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Technische Mechanik
Stereostatik:
Grundbegriffe:
Starrer Körper:
Kräfte an starren Körpern sind linienflüchtige Vektoren; sie können entlang ihrer
Wirkungslinie verschoben werden. Aber eine Parallelverschiebung ändert die Wirkung
wesentlich!
Gleichgewichtsaxiom:
Ein Körper befindet sich im Gleichgewicht, wenn er in Ruhe ist und das an ihm angreifende
Kräftesystem einer Nullkraft äquivalent ist.
Gegenwirkungsprinzip:
Wenn zwei Körper oder Teile eines Körpers Kräfte aufeinander ausüben, sind Kraft und
Gegenkraft entgegengesetzt gerichtet und dem Betrag nach gleich groß.
Freischneiden & Schnittprinzip:
Unter Freischneiden versteht man das sichtbar machen von inneren Kräften und
Reaktionskräften. Befindet sich ein System im Gleichgewicht, dann ist auch jedes
herausgeschnittene Teilsystem unter Wirkung aller an ihm angreifenden Kräfte einschließlich
der Schnittkräfte im Gleichgewicht.
Systemgrenze
GV
GH
⇔
GH
GV
Wird eine Verbindungsstelle aufgeschnitten (Freischnitt), so müssen an beiden neu
entstehenden Punkten die Kräfte nach dem Schnittprinzip eingezeichnet werden.
Drehmoment:
Das Drehmoment einer Kraft mit Angriffspunkt 0 bezüglich eines Punktes P ist definiert
durch: M P = rP 0 × F Dabei kann das Moment als Kräftepaar (Zwei Kräfte mit gleichem
Betrag und entgegengesetzter Richtung) gesehen werden. Die Einheit des Drehmoments 1Nm.
M
F
0
P
rP 0
Î Gleiche Kräfte haben für unterschiedliche Angriffspunkte eine unterschiedliche Wirkung!
(
Die gesamte physikalische Kraft F auf den Punkt P wird mit dem Kraftwinder F , M P
)
beschrieben. Wird also ein Kraftvektor parallel zu seiner Wirkungslinie verschoben, muss
stets ein Moment hinzugefügt werden, damit die Äquivalenz der Wirkung gewährt bleibt.
Das Moment ist ein Vektor, der frei verschoben werden kann.
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Stand: 11.02.2005
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Kräftesysteme:
Reduktion eines Kräftesystems:
Für ein beliebiges System von Kräften kann zu jedem Punkt P ein äquivalenter Kraftwinder
gebildet werden.
n
n
F1 ,...Fn ∼ F , M P
F = ∑ Fi
M P = ∑ rPPi × Fi
(
) (
)
i =1
i =1
Dabei hat das Kräftesystem die selbe Wirkung wie der Kraftwinder im Punkt P . Jedoch
erleichtern Kraftwinder das Rechnen mit Kräftesystemen.
Wechsel des Bezugspunktes P → Q :
(F, M ) → (F, M )
P
Q
M Q = M P + rQP × F
Sonderfälle:
( 0, 0 ) Nullwinder
( F , 0 ) Einzelkraft
( 0, M ) Kräftepaar
( F , M ) Einzelkraft mit Wirkung in Punkt P
P
F ⊥ MP
P
Gleichgewichtsbedingungen für Kräftesysteme:
Ein Körper, der durch die Kräfte F1 ,...Fn belastet ist, befindet sich im Gleichgewicht, wenn
der Kraftwinder für einen beliebig gewählten Bezugspunkt verschwindet.
F , M P = ( 0, 0 )
F = ∑ Fi = 0
M P = ∑ M Pi = 0
(
)
i
i
Zentrale Kräftesysteme:
Die Wirkungslinien aller Kräfte schneiden sich in einem Punkt. Die Gleichgewichtsbedingung
ist bereits erfüllt, wenn gilt: F = ∑ Fi = 0
i
Allgemeine Kräftesysteme:
Gleichgewichtsbedingungen:
rPPi : Ortsvektor von P nach Pi
n
F = ∑ Fi = 0
i =1
m
n
j =1
i =1
M ( P ) = ∑ M j + ∑ rPPi × Fi = 0
Fi : Einzelkraft auf Körper
M j : Einzelmoment auf Körper
Pi : Kraftangriffspunkt der Kraft Fi
P : Bezugspunkt (beliebig gewählt)
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Räumliches Kräftesystem:
⎛ Fxi ⎞
⎜ ⎟
Fr = ⎜ Fyi ⎟
⎜F ⎟
⎝ zi ⎠
rPPi
Kräftegleichgewicht: ∑ Fxi = 0
⎛ xi ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ yi ⎟
⎜z ⎟
⎝ i⎠
∑F
yi
=0
⎛ M xi ⎞
⎜
⎟
M i = ⎜ M yi ⎟
⎜M ⎟
⎝ zi ⎠
∑F
zi
=0
Momentengleichgewicht: M x( p ) = ∑ M xi + ∑ ( yi Fzi − zi Fyi ) = 0
M y( p ) = ∑ M yi + ∑ ( zi Fxi − xi Fzi ) = 0
M z( p ) = ∑ M zi + ∑ ( xi Fyi − yi Fxi ) = 0
Ebenes Kräftesystem:
Dabei wird eine Komponente in F null. Alle M i stehen senkrecht zur Ebene des
Kräftesystems ( M xi , M yi = 0 ).
