Lineare Funktionen

1
Kap 12 Kombinatorik
12 Kombinatorik
Manchmal ist es schwierig, bei einstufigen Experimenten die für die Berechnung der
Wahrscheinlichkeit notwendige Anzahl der möglichen Fälle und der günstigenFälle
zu ermitteln.
Bei mehrstufigen Experimenten werden die Bäume oft unübersichtlich, wenn zu viele
Möglichkeiten an den Verzweigungen untersucht oder wenn zu viele Stufen
durchgeführt werden müssen.
12.1 Variationen mit Wiederholung
Beispiel 1: Murat hat die Kombination auf seinem Zahlenschloss vergessen. Das
Schloss hat 4 Ziffern von jeweils 0–9. Wie oft muss er höchstens
probieren bis er die richtige Kombination gefunden hat? Lösen Sie die
Aufgabe zunächst mit einem Baumdiagramm.
Baum:
Schrittweise:
Möglichkeiten für die erste Ziffer:
Möglichkeiten für die zweite Ziffer:
Möglichkeiten für die dritte Ziffer:
Möglichkeiten für die vierte Ziffer:
Total:
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Kap 12 Kombinatorik
Beispiel 2: Bei der Glücksspirale wird je eine der mit den Zahlen 1 bis 5
beschrifteten Kugeln aus einer von sieben Urnen gezogen.
a) Wie viele Möglichkeiten, eine siebenstellige Zahl zu ziehen, gibt es?
b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, die richtige Zahl zu erraten?
Definition:
Eine k − Variation mit Wiederholung ist eine angeordnete Zusammenstellung von
k reellen Zahlen, die alle aus einer Menge mit n verschiedenen Zahlen stammen.
Welche Werte entsprechen k und n in den obigen Beispielen 1 und 2?
Die Anzahl V(mW ) aller k − Variationen mit Wiederholung aus einer Menge mit n
Elementen beträgt n k .
Es gilt also V( mW ) = n k .
Beispiel 3:
Fussball Lotto. Wieviele Tippmöglichkeiten gibt es bei 13 Spielen?
Beispiel 4:
Wieviele Zeichen lassen sich mit einem Byte darstellen?
Beispiel 5:
Wieviele Wörter à drei Buchstaben kann man mit dem deutschen
Alphabet konstruieren, unabhängig von der Bedeutung?
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3
Kap 12 Kombinatorik
12.2 Variation ohne Wiederholung
Beispiel 6:
Eine Urne enthält 9 Kugeln, die von 1–9 nummeriert sind. Man greift
nacheinander 3 Kugeln heraus ohne zurückzulegen. Wieviele
Möglichkeiten gibt es?
Schrittweises Vorgehen:
Anzahl Möglichkeiten für die 1. Kugel: 9
Anzahl Möglichkeiten für die 2. Kugel: 8
Anzahl Möglichkeiten für die 3. Kugel: 7
Total: 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 504
Beispiel 7:
Ein Maler bietet einer Galerie 15 Bilder für eine Ausstellung an. An der
dazu vorgesehenen Wand finden aber nur 4 Bilder gleichzeitig Platz.
Wie viele verschiedene Möglichkeiten zur Hängung der Bilder gibt es?
Schrittweises Vorgehen:
Anzahl Möglichkeiten für das 1. Bild:
15
Anzahl Möglichkeiten für das 2. Bild:
14
Anzahl Möglichkeiten für das 3. Bild:
13
Anzahl Möglichkeiten für das 4. Bild:
12
Total: 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 = 33260 Möglichkeiten
Definition:
Eine k − Variation ohne Wiederholung ist eine angeordnete Zusammenstellung von
k reellen Zahlen, die alle aus einer Menge mit n verschiedenen Zahlen stammen.
Dabei darf jede Zahl nur einmal vorkommen und k ≤ n .
V( oW ) = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ... ⋅ (n − k + 1)
k − Faktoren
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Kap 12 Kombinatorik
12.3 Permutationen ohne Wiederholungen
Beispiel 8:
Auf wie viele verschiedene Anordnungen können die 4 Schülerinnen
Amela, Behice, Chris und Deirdre auf 4 Stühlen Platz nehmen?
Schrittweises Vorgehen:
Anzahl Sitzmöglichkeiten für Amela:
Anzahl Sitzmöglichkeiten für Behice:
Anzahl Sitzmöglichkeiten für Chris:
Anzahl Sitzmöglichkeiten für Deirdre:
Insgesamt:
Definition
Besteht eine Menge M aus n Elementen, so versteht man unter der Permutation
ohne Wiederholung eine beliebige Anordnung dieser Elemente.
