Elemente der Arithmetik,
Algebra und des Sachrechnens
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WS 2010/2011
Studienplan
• Elemente der Arithmetik, Algebra und des
Sachrechnens: jeweils im Wintersemester 3-stündig
(ggf. 2-stündige Übung)
– Di 9.45-11.15
– Do 14.00-15.30
– Do 15.45-17.15
Abschlussklausur (50% der Examensnote)
• Elemente der Schulgeometrie: jeweils im
Sommersemester 3-stündig (ggf. 2-stündige Übung)
Abschlussklausur (50% der Examensnote)
Achtung: Reihenfolge der Module ist beliebig!
student
ewf
Einige Ziele der Veranstaltung
• Vertraut machen mit den Inhalten des GrundschulMathematikunterrichts (Arithmetik, Sachrechnen …)
• Eigenes Experimentieren mit Aufgaben
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–
–
–
Muster (Phänomene) entdecken durch Explorieren
Operatives Prinzip
Phänomene begründen
Phänomene schülergemäß erklären
• Aufgaben produzieren
– „Produktive Rechenübungen“
– Aufgabenformate
– Aufgabenvariation
• Fachliche und didaktische Aspekte anwenden
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–
–
–
Fachliche und didaktische Analysen
Materialverwendung/Veranschaulichungen
Unterrichtliche Umsetzungen
…….
• ……….
Aus dem Bayerischen Lehrplan - Fachprofil
Mathematik
• Alle Schüler erhalten Gelegenheit, in Einzel-, Partneroder Gruppenarbeit selbstständig Lösungsideen zu
entwickeln und Lösungswege zielgerichtet zu
suchen und zu erproben.
• Die unterschiedlichen Ansätze werden eingehend
betrachtet, diskutiert und begründet.
• Fehler und nicht zum Erfolg führende Wege lassen
sich dabei produktiv bei der Erarbeitung
erfolgreicher Lösungsverfahren nutzen.
• Die Lehrkraft koordiniert die Schülerbeiträge und
ergänzt sie gegebenenfalls durch gezielte
Anregungen.
Aus dem Bayerischen Lehrplan - Fachprofil
Mathematik (Forts.)
• Daneben kann eine gut durchdachte Lehrererklärung
die Effektivität des Unterrichts sicherstellen.
• Abwechslungsreiche Übungsaufgaben dienen
sowohl der Automatisierung und der Sicherheit als
auch der vertieften Einsicht in Zusammenhänge und
der Flexibilität.
• Dabei muss es für die Schüler zur
Selbstverständlichkeit werden, die Ergebnisse selbst
zu kontrollieren.
• Zunehmend erstellen die Schüler Lern- und
Arbeitsmaterialien auch selbst.
Wie Kinder rechnen
• Sarah (5J.) sagt die Zahlwörter bis 95 auf und fährt fort:
96, 97, 98, 99, hundert, einhundert, zweihundert,
dreihundert .....
• Aufgabe:
Von 63 Kindern schickt jedes einen Luftballon weg.
37 bekommen Antwort.
Wie viele bekommen keine Antwort?
Patrick sagt: “Das habe ich ganz einfach gemacht. Ich
habe erst 63 minus 20 gerechnet, das waren 43. Und
dann habe ich erst plus 5 gerechnet, das waren 38.
Noch plus 1 waren 37.”
Wie Kinder rechnen
• Eine Aufgabe in einer 4. Klasse:
Ein Apotheker füllt 1,750 kg Salmiakpastillen in Tüten zu je 50g. Wie
viele Tüten erhält er?
1,750 kg : 50 g
2 ⋅ 7 = 14
1⋅1 = 1
2 ⋅ 10 = 20
35
• Es sind die Bewertungspunkte für 12 Fußballspieler zu addieren:
Die Punkte: 9, 12, 10, 11, 8, 10, 9, 8, 12, 11, 10, 12
Sven (2.Kl.) findet eine Methode. Er spricht:
119, 121, 121, 122, 120, 120, 119, 117, 119, 120, 120, 122
Muster erkennen
Aufgaben variieren
1
8
15
22
29
2
9
16
23
30
3
10
17
24
31
4
11
18
25
5
12
19
26
6
13
20
27
7
14
21
28
Aufgaben variieren
1
9
17
25
33
41
2
10
18
26
34
42
3
11
19
27
35
43
4
12
20
28
36
44
5
13
21
29
37
45
6
14
22
30
38
46
7
15
23
31
39
47
8
16
24
32
40
48
Zählen
• Grundinhalt: 1:1-Zuordnung
• Allgemein: Einem Element einer Menge wird genau
ein Element einer zweiten Menge zugeordnet.
Beispiel: Kokosnüsse – Hölzer
(Zählen ohne Zahlen)
• Speziell: Eine Menge wird durch die geordneten
Zahlwörter gebildet
• Zählprinzipien
•
•
•
•
•
Eindeutigkeitsprinzip
Prinzip der Irrelevanz der Anordnung
Abstraktionsprinzip
Prinzip der stabilen Ordnung
Kardinalzahlprinzip
Niveaustufen des Zählens
•
1. Stufe: Zahlwörter werden als Zeichenkette
("einszweidreivier...") gelernt. Hier besteht kein
Eindeutigkeitsprinzip.
