Mathematik-PAM - Kantonale Mittelschule Uri

Kantonale Mittelschule URI
Lehrplan PAM-Mathematik
Genehmigt vom Mittelschulrat am 23. Mai 2013, gültig ab dem Schuljahr 2013/2014
Das Fach Mathematik wird als Grundlagenfach (GL) und Schwerpunktfach, Physik und
Anwendungen der Mathematik (PAM), unterrichtet.
Die Richtziele gelten gemäss Rahmenlehrplan EDK/Mathematik.
Der Lehrplan füllt ca. 90% der zur Verfügung stehenden Unterrichtszeit. In der verbleibenden Zeit kann die Lehrkraft eigene Schwerpunkte setzen. In [Klammern] gesetzte Themen
sind optional. Sie können zur Vertiefung eingesetzt werden.
Mit (⋆) gekennzeichnete Themen sind Elemente aus dem Grundlagenfach. Sie sind zwecks
der besseren Abstimmung mit dem Fach PAM-Physik vorgezogen.
Aufteilung der Lektionen
Klasse
Stand: 5. Mai 2013
GL
PAM
1.
5
0
2.
5
0
3.
4
0
4.
4
4
5.
4
2
6.
4
2
Seite 1/11
Lehrplan Mathematik
Schwerpunktfach Mathematik/4. Klasse
Schwerpunktfach Mathematik
Grobziele 4. Klasse
1. Algebra
Der Schüler, die Schülerin ist fähig, Ungleichungen und Ungleichungssysteme
aufzustellen, zu lösen und auf Sachaufgaben in Arithmetik und Geometrie anzuwenden.
Inhaltsangaben und Erläuterungen
• Lineare Ungleichungssysteme
zwei Variablen lösen
Hinweise
mit → WIRTSCHAFT: Ertrag
Einsatz Tabellenkalkulation
• Grafische Lösungen
• Diskussion von Sonderfällen,
z.B.: ganzzahlige oder mehrdeutige
Lösungen
• Lineare Optimierung
Begriffe: Ungleichungssystem,
Halbebene, Zielfunktion,
Nichtnegativitätsbedingung
2. Analysis
(a) Folgen und Reihen (⋆)
Der Schüler, die Schülerin ist fähig, spezielle Abfolgen von Zahlen zu erkennen
und sie zu summieren.
Inhaltsangaben und Erläuterungen
Hinweise
• Arithmetische Folgen
an = a1 + (n − 1) d
• Geometrische Reihe
n=1
und geometrische Folgen
• Grenzwert, Limesbegriff
• Summenzeichen Σ, Rechenregeln
• [Harmonische Reihe]
Stand: 5. Mai 2013
an = a1 q n−1
∞
P
a1
, |q| < 1
an = 1−q
Schreibweise: lim an = a
n→∞
an → a für n → ∞
Begriffe: Folge, Reihe, Summenzeichen,
Limes, Konvergenz, rekursive und
explizite Darstellung
Seite 2/11
Lehrplan Mathematik
Schwerpunktfach Mathematik/4. Klasse
(b) Differenzialrechnung (⋆)
Der Schüler, die Schülerin ist fähig, Grundfunktionen abzuleiten und den Kurvenverlauf zu diskutieren.
Inhaltsangaben und Erläuterungen
Hinweise
dy
• Ableitungsbegriff und seine Bedeu- Bezeichnungen: y ′ := dx
, ẏ :=
tungen wie Änderungsrate, Tangen- → PHYSIK Geschwindigkeit
tensteigung.
