. Es sind in dieser Zone jedoch kaum
freie Ladungsträger vorhanden, da sie in das Kristallgitter eingebunden sind.
4+
4+
104
Elektrotechnik II
Loch
(positiv)
4+
Die Zone um einen pn-Übergang bildet eine Sperrschicht.
Die Spannung aufgrund der Potenzialdifferenz am pn-Übergang bezeichnet man als
Diffusionsspannung.
p-Dotierung eines Halbleiters
Raumladungsdichte
ρ
Diesen Prozess nennt man p-Dotierung. Der Halbleiter wird damit zu einem Leiter. Die
Leitfähigkeit hängt von Grad der Dotierung ab.
+
3-wertige Atome in einem Halbleiter nennt man Akzeptoren. Sie führen auf einen
p-Halbleiter, bei dem die Löcher in der Überzahl sind.
In einem p-dotierten Halbleiter sind die Löcher Majoritätsladungsträger und die
Elektronen sind Minoritätsladungsträger.
x
--Feldstärke
E
x
x
Die Leitfähigkeit kommt hier durch die Löcher zustande, die sehr leicht Elektronen
aufnehmen und auf diese Weise zu dem Transport von Ladungsträgern beitragen.
E=1
Á
 Ã(ξ)dξ
---
0
11.3
Potenzial
pn-Übergang
Φ
Φ=−
Alle Halbleiterbauelemente basieren auf pn-Übergängen, bei dem p- und n-dotierte
Gebiete aufeinandertreffen. Das jeweilige Übergewicht an p- bzw. n-Ladungsträgern
gleicht sich in einem engen Gebiet durch Diffusion aus.
p
---
+
x
Bild 6.4:
pn-Übergang
 E(ξ)dξ
+
0
x
Bild 6.5:
n
x
Ladungsverteilung, Feldstärke und Potential beim pn-Übergang
(schematisiert)
Versieht man die Halbleiter mit einem Metallanschluss, entsteht das einfachste
Halbleiterbauelement: die Diode.
105
Elektrotechnik II
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106
Elektrotechnik II
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I
p
---
+
n
Metallkonakte
Bild 6.6:
Kathode
U
Aufbau einer Diode
Anode
Diode = elektronisches Bauteil bestehen aus einem pn-Übergang.
Bild 6.9:
Anode
Bild 6.7:
Kathode
Kehrt man die Diode um (Bild 6.9), so bewirkt die äußere Spannung U eine Verbreiterung
der Sperrschicht, d.h. aus der ohnehin an beweglichen Ladungsträgern verarmten Zone
werden zusätzlich Ladungsträger abgezogen. In dieser Schaltung fließt somit kein Strom.
Schaltsymbol der Diode
Den p-Anschluss nennt man Anode (positiver Kontakt), der n-Anschluss heißt Kathode
(negativer Kontakt). Die Kathode wird bei Dioden durch einen (meist schwarzen) Ring
gekennzeichnet (Kathodenring).
11.3.1
Negative Spannung an der Diode (Anode-Kathode)
Die Diode unter äußerer Spannung
Legt man an die Diode eine Spannung U, so ändert das durch die Spannung verursachte
elektrische Feld die Raumladungszone am pn-Übergang.
Eine genaue physikalische Untersuchung zeigt, dass auch bei negativer Spannung an der
Diode ein äußerst kleiner Strom fließt, der vom Grad der Dotierungen und der Temperatur
abhängt.
Der Strom durch die Diode kann mit halbleiterphysikalischen Methode hergeleitet
werden, was an dieser Stelle jedoch nicht vertieft werden soll. Die Beziehung zwischen
Strom und Spannung an einer Diode ist

U

I = I S e kT − 1 .
Die Spannung an einer Diode zählt man positiv immer von der Anode zur Kathode.
(6.1)
Die Größe IS ist der sogenannte Sperrstrom der Diode, der bei negativer Spannung fließt.
I
Strom I
U
0.12
Anode
0.1
0.08
Kathode
Bild 6.8:
0.06
0.04
Positive Spannung an der Diode (Anode-Kathode)
0.02
0
Bei positiver Spannung an der Diode wird die Sperrschicht verkleinert, da die Spannung
eine Fluss von Löchern in die Sperrschicht (aus der p-Schicht) und einen Fluss von
Elektronen in die Sperrschicht (aus der n-Schicht) bewirkt. Erreicht die äußere
Spannung U die Diffusionsspannung UD , so wird die Sperrschicht von Ladungsträgern
“überschwemmt” und die Diode sehr niederohmig. Der Strom I durch die Diode steigt
dann stark an.
Bild 6.10:
Die Elektronen aus der n-Schicht treffen auf den Löcherstrom der p-Schicht und löschen
sich im Bereich des pn-Übergangs aus. Dieser Vorgang wird als Rekombination bezeichnet.
Die Daten der Diode 1N4148 (Kleinsignal-Diode) lauten:
Typ:
Silizium Epitaxial-Planardiode
---0.02
---5
---4
---3
---2
---1
0
1
2
Spannung U
Verlauf von Strom als Funktion der Spannung an der Diode
107
Elektrotechnik II
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Elektrotechnik II
12
Sperrstrom:
25 nA
max. Sperrspannung:
100 V
max. Strom:
150 mA
max. Sperrschicht-Temp. 175 0C
max. Verlustleistung:
500 mW
Zeichnet man die Kennlinie (I-U-Diagramm) für die 1N4148, so erhält man einen fast
idealen Verlauf für eine Diode.
---100V
Sperrbetrieb
U
0.7V
kaputt
Bild 6.11:
Dioden-Kennlinie
Da die Diode den Strom nur in positiver Richtung führen kann, bezeichnet man
Dioden auch als Gleichrichter.
Leistungs-Dioden sind für Spannungen bis ca. 3kV und für Ströme bis ca. 4kA lieferbar. Die
elektrischen Daten sind für Leistungsdioden jedoch schlechter als die für Kleinsignaltypen.
Literatur
[1]
H. Grave: Grundlagen der Elektrotechnik I.
Akad. Verlagsgesellschaft, 1970
[2]
H. Merz: Elektrische Maschinen und Antriebe.
VDE Verlag, 2001
[3]
F. Möller et. al.: Grundlagen der Eletrotechnik.
Teubner, 1996
[4]
R. Pregla: Grundlagen der Elektrotechnik.
Hüthig, 2001
I
Durchlassbetrieb
108
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