Kräftegleichgewicht:
∑F
xi
=0
∑F
yi
=0
Momentengleichgewicht: M z( ) = ∑ M zi + ∑ ( xi Fyi − yi Fxi ) = 0
p
Ebene Lagerstatik:
Bauteile:
Seil
S
S
Stab
S
S
S
S
Balken
Q
M
Querschnittsabmessung klein gegenüber Länge ( A l 2 )
Gewicht wird in der Regel vernachlässigt, da klein
gegenüber Seilkraft.
Nur Zugkräfte in der Längsachse übertragbar
Seil über reibungsfreie Rolle Î Seilkräfte an Enden
gleich groß!!!
Querschnittsabmessung klein gegenüber Länge ( A l 2 )
Belastung nur in Stabrichtung
Übertragung von Zug- & Druckkräften in Längsrichtung
Stellvertretend für alle eindimensional erstreckten
Bauelemente (Wellen, Achsen, Rohre, Stangen, etc.)
Belastung auch quer zur Achse
Übertragung von Normalkraft, Querkraft und
Biegemoment M
N
Rahmen
Tragwerke aus Balken, die starr miteinander verbunden
sind.
Lager:
Verbindung eines Tragwerks mit seiner Umwelt, Gewährleistung einer gewünschten
Orientierung eines Körpers im Raum, Übertragung von Kräften.
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Lagertypen:
Verschiebbares Lager
(Loslager)
Ausführungen:
y
Rollenlager
Gleitlager
(Reibungsfrei)
Pendelstütze
Stützstab
x
Bewegungsmöglichkeiten:
Verschiebung in x-Richtung, Drehung um z-Achse
Wertigkeit: (Wieviel Kräftekomponenten übertragbar)
Einwertig, da nur eine Kraftkomponente Fy
Symbol:
Festes Lager
(Festlager)
Ausführungen:
y
x
Gelenklager
Doppelstütze
Bewegungsmöglichkeiten:
Drehung um die z-Achse
Wertigkeit:
Zweiwertig, da 2 Kraftkomponenten Fx , Fy
Symbol:
Feste Einspannung
Ausführungen:
Bewegungsmöglichkeiten:
Keine
Wertigkeit:
Dreiwertig, 2 Kraftkomponenten & 1 Momentenkomponente M z
Symbol:
Mz
Fx
Fy
Verbindungselemente:
Pendelstab
S
S
Kraftübertragung in Längsrichtung
Gelenk
GV
GH
Kraftübertragung in Längs- & Querrichtung
GH
GV
M
Parallelführung
M
N
N
Kraftübertragung in Längsrichtung & Momentenübertragung
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Statische & Kinematische Bestimmtheit:
Eine Lagerung heißt kinematisch bestimmt, wenn die Lagerung die Lage des Körpers in
eindeutiger Weise festlegt; sie heißt kinematisch unbestimmt, wenn der Körper um seine
Ruhelage eine endliche oder unendlich kleine Beweglichkeit besitzt.
Eine Lagerung heißt statisch bestimmt, wenn die Lagerreaktionen eindeutig aus den
Gleichgewichtsbedingungen berechnet werden können; sie heißt statisch unbestimmt, wenn
die Gleichgewichtsbedingungen nicht ausreichen, um die Lagerreaktionen zu ermitteln.
Formel zur Überprüfung der statischen & kinematischen Bestimmtheit (notwendig aber nicht
hinreichend):
f : Bewegungsmöglichkeiten (Freiheitsgrade)
g : Freiheitsgrade ungebundener Körper (Eben: 3, Räuml.: 6)
j
f = g ⋅ i − ∑ wn
i : Anzahl Teilkörper im System
n =1
j : Anzahl Lagerungen & Verbindungselemente
wn : Wertigkeit des n-ten Lagers/Verbindung
f = 0 : notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für stat. & kin. Bestimmtheit
f < 0 : System ist f -fach statisch unbestimmt
f > 0 : System ist f -fach statisch unterbestimmt (kinematisch unbestimmt)
Gelenkverbindungen: wn = ( s − 1) ⋅ h
s : Anzahl verbundener Körper
h : Eben: 2, Räuml.: 3
Schwerpunkt:
Der Bezugspunkt S , der bei beliebiger Orientierung eines Körpers in einem parallelen
Gravitationsfeld den Kraftwinder G, 0 ergibt, heisst Schwerpunkt des Körpers.