• Ableitung durch Ausführen des
Grenzwertprozesses für folgende
Funktionen:
√
1
x 7→ a xn (n ∈ N), a x + b , a x+b
• Polynom, trigonometrische Funktionen, Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion
dy
dt
∆y
∆x→0 ∆x
y ′ = lim
p(x), sin(x), cos(x), ex , ln(x)
• Tangenten- und Normalengleichung
• Produktregel
sin(x)
cos(x)
• Quotientenregel
y = tan(x) =
• Kurvendiskussion mit Polynomen
Extrempunkte, Sattelpunkte, Symmetrie,
Wendepunkte, Nullstellen
• Polynomdivision
HORNER-Schema, Faktorisieren von Polynomen, Fundamentalsatz der Algebra
• Kettenregel
Begriffe: Differenzenquotient, Steigung
einer Kurve, Ableitung, Sekante,
Tangente, Normale, Polynom,
notwendige und hinreichende
Bedingung, Produkt-, Quotienten-,
Kettenregel, Faktorisieren
(c) Integralrechnung (⋆)
Der Schüler, die Schülerin kennt den Integralbegriff in seinen verschiedenen Erscheinungsformen und kann ihn anwenden.
Inhaltsangaben und Erläuterungen
• Berechnung eines bestimmten Integrals durch Ausführen des Grenzwertprozesses für einfache Potenzfunktionen
Hinweise
z.B.: y = a x2
• Stammfunktion und unbestimmtes Integral
Stand: 5. Mai 2013
Seite 3/11
Lehrplan Mathematik
Inhaltsangaben und Erläuterungen
Schwerpunktfach Mathematik/4. Klasse
Hinweise
• Integralbegriff
Unbestimmtes und bestimmtes Integral,
Parameterintegral (Flächeninhaltsfunktion)
• Flächen- und Volumenberechnungen
Berechnung einfacher Rotationskörper
wie Kegel, Kugel, etc. [und der Pyramide]
• Integration von Polynomen
• Partielle Integration
• Substitution
• [Partialbruchzerlegung]
Rb
a
f (u(x))u′(x) dx =
R u(b)
u(a)
f (z)dz
Begriffe: Bestimmtes und unbestimmtes
Integral, Stammfunktion,
Parameterintegral, Substitution, partielle
Integration
(d) [Vollständige Induktion]
Der Schüler, die Schülerin kennt das Beweisverfahren der vollständigen Induktion und kann es anwenden.
Inhaltsangaben und Erläuterungen
• Beweisführung
Hinweise
Begriffe: Verankerung, Induktionsschritt
3. Trigonometrie
Die Schülerin, der Schüler kennt die Winkelfunktionen und benutzt sie zu Berechnungen im allgemeinen Dreieck.
Inhaltsangaben und Erläuterungen
• Sinus- und Cosinussatz
• Additionstheoreme
• Diskussion von y = a sin(b x + c)
• Trigonometrische Gleichungen
• Darstellung in Polarkoordinaten
Stand: 5. Mai 2013
Hinweise
exemplarisch herleiten
→ PHYSIK: Schwingungen
Begriffe: Periodizität, Bogenmass, Polarkoordinaten
Seite 4/11
Lehrplan Mathematik
Schwerpunktfach Mathematik/4. Klasse
4. [Numerik, Algorithmik]
Der Schüler, die Schülerin kann Informatikhilfsmittel zur Lösung mathematischer Probleme aus der Algebra einsetzen.
Inhaltsangaben und Erläuterungen
Hinweise
• Iterative Lösung von Gleichungen
• NEWTON Verfahren
• Rekursive Berechnung von Fakultäten, HERONsche Wurzelberechnung,
FIBONACCI-Zahlen
Begriffe: Rekursion, Iteration
Stand: 5. Mai 2013
Seite 5/11
Lehrplan Mathematik
Schwerpunktfach Mathematik/5. Klasse
Grobziele 5. Klasse
1. Analysis
(a) Differenzialrechnung (⋆)
Der Schüler, die Schülerin kennt die Ableitungsregeln und kann sie anwenden.
Inhaltsangaben und Erläuterungen
• Kurvendiskussion
Hinweise
Einfache, gebrochenrationale Funktionen,
[schiefe Asymptote]
Exponential-, Logarithmusfunktion
• Extremalaufgaben
• Partielle Ableitung
y = eαx , y = ln(x)
Geometrische Interpretation
→ PHYSIK: Ungenauigkeit von Messergebnissen
Begriffe: Pol, Asymptote, partielles
Differenzial, Symmetrie
(b) Differenzialgleichungen
Der Schüler, die Schülerin kennt den Begriff der Differenzialgleichung und kann
ihn zur Beschreibung einfacher dynamischer Vorgänge anwenden.