Bei n Elementen gilt:
P( n ) = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2 ) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
P( n ) = n!
man sagt " n Fakultät"
Es gilt ferner
0!= 1
1!= 1
Die Fakultäten der natürlichen Zahlen nehmen rasch grosse Werte an. Berechnen
Sie die Fakultäten der Zahlen von 1 − 10 .
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Kap 12 Kombinatorik
Vergleich von Permutation und Variation ohne Wiederholung.
V( oW ) = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ... ⋅ (n − k + 1)
k − Faktoren
P( n ) = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2 ) ⋅ ... ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!
n − Faktoren
Wieviel Faktoren mehr als V(oW ) hat P(n ) ?
Es gilt daher : P( n ) = V( oW ) ⋅
⇒ V( oW ) =
P( n )
=
Zählformel für Variation ohne Wiederholung
Beispiel 9:
Beim 100m Lauf werden 8 Bahnen unter den 8 Läufern ausgelost.
Wieviele verschiedene Startaufstellungen sind möglich?
Beispiel 10
Wie Beispiel 9, aber 3 Läufer haben sich abgemeldet!
12.4 Permutationen mit Wiederholung
Mit den Buchstaben des Namens MARIE kann man P(5) = 5!= 120 Permutationen
bilden.
Wieviel verschiedene Anagramme (Permutationen) gibt es vom Wort MAMMA?—Es
handelt sich wieder um eine Permutation, allerdings kommt der Buchstabe A zweimal
und der Buchstabe M gar dreimal vor!
Schreiben Sie alle voneinander verschiedenen Anagramma auf. Wieviele sind es?
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Kap 12 Kombinatorik
6
Man kann die 3 M auf 3! Arten und die 2! Arten vertauschen, ohne dass sich das
Wort ändert!
Es gilt:
P(5)(3, 2 ) =
5! 120
=
= 10
3!⋅2! 6 ⋅ 2
Allgemein
Die Anzahl der Permutationen mit Wiederholung aus einer Menge mit n Elementen
beträgt
n!
p!⋅q!⋅r!
n := Anzahl Elemente
p, q, r := je Anzahl gleiche Elemente
Pn ( p , q , r ) =
12.5 Aufgaben
1
Wieviele Melodien mit 5 verschiedenen Tönen kann man spielen?
2
Ein sehr simpler Geheimcode tauscht einfach die Stellung der Buchstaben in
einem Wort aus. Wieviele verschiedene Worte können mit HYIPKS gemeint
sein?
3
Wieviele fünfstellige Zahlen mit voneinander verschiedenen ungeraden Ziffern
gibt es?
4
Johann will endlich seine 3 verschiedenen Bibeln, 5 verschiedene Kochbücher,
4 Globibücher und 3 Mathebücher ordnen.
a) Auf wieviele Arten kann er seine Bücher auf ein Regal ordnen, wenn ihm die
Reihenfolge egal ist?
b) Auf wieviele Arten kann er seine Bücher sinnvoll ordnen?
5
Auf wieviele Arten kann man die Buchstaben des Wortes MISSISSIPPI falsch
anordnen?
6
Auf wieviele Arten können im Kühlschrank vier identische weisse Eier, drei
braune und eines mit einem Sprung nebeneinander liegen?
7
Wieviele vierstellige Zahlen können mit den Ziffern 0,1,1,2 durch verschiedene
Reihenfolgen gebildet werden?
8
Wieviele siebenstellige Zahlen kann man mit den Ziffern 0,1,1,1,2,2,3 bilden,
wenn die erste Ziffer eine Drei oder eine Zwei sein soll?
9
Auf wieviele Arten kann man 9 verschiedene Geschenke an 4 Kinder verteilen,
wenn das jüngste Kind 3 und die andern jeweils 2 Geschenke erhalten sollen?
7
Kap 12 Kombinatorik
12.6 Kombinationen ohne Wiederholung
Beispiel 11: Wie gross muss der Einsatz sein, damit man im Zahlenlotto 6 aus 49
einen 6er hat? (Ein Tipp kostet CHF 2.–)
Betrachten wir zunächst die Situation, wenn die Reihenfolge berücksichtigt wird: In
diesem Fall handelt es sich um eine Variation mit Wiederholung.
V(oW ) =
=
Möglichkeiten
Beim Zahlenlotto spielt aber die Reihenfolge keine Rolle. Die 6 richtigen Zahlen
können auf 6! verschiedene Arten angeordnet werden. Die oben berechnete
V( oW ) = 49 ⋅ 48 ⋅ 47 ⋅ 46 ⋅ 45 ⋅ 44 ist also um den Faktor 6! zu gross.
Die Anzahl Möglichkeiten bei „6 aus 49“ beträgt somit
49!
=
(49 − 6)!⋅6!