(
)
Allgemeine Schwerpunktsformel:
( G, 0 )
⎧∑ ∆Gi = G
⎪ i
⎨ (S )
⎪ M = ∑ rSPi × ∆Gi = 0
i
⎩
(
)
Î Schwerpunkt (Massenmittelpunkt): r0 S =
1
r0 P dm
m K∫
Homogene Körper:
Konstante Dichte
Konstante Flächendichte
Konstante Liniendichte
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1
r0 P dV
V K∫
1
r0 S = ∫ r0 P dA
AA
1
r0 S = ∫ r0 P dL
LL
r0 S =
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Symmetrieeigenschaften:
Besitzt ein homogener Körper eine Symmetrieebene (bei Flächen eine Symmetrieachse), so
liegt der Schwerpunkt auf dieser. Können im ebenen Fall zwei Symmetrieachsen, senkrecht
zueinander, gefunden werden, so ist der Schwerpunkt der Schnittpunkt dieser beiden. Im
räumlichen Fall werden drei senkrecht zueinander stehende Symmetrieebenen benötigt, um
den Schwerpunkt eindeutig festzulegen.
n
Zusammengesetzte Körper:
r0 S =
∑(m ⋅ r )
i
i =1
Si
n
∑ mi
r0 S : SP des Gesamtkörpers
rSi : SP der Teilkörper
i =1
Dieser formale Zusammenhang kann wiederum bei konstanter Flächen- oder Liniendichte
vereinfacht werden.
Innere Kräfte und Momente am Balken:
Wichtig für Materialbeanspruchung & Tragfähigkeit sowie Dimensionierung der Bauteile.
Schnittgrößen:
Innere Kräfte, die äußere Kräfte aufnehmen und weiterleiten. Sie geben die Belastung des
Bauteils wieder.
M
⇒
N
Schnitt
R
Q
Die inneren Kräfte werden auf ein Kräftesystem im Schwerpunkt der Schnittfläche reduziert.
Es entsteht ein Schnittwinder ( R, M ) .
N : Normalkraft (Komponente von R normal zur Schnittfläche)
Q : Querkraft (Komponente von R in der Schnittebene)
M : Biegemoment (Resultierendes Moment bzgl. des Schwerpunkts)
Positive Schnittgrößen zeigen am positiven Schnittufer in positive Koordinatenrichtung. Das
Schnittufer, dessen Normalenvektor n (senkrecht auf Schnittfläche, zeigt vom Inneren nach
Außen) in positive (negative) Koordinatenrichtung zeigt, heißt positives (negatives)
Schnittufer.
Einzelkräfte erzeugen Sprünge im Normal- & Querkraftverlauf und Knicke im
Momentenverlauf. Einzelmomente verursachen Sprünge im Momentenverlauf.
Kontinuierliche Lasten am geraden Balken:
q ( x)
x
z
A
Balken wird durch kontinuierliche Lasten (Streckenlasten) belastet (z.B.: Eigengewicht). Die
Dimension einer Streckenlast ist Kraft Länge . Auf jedes heruasgeschnittene Element, der
infinitesimalen Länge dx wirkt die Einzelkraft dF = q ⋅ dx
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Berechnung der Lagerreaktionen & Schnittgrößen:
l
l
0
0
Drehmoment verursacht durch q ( x ) : M ( A) = − ∫ xdF = − ∫ x ⋅ q ( x ) dx
l
l
0
0
Gesamte Last die im Schwerpunkt S der Kurvenfläche angreift: F = ∫ dF = ∫ q ( x ) dx (Fläche!)
l
A
l
A ⋅ xS = ∫ xdA
x
z
dA
0
ACHTUNG: Immer dieses Koord.system verwenden!
Allgemeiner Zusammenhang zwischen Belastung und Schnittgrößen:
dQ
= −q ( x )
dx
dM
= Q ( x)
dx
Q ( x ) = − ∫ q ( x ) dx + c1
Î
M ( x ) = ∫ Q ( x ) dx + c2
c1 , c2 müssen aus Randbedingungen bestimmt werden!
