Grundwissen Mathematik 7. Klasse - Welfen

Welfen-Gymnasium Schongau
1
Grundwissen Mathematik 7. Klasse
Wissen
Aufgaben/Beispiele
Achsenspiegelung
Eigenschaften der
Achsenspiegelung:
- Die Verbindungsstrecke von
Punkt P und Bildpunkt P’ wird
von der Spiegelachse a
senkrecht halbiert
- Achsenpunkte sind Fixpunkte
- Nur Achsenpunkte haben von P
und P’ gleichen Abstand
- Die Achsenspiegelung ist
längen- und winkeltreu
- Der Drehsinn ändert sich
Trage die Punkte A(-4/-5), B(3,5/-1) und C (-4,5/1) in ein
Koordinatensystem ein.
a) Spiegle den Punkt A an BC.
b) Konstruiere den Mittelpunkt der Strecke [AB].
c) Konstruiere das Lot von A auf BC
d) Konstruiere die Winkelhalbierende für den Winkel
<CBA.
e) Spiegle den Punkt A an C.
Punktspiegelung
Eigenschaften der
Punktspiegelung:
- Entspricht einer 180°- Drehung
um das Symmetriezentrum Z
- Die Verbindungsstrecke von
Punkt P und Bildpunkt P’ wird
vom Zentrum halbiert
- Längen- und Winkeltreue
- Drehsinn bleibt erhalten
Lösungen
b) Mittelpunkt der Strecke [AB]
zu a) Achsenspiegelung von Punkt A an BC
c) Lot von A auf BC
Welfen-Gymnasium Schongau
2
zu e) Punktspiegelung von A an C
d) Winkelhalbierende
Welfen-Gymnasium Schongau
Winkelbetrachtungen
Winkel an sich schneidenden
Geraden
Scheitelwinkel sind gleich groß
Stufenwinkel sind gleich groß
Wechselwinkel sind gleich groß
Nebenwinkel
(ergänzen sich zu 180°)
Wenn die Gerade g parallel zu h
ist, dann sind die Winkel gleich
groß.
Winkelsumme im Dreieck
Die Innenwinkelsumme im
Dreieck beträgt 180°
Scheitelwinkel
Die beiden Geraden g
und h sind parallel.
Berechne die Winkel
a, b und g.
Begründe deine
Rechnungen.
Stufenwinkel
Wechselwinkel
Nebenwinkel
Terme
Aufstellen von Termen
Gib einen Term für die Gesamtanzahl der Beine von m
Maikäfern, s Schmetterlingen und k Kreuzspinnen an.
Der Preis einer Urlaubsreise ist x. Das Reisebüro gibt
15% Rabatt für Frühbucher.
Berechnen von Termwerten
Berechne den Wert des Terms
4; 1,2;
für
a = 70° (Wechselwinkel)
b = 110° (Nebenwinkel zu a)
g = 180°-100° = 80° (Stufenwinkel und Nebenwinkel)
)*ü
4
für
1,2
Berechne den Wert des Terms
Zuordnung: Variablenwert –
Termwert
Jedem Variablenwert wird durch
Ausrechnen des Terms ein
eindeutig bestimmter Termwert
zugeordnet.
Die Zuordnung lässt sich in einer
Wertetabelle angeben und durch
3
2; 1
2
-2
0,5
;
3
2
1 2
3
1,2
1,44
7,2
1,2 1
0,2
2
4
3 4
4
3
9
1, 36
1
2
3
1
3
3
2; 0,5
3
-1
0
3
4
!" #$
6∙
6∙
8∙(
,- *.* #
∙ 100% 15%
∙ 0,85
4
16
1
3
3,2
4 1
5
5
3∙
-2
4
2 ∙ 0,5
-1
3,5
3
∙
4
2
0
3
2
∙ 85%
3∙ 3
3
1,5
6
4
1
Welfen-Gymnasium Schongau
4
einen Graphen in einem
Koordinatensystem
veranschaulichen.
Termumformungen
a) Gleichartige Terme
zusammenfassen
b) Umformungen in Produkten
c) Anwendung des
Distributivgesetzes,
Ausmultiplizieren
d) Anwendung des
Distributivgesetzes,
Ausklammern
e) Multiplizieren von Summen
=
a) 3,5
3ab² – 4a²b + ab² – 5a²b + 0ab² =
b) 2. 7 . 7
8 8
3 ∙
c) 2x(a – b)=
∙
4
d) 6 8
8 8
0,5
a) 3,5
0,25
4,25
3ab² – 4a²b + ab² – 5a²b =4ab²– 9a²b
b)
2. 7 . 7
0,1
8
8.9 7
8. . 7 7
38
0,01
:
8 278 :
e) (x + y)(xy – 1)
(3a – 2b)(a – 4b)
∙ 2
d) 6 8
f) (5a – 2b)² =
(2x - 1)(2x + 1) =
8
0,5
4
8
2
4
a)
b) 3 2
2
8
4
e) (x + y)(xy – 1) = x²y – x + xy² - y
(3a – 2b)(a – 4b) = 3a² - 4ab - 2ba + 8b² = 3a² - 6ab + 8b²
5
1
; <
2 8 3 4 8
1 0,5
f) (5a – 2b)² = 25a² - 20ab + 4b²
(2x - 1)(2x + 1) = 4x² - 1
Lineare Gleichungen
Lösen von linearen Gleichungen
Eine lineare Gleichung mit der
Variablen x kann man immer in
den folgenden Schritten lösen:
1. Vereinfachen des Terms
rechts und links vom
Gleichheitszeichen
0,27
c) 2x(a – b) = 2ax - bx
f) Binomische Formeln
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
(a +b)(a – b) = a² – b²
4,5
2
1
3
a)
2
4
5
b)
3 2
6
1
5
3
9
2
4 8
3
2 4 8
7
3 9
6
7
3 9
3 2
Welfen-Gymnasium Schongau
2. Addition bzw. Subtraktion
und Zusammenfassen so, dass
nur noch die Variable oder ein
Vielfaches von ihr auf nur
einer Seite steht
3. Division durch den Faktor des
x-Terms.
Lineare Gleichungen in
Anwendungssituationen
Stelle die Gleichung nach
folgendem Schema auf:
1. Variable einführen
2. Gleichung aufstellen
3. Gleichung lösen
4. Ergebnis überprüfen, Antwort
formulieren
Daten, Diagramme und
Prozentrechnung
Der arithmetische Mittelwert
(Durchschnittswert)
Der Durchschnittswert ergibt
sich, indem man die Summe der
Zahlen (oder Größen) durch die
Anzahl der Zahlen (oder Größen)
dividiert.
Erstellen und Analysieren von
Diagrammen
Prozentrechnen
Grundgleichung: PS • GW = PW
(PS = Prozentsatz; GW =
Grundwert; PW = Prozentwert)
5
c)
c) In einem Käfig sind Hasen und Hühner eingesperrt.
Die Tiere haben zusammen 35 Köpfe und 94 Füße.
Wie viele Hasen und Hühner sind im Käfig?
d In einem 5 cm hohen Trapez von 30 cm²
Flächeninhalt ist eine der parallelen Seiten 7,5 cm
lang. Wie lang ist die andere der parallelen Seiten? 3
2
Anzahl der Hasen
35
Anzahl der Hühner
∙4
35
∙ 2 94
4
70 2
94
2
70 94
2
24
12 [Hasen]
d) Flächenformel für das Trapez: >
Einsetzen
30
1
1
2
5
30
2
30
11,75
4,5
a) Bestimme den Mittelwert deiner mündlichen Noten
2, 1, 4, 2, 1, 3 und runde das Ergebnis auf eine
Dezimale
b) In einem Kreisdiagramm sollen 15% eingezeichnet
werden. Wie berechnet man den Mittelpunktswinkel
dazu?
7,5 ∙ 5
- ∙
3,752 ∙ 5
18,75
5
2
a) (2 + 1 + 4 +2 +1 + 3) : 6 = 13 : 6 = 2,166 ≈ 2,2
b) 100% ≜ 360°
1% ≜ 3,6°
15% ≜ 3,6° ∙ 15 54°
Der Mittelpunktswinkel beträgt 54°.
Beispiele:
Ein Preis x wird um 20% höher. Dann errechnet sich der
neue Preis:
neuer Preis = x • 1,20
c)
Ein Preis x wird um 20% billiger. Dann errechnet sich der
neue Preis: neuer Preis = x • 0,80
∙ 1,4 ∙ 0,8
∙ 1,12
22,40
22,40
20
Vor den Preisänderungen kostete der TR 20€.
Welfen-Gymnasium Schongau
6
b) Ein Taschenrechner wird zuerst um 40% teurer, dann
20% billiger. Nun kostet er 22,40 €. Wie viel hat er
am Anfang gekostet?
Kongruenz und Dreiecke
Zwei Dreiecke sind zueinander
kongruent, wenn sie
- in allen drei Seiten SSS
- in einer Seite und zwei gleichliegenden Winkeln WSW oder
SWW
- in zwei Seiten und dem
eingeschlossenen Winkel SWS
- in zwei Seiten und dem
Gegenwinkelt der längeren
Seite übereinstimmen SsW,
d.h. die längere Seite muss
dem gegebenen Winkel
gegenüber-liegen.
Prüfe, ob mit den Angaben ein Dreieck eindeutig
konstruierbar ist.
a) b = 9 cm; c = 5 cm; a = 45°
b) a = 5 cm; a = 30°; b = 75°
c) b = 5 cm; c = 8 cm; b = 30°
Begründe, ob die 2 Dreiecke kongruent sind:
c1 = 6,4 cm; a1 = 50°; b1 = 75° und
a2= 6,4 cm; a2 = 50°; b2 = 75°
a) Ja, nach dem SWS – Satz
b) Ja, nach dem SWW – Satz
c) Nein, da b die kürzere Seite ist.
Die zwei Dreiecke sind nicht kongruent, da im ersten Dreieck
die Winkel a1 und b1 gegeben sind, die an der Seite c1
anliegen, im zweiten Dreieck ist zwar b2 anliegend, a2 aber
nicht.
Welfen-Gymnasium Schongau
Besondere Linien im Dreieck
und Konstruktionen
Gegeben ist das Dreieck ABC mit a = 7 cm, c = 8 cm und
b = 50°. Konstruiere a) den Umkreis b) den Inkreis.
Besondere Linien im Dreieck
Mittelsenkrechte und Umkreis
Winkelhalbierende und Inkreis
Höhen
c) Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit a
= b, b = 7 cm, ha = 6 cm. Wie viele Lösungen gibt es?
Konstruktionen
- Planfigur
- Konstruktionsplan
- Konstruktion
Achte auf mehrere Lösungen!
Besondere Dreiecke
- gleichschenkliges Dreieck
- gleichseitiges Dreieck
- rechtwinkliges Dreieck
Satz von Thales
Liegt ein Punkt C auf dem Halbkreis über einer Strecke [AB],
dann ist das Dreieck ABC
rechtwinklig.
7
zu a) Umkreis mit Hilfe der Mittelsenkrechten
Konstruktionsbeschreibung:
1) Punkte B, C festgelegt
durch a = 7 cm
2) A festgelegt durch Kreis
k(C; r = a = 7cm) und
Parallelen zu [BC] im Abstand ha.
Konstruktion:
zu b) Inkreis mit Hilfe der Winkelhalbierenden