Inhaltsangaben und Erläuterungen
• Natürliche Wachstumsfallsprozesse
und
Zer-
• Charakterisierung von Differenzialgleichungen
Hinweise
y′ = k y
→ PHYSIK: Radioaktivität, Laden und
Entladen eines Kondensators
→ BIOLOGIE: Bakterienwachstum
Ordnung, Homogenität, etc.
• Separierbare Differenzialgleichungen
max. 2. Ordnung
• Homogene und inhomogene Differenzialgleichungen
Allgemeine und spezielle Lösung,
Anfangs- und Randwertprobleme
• Heuristischer Lösungsansatz
• [Charakteristisches Polynom]
• Numerische Lösung
Stand: 5. Mai 2013
EULER Verfahren, Tabellenkalkulation,
[RUNGE-KUTTA Verfahren]
Seite 6/11
Lehrplan Mathematik
Inhaltsangaben und Erläuterungen
Schwerpunktfach Mathematik/5. Klasse
Hinweise
Begriffe: Differenzialgleichung,
Separation, Homogenität, Anfangs- und
Randwertproblem, heuristisch
(c) Komplexe Zahlen
Der Schüler, die Schülerin erkennt die komplexen Zahlen als Erweiterung der
reellen Zahlen und kann sie anwenden.
Inhaltsangaben und Erläuterungen
Hinweise
• Rechtwinklige Form
a + ib
• Grundoperationen
→ PHYSIK: Impedanz Spule und Kondensator
• Polarform
r · (cos(ϕ) + i sin(ϕ))
• Potenzieren, Radizieren
• Geometrische Deutung der Operationen in der GAUSSschen Zahlenebene
• Gleichungen im Bereich der komplexen Zahlen C
Spezielle Kreisteilungsgleichung
quadratische Gleichungen
• EULERsche Formel
ei ϕ = cos(ϕ) + i · sin(ϕ)
und
Begriffe: imaginäre Einheit i, konjugiert
komplexe Zahl, rechtwinklige Form,
Polarform
(d) Integralrechnung (⋆)
Der Schüler, die Schülerin kennt den Integralbegriff in seinen verschiedenen Erscheinungsformen und kann ihn anwenden.
Inhaltsangaben und Erläuterungen
• Erweiterung der Integralrechnung anhand von Flächen- und Volumenberechnungen
Hinweise
Berechnung von Rotationskörpern
(e) [TAYLOR Polynom]
Der Schüler, die Schülerin kann Funktionen durch Polynome approximieren.
Inhaltsangaben und Erläuterungen
• TAYLOR-Entwicklung
Stand: 5. Mai 2013
Hinweise
Linearisierung, Ungenauigkeit
Begriffe: Approximation
Seite 7/11
Lehrplan Mathematik
Schwerpunktfach Mathematik/5. Klasse
2. Stochastik (⋆)
Der Schüler, die Schülerin kennt verschiedene Verteilungen der Statistik und
kann sie anwenden.
Inhaltsangaben und Erläuterungen
Hinweise
• Zufallsvariable
• Erwartungswert, Streuung, Varianz
• Binomialverteilung
BERNOULLI-Experiment, Urnenmodell,
Ziehen mit Zurücklegen
• Hypergeometrische Verteilung
Ziehen ohne Zurücklegen
• Lineare und nichtlineare Regression
→ PHYSIK: Auswertung von Versuchen,
Bedeutung des Korrelationskoeffizenten,
nichtlineare Regression → auf lineare
rückführbar
• Normalverteilung
Begriffe: Grundgesamtheit, Stichprobe,
Zufallsvariable, Erwartungswert,
Streuung, Varianz, Regression
3. [Numerik, Algorithmik]
Der Schüler, die Schülerin kann Informatikhilfsmittel zur Lösung mathematischer Probleme aus der Analysis und Statistik einsetzen.