Bedingungen an den Enden des Balken:
Q
M
N
=0 =0 =0
Freies Ende
≠0 =0 ≠0
Festlager
≠0 =0 =0
Loslager
=0 ≠0 ≠0
Parallelführung
Feste Einspannung ≠ 0 ≠ 0 ≠ 0
Reibung:
mg
FN
F
FR
FN
Tangentialebene E
FR
( Kontaktebene)
FN ist die Druckkraft an der Berührstelle zweier Körper, die ein Eindringen verhindert.
FN ≥ 0 FN ⊥ E
FR ist die Reibungskraft in der Kontaktstelle aufgrund der Rauigkeit der Oberflächen. FR E
vrel ist die Relativgeschwindigkeit der Kontaktpunkte beider Kontaktpartner. (Für einen
Zylinder mit Radius r , der sich mit Winkelgeschwindigkeit ϖ dreht, gilt für das Rollen mit
v auf festem Boden: vrel = v − ϖ r . Für v = ϖ r rollt der Zylinder ohne zu gleiten Î Haften an
der momentanen Berührstelle.)
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Haften/Rollen ( vrel = 0 ):
•
•
Kontaktpartner haften aneinander (keine Relativbewegung im Kontaktpunkt)
Reibungskraft ist Reaktionskraft und kann aus den Gleichgewichtsbedingungen
bestimmt werden. Reibungsgesetz gibt nur Grenzen zum Gleitübergang an.
Gleiten/Rutschen ( vrel ≠ 0 ):
•
•
Kontaktpunkte bewegen sich relativ zueinander.
Reibungskraft ist eingeprägte Kraft, die entgegen der Relativbewegung wirkt.
Berechnung aus Reibungsgesetz und vrel
Coulombsches Reibgesetz:
FR ≤ µ0 ⋅ FN
Haften
µ0 : Haftreibungskoeffizient
µ0 > µ
FR = µ ⋅ FN
Gleiten
Richtung entgegen der Relativbewegung!!!
µ : Gleitreibungskoeffizient
Ein Körper bleibt in Ruhe (haftet), solange die Resultierende Fres der äußeren Kräfte
innerhalb des Reibungskegels liegt. FR ≤ µ = tan ρ
0
0
FN
Elastostatik:
Bestimmung von innerer Beanspruchung (Spannung) und Deformation (Dehnung).
Grundbegriffe:
Spannung:
Die Spannung σ ist ein Maß für die innere Beanspruchung eines Körpers.
Kraft
⎡ N ⎤
Spannung =
Fläche ⎢⎣ mm 2 ⎥⎦
Dimensionierung eines Bauteils:
σ max ≤ σ zul
σ zul : Zulässige Spannung (Werkstoffabhängig)
Dehnung:
Die Dehnung ε ist ein Maß für die Verformung eines Körpers.
∆l
Ist ε über die Länge l konstant so gilt: ε =
l
du
Lokale Dehnung: ε ( x ) =
dx
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Stoffgesetz:
Mechanische Zusamenhang zwischen Spannung und Dehnung!
σ
Dehnung
εM
σF
σP
ε
0 < σ < σ P : linearer Zusammenhang bis zur Proportionalitätsgrenze σ P
σ P < σ < σ F : überproportionale Dehnung
σ F < σ : Zunahme der Dehnung bei gleichbleibender Spannung bei
Erreichen der Fließspannung σ F . Verfestigung bei weiterer
Belastung.
Elastischer Bereich (σ < σ F ) : Stab nimmt nach Entlastung seine ursprüngl. Länge an
Plastischer Bereich (σ > σ F ) : Dehnung geht nicht auf Null zurück! plast. Verformung!
Thermische
Dehnung ε T
Überlagerte
Dehnung ε
Î Hooksches Gesetz: σ = E ⋅ ε M E : Elastizitätsmodul
Zusammenhang zwischen Temperaturänderung ∆T und Dehnung!
Î ε T = αT ⋅ ∆T
ε = ε M + εT =
σ
E
αT : Wärmeausdehnungskoeffizient
+ α T ⋅ ∆T
Spannung und Dehnung am Einzelstab:
du N
=
+ α T ⋅ ∆T
dx EA
Verschiebung u ( x ) eines Stabquerschnittes: u ( x ) = ∫ ε dx + c
c aus Randbedingungen!