 49 
dafür schreibt man   und man liest „6 aus 49“ oder „49 über 6“
6 
49 ⋅ 48 ⋅ 47 ⋅ 46 ⋅ 45 ⋅ 44
= 27'967'632 also
6!
etwa CHF 28 Millionen betragen (der höchste Gewinn in den letzten Jahren betrug
ein paar Millionen!!)
Der Einsatz muss somit mindestens CHF 2 ⋅
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Kap 12 Kombinatorik
Allgemein
Die Anzahl der k-Kombinationen ohne Wiederholung aus einer Menge mit n
Elementen ist
n
K ( oW ) =   für 0 ≤ k ≤ n.
k
Dabei gilt:
 n
n!
n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ... ⋅ (n − k + 1)
K ( oW ) =   =
=
k!
 k  (n − k )!⋅k!
n
man liest   “k aus n” (Lottoprinzip)
k
Regeln:
 n  n!
1)   =
=1
 0  n!⋅0!
( 0!= 1 gemäss Definition)
 n
n!
2)   =
=n
1  (n − 1)!⋅1!
Beispiele
12
 7
  =
3
13
Aus den Buchstaben des Wortes BAUERNHOF sollen 3 verschiedene
Buchstaben ausgewählt werden. Aud wieviele Arten ist dies möglich, wenn
a) die Buchstaben Konsonanten sein sollen,
b) die Buchstaben Vokale sein sollen,
c) 2 Buchstaben Konsonanten, 1 B. Vokal sein soll?
14
Wieviele Dreiecke sind durch 5 Punkte in allgemeiner Lage bestimmt?
15
Ein Kartenspiel hat 36 Karten. 4 Spieler erhalten je 9 Karten.
a) Wieviele verschiedene ‘Blätter’ gibt es für den ersten Spieler? (1 ‘Blatt’ ist
z.B. Herz As, Herz König, Schaufel Bauer, ... , Kreuz 9)
b) Auf wieviele Arten kann ein Spieler 4 Bauern weisen?
c) Auf wieviele Arten kann ein Spieler genau ein As haben?
d) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler 4 Asse hat?
8
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Kap 12 Kombinatorik
12.7 Kombination mit Wiederholung
Beispiel 16
Ein Flaschenträger hat für 3 Flaschen Platz und soll mit Cola, Fanta,
Rivella und Sprite gefüllt werden. Wieviele verschiedene Füllungen gibt
es? (Die Reihenfolge spielt keine Rolle)
Von einer Sorte können mehrere Flaschen ausgewählt werden. Es folgende Fälle
möglich:
1
2
Man wählt 3 gleiche Sorten
CCC, FFF, RRR, SSS
Anzahl: 4
Man wählt von einer Sorte 2:
CCF, ...
Anzahl:
3
Der Flaschenhalter enthält 3 verschiedene Sorten:
Anzahl:
Insgesamt:
Das gleiche Problem findet sich im folgenden Beispiel:
Beispiel 17
Wieviele 3er Kombinationen mit Wiederholung kann man mit den Ziffern
1, 2, 3, 4 bilden, wenn Ziffern mehr als einmal vorkommen dürfen?
111
122
124
224
333
112
123
144
233
334
113
224
222
234
344
114
133
223
244
444
Die Elemente sind der Grösse nach geordnet. Es handelt sich um Kombinationen mit
Wiederholung. Wir machen nun folgendes. Wir ordnen jeder Zahl eine neue 3er
Gruppe zu mit folgender Vorschrift:
das erste Element bleibt unverändert
das zweite Element wird um 1 erhöht
das dritte Element wird um 2 erhöht.
Füllen Sie also folgende Tabelle aus:
123
124
...
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Kap 12 Kombinatorik
Was stellen Sie nun fest? Worum handelt es sich bei diesen so erhaltenen
Kombinationen?
Allgemein
Die Anzahl der k-Kombinationen mit Wiederholung aus einer Menge mit n
Elementen ist
 n + k − 1

K ( mW ) = 
 k

(Flaschenhalterprinzip)
10
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Kap 12 Kombinatorik
12.8 Zusammenfassung
Bezeichnung
Eigenschaften
k − Variation mit
Wiederholung
mit Anordnung k , n V( mW ) = n k
beliebig
k − Variation ohne mit Anordnung
k<n
Wiederholung
Formel
V( oW ) =
Beispiel
n!
(n − k )!
Fussballtoto
Parkplatzbelegung,
15 Autos, 6 Plätze
⇒ n = 15, k = 6
Permutation ohne Mit Anordnung,
P( n ) = n!
jedes Element wird
Wiederholung
benutzt
Permutation mit
Wiederholung
Mit Anordnung,
n!
