Korrespondenzzirkel MATHEMATIK 2004/2005 SERIE 2 2.1 2.2 2.3

Korrespondenzzirkel
MATHEMATIK
SERIE 2
2004/2005
Termin: 08.12.2004
Rücksendung an:
Thomas Kiesel, Aalstecherstr. 4, 18055 Rostock
2.1
In einem Land gibt es nur zwei Sorten von Menschen: Edelmänner und Schurken.
Jeder Edelmann macht nur wahre Aussagen, jeder Schurke nur falsche Aussagen. Ein
nicht aus diesem Land stammender Reporter berichtet, er habe folgendes Gespräch
dreier Einwohner A, B und C dieses Landes gehört:
A sagt zu B: Wenn C ein Edelmann ist, dann bist du ein Schurke.“
”
C sagt zu A: Du bist von anderer Sorte als ich.“
”
Kann ein solches Gespräch stattgefunden haben? Wenn das der Fall ist, geht dann aus
dem Gespräch für jeden der drei Einwohner A, B, C eindeutig hervor, ob er Edelmann
oder Schurke ist, und zu welchen Sorten gehören dann A, B und C?
2.2
Es sei ABCD ein beliebiges konvexes Viereck, k sei eine beliebige positive reelle Zahl.
Die Punkte P, Q, R, S mögen in dieser Reihenfolge die Seiten AB, BC, CD, DA dieses
Vierecks jeweils im Verhältnis k : 1 teilen.
Man ermittle das Verhältnis der Flächeninhalte der Vierecke P QRS und ABCD.
2.3
Zeige, dass es eine natürliche Zahl n ≥ 0 gibt, so dass die letzten vier Ziffern von 3n
in der Dezimaldarstellung die Ziffern 0, 0, 0, 1 sind.
(Hinweis: Zahlen mit weniger als 4 Ziffern werden als vierstellige Zahlen angesehen, bei
denen am Anfang entsprechend viele Nullen stehen.)
2.4
Man beweise, dass für jede reelle Zahl a ≥ 0 die Ungleichung
a3 + b6
≥ 3ab2 − 4
2
gilt.
2.5
Sei L eine Menge von mindestens 3 Geraden in der Ebene, von denen keine zwei
parallel sind und keine 3 durch einen Punkt gehen. Die Geraden zerlegen die Ebene
in Gebiete. Zeige, dass für jede Gerade g aus L ein Gebiet existiert, das durch einen
Teil von g begrenzt und ein Dreieck ist.