l
Längenänderung des Stabes: ∆l = ∫ ε dx = u ( l ) − u ( 0 )
0
Sonderfall ∆T = 0 , N = F = const. , EA = const. : ∆l =
F ⋅l
E⋅A
Kinematik:
Darstellung von Vektoren:
Darstellung von r bzgl. eines kartesischen Koordinatensystems K mit der Basis ( exK , eyK , ezK )
r = x K ⋅ exK + y K ⋅ eyK + z K ⋅ ezK
⎛ xK ⎞
⎜ K⎟
Kr =⎜ y ⎟
⎜ zK ⎟
⎝ ⎠
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Koordinatentransformation (Basiswechsel):
Um einen Vektor des Systems K im System B darzustellen gilt:
B
r = ABK ⋅ K r
Elementardrehungen:
Drehung um z-Achse mit Winkel γ :
⎛ cos γ sin γ 0 ⎞
⎜
⎟
ABK = ⎜ − sin γ cos γ 0 ⎟
⎜ 0
0
1 ⎟⎠
⎝
Drehung um y-Achse mit Winkel β :
⎛ cos β 0 − sin β ⎞
⎜
⎟
ABK = ⎜ 0
1
0 ⎟
⎜ sin β 0 cos β ⎟
⎝
⎠
Drehung um x-Achse mit Winkel α :
0
0 ⎞
⎛1
⎜
⎟
ABK = ⎜ 0 cos α sin α ⎟
⎜ 0 − sin α cos α ⎟
⎝
⎠
Allgemeine Drehung:
Die Allgemeine Drehung wird in Drehungen um die
z,y,x-Achse zerlegt und dann durchgeführt. Es gilt:
B r = ABK x ⋅ ABK y ⋅ ABK z ⋅ K r = A ⋅ K r
Für die Rücktransformation gilt:
K
r = A−1 ⋅ B r = AT ⋅ B r
Punktbewegungen:
Lage r
Geschwindigkeit v
Die Bahn eines Punktes P im Raum kann eindeutig durch den
Ortsvektor r festgelegt werden. Für beliebiges
⎛ x⎞
⎜ ⎟
Koordinatensystem K gilt: r = x ⋅ e K + y ⋅ e K + z ⋅ e K
x
y
z
K r = ⎜ y⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠
Allgemein gilt für die Geschwindigkeit v im beliebigen
Koordinatensystem K :
v = r = x ⋅ exK + y ⋅ eyK + z ⋅ ezK + x ⋅ exK + y ⋅ e yK + z ⋅ ezK
Bei einem raumfesten Koordinatensystem (Inertialsystem) gilt:
⎛ x⎞
⎜ ⎟
I
I
I
ex = e y = ez = 0
Iv = ⎜ y ⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠
Beschleunigung a
a=v =r
Bei einem raumfesten Koordinatensystem (Inertialsystem) gilt:
⎛ x⎞
⎜ ⎟
Ia = ⎜ y⎟
⎜z⎟
⎝ ⎠
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Einachsige Bewegungen:
t
Lage: x ( t )
Geschwindigkeit: v ( t ) = x ( t )
v ( t ) = ∫ a ( t ) dt + v0
v ( x ) aus a ( x ) :
t0
t
Beschleunigung: a ( t ) = v ( t ) = x ( t ) x ( t ) = ∫ v ( t ) dt + x0
t0
⎡
dv
d ⎛ v2 ⎞⎤
=
⋅
=
a
v
⎢
⎜ ⎟⎥
dx
dx ⎝ 2 ⎠ ⎦
⎣
x
v ( x ) = 2 ⋅ ∫ a ( x ) dx + v02
x0
Kinematik starrer Körper:
Projektionssatz:
Die Projektionen der Geschwindigkeit v A und vB zweier fester Punkte A, B eines
T
T
Starrkörpers auf die Verbindungslinie AB der beiden Punkte sind stets gleich groß!! rAB ⋅ v A = rAB ⋅ vB
T
Die Differenzgeschwindigkeit v AB steht senkrecht auf der Verbindungslinie AB !! rAB ⋅ v AB = 0
vB = v A + ϖ × rAB
Die Drehgeschwindigkeit ϖ zeigt dabei immer in Richtung der momentanen Drehachse. Der
Betrag der Drehgeschwindigkeit ist durch die Geschwindigkeiten zweier Punkte eines
Starrkörpers festgelegt.
vPi = v0 + ϖ × r0 Pi = vQ + ϖ × rQPi = vP + ϖ × rPPi
Jede beliebige Bewegung eines starren Körpers kann als Überlagerung einer
Schiebebewegung v0 (Translation) und einer Drehbewegung ϖ × r0 Pi (Relation) gedeutet
werden.
Jede beliebige Lageänderung eines starren Körpers lässt sich durch eine Verschiebung r0
(Translation) und eine Verdrehung ϕ0 (Rotation) erreichen.
