Elektrolytischer Trog

Praktikum
Grundlagen der Elektrotechnik
Versuch:
Elektrolytischer Trog
Versuchsanleitung
0.
Allgemeines
Eine sinnvolle Teilnahme am Praktikum ist nur durch eine gute Vorbereitung auf
dem jeweiligen Stoffgebiet möglich. Von den Teilnehmern wird daher eine
intensive Beschäftigung mit der erforderlichen Theorie sowie mit der
Aufgabenstellung bzw. ihrem Zweck vorausgesetzt.
Es gelten die allgemeinen Verhaltensvorschriften der Hochschule, insbesondere
die
• Laborordnung des Fachbereiches Elektrotechnik
und die
• Arbeitsordnung für das Praktikum „Grundlagen der Elektrotechnik“.
08/2011
-1 -
1.
Versuchsziel
Kennen lernen einer experimentellen Methode für die Modellierung und
messtechnische Erfassung elektrischer (und stationärer magnetischer) Felder.
2.
Grundlagen
2.1. Stationäres elektrisches Strömungsfeld
Die räumliche elektrische Strömung in leitfähigen Stoffen wird durch zwei
vektorielle Feldgrößen quantitativ beschrieben, die eine Kennzeichnung der
Strömung in jedem Punkt des StrömungsgebietesG nach Größe und Richtung
gestatten. Es sind dies die elektrische Stromdichte S und die
JG 1damit und mit der
elektrischen Spannung in Beziehung stehende Feldstärke E . Die Gesamtheit
aller Werte der jeweiligen Feldgröße ergibt das Vektorfeld der elektrischen
Strömung.
Das elektrische Feld kann in jedem Punkt des Raumes auch durch eine skalare
Größe, das elektrische Potential ϕ, beschrieben werden (Diese Möglichkeit
resultiert aus der weiter unten erläuterten Wirbelfreiheit des elektrischen Feldes).
Definitionen:
Stromdichte:
G
dI
S =S=
;
dA ⊥
G JG
I= ∫ SdA
(1)
A
Die Stromdichte in einem Punkt des Raumes gibt den Stromfluss je senkrecht
durchströmtes Flächenelement dA ⊥ an und zeigt in die Strömungsrichtung
(Bewegungsrichtung positiver Ladungsträger).
Feldstärke:
G
JG F
E=
Q
(2)
Als elektrische Feldstärke wird die auf die Ladungseinheit bezogene
Kraftwirkung in einem Punkt des elektrischen Feldes bezeichnet.
Potential:
ϕ = (x, y,z)
Das Potential ist die Arbeit, die gegen die Feldkräfte zu leisten ist, um eine
Ladung Q (als Probeladung bezeichnet) von einem Punkt P0 (Bezugspunkt des
Potentials) zum Punkt P (Feldpunkt) zu bringen, bezogen auf die Größe Q der
Probeladung.
1
Diesen Größen kommt im Strömungsfeld eine ähnliche Bedeutung zu wie der Stromstärke und der Spannung im
Falle linienhafter Leiter (elektrische Netzwerke).
-2-
ϕ=
Daraus folgt:
WP0 ,P
Q
JG G
= − ∫ Eds ;
P
P0
JG
dϕ G 0
∂ϕ G ∂ϕ G ∂ϕ G
E = −gradϕ =
ex − e y − ez = − n
dn
∂x
∂y
∂z
(3)
G0
Dabei ist dn ein Wegelement in Normalenrichtung und n der Einheitsvektor in
Normalenrichtung zur Äquipotentialfläche ϕ=const. in dem betrachteten Punkt.
JG G
U1,2 = ϕ1 − ϕ2 = ∫ Eds
P2
Spannung:
(4)
P1
Die Spannung zwischen zwei Punkten des Feldes entspricht der
Potentialdifferenz oder dem Linienintegral der elektrischen Feldstärke zwischen
den betrachteten Punkten (Begründung ergibt sich aus der Potentialdefinition!).
Grundlegende Gesetze:
Ohmsches Gesetz:
G
JG
S = κE
(5)
Bei vielen leitfähigen Stoffen sind Stromdichte und Feldstärke einander
proportional und haben die gleiche Richtung (räumliches Ohmsches Gesetz);
dabei ist κ die elektrische Leitfähigkeit des Mediums.
Stromkontinuität:
G JG
SdA
v∫ = 0
(6)
A
Das Feld der Stromdichte ist quellenfrei; Stromlinien haben keinen Anfang und
kein Ende (entspricht dem Kirchhoffschen Knotensatz bei Netzwerken).
Wirbelfreiheit:
JG G
Eds
v∫ = 0
(7)
s
Das Linienintegral der Feldstärke auf jedem geschlossenen Weg ist gleich Null;
dadurch wird die Einführung des skalaren Potentials ϕ, zur Beschreibung des
Feldes möglich (entspricht dem Kirchhoffschen Maschensatz bei Netzwerken).
