ETWR – Aufgabenblatt 4

ETWR – Aufgabenblatt 4
Aufgabe 1 (stetige Zufallsvariablen)
Sind folgende Funktionen Dichtfunktionen einer stetigen Zufallsvariablen X?
(a)
( )
{
(b)
( )
{
(c)
( )
(d)
( )
(e)
( )
(
)
mit
{
, mit
Aufgabe 2 (diskrete Zufallsvariablen)
Ein fairer Würfel wird zweimal (unabhängig) geworfen. Wie groß ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl beim zweiten Wurf größer als beim ersten
Wurf ist?
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Aufgabe 3 (diskrete Zufallsvariablen)
Ein Jahrmarktbudenbesitzer hat sich ein neues Spiel ausgedacht. In eine Kiste packt er vier
identische blaue Kugeln, die sich nur dadurch unterscheiden, dass auf ihnen die
Augenzahlen 1 bis 4 stehen (für den Spieler nicht sichtbar). Ein Spieler darf aus der Kiste
eine Kugel ziehen (sich die Nummer merken), sie zurücklegen und dann noch einmal ziehen
(und wieder die Nummer merken).
Diese Zu allsvo gang wi d du ch das Modell „Ziehen mit Zu cklegen mit Beachtung de
Reihen olge“ besch ieben.
Wie viele Möglichkeiten 2 Kugeln nach diesen Vorgaben zu ziehen gibt es somit?
Der Jahrmarktbudenbesitzer überlegt, wie er mit Gewinnen entsprechend der gezogenen
Augenzahlen werben kann. Dazu werden im Folgenden die beiden Zufallsvariablen X und Y
betrachtet:
X: Summe der beiden Augenzahlen
Y: Augenzahl bei der ersten Ziehung minus Augenzahl bei der zweiten Ziehung
(a) Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X den Wert 5 annimmt und die
)) ist:
Zufallsvariable Y den Wert 1 (d. h. (
(b) Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X den Wert 4 annimmt und die
)) ist:
Zufallsvariable Y den Wert 3 (d. h. (
(c) Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X den Wert 7 annimmt (d. h.
(
)) ist:
(d) Welchen Wert nimmt die Zufallsvariable X mit der größten Wahrscheinlichkeit an?
(e) Der Jahrmarktbudenbesitzer entscheidet sich dafür, dass der Spieler gewinnt, wenn
die Augensumme der beiden gezogenen Kugeln 6 ist. Wie groß ist dann die
Wahrscheinlichkeit zu gewinnen?
(f) Der Erwartungswert ( ) der Zufallsvariable X ist:
(g) Der Erwartungswert (
) der Zufallsvariable
ist:
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Aufgabe 4 (diskrete Zufallsvariablen)
Sie sind die Chefin einer kleinen Eventagentur. Außer Ihnen arbeiten noch 10 weitere
Mitarbeiterinnen in dieser Firma. Ihnen ist aufgefallen, dass eine Ihrer Mitarbeiterinnen bei
der Erstellung des Präsentationsmaterials erhebliche Fehler macht. Leider ist es Ihnen nicht
möglich, die Schuldige zu finden, da das Team zusammenhält und Ihnen nichts verrät. Da
Sie dennoch jemanden bestrafen wollen, haben Sie alle Namen Ihrer Mitarbeiterinnen in eine
Lostrommel geworfen, ziehen nun nach jedem Projekt einen Namen zufällig heraus und
ordnen an, dass diese Mitarbeiterin den Abwaschdienst in der Kaffeeküche übernimmt.
Sei X die Anzahl der Ziehungen, die Sie benötigen, die wirkliche Schuldige zu Bestrafen.
(a) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von X unter der Annahme, dass Sie vor jeder
Ziehung alle Namen in die Lostrommel werfen. Wie groß ist in diesem Fall die
Wahrscheinlichkeit, dass es Ihnen bei einer geraden Anzahl von Ziehungen gelingt,
die Schuldige zu bestrafen? (Antworten auf vier Stellen nach dem Komma gerundet)
(b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von X unter der Annahme, dass Sie,
wenn Sie eine Mitarbeiterin gezogen haben, nicht zurück in die Lostrommel werfen.
Wie groß ist in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit, dass es Ihnen bei einer geraden
Anzahl von Ziehungen gelingt, die Schuldige zu bestrafen?
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