Betrachtet man die ( dr0 , dϕ0 ) -Lageänderung während einer infinitesimalen Zeitspanne dt ,
dann gilt:
Infinitesimale Winkeländerungen dϕ0
dr0
dϕ0 dϕ 0 d
d
= v0
=
⋅ =ϖ
ϕ0 = ϕ0 ⋅
und Winkelgeschwindigkeiten ϖ = dϕ0 dt
dt
dt
dt d
d
dürfen wie Vektoren addiert werden, nicht
Betrag: ϖ = ϕ0
aber endliche Winkel ϕ0 !!!
d
Richtung von ϖ :
(Richtung der momentanen Drehachse)
d
Dabei ist die Gesamtdrehgeschwindigkeit die Summe der Teilgeschwindigkeiten!
Momentanpol einer ebenen Bewegung:
Jede ebene Bewegung eines starren Körpers kann zu jedem Zeitpunkt als Drehung um einen
Pol P (Momentanpol) aufgefasst werden.
Für den Momentanpol gilt dann: vP = v0 + ϖ × r0 P = 0
r0 P =
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ϖ × v0
ϖ2
⎧r ⊥ ϖ
⇒ ⎨ 0P
⎩r0 P ⊥ v0
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Somit gilt ausgehend vom Momentanpol P für jeden beliebigen Punkt Pi des Körpers:
vPi = vP + ϖ × rPPi = ϖ × rPPi
⎧ v ⊥ϖ
⇒ ⎨ Pi
⎩vPi ⊥ rPPi
P1 x
vPi = ϖ ⋅ rPPi
P
x3
x P2 α
α
vP1 = ϖ × rPP1
xP ( MP )
ϖ
Der Geschwindigkeitszustand eines Körpers, der eine ebene Bewegung ausführt, ist eindeutig
festgelegt, wenn:
• Für einen Punkt Pi Betrag und Richtung der Geschwindigkeit und für einen weiteren
Punkt Pj die Richtung der Geschwindigkeit bekannt sind.
Der Momentanpol P und die Drehgeschwindigkeit ϖ des Körpers bekannt sind
•
vPi Pi x
α
α
P
xj
vPi Pi x
ϖ
x P ( MP )
x P ( MP )
Sonderfälle für die Bestimmung Momentanpolen:
Kontakt an
Kontakt an
Fixpunkt
Kanten
Ecken
(Lager)
Rollen
A
ϖ
P ( MP )
Fixpunkt ist
Momentanpollinie Momentanpollinie
Momentanpol!!
ω
x
P ( MP )
Rein
translatorisch
x
x
Momentanpol
liegt im
unendlichen!!
Relativkinematik:
Ortsvektor :
xP
ϖ 0'
r0'P
Kz
x
0'
v0'
K
I
K y
x
Ix
x
0
r0 P = r00' + r0' P (Vektordarstellung)
z
r = I r00' + I r0' P (Koordinatendarstellung)
I 0P
I
y
Der Vektor r0' P ist in der Regel nur in körperfestem Koordiantensystem bekannt K r0' P . Somit
muss er vom K ins I-System transformiert werden: I r0 P = I r00' + AIK ⋅ K r0' P
Geschwindigkeit: vP = v0 P = r0 P = r00' + r0' P = v00' + v0' P
Um die Geschwindigkeit K v0 P oder die Beschleunigung K a0 P eines Punktes P im K-System
zu bestimmen, muss zunächst der Vektor K r0 P aufgestellt werden und dieser dann nach der
Eulerschen Differentiationsregel einmal bzw. zweimal abgeleitet werden.
r = K r00' + K r0' P
K 0P
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Eulersche Differentiationsregel:
Die Eulersche Differentiationsregel muss immer dann berücksichtigt werden, wenn die
absolute zeitliche Änderung (Ableitung) eines Vektors ermittelt werden soll, der in einem
⋅
bewegten Koordinatensystem dargestellt ist.
K ϖ : Drehgeschwindigkeit
K x = ( k x ) + Kϖ × K x
( )
( )
(v ) = (
des Koord.systems!
Î Geschwindigkeit: K vP = K rP = ( k rP ) + K ϖ K × K rP
Î Beschleunigung: K aP = K
P
⋅
vP ) + K ϖ K × K vP
⋅
k
Achtung: Ein Inertialsystem ist ein ruhendes System. Es gilt: I ϖ = 0
Kinetik:
Grundbegriffe:
Impuls:
Impuls eines Masseteilchens
dr
dm
dt
v : absolute Geschwindigkeit des Masseteilchens
dp = vdm =
dm : Masse des Masseteilchens
p = ∫ dp = ∫ vdm
Impuls eines Körpers K
(System von Körpern)
Impuls eines Körpers K mit
konstanter Masse
K
K
p = ∫ vdm = ∫ rdm = rs ⋅ m = m ⋅ vs
K
(Schwerpunktsformel)
K
Drall (Moment des Impulses):
Drall eines
Masseteilchens bzgl.