Brechungsgesetz:
An den Grenzflächen zweier Medien ( κ1 ≠ κ 2 ) erfährt die Strömung im
Allgemeinen
eine
Richtungsänderung.
Für
die
Normalund
Tangentialkomponenten der Stromdichte gilt das Brechungsgesetz (siehe Abb. 1).
-3-
Sn1 = Sn 2
(8a)
St1 κ1
(8b)
=
St 2 κ 2
tan α1 κ1
(8c)
=
tan α 2 κ 2
κ2
α2 G
S2
G
Sn1
α1
G
S1
κ1
G
St1
Abb. 1: Brechung von Stromlinien
Zwei Spezialfälle sollen gesondert betrachtet werden:
Fall 1: κ1 κ 2 (z.B. Übergang Metallelektrode - schwach leitfähiger Elektrolyt).
κ
Wegen tan α 2 = 2 tan α1 wird der Austrittswinkel α2 nahezu Null, d.h. die
κ1
Stromlinien treten senkrecht aus dem Gebiet mit α1 (Metallelektrode) aus.
Fall 2: κ1 ≠ 0, κ 2 = 0 (Übergang Leiter - Nichtleiter)
Für den Nichtleiter gilt wegen κ 2 = 0 für die Stromdichte S = 0 und damit
auch Sn2=0. Wegen Gl. (8a) folgt daraus Sn1=0, d.h. die Strömung an der
Grenzfläche zum Nichtleiter kann nur eine Tangentialkomponente haben.
2.2. Darstellung des Feldbildes
Zur Veranschaulichung des zweidimensionalen Potentialfeldes ϕ = ϕ(x, y)
können Äquipotentiallinien dienen. Zweckmäßigerweise wählt man diese so, dass
zwischen allen benachbarten Linien die gleiche Potentialdifferenz Δϕ herrscht
(ausgewählte Äquipotentiallinien). Die Feldstärkevektoren (und in isotropen
Medien damit auch die Vektoren der Stromdichte S) sind in jedem Punkt einer
Äquipotentiallinie senkrecht zu dieser gerichtet, und zwar in Richtung der größten
Potentialabnahme.
Zur übersichtlichen Darstellung des Vektorfeldes der Stromdichte S bedient man
sich sog. Strömungslinien, d.h. Linien, die in jedem Punkt von
Stromdichtevektoren tangiert werden. Damit gibt die Tangente an einen Punkt der
Strömungslinie die Richtung des Stromdichtevektors an; der Betrag dieses
Vektors kann aus der Dichte der Strömungslinien bestimmt werden. Der
Teilstrom ΔI, der zwischen zwei benachbarten Strömungslinien fließt, ist
konstant; zweckmäßigerweise wird er zwischen allen Strömungslinien gleich
groß gewählt (ausgewählte Strömungslinien). Strömungs- und Potentiallinien
schneiden einander senkrecht, so dass bei geeigneter Wahl von Δϕ und ΔI die
Strömungsebene in ein Netz quadratähnlicher Figuren zerlegt wird.
-4-
2.3. Analogie zwischen stationärem Strömungsfeld, elektrostatischem Feld
und Magnetfeld
Zwischen den Definitionen und Gesetzmäßigkeiten des stationären
Strömungsfeldes und des elektrostatisches Feldes sowie des Magnetfeldes besteht
eine weitgehende formale Analogie:
Potential
Feldstärke
Strömungsgröße
Strömungsdichte
Materialgleichung
Kontinuitätssatz
Stationäres
Strömungsfeld
ϕ
JG
E = −gradϕ
dϕ JJG0
=− n
dn
I
dI
S=
dA ⊥
G
JG
S = κE
G JG
SdA
v∫ = 0
JG G
Eds
v∫ = 0
A
Wirbel des
Feldstärkevektors
Brechungsgesetz
Elektrostatisches
Feld
ϕ
JG
E = −gradϕ
dϕ JJG0
=− n
dn
Ψ
dΨ
D=
dA
JG JG⊥
D = εE
JG JG
DdA
=0
v∫
JG G
Eds
v∫ = 0
A
s
s
tan α1 κ1
=
tan α 2 κ 2
tan α1 ε1
=
tan α 2 ε 2
Magnetfeld
ψ
JG
H = −gradΨ
dΨ JJG0
=−
n
dn
Φ
dΦ
B=
dA ⊥
JG
JG
B = μH
JG JG
BdA
=0
v∫
JG G
Hds
v∫ = Θ
A
s
tan α1 μ1
=
tan α 2 μ 2
Auf Grund dieser formalen Übereinstimmungen zeigen die Felder weitgehend
analoges Verhalten. Damit bleibt die experimentelle Methode der Feldermittlung
im elektrolytischen Trog nicht allein auf das stationäre Strömungsfeld beschränkt.