P
=
(
mW
)
jedes Element wird
n1!⋅... ⋅ n p !
benutzt
n> p
n = n1 + ... + n p
k − Kombination
ohne
Wiederholung
ohne Anordnung
k<n
k − Kombination
ohne Anordnung
mit Wiederholung k , n beliebig
8 Läufer mit 8
Bahnen
Anagramm:
MAMMA
⇒ n = 5, p = 2
nM = 3, nA = 2
Zahlenlotto „6 aus
n
n!
K ( oW ) =   =
49“
 k  (n − k )!⋅k!
⇒ n = 49, k = 6
 n + k − 1

K ( mW ) = 
k

Flaschenträger
6 Flaschen aus 3
Sorten
⇒ n = 3, k = 6
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Kap 12 Kombinatorik
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12.9 Aufgaben
1
Auf einer Parteiversammlung, an der 11 Mitglieder teilnehmen, soll ein
Wahlausschuss bestehend aus 4 Mitgliedern gebildet werden. Wieviele
Möglichkeiten gibt es?
2
15 Lehrerinnen kommen täglich mit dem Velo zur Schule, es gibt aber nur 6
gedeckte Veloabstellplätze. Wieviele Belegungen sind theoretisch möglich?
3
5 verschiedene Würfel werden gleichzeitig geworfen. Wieviel Wurfbilder kann
es geben?
4
In einem Ferienort will eine Gruppe von 7 Personen einen Ausflug machen.
Glücklicherweise hat der Verleih gerade noch 7 (verschieden farbige)
Fahrräder.
5
3 rote und 5 grüne Kugeln werden in 8 Schubladen gelegt, sodass in jeder
Schublade genau eine Kugel liegt.
6
Ein Kunde möchte im Supermarkt einen Träger mit 6 Mineralwasserflaschen
kaufen. Er kann auswählen aus Fanta, Sprite und Cola. Wieviele
Wahlmöglichkeiten hat er, wenn er auf die Anordnung im Träger keinen Wert
legt?
7
Beschreibe bei den folgenden Aufgaben zunächst ein Urnenmodell (Ziehen von
Kugeln).
a) Wieviele dreistellige Zahlen kann man mit den Ziffern 4,5,6,7,8 schreiben,
wenn keine Ziffer wiederholt auftreten darf?
b) Wieviele Möglichkeiten gibt es, die Farben rot, grün, schwarz, gelb und braun
auf 5 verschiedene Felder zu verteilen?
c) An einem Pferderennen nehmen 6 Pferde teil, die nacheinander durchs Ziel
gehen. Wie viele mögliche Reihenfolgen gibt es für die ersten 3 Plätze?
8
Beschreibe bei den folgenden Aufgaben zunächst ein Urnenmodell (Ziehen von
Kugeln).
a) Für ein Zeichen braucht es den Speicherplatz von 1 Byte. Ein Byte besteht
aus 8 Bits; jedes Bit kann den Wert 0 oder 1 annehmen. Wie viele Zeichen sind
möglich?
b) Für die Namensschilder am Eingang eine Sechsfamilienhauses stehen 4
Schrifttypen zur Verfügung. Wie viele Möglichkeiten der Beschriftung gibt es?
c) Ein Test besteht aus 10 Fragen. Zu jeder Frage sind 3 Antworten
vorgegeben, von denen genau eine richtig ist. Wieviele Möglichkeiten zum
Ankreuzen hat der Test.
9
Wie viele verschiedene siebenstellige Telephonnummern gibt es, wenn die Null
als erste Ziffer nicht erlaubt ist?
10
6 Personen besteigen einen Zug mit 4 Wagen. Wie viele Möglichkeiten gibt es,
die 6 Personen auf die 4 Wagen zu verteilen?
11
Wie viele verschiedene Würfe kann man mit drei verschieden farbigen Würfeln
ausführen, wenn bei jedem Wurf alle Würfel verschiedene Augenzahlen
aufweisen und alle drei Würfel benutzt werden?
12
5 Damen sitzen um einen runden Tisch. 3 Herren setzen sich zu ihnen, aber so,
dass nirgends zwei Herren zwischen den Damen sitzen. Auf wie viele Arten
können sich die Herren zwischen die Damen setzen?
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Kap 12 Kombinatorik
13
Drei Karten, die mit 1, 2, 3 nummeriert sind, werden verdeckt gemischt und
anschliessend der Reihe nach aufgdeckt. Stimmt eine Zahl auf der Karte mit
der Ziehungsnummer der Karte überein, so nennt man dies eine
Übereinstimmung. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine
Übereinstimmung?
14
Bei einem Fest treten 4 Solisten auf; die Reihenfolge ist jedoch unbekannt. Wie
viele verschiedene Reihenfolgen sind möglich?
15
Eine Speisekarte verzeichnet 4 Vorspeisen, 7 Hauptgerichte und 6 Desserts.
Wie viele verschieden Menüs kann man zusammenstellen?
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