des Punktes 0
Drall eines Körpers K
bzgl. des Punktes 0
dL0 = r0 P × dp = r0 P × vP dm
L0 = ∫ dL0 = ∫ ( r0 P × vP ) dm
K
K
Wechsel des Bezugspunktes 0 → Q :
K
P
r0P
x
0
r0Q
rQP
xQ
LQ = L0 − rQs × vQ ⋅ m − r0Q × p
Sonderfälle:
• Q ist raumfest ( vQ = 0 ): LQ = L0 − r0Q × p
•
Drall eines starren
Körpers bzgl. des
Schwerpunktes S
(Auswertung in
körperfestem
Koordinatensystem!)
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Q ist Schwerpunkt ( rQS = 0 ): LS = L0 − r0 S × p
⎛ θ xx
⎜
K Ls = ⎜ −θ yx
⎜ −θ
⎝ zx
−θ xy
−θ xz ⎞ ⎛ϖ x ⎞
⎟
θ yy −θ yz ⎟ ⎜⎜ϖ y ⎟⎟
−θ zy θ zz ⎟⎠ ⎜⎝ ϖ z ⎟⎠
K Ls = K θ K ϖ
K θ : Trägheitstensor (beschreibt Massenverteilung eines Körpers)
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θ xx = ∫ ( y 2 + z 2 ) dm ⎫
⎪
⎪
θ yy = ∫ ( x 2 + z 2 ) dm ⎬ Massenträgheitsmomente
⎪
θ zz = ∫ ( x 2 + y 2 ) dm ⎪⎭
θ yz = θ zy = ∫ yzdm ⎫
⎪
⎪
θ xz = θ zx = ∫ zxdm ⎬ Deviationsmomente
⎪
θ yx = θ xy = ∫ xydm ⎪⎭
Sonderfälle:
1 2
mr
2
Hohlzylinder : θ = mr 2
⎛0⎞
⎛ −θ xz ⎞
2 2
⎜
⎟
⎜
⎟
Kugel : θ = mr
• Drehung um eine feste Achse z: K ϖ = ⎜ 0 ⎟
K LS = ⎜ −θ yz ⎟ ⋅ϖ
5
⎜ϖ ⎟
⎜θ ⎟
⎝ ⎠
⎝ zz ⎠
• Und symmetr. Massenverteilung um die Achse ( θ xz = θ yz = 0 ):
Vollzylinder : θ =
In diesem Sonderfall gilt:
⎛ 0⎞
⎜ ⎟
Analogie mit Impuls; Richtung
K LS = ⎜ 0 ⎟ ⋅ϖ = θ zz ⋅ K ϖ
⎜θ ⎟
von ϖ identisch mit K L
⎝ zz ⎠
Hauptachsen/Hauptträgheitsmomente:
Jeder starre Körper besitzt drei zueinander senkrechte Achsen
(Hauptachsen), für die die Trägheitsmomente Extremwerte
annehmen und die Deviationsmomente verschwinden. Da K θ
abhängig vom gewählten körperfesten Koordsystem ist, versucht
man es so zu wählen, dass die Koordachsen mit den Hauptachsen
zusammenfallen (Î Hauptträgheitsmomente A0 , B0 , C0 )
Die Bestimmung der Hauptachsen ist ein Eigenwert- ⎛⎜ A0 0 0 ⎞⎟
B0 0 ⎟
Kθ = ⎜ 0
problem: ( K θ − 2 I ) K ϖ = 0
⎜0 0 C ⎟
0⎠
⎝
Bei homogenen, symmetrischen Körpern bilden die
Symmetrieachsen, bei rotationssymmetrischen Körpern die
Drehachse und jede dazu senkrechte Achse die Hauptachsen.
Kinetische Energie:
Kinetische Energie
eines Masseteilchens
Kinetische Energie
eines Körpers
1
1
dT = v T vdm = v 2 dm
2
2
1
1
T = ∫ dT = ∫ v 2 dm = ∫ v T dp
2K
2K
K
Kinetische Energie
eines Starrkörpers
P
v0
x
Q
x
ϖ
1
1
T = vQT vQ ⋅ m + mvQT (ϖ × rQS ) + ϖ T LQ
2
2
Sonderfall (Bezugspunkt Q ist Schwerpunkt S): ( rQS = 0 )
vP = vQ + ϖ × rQP
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T=
1 T
1
mvS vS + ϖ T θϖ
2
2
Stand: 11.02.2005
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Kinetische Grundgleichungen:
Impulssatz:
Impulssatz eines
Massenelements
Impulssatz eines
Körpers
Impulssatz eines
Starrkörpers mit
konstanter Masse
immer abs.