Durch entsprechende Zuordnung der Feldgrößen können die Ergebnisse des
Strömungsfeldes auch auf das elektrostatische und das Magnetfeld übertragen
werden.
Anmerkung:
Beim elektrostatischen Feld gilt die Analogie vollständig, wenn Gebiete
außerhalb von Elektroden (Q=0) betrachtet werden.
Die Darstellung des magnetischen Feldes durch ein skalares Potential Ψ ist nur in
Gebieten möglich, in denen für jeden beliebigen geschlossenen Integrationsweg
die Summe der umfassten Ströme Null ergibt (Θ=0); dazu ist notwendig, dass das
Gebiet frei von (makroskopischen) Strömen ist.
-5-
2.4. Prinzipschaltung des elektrolytischen Troges
Das Ausmessen des Spannungsfeldes erfolgt im elektrolytischen Trog mit Hilfe
einer Brückenschaltung (Abb. 2). Durch die Speisung mit Wechselspannung
werden Polarisationserscheinungen an den Grenzflächen zwischen den
Elektroden und dem Elektrolyten verhindert, die die Messergebnisse verfälschen
könnten. Bei konstanter Brückeneinstellung (Abgriff an R) wird in mehreren
Feldbereichen mit der beweglichen Tastsonde der Brückenabgleich herbeigeführt.
Die so ermittelten Feldpunkte liegen auf einer Linie gleicher Spannung
(Äquipotentiallinie). Der Brückenabgleich wird von einem Nullindikator
angezeigt (akustisch oder optisch).
A
R
B
Abb. 2 : Brückenschaltung zur Ermittlung des Potentials
-6-
3.
Vorbereitungsaufgaben
3.1. Gegeben ist eine Elektrodenanordnung nach Abb. 3. An der
Zylinderelektrode liegt ein positives Potential ϕ=10V, der Metallrand sei
geerdet. Zeichnen Sie ausgewählte Strömungs- und Äquipotentiallinien so
ein, dass quadratähnliche Schnittfiguren entstehen.
d
Abmessungen:
a=10cm, d=1cm
a
κ
a
Abb. 3:Elektrodenanordnung Zylinder – quadratischer Rand
3.2. Gegeben ist eine konzentrische Leiteranordnung (Abb. 4) mit ri=1,5 cm,
ra=15 cm und h=2cm. Bei einem spezifischen elektrischen Leitwert
κ = 10-4S/cm soll ein Strom I=0,1A vom Innen- zum Außenleiter fließen.
Das Potential am Außenleiter sei ϕ=0.
3.2.1. Berechnen Sie die Stromdichte S(r), die Feldstärke E(r), das Potential ϕ(r),
den Widerstand R zwischen Innen- und Außenleiter sowie die Spannung U.
3.2.2. Zeichnen Sie maßstäblich für die in Abb. 4 gegebene
Elektrodenanordnung
S(r)
,
Smax
Uq
E(r)
E max
und
ϕ(r)
U
h
ri
Abb. 4 : Konzentrische Elektrodenanordnung
-7-
ra
4.
Messaufgaben
4.1. Nehmen Sie die ausgewählten Äquipotentiallinien für zwei symmetrisch im
Trog aufgestellte Zylinderelektroden gleichen Durchmessers (D=3cm) bei
folgenden, Randbedingungen auf:
a) Rand ist Leiter;
b) Rand ist Nichtleiter.
Wählen Sie Δϕ =0,1⋅U. Zeichnen Sie den Spannungsverlauf längs der
Verbindungsgeraden beider Elektroden (Spannungsgebirge).
4.2.
Ermitteln Sie den gestörten Verlauf der Äquipotentiallinien, wenn in das
Feld der Anordnung 4.1.b) ein geschlossener Leiter (Ring) eingebracht
wird ( Δϕ =0,1⋅U). Überzeugen Sie sich von der elektrostatischen
Abschirmung des eingeschlossenen Feldraumes durch den Leiter.
4.3. Setzen Sie die Elektrode mit dem Durchmesser D=10cm in die Achsenmitte
der Trogfläche und nehmen Sie die Äquipotentiallinien auf. Zeichnen Sie
den Spannungsverlauf längs der Verbindungsgeraden beider Elektroden
(Rand ist Leiter!).
4.4. Nehmen Sie das Feldbild für die Anordnung Spitze-Platte auf
( Δϕ =0,1⋅U ).
4.5. Tragen Sie in die gemessenen Potentialfelder der Aufgaben 4.1. bis 4.4.
ausgewählte Strömungslinien ein.
4.6.
Bestimmen Sie die Widerstände R zwischen einer äußeren
Zylinderelektrode A (Radius rA und verschieden großen konzentrisch zu A
angeordneten Zylinderelektroden B (Radien rB). Stellen Sie R=f(rA/rB)
graphisch dar!
-8-