•
2. Stufe: Hier werden die Zahlwörter klar unterschieden und
Gegenstände gezählt. Jedoch ist das Weiterzählen von einer Zahl
aus noch nicht möglich. Lässt man z.B. 4 Gegenstände zählen
und gibt 3 hinzu, so kann das Kind nicht von 4 aus weiterzählen,
sondern muss wieder von 1 aus anfangen.
•
3. Stufe: Jetzt kann das Kind von einer Zahl aus weiterzählen
(und auch rückwärts zählen).
•
4. Stufe: Parallel zum Weiterzählen wird auch die Anzahl der
Zählschritte mitgezählt. Z.B. zählt das Kind bei der Frage "Um wie
viel muss man weiter zählen, um von 6 auf 10 zu kommen?":
7,8,9,10 und gleichzeitig die Zählschritte 1,2,3,4.
•
5. Stufe: Geläufiges Vor- und Rückwärtszählen von
verschiedenen Zahlen aus; Mitzählen der Zählschritte.
Zählen
• Vorkenntnisse von Schulanfängern
(Untersuchung von Schmidt 1982, Stichprobenumfang: 1138 Schüler)
• Leistungen der Schüler im verbalen Zählen:
– „Zähle, so weit du kannst.“
– Sobald die Schüler (Schulanfänger) einen
Fehler machen - egal aus welchem Grund wird abgebrochen. Es gilt die letzte, richtig
genannte Zahl.
Erreichte Zahl
Proz. d.
Kinder
mindestens 5
99
mindestens 10
97
mindestens 15
84
mindestens 20
70
mindestens 30
45
mindestens 40
33
mindestens 50
28
mindestens 60
23
mindestens 70
20
mindestens 80
18
mindestens 90
16
mindestens 100
15
Kommentar
Praktisch alle Kinder können bis 10
zählen Es erfolgen hier kaum
Abbrüche.
In diesem Abschnitt erfolgt jeweils
ein steiler Abfall. Es gibt hier viele
Abbrüche beim Zählen.
Wer beim Zählen bis hierhin
gelangt, hat das Prinzip erfasst.
Daher gibt es hier nur noch relativ
wenige Abbrüche.
Vergleich der Zählfähigkeit 1909 / 1982
Es konnten zählen (in %)
1909
1982
bis mind. 5
91
99
bis mind. 10
78
97
bis mind. 20
45
70
bis mind. 30
21
45
bis mind. 40
13
33
bis mind. 50
9
28
bis mind.
100
5
15
Techniken bei der Anzahlbestimmung
Augen
5 Würfel
Richtig
Falsch
Berührung
84
Wegnehmen Gesamt
11
0
95
5
5
12 Würfel
Richtig
Falsch
23
16
37
11
14
0
74
26
18 Würfel
Richtig
Falsch
11
32
25
5
28
0
63
37
Abzählen von Gegenständen mit dem Finger
Zahlwortreihe
Koordination
Fingerbewegung
Koordination
Gegenstände
Abzählen von Gegenständen mit dem Finger
Zahlwortreihe
Koordination
Fehler zumindest im Bereich bis
10 eher selten
Fingerbewegung
Koordination
Gegenstände
Abzählen von Gegenständen mit dem Finger
Zahlwortreihe
Fingerbewegung
Koordination
Typische Fehler:
Fingerbewegung:
Gesprochen:
1
2
Fingerbewegung:
Gesprochen:
5
6 Sie-ben 8
3 4 5
Verletzung des 1:1-Prinzips
6
Koordination
Gegenstände
Abzählen von Gegenständen mit dem Finger
Zahlwortreihe
Koordination
Fingerbewegung
Typische Fehler:
Auslassung:
Doppeltzählung:
Koordination
Gegenstände
Abzählen von Gegenständen mit dem Finger
Zahlwortreihe
Koordination
Fingerbewegung
Koordination
Typische Fehler:
Auslassung:
Doppeltzählung:
Vor allem, wenn Gegenstände
unstrukturiert, in Bewegung, nicht
sortierbar, ununterscheidbar …
Gegenstände
Probleme der Zahlwortbildungen: Beispiel 18 (acht-zehn)
engl.
8_10
bretonisch
3_6
deutsch
8_10
walisisch
2_9
französisch
10_8
mexikanisch
15_3
griechisch
8 und 10
finnisch
2 von 10 im zweiten
lateinisch 1
10 und 8
ainu (afr.)
2 steigen herab zu 10
lateinisch 2
2 vor 20
yoruba (afr.)
2 bis 20
litauisch
8 über
suaheli
10 und 4_4
irisch
8_2_5
makhuwa
10 und 5 und 3
Falsche Zahlwortbildungen
• Weiterzählen mit falscher Zehnerzahl:
38, 39, 20, 21, 22, … oder: neunundneunzig, hundert,
einhundert, zweihundert, …
• Unkonventionelle Zahlwortbildungen:
neunundzwanzig, zehnundzwanzig, elfundzwanzig …
• Weiterzählen nur noch mit Zehnern:
… 19, 20, 30, 40, 50, …
• Verwechseln der Endsilben „-zehn“ und „-zig“:
vierzehn, fünfzehn, sechzig, siebzig, …
Übungen zur
Zählfähigkeit:
Strukturen nutzen!
Strukturieren!
Material nutzen!
Wie viele Plättchen sind das?
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Einführung - Didaktik der Mathematik