Geschwindig.!
d
d
( dp ) = ( vdm ) = dF
dt
dt
d
dp
dp = ∫ dF
=F
∫
dt
dt
dp
p = m ⋅ vS
= m ⋅ aS = F
dt
Der Massenmittelpunkt eines Körpers bewegt sich so, also ob die
gesamte Masse in ihm vereinigt wäre und alle äußeren Kräfte an
ihm angreifen! Somit kann, falls nur die Bewegung des
Massenmittelpunktes interessiert, jedes System durch eine
Punktmasse im Schwerpunkt S ersetzt werden.
Sonderfälle:
• Keine Beschleunigung des Schwerpunktes ( aS = 0 ): F = 0 Statik
( )
• Keine äußeren Kräfte ( F = 0 ): maS = 0
p = mvS = konst.
Impulserhaltungssatz (ohne äußere Kräfte bleibt der Impuls
eines abgeschlossenen Systems konstant)
Drallsatz:
Drallsatz eines Körpers
für ruhenden
Bezugspunkt
Drallsatz für
Starrkörper bei
beliebigem
Bezugspunkt
dL0
= M0
dt
dLQ
dt
K
( L) =
K
M
LQ = θQ ⋅ϖ
+ m ( rQS × aQ ) = M Q
M Q : Summe aller auf den
Punkt Q wirkenden Momente
Sonderfälle:
• Bezugspunkt ist Schwerpunkt:
dLS
= MS
dt
• Bezugspunkt ruht oder ist Momentanpol ( aQ = 0 ):
• Keine Dralländerung
dLQ
dt
= MQ
dLQ
= 0 & keine Beschleunigung aQ = 0 :
dt
Î Momentengleichgewicht in der Statik: M Q = 0
Energiesatz:
Die von einer Kraft beim Beschleunigen einer Punktmasse geleistete Arbeit ist gleich der
Änderung der kinetischen Energie.
⎛ v2 ⎞
dv
dF =
dm
dF T dr = d ⎜ ⎟ dm
dt
⎝2⎠
r1
dw = ∫ dF T dr =
r0
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1 2 2
( v1 − v0 ) dm = dT
2
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Sonderfall:
Die Kräfte F sind aus einem Potential V ableitbar (Potentialkräfte/konservative Kräfte).
F = − gradV
In einem konservativen Kraftfeld ist die Summe aus kinetischer T und potentieller Energie
V konstant. T + V = const.
T ( t0 ) + V ( t0 ) = T ( t1 ) + V ( t1 )
Wichtige konservative Kräfte:
•
•
Schwerkraft: V = m ⋅ g ⋅ ∆h
Federkraft: V =
c ⋅ ∆l
2
2
∆h : Höhendifferenz zum Nullniveau
∆l : Federverspannung
Vorgehensweise zur Lösung von Kräftesystemen:
1.
2.
3.
4.
Ein geeignetes Koordinatensystem einführen mit positiver Momentenrichtung
Notwendige Bedingung für statische & kinematische Bestimmtheit überprüfen
Freischnittskizze anfertigen Î Körper ohne Verbindungen und Lager
Gleichgewichtsbedingungen aufstellen. ( ∑ Fx = 0, ∑ M ( P ) = 0 )
5. Lösen der Gleichungen... Î Lagerreaktionen
Vorgehensweise zur Berechnung von Kräftesystemen & inneren Kräften:
1.
2.
3.
4.
Ein geeignetes Koordinatensystem einführen mit positiver Momentenrichtung
Notwendige Bedingung für statische & kinematische Bestimmtheit überprüfen
Freischnittskizze anfertigen Î Körper ohne Verbindungen und Lager
Gleichgewichtsbedingungen aufstellen. ( ∑ Fx = 0, ∑ M ( P ) = 0 )
5. Lösen der Gleichungen... Î Lagerreaktionen
6. Schnittgrößen berechnen: (Schnittgrößen einzeichnen!) Bei einem Schnitt müssen
zwei Bereiche getrennt betrachtet werden. Einmal bis zum Schnitt und einmal nach
dem Schnitt. Hierfür wieder die selben Beziehungen für Gleichgewichtsbedingungen
aufstellen. ( ∑ Fx = 0, ∑ M ( P ) = 0 ) Î Gleichungen für Kräfte in Abhängigkeit von x
7. Graphische Darstellung der Schnittgrößen: Alle drei Schnittgrößen in Diagramme
eintragen. Î N ( x ) , Q ( x ) , M ( x )
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Stand: 11.02.2005
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