Inhaltsangaben und Erläuterungen
Hinweise
• Probleme aus der Analysis numerisch
lösen
Differenzialgleichungen
• Numerische Integration mittels der
Trapezregel
Anwendung
auf
Dichtefunktion
die
GAUSS-
Begriffe: Iteration
Stand: 5. Mai 2013
Seite 8/11
Lehrplan Mathematik
Schwerpunktfach Mathematik/6. Klasse
Grobziele 6. Klasse
1. Algebra
Der Schüler, die Schülerin kennt den Matrizenbegriff und kann ihn auf Gleichungssysteme anwenden.
Inhaltsangaben und Erläuterungen
• Lineare Gleichungssysteme
• Grundoperationen mit Matrizen
Hinweise
Koeffizientenmatrix,
Determinante (max. 3x3),
Rang und Lösbarkeit (CRAMER Regel),
inverse Matrix (max. 3x3), transponierte
Matrix
• [Eigenvektoren]
charakteristisches Polynom, Eigenwert
• [Stochastische Prozesse]
MARKOV-Ketten
• [Abbildungen]
Drehung, Spiegelung
Begriffe: Matrix, Determinante, Rang,
inverse und transponierte Matrix.
Eigenvektor, Eigenwert,
MARKOV-Ketten
2. Analysis
Integralrechnung
Der Schüler, die Schülerin kann die Integralrechnung auf ausgewählte Probleme
anwenden.
Inhaltsangaben und Erläuterungen
• Volumen von Rotationskörpern
• Parameterdarstellung
• [Bogenlänge]
Stand: 5. Mai 2013
Hinweise
Rotation um die y-Achse
Polarkoordinaten
Begriffe: Rotationskörper,
Parameterdarstellung, Polarkoordinaten,
Bogenlänge
Seite 9/11
Lehrplan Mathematik
Schwerpunktfach Mathematik/6. Klasse
3. Vektorgeometrie
Der Schüler, die Schülerin kann die Vektorrechnung auf ausgewählte Probleme
anwenden.
Inhaltsangaben und Erläuterungen
• Abstandsprobleme
• [Spatprodukt]
• [Kreis-, Kugelgleichung]
• [Parametergleichung der Ebene]
Hinweise
HESSEsche Normalform
V ~ = (~a × ~b) · ~c , Determinante
~a,b,~c
Begriffe: Spatprodukt, Determinante,
Parametergleichung
4. Stochastik
Der Schüler, die Schülerin kann ausgewählte Aufgabenstellungen mittels der
Wahrscheinlichkeitsrechnung behandeln.
Inhaltsangaben und Erläuterungen
Hinweise
• Abhängige und unabhängige Ereignisse.
Bedingte Wahrscheinlichkeit, Pfadregeln,
totale Wahrscheinlichkeit
• Anwendung der Verteilungen in der
Statistik
Testen von Hypothesen (Signifikanztest),
Vertrauensintervall, Signifikanzniveau,
Fehler 1. und 2. Art
→PHYSIK: Ungenauigkeit beim Messen
Begriffe: Vertrauensintervall,
Signifikanzniveau, Satz von BAYES
5. [Numerik, Algorithmik]
Der Schüler, die Schülerin kann Informatikhilfsmittel zur Lösung mathematischer Probleme aus der Analysis und Stochastik einsetzen.
Inhaltsangaben und Erläuterungen
Hinweise
• Simulation, bzw. Modellbildung stochastischer Vorgänge
Arbeit mit PC
• Differenzialgleichungen
→ Analysis 5. Kl. PAM
Stand: 5. Mai 2013
Begriffe: Iteration
Seite 10/11
Lehrplan Mathematik
Schwerpunktfach Mathematik/6. Klasse
6. Praktikum
Inhaltsangaben und Erläuterungen
• Selbstständiges Erarbeiten eines grösseren Themas
Hinweise
Interdisziplinäre Arbeit mit PHYSIK
• Aneignen einer geeigneten Experimentiertechnik
• Verfassen eines logischen und folgerichtigen Berichts
Begriffe: Messen, Ungenauigkeit,
Auswertung
7. Repetition
Inhaltsangaben und Erläuterungen
Hinweise
• Wiederholung ausgewählter Kapitel
• Vernetzte Aufgaben lösen
Stand: 5. Mai 2013